Mysleli jsme to dobře, ale dopadlo to jako vždy (Viktor Čenomyrdin po nepovedené měnové reformě v roce 1993)

Uživatelské nástroje


spojite_modely

====== Rozdíly ======

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

Odkaz na výstup diff

spojite_modely [2020/04/14 07:10] (aktuální)
Řádek 1: Řádek 1:
 +<html>
 +<style>
 +.page p img {max-width:400px;float:right;}
 +body {
 +        counter-reset: h2counter;
 +    }
 +
 +h2:before {
 +        content: counter(h2counter) ".\0000a0\0000a0";
 +        counter-increment: h2counter;
 +    }
 +</style>
 +</html>
 +
 +<markdown>
 +# Spojité modely a jejich formulace
 +
 +**Update 24.3.2020: Řešení je popsáno ve [videu](https://youtu.be/4F2_ypt_vkU).**
 +
 +Tyto modely navazují na slovní interpretaci derivace a cvičení v předmětu Matematika ve [druhém týdnu](http://user.mendelu.cz/marik/mtk/mat-cviceni-screen.pdf). Formálně se jedná o diferenciální rovnice, ale dají se prozkoumávat i naivními a primitivními prostředky. To bude obsahem náplně práce v týdnu od 9.3.2020.
 +
 +V tabulce je překladový slovník mezi slovní formulací a matematickým popisem děje nebo procesu.
 +
 +|slovní popis|matematická formulace|
 +|------------|---------------------|
 +|rychlost (růstu v čase)| derivace podle času|
 +|rychlost poklesu (v čase)| derivace podle času násobená faktorem $(-1)$|
 +|(přímá) úměrnost| násobek konstantou|
 +|nepřímá úměrnost| násobek převrácené hodnoty konstantou|
 +|rychlost (růstu v prostoru)| derivace podle polohy|
 +
 +Nebuďte překvapeni, pokud budou rovnice popisující některé modely stejné, nebo podobné. Viděli jsme to již ve cvičení u modelu učení a modelu růstu úměrného chybějícímu množství.
 +
 +![jezero](http://user.mendelu.cz/marik/images/jezero.jpg)
 +
 +## Rovnice samočištění jezer
 +
 +V jezeře je kontaminace. Do jezera teče čistá voda a kontaminovaná voda vytéká. Tím se jezero čistí. Čím méně je kontaminace, tím menší je koncentrace nečistot ve vytékající vodě a tím pomaleji se nečistoty vyplavují. Matematicky můžeme předpokládat, že rychlost, s jakou klesá množství nečistot v jezeře, je úměrné tomuto množství. Zformulujte matematický model pro tento proces.
 +
 +[Prostudujte si plnou slovní formulaci modelu a její matematické vyjádření.](http://user.mendelu.cz/marik/mtk/mat-slidy/ode/#p%C5%99%C3%ADklad---rovnice-samo%C4%8Di%C5%A1t%C4%9Bn%C3%AD-jezer)
 +
 +*Řešení: Je-li $y$ množství nečistot v nějaké rozumné jednotce (koncentrace v procentech, koncentrace v ppm, absolutní hmotnost nečistot, ...), platí $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=-ky,$$
 +kde $k$ je konstanta úměrnosti.*
 +
 +## Model ochlazování tepelnou výměnou
 +
 +Horké těleso je v místnosti a ochlazuje se. Na teplotu místnosti toto ochlazování nemá vliv. Rychlost s jakou klesá teplota tělesa je úměrná rozdílu mezi teplotou tohoto tělesa a teplotou místnosti. Zformulujte matematický model pro tento proces. Tento příklad se dělal i ve cvičení.
 +
 +[Prostudujte si detailnější slovní formulaci modelu a její matematické vyjádření.](http://user.mendelu.cz/marik/mtk/mat-slidy/ode/#p%C5%99%C3%ADklad---tepeln%C3%A1-v%C3%BDm%C4%9Bna)
 +
 +*Řešení: je-li $T$ teplota tělesa v nějaké rozumné jednotce (stupně Celsia, Kelviny, stupně Farenhaita, posunutá teplota, bezrozměrná teplota, ...), platí $$\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt}=-k(T-T_0),$$
