Každá věda se od určité úrovně automaticky stává částí matematiky. (David Hilbert)

Uživatelské nástroje


Sidebar

spojite_modely_2

Spojité modely a jejich formulace

Tyto modely navazují na slovní interpretaci derivace a cvičení v předmětu Matematika, obvykle ve druhém týdnu. Formálně se jedná o diferenciální rovnice, ale dají se prozkoumávat i naivními a primitivními prostředky.

V tabulce je překladový slovník mezi slovní formulací a matematickým popisem děje nebo procesu.

slovní popis matematická formulace
rychlost (růstu v čase) derivace podle času
rychlost poklesu (v čase) derivace podle času násobená faktorem $(-1)$
(přímá) úměrnost násobek konstantou
nepřímá úměrnost násobek převrácené hodnoty konstantou
rychlost (růstu v prostoru) derivace podle polohy

Nebuďte překvapeni, pokud budou rovnice popisující některé modely stejné, nebo podobné. Viděli jsme to již ve cvičení u modelu učení a modelu růstu úměrného chybějícímu množství.

jezero

Rovnice samočištění jezer

V jezeře je kontaminace. Do jezera teče čistá voda a kontaminovaná voda vytéká. Tím se jezero čistí. Čím méně je kontaminace, tím menší je koncentrace nečistot ve vytékající vodě a tím pomaleji se nečistoty vyplavují. Matematicky můžeme předpokládat, že rychlost, s jakou klesá množství nečistot v jezeře, je úměrné tomuto množství. Zformulujte matematický model pro tento proces.

Množství nečistot označte $y$, čas $t$. Konstatu úměrnosti volte $k$ a model naformulujte tak, aby tato konstanta byla kladná.

Řešení: $$\displaystyle \frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=-ky$$

Model ochlazování tepelnou výměnou

Horké těleso je v místnosti a ochlazuje se. Na teplotu místnosti toto ochlazování nemá vliv. Rychlost s jakou klesá teplota tělesa je úměrná rozdílu mezi teplotou tohoto tělesa a teplotou místnosti. Zformulujte matematický model pro tento proces. Tento příklad se dělal i ve cvičení.

Řešení: je-li $T$ teplota tělesa v nějaké rozumné jednotce (stupně Celsia, Kelviny, stupně Farenhaita, posunutá teplota, bezrozměrná teplota, ...), platí $$\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt}=-k(T-T_0),$$ kde $k$ je konstanta úměrnosti a $T_0$ teplota místnosti ve stejných jednotkách jako $T$.

Radioaktivní rozpad

Rychlost s jakou klesá množství nestabilního izotopu je úměrná množství tohoto izotopu. Zformulujte matematický model pro tento proces. Tento příklad je v každé učebnici diferenciálních rovnic jako základní model.

Řešení: Je-li $y$ množství nestabilního izotopu v libovolné rozumné jednotce (hmotnost, molární množství, počet atomů, ...), platí $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=-ky,$$ kde $k$ je konstanta úměrnosti.

penize

Spojitý úrok

Do fondu vložíte 50 tisíc korun. Peníze jsou úročeny spojitým úrokem 2%, tj. množství peněz na účtu roste rychlostí, která je 0.02-násobkem úložky. Sestavte matematický model pro tento proces.

Řešení: Nechť $y(t)$ je částka na účtu v čase $t$. Čas $t$ měříme v letech, částku v tisících Kč. Matematický model je $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=0.02y ,\qquad y(0)=50.$$

Spojitý úrok s opakovanou úložkou

Do fondu z předchozího příkladu navíc vkládáte každý rok 5 tisíc korun. Modifikujte předchozí model tak, aby zohledňoval novou situaci.

Řešení: Nechť $y(t)$ je částka na účtu v čase $t$. Čas $t$ měříme v letech, částku v tisících Kč. Matematický model je $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=0.02y+5 ,\qquad y(0)=50.$$

Spojitý úrok s opakovaným výběrem

U fondu máte našetřeny tři miliony korun, úrokování je stejné jako v předchozích příkladech, ale každý rok vybíráte 40 tisíc korun na přilepšení k důchodu. Modifikujte předchozí modely tak, aby simulovaly novou situaci.

