Mnoho nul je přesvědčených, že jsou elipsami, po kterých obíhá zem. (Stanislaw Jerzy Lec)

Uživatelské nástroje


sir_epidemie

====== Rozdíly ======

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

Odkaz na výstup diff

sir_epidemie [2020/07/07 13:42] (aktuální)
Řádek 1: Řádek 1:
 +<html>
 +<style>
 +h1,h2,h3 {color:#4267b2;}
 +</style>
 +</html>
 +
 +<markdown>
 +
 +Nakazí se všichni chřipkou nebo koronavirem? A umřou?
 +----------------------------
 +
 +
 +Pokusíme se sestrojit jednoduchý model procesů vzniku, šíření
 +a odeznívání epidemií. Budeme se přitom zabývat tzv. modely bez
 +vitální dynamiky, tj. budeme uvažovat, že celkový počet jedinců
 +v populace se nemění v čase.
 +Popisovaný model se nazývá model SIR, podle rozdělení populace vystavené epidemii do tří kategorií.
 +
 +### Koncepce modelu
 +
 +Populaci velikosti $N$ rozdělíme na tři skupiny.
 +
 +</markdown>
 +<html>
 +<img src="http://user.mendelu.cz/marik/images/pandemic.jpg" style="float:right; max-width:400px;" >
 +</html>
 +
 +<markdown>
 +
 +* Skupina S (**angl. susceptible**) obsahuje tu část populace,
 +  které je náchylná k onemocnění. Tito jedinci netrpí chorobou, mohou
 +  však být infikováni při styku s nemocnými.
 +* Skupina I (**angl. infected**)  obsahuje část populace
 +  tvořenou infikovanými jedinci. Tito jedinci vykazují známky
 +  onemocnění a rozšiřují nemoc mezi členy skupiny $S$.
 +* [Skupina R] (**angl. removed**) obsahuje tu část populace,
 +  která je tvořena jedinci, kteří byli dříve infikováni, ale nyní již
 +  nemohou šířit chorobu. Jsou zde obsaženi jedinci, kteří se uzdravili
 +  a zůstali trvale imunní. Dále jsou zde jedinci, kteří byli trvale izolováni a dokonce,
 +  v případě smrtelné nemoci, jedinci, kteří zemřeli.
 +
 +Velikosti skupin S, I a R budeme označovat $S$, $I$ a $R$.
 +Veličiny $S,I,R$ jsou obecně funkcemi času. V libovolném časovém
 +okamžiku $t$ platí
 +$$
 +  S(t)+I(t)+R(t)=N.
 +$$
 +
 +
 +Pro vývoj epidemie přijmeme následující předpoklady. Nezapomeňme, že rychlost do matematického modelu překládáme, jako [derivaci](http://user.mendelu.cz/marik/mtk/mat-slidy/derivace_I/#aplikace-derivac%C3%AD-1-jak-rychle-zm%C4%9Bna-v-%C4%8Dase).
 +
 +* Jedinci náchylní k onemocnění mohou onemocnět a tím přejdou ze
 +  skupiny $S$ do skupiny $I$. Intenzita tohoto procesu souvisí s
 +  počtem šiřitelů nemoci a s počtem lidí, kteří jsou k nemoci
 +  náchylní. Budeme předpokládat, že se jedná o přímou úměrnost, tj. že
 +  intenzita procesu je úměrná současně velikosti populace $I$ a
 +  velikosti populace $S$. Jinak vyjádřeno, rychlost, s jakou nově
 +  infikovaní jedinci přecházejí ze skupiny $S$ do skupiny $I$ je
 +  úměrná počtu setkání infikovaných jedinců s jedinci, náchylnými k
 +  onemocnění. Tato rychlost je tedy úměrná součinu $SI$. Konstantu
 +  úměrnosti označme $\alpha$. Člen $$\alpha SI$$ tedy ochudí skupinu $S$