 +kde $k$ je konstanta úměrnosti a $T_0$ teplota místnosti ve stejných jednotkách jako $T$.*
 +
 +## Radioaktivní rozpad
 +
 +Rychlost s jakou klesá množství nestabilního izotopu je úměrná množství tohoto izotopu.  Zformulujte matematický model pro tento proces. Tento příklad je v každé učebnici diferenciálních rovnic jako základní model.
 +
 +[Prostudujte si detailnější slovní formulaci modelu a její matematické vyjádření.](http://user.mendelu.cz/marik/mtk/mat-slidy/ode/#p%C5%99%C3%ADklad---datov%C3%A1n%C3%AD-pomoc%C3%AD-uhl%C3%ADku)
 +
 +*Řešení: Je-li $y$ množství nestabilního izotopu v libovolné rozumné jednotce (hmotnost, molární množství, počet atomů, ...), platí $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=-ky,$$
 +kde $k$ je konstanta úměrnosti.*
 +
 +
 +![penize](http://user.mendelu.cz/marik/images/penize.jpg)
 +
 +
 +## Spojitý úrok
 +
 +Do fondu vložíte 50 tisíc korun. Peníze jsou úročeny spojitým úrokem 2%, tj. množství peněz na účtu roste rychlostí, která je 0.02-násobkem úložky. Sestavte matematický model pro tento proces.
 +
 +*Řešení: Nechť $y(t)$ je částka na účtu v čase $t$. Čas $t$ měříme v letech, částku v tisících Kč. Matematický model je $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=0.02y ,\qquad y(0)=50.$$*
 +
 +## Spojitý úrok s opakovanou úložkou
 +
 +Do fondu z předchozího příkladu navíc vkládáte každý rok 5 tisíc korun. Modifikujte předchozí model tak, aby zohledňoval novou situaci.
 +
 +*Řešení: Nechť $y(t)$ je částka na účtu v čase $t$. Čas $t$ měříme v letech, částku v tisících Kč. Matematický model je $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=0.02y+5 ,\qquad y(0)=50.$$*
 +
 +
 +
 +## Spojitý úrok s opakovaným výběrem
 +
 +U fondu máte našetřeny tři miliony korun, úrokování je stejné jako v předchozích příkladech, ale každý rok vybíráte 40 tisíc korun na přilepšení k důchodu. Modifikujte předchozí modely tak, aby simulovaly novou situaci.
 +
 +*Řešení: Nechť $y(t)$ je částka na účtu v čase $t$. Čas $t$ měříme v letech, částku v tisících Kč. Matematický model je $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=0.02y-40 ,\qquad y(0)=3000.$$*
 +
 +
 +
 +![chirurg](http://user.mendelu.cz/marik/images/chirurg.jpg)
 +
 +## Krvácení při operaci
 +
 +Při operaci pacient krvácí a krev je doplňována fyziologickým
 +roztokem. Celkový objem tekutiny v krevním oběhu pacienta je
 +konstantní, ale pacient ztrácí krvinky. Je to podobné jako samočištění
 +jezera. Při dané intenzitě krvácení je ztráta krvinek tím menší, čím je
 +krvinek méně. Tedy rychlost, s jakou klesá množství krvinek v těle
 +pacienta je úměrná množství těchto krvinek. Sestavte matematický model
 +pro množství krvinek v těle pacienta. Aplikace je popsána [zde.](http://user.mendelu.cz/marik/mtk/mat-slidy/ode/#p%C5%99%C3%ADklad---akutn%C3%AD-normovolemick%C3%A1-hemodiluce)
 +
 +*Řešení: Je-li $y$ množství krvinek v libovolné rozumné jednotce (počet krvinek v mililitru, celkový počet krvinek v těle, podíl hmotnosti krvinek na celkové hmotnosti krve, ...), platí $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=-ky,$$
 +kde $k$ je konstanta úměrnosti.*
 +
 +## Podávání léku pomocí infuze
 +