Řešení: Nechť $y(t)$ je částka na účtu v čase $t$. Čas $t$ měříme v letech, částku v tisících Kč. Matematický model je $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=0.02y-40 ,\qquad y(0)=3000.$$

chirurg

Krvácení při operaci

Při operaci pacient krvácí a krev je doplňována fyziologickým roztokem. Celkový objem tekutiny v krevním oběhu pacienta je konstantní, ale pacient ztrácí krvinky. Je to podobné jako samočištění jezera. Při dané intenzitě krvácení je ztráta krvinek tím menší, čím je krvinek méně. Tedy rychlost, s jakou klesá množství krvinek v těle pacienta je úměrná množství těchto krvinek. Sestavte matematický model pro množství krvinek v těle pacienta. Aplikace je v chirurgii při minimalizaci nutnosti krevní transfuze.

Řešení: Je-li $y$ množství krvinek v libovolné rozumné jednotce (počet krvinek v mililitru, celkový počet krvinek v těle, podíl hmotnosti krvinek na celkové hmotnosti krve, ...), platí $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=-ky,$$ kde $k$ je konstanta úměrnosti.

Podávání léku pomocí infuze

Lék je v těle z krve odbouráván rychlostí úměrnou množství tohoto léku v krvi. (Farmakokinetika prvního řádu.) Kromě toho je tento lék dodáván do těla pomocí infuze konstantní rychlostí. Zformulujte matematický model pro tento proces.

Řešení: Je-li $y$ množství léku v libovolné rozumné jednotce (celkové množství v těle pacienta, koncentrace v krvi, ppm, ...), platí $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=-ky+i,$$ kde $k$ je konstanta úměrnosti. a $i$ je rychlost s jakou je dodávána infuze v kompatibilních jednotkách.

Paušální model sušení dřeva

Budeme studovat sušení dřeva. Podobně jako u modelu tepelné výměny, někdy je možno nezohledňovat rozložení vlhkosti, ale uvažovat celkovou hodnotu. Rychlost, s jakou se snižuje obsah vody ve dřevě je úměrná rozdílu mezi vlhkostí dřeva a rovnovážnou vlhkostí dřeva za daných podmínek. Zformulujte matematický model pro tento proces.

Řešení: Je-li $y$ množství vody ve dřevě v libovolné rozumné jednotkce (celkové množství ve vzorku, procento hmotnosti vody, ...), platí $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=-k(y-y_0),$$ kde $k$ je konstanta úměrnosti a $y_0$ je rovnovážní vlhkost dřeva za daných podmínek.

ryby

Logistický růst

Uvažujme populaci o velikosti $y$ v prostředí o nosné kapacitě $K$. Tedy je obsazeno $\frac yK$ procent prostředí a neobsazená část prostředí tvoří $\left(1-\frac yK\right)$ procent. Rychlost, s jakou roste velikost populace, je úměrná velikosti populace a současně velikosti neobsazené části prostředí. Zformulujte matematický model pro tento proces. Toto je nejklasičtější model pro modelování obnovitelných přírodních zdrojů. Konstanta úměrnosti se většinou označuje $r$. Přečtěte si o r a K strategiích mezi rostlinami a živočichy.

Řešení: V označení velikosti populace symbolem $P$ místo $y$ má model tvar $$\frac{\mathrm dP}{\mathrm dt}=rP\left(1-\frac PK\right).$$

Logistický růst s trvale udržitelným lovem

Pro jednoduchost zvolme v předchozím modelu jednotky tak, že konstanty $r$ a $K$ jsou rovny jedničce. Rychlost růstu populace zpomalíme konstantním lovem o velikosti $0.1$, tj. $10$ procent nosné kapacity prostředí za časovou jednotku. Zformulujte matematický model pro tento proces.

Řešení: Platí $r=1$, $K=1$ a lov je $0.1$, tj. model má tvar $$\frac{\mathrm dP}{\mathrm dt}=P(1-P)-0.1.$$

Logistický růst s dlouhodobě neudržitelným lovem

V předchozím modelu zvýšíme intenzitu lovu na $40$ procent nosné kapacity prostředí za časovou jednotku. Modifikujte odpovídajícím způsobem předchozí model. Zformulujte matematický model pro výsledný proces.

Řešení: Platí $r=1$, $K=1$ a lov je $0.4$, tj. model má tvar $$\frac{\mathrm dP}{\mathrm dt}=P(1-P)-0.4.$$

spojite_modely_2.txt · Poslední úprava: 2020/10/29 20:01 (upraveno mimo DokuWiki)