 +  a obohatí skupinu $I$.
 +* Infikovaní jedinci po nějaké době přestanou šířit nemoc, protože se
 +  dostanou do karantény, domácího léčení, zemřou nebo se
 +  uzdraví. Přejdou tedy ze skupiny $I$ do skupiny $R$. Intenzita
 +  tohoto procesu souvisí s velikostí skupiny infikovaných. Matematicky
 +  vyjádřeno, rychlost, s jakou jedinci ze skupiny $I$ přecházejí do
 +  skupiny $R$ je úměrná počtu infikovaných jedinců $I$. Konstantu
 +  úměrnosti označme $\beta$. Člen $$\beta I$$ tedy ochudí skupinu $I$ a
 +  obohatí skupinu $R$.
 +* Jedinci, kteří se ocitli ve skupině $R$ v této skupině trvale
 +  zůstávají. Podle povahy choroby zde můžeme mít jedince, kteří se
 +  uzdravili a získali imunitu, nemocné, kteří jsou v izolaci, nebo
 +  zemřelé. V případě chřipky připadají v úvahu všechny možnosti. V
 +  případě koronaviru je imunita nejistá, předpokládejme však, že
 +  vznikne.
 +
 +### Matematická formulace modelu
 +
 +Uvedené požadavky je možno matematicky vyjádřit soustavou
 +diferenciálních rovnic (Kermack-McKendrik(1927))
 +$$  \begin{aligned}
 +    \frac{\mathrm dS}{\mathrm dt}&=-\alpha SI,\\\\
 +    \frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}&=\alpha SI-\beta I,\\\\
 +    \frac{\mathrm dR}{\mathrm dt}&=\beta I\\\\
 +    S+I+R&=N
 +  \end{aligned}
 +$$
 +s počátečními podmínkami $S(0)=S_0>0$, $I(0)=I_0>0$, $R(0)=0$, $S_0+I_0=N$.
 +
 +Protože veličina $R$ se nevyskytuje v prvních dvou rovnicích systému, je možno uvažovat tyto první dvě rovnice
 +samostatně. 
 +$$\begin{aligned}
 +    \frac{\mathrm dS}{\mathrm dt}&=-\alpha SI,\\\\
 +    \frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}&=\alpha SI-\beta I.
 +  \end{aligned}
 +  $$
 +
 +### Důsledky modelu
 +
 +Matematickou cestou je možno odvodit následující závěry. Pročtěte si je a potom si vyzkoušejte odkazy na simulace a pohrejte se s parametry $\alpha$ a $\beta$ modelu (v modelech parametry $a$, $b$).
 +
 +*  Epidemie skončí tak, že **vymizí infikovaní jedinci**.
 +* Počet jedinců $R_\infty$, kteří se nakazili infekcí, je
 +řešením rovnice
 +$$
 +  N-R_\infty=S_0e^{-\frac {\alpha R_\infty}\beta}.
 +$$
 +$R_\infty$ je  rostoucí funkcí proměnné $\alpha$ a klesající funkcí
 +proměnné $\beta$.
 +* Aby byl rozsah epidemie co nejmenší, je třeba aby
 +koeficient $\alpha$ byl co nejmenší (dosáhneme například
 +snižováním četnosti kontaktů jedinců ze skupiny $I$ s jedinci ze skupiny
 +$S$, nebo zvyšováním odolnosti jedinců ze skupiny $S$) a aby koeficient
 +$\beta$ byl co největší (tj. aby proces izolace nemocných jedinců ze
 +skupiny $I$ probíhal co nejrychleji).
 +* $R_\infty<N$, tj. **některým jedincům se epidemie vyhne**, přestože
 +  jí byli vystaveni stejně jako ostatní. I když bude epidemie smrtící se stoprocentní jistotou, někdo přežije. 
 +
 +### Numerický model
 +
 +</markdown>
 +<html>
 +<img src="http://user.mendelu.cz/marik/images/sir.png" style="float:right; max-width:400px;" >