 +Lék je v těle z krve odbouráván rychlostí úměrnou množství tohoto léku
 +v krvi. (Farmakokinetika prvního řádu.) Kromě toho je tento lék
 +dodáván do těla pomocí infuze konstantní rychlostí. Zformulujte
 +matematický model pro tento proces.
 +
 +*Řešení: Je-li $y$ množství léku v libovolné rozumné jednotce (celkové množství v těle pacienta, koncentrace v krvi, ppm, ...), platí $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=-ky+i,$$
 +kde $k$ je konstanta úměrnosti. a $i$ je rychlost s jakou je dodávána infuze v kompatibilních jednotkách.*
 +
 +
 +## Paušální model sušení dřeva
 +
 +Budeme studovat sušení dřeva. Podobně jako u modelu tepelné výměny, někdy je možno nezohledňovat rozložení vlhkosti, ale uvažovat celkovou hodnotu. Rychlost, s jakou se snižuje obsah vody ve dřevě je úměrná  rozdílu mezi vlhkostí dřeva a rovnovážnou vlkhostí dřeva za daných podmínek. Zformulujte
 +matematický model pro tento proces.
 +
 +*Řešení: Je-li $y$ množství vody ve dřevě v libovolné rozumné jednotkce (celkové množství ve vzorku, procento hmotnosti vody, ...), platí $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=-k(y-y_0),$$
 +kde $k$ je konstanta úměrnosti a $y_0$ je rovnovážní vlhkost dřeva za daných podmínek.*
 +
 +
 +![ryby](http://user.mendelu.cz/marik/images/ryby.jpg)
 +
 +## Logistický růst
 +
 +Uvažujme populaci o velikosti $y$ v prostředí o nosné kapacitě $K$. Tedy je obsazeno $\frac yK$ procent prostředí a neobsazená část prostředí tvoří $\left(1-\frac yK\right)$ procent. 
 +Rychlost, s jakou roste velikost populace, je úměrná velikosti populace a současně velikosti neobsazené části prostředí. Zformulujte
 +matematický model pro tento proces. Toto je nejklasičtější model pro modelování obnovitelných přírodních zdrojů. Konstanta úměrnosti se většinou označuje $r$. Přečtěte si o [r a K strategiích](https://cs.wikipedia.org/wiki/%C5%BDivotn%C3%AD_strategie) mezi rostlinami a živočichy. 
 +
 +*Řešení: V označení velikosti populace symbolem $P$ místo $y$ má model tvar $$\frac{\mathrm dP}{\mathrm dt}=rP\left(1-\frac PK\right),$$ viz [model, kapitola 2](http://user.mendelu.cz/marik/wiki/doku.php?id=skudce).*
 +
 +## Logistický růst s trvale udržitelným lovem
 +
 +Pro jednoduchost zvolme v předchozím modelu jednotky tak, že konstanty
 +$r$ a $K$ jsou rovny jedničce. Rychlost růstu populace zpomalíme
 +konstantním lovem o velikosti $0.1r$, tj. $10\cdot r$ procent nosné
 +kapacity prostředí za časovou jednotku.  Zformulujte matematický model
 +pro tento proces.
 +
 +*Řešení: Platí $r=1$, $K=1$ a lov je $0.1$, tj. model má tvar $$\frac{\mathrm dP}{\mathrm dt}=P(1-P)-0.1,$$ viz [model, kapitola 2](http://user.mendelu.cz/marik/wiki/doku.php?id=skudce).*
 +
 +## Logistický růst s dlouhodobě neudržitelným lovem
 +
 +V předchozím modelu zvýšíme intenzitu lovu na $40\cdot r$ procent
 +nosné kapacity prostředí za časovou jednotku. Modifikujte
 +odpovídajícím způsobem předchozí model. Zformulujte matematický model
 +pro výsledný proces.
 +
 +*Řešení: Platí $r=1$, $K=1$ a lov je $0.4$, tj. model má tvar $$\frac{\mathrm dP}{\mathrm dt}=P(1-P)-0.4,$$ viz [model, kapitola 2](http://user.mendelu.cz/marik/wiki/doku.php?id=skudce).*
 +
 +
 +
 +</markdown>
  
spojite_modely.txt · Poslední úprava: 2020/04/14 07:10 (upraveno mimo DokuWiki)

Nástroje pro stránku