 +</html>
 +
 +<markdown>
 +
 +*K obrázku: modrá křivka je procento populace tvořené lidmi, kteří nemoc neprodělali. Černá křivka ukazuje, kolik lidí populaci prodělalo. Červená křivka je počet lidí, kteří nemoc právě mají. Počty jsou měřeny v procentech celkové velikosti populace.*
 +
 +
 +Prozkoumejte model SIR pomocí volně šiřitelného programu Sage přímo ve webovém prohlížeči. 
 +
 +* [Rychlý primitivní model v Pythonu.](https://sagecell.sagemath.org/?z=eJxdU8Fum0AQvSPxDyPlYLA3KanaSyWOPXBoJcOtURQN7CZeL-ygZaEyX99ZMIkbCwGeffNm3pvhDn6RVC1URSmgUc4iGKcng3AeaISzkto2WoDxymnoXQBjq6E5kaN6XHIm9ZHVaqk2dIfnd-BDHN3xBZXVs7IcVt7S4DUYsh6tNyMkJ5KWPAKmgDBPlyEA3aU5tQtSz9RioxZcSII6hUlJBQY8ddzKrED1XL_TCkItyS3BdOn0rCH51OdZrcccsWOrQsWOL2UHLknzgKcl5SPBKm7I09gjeDRMO5ChNMiCP2YcvIKBL-jRYae8u0BPJ4deAHqYtNQMkFxo1p7FbH1SS2-6MSwRqEfvWHAcBcrfOHicgv6NcIwjzLOHR7jbvFutM37kshYNsq-sNY5qhmXfGbdZBzy0Wjtktg3HBdfRMq222mtsQ9Y34LSeuMAtkk2YscEwo83fOPK6Uy_KyvxrlnESrwWbNOhuDDOKI-PIhHaDnEoUohReyErIQsgyn9Alu8_RXbrQvHI7PGTeNB5GKP_OkD_eX1sV2zPjPsSxEsdCHMs8E0-ZqJ7DvVju5fMqB71qWPy6X5dAGEev5IB3ygL78qaS15bIJZuoL6H9NP0R0p3uuNgURkE8aCD4yXN0NI28Lp4kOwj8exd3j_tqX-wDg0iW9_t6X6RroL6eMPHM-i5BJ0hseetCeKVa1VYHpiwOTFoeZLl20viwEiETDG8brwh_Yg2bvrxfO_G5P1xr9DSMFiZocFDr4bF6wL5nicmTZ6-C52NLyycp0V8xxQ2meE6v0fImWm7ROBpO9Ddp9eBf-pZ8cqzSw82_QjS85C7fOSV3_52U20nNG2N2afoPr_d8NQ==&lang=sage&interacts=eJyLjgUAARUAuQ==)
 +* [Metoda Runge Kutta čtvrtého řádu.](https://sagecell.sagemath.org/?z=eJx9UkFu2zAQvAvQHxbIwVZCB3aSHvUAHwrE8a2GYaylTb0mRQokpcJ6fZey1RRGUYCiKHGGMzvLB_juajKwXX8oqMhbBO251wjn4Do4U822YgU6kmdofQKjYahOzrtjN3J6-mIZrmlCN3j-A3zOswcZsLU8kJXfFK0LkUE7G9FG3cH85GrrIgIWgDD0l5CA_lKdzIjkwRmsaMQlEhwL6Kkm0BBdI1YGAmpFv2GCpFWLJegvDQ8M8zufZ7puyx_bGUqKjQyyQSTdEPA0Ur4IlsRQdF2LEFHLscFpV6Sy4IfuQiQIMqBFjw1Ff4HWnTxGBRih55oFUIvQwFGKmXw6435ypaVEcC1GLwXn2Vat1YeKZY9-Prt9zAqQeuiTLUsC0gZxaoWWZ8mAxRCxT2lN8l2eYbl8XgnrlvQ1aB07MWlRo3RBksmzo8CW3wQ3BQ3S4iN7lNMmnNi7XgQ5VhxERpNYbyC01onA30iJbMAKU0enbuRZ5IYOZOvyZbkcKzESaeCmSx3NM4mvLVepmPeypuBMT4cgcVNz8Pptvlvg4_ZxrcZ5cZSVPHu1G8PZK65CuVuq1eLmTU3vpexJimVUIn1oHdsYysmKGkXTVKQ6PF2vm-tTxMnKZlUaDvHQGhfnO9ixOu_h03mQhdLKAFt43xcCfLkH6n8AVSXd9uXMUz1LpNd7kvkP6Sg56UQLJ_drvlk9bV6eNq_Fby7tQiE=&lang=sage&interacts=eJyLjgUAARUAuQ==) V programu Maxima, přesnější aproximace dokonalejší, ale mohou být problémy s odezvou serveru
 +
 +Předpoklady modelu SIR platí, pokud choroba má krátké inkubační období a doba mezi nákazou jedince a jeho onemocněním je zanedbatelná. Více na [Wikipedii](https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology#The_SIR_model) a v mnoha dalších zdrojích. Sofistikovanější popis SIR modelu je v e-learningové učebnici [Matematická biologie](https://portal.matematickabiologie.cz/index.php?pg=analyza-a-modelovani-dynamickych-biologickych-dat--spojite-deterministicke-modely-i--epidemiologicke-modely--epidemiologicke-strukturovane-modely--model-sir)
 +
 +### Epidemie COVID-19 v roce 2020 způsobená coronavirem SARS-CoV-2
 +
 +Model SIR popsaný zde je základní model, který doznal mnoho modifikací
 +a vylepšení, pro zachycení jemných specifik konkrétních chorob a
 +epidemií.  Jedna z modifikací (SEIR model) nafitovaná na data aktuální
 +epidemie coronaviru je v publikaci [Phase-adjusted estimation of the
 +number of Coronavirus Disease 2019 cases in Wuhan, China, Cell
 +Discovery
 +(2020)](https://www.nature.com/articles/s41421-020-0148-0). Komplexnější
 +model včetně přenosu z netopýrů přes hostitele na lidskou populaci je
 +v publikaci [Chen et al., A mathematical model for simulating the phase-based transmissibility of a novel coronavirus, Infectious Diseases of Poverty (2020)
 +9:24](https://doi.org/10.1186/s40249-020-00640-3). Soustava je
 +podstatně větší díky tomu, že model zachycuje více faktorů, ale v
 +podstatě se jedná opět o modelování pomocí přestupu členů populace z
 +jedné skupiny do jiné, tak jak u našeho modelu.
 +
 +
 +
 +
 +**Update 15.3.2020: Shrnutí [How COVID-19 and Other Infectious Diseases Spread: Mathematical Modeling](https://triplebyte.com/blog/modeling-infectious-diseases). Obsahuje náš SIR model a vylepšený SEIR model publikovaný WHO. A [Social Distancing to Slow the Coronavirus](https://towardsdatascience.com/social-distancing-to-slow-the-coronavirus-768292f04296)  vysvětluje na trošku vylepšeném modelu SEIR vliv sociálního distancování se. Používá také Eulerovu metodu.**
 +
 +**Update 16.3.2020: [Sage simulace](https://sagecell.sagemath.org/?z=eJztVdFu2jAUfY-Uf7DoA4EmQNDarpV4WvOQl66CaS8MRW5silfHjuwLtP2VPfUD9hXdh-06gZZCUdVp0l5mJBv7nnPs63uSHJBSM8nJDKC0Z90u6CU1zDIK1OaCq5x3cl10rc4FlRETFqjKhbqOQEdW6mUEMx7l2mhFF8LMbXRy_LF_2p_2PvRPj33P90RRagNEzYvyzs0Zn5IranlmuTBZoRmXgVACsgWVNiQlNbTAEVpnvkewjbJeSBLXpa4bZj0yIE-EFQYRGMcoxsbImIRknNRDWg_Im9RgKssZDckVB-yvaVFQJNXb1gAGuADjeEIiHNa0qTYkw41d5GyyOpxrit9CNkLKaBxVnMBJt6tZO3V9q81gC58gPqnwh7t41KgO2U72sFNkp2v2BhSJVUJ7t3X3M1wT90JHHVqWXLGgTq31HEleRJKNSPoikm5Ehi8iw1XEcJgbVduig6bKb4LxcxknrbVVnl2SLQXMMjRi5lz4rz0TEjPTf9s4KNl-r3le4_w3UG2gA3LOp0LxukocuMFKQVbQW0wjPuqhxVzJOjGu4lhrSaFsSXMeoHMqbIjFg6D622XQwsxjVL9wEj1s-IpbO8st4RXG3Yuw7lAC49UFu336vudK5WCdkyPfW799eh2c1E7C2Wtmi10yw7kiVhRzSUFo5XuG27kER3nfU_LGXr3O8ZN2_Afi7nc5kIjISqkhWEnhcxG6-XeNFWGDL2bOQ8mvsbCZpFdcDhqJO8g9WX1k9OLxQT3-bLS--d7hrlp_EuZaajNoGs6abyin71CO3UHJth5BW3ALd5IPmlHU3D253VIv9sr3d-9hW51spraTyitb-Z6d6WVwGYIAFGmMknRIPn3-mp6T-DQkVfV2eVjakCw0w8_3Qv36QZi6Izfm8QEI45ZDo_UbRzpuDg==&lang=sage&interacts=eJyLjgUAARUAuQ==)  socialniho distancovani v SEIR modelu a podle dat z clanku "Social Distancing to Slow the Coronavirus" a [komentáře k tomuto článku](http://user.mendelu.cz/marik/wiki/doku.php?id=karantena) včetně doprovodného videa.**
 +
 +</markdown>
  
sir_epidemie.txt · Poslední úprava: 2020/07/07 13:42 (upraveno mimo DokuWiki)

Nástroje pro stránku