Home Page of Robert Mařík

Nakazí se všichni chřipkou nebo koronavirem? A umřou?

Pokusíme se sestrojit jednoduchý model procesů vzniku, šíření a odeznívání epidemií. Budeme se přitom zabývat tzv. modely bez vitální dynamiky, tj. budeme uvažovat, že celkový počet jedinců v populace se nemění v čase. Popisovaný model se nazývá model SIR, podle rozdělení populace vystavené epidemii do tří kategorií.

Koncepce modelu

Populaci velikosti $N$ rozdělíme na tři skupiny.

• Skupina S (angl. susceptible) obsahuje tu část populace, které je náchylná k onemocnění. Tito jedinci netrpí chorobou, mohou však být infikováni při styku s nemocnými.
• Skupina I (angl. infected) obsahuje část populace tvořenou infikovanými jedinci. Tito jedinci vykazují známky onemocnění a rozšiřují nemoc mezi členy skupiny $S$.
• [Skupina R] (angl. removed) obsahuje tu část populace, která je tvořena jedinci, kteří byli dříve infikováni, ale nyní již nemohou šířit chorobu. Jsou zde obsaženi jedinci, kteří se uzdravili a zůstali trvale imunní. Dále jsou zde jedinci, kteří byli trvale izolováni a dokonce, v případě smrtelné nemoci, jedinci, kteří zemřeli.

Velikosti skupin S, I a R budeme označovat $S$, $I$ a $R$. Veličiny $S,I,R$ jsou obecně funkcemi času. V libovolném časovém okamžiku $t$ platí $$ S(t)+I(t)+R(t)=N. $$

Pro vývoj epidemie přijmeme následující předpoklady. Nezapomeňme, že rychlost do matematického modelu překládáme, jako derivaci.

• Jedinci náchylní k onemocnění mohou onemocnět a tím přejdou ze skupiny $S$ do skupiny $I$. Intenzita tohoto procesu souvisí s počtem šiřitelů nemoci a s počtem lidí, kteří jsou k nemoci náchylní. Budeme předpokládat, že se jedná o přímou úměrnost, tj. že intenzita procesu je úměrná současně velikosti populace $I$ a velikosti populace $S$. Jinak vyjádřeno, rychlost, s jakou nově infikovaní jedinci přecházejí ze skupiny $S$ do skupiny $I$ je úměrná počtu setkání infikovaných jedinců s jedinci, náchylnými k onemocnění. Tato rychlost je tedy úměrná součinu $SI$. Konstantu úměrnosti označme $\alpha$. Člen $$\alpha SI$$ tedy ochudí skupinu $S$ a obohatí skupinu $I$.
• Infikovaní jedinci po nějaké době přestanou šířit nemoc, protože se dostanou do karantény, domácího léčení, zemřou nebo se uzdraví. Přejdou tedy ze skupiny $I$ do skupiny $R$. Intenzita tohoto procesu souvisí s velikostí skupiny infikovaných. Matematicky vyjádřeno, rychlost, s jakou jedinci ze skupiny $I$ přecházejí do skupiny $R$ je úměrná počtu infikovaných jedinců $I$. Konstantu úměrnosti označme $\beta$. Člen $$\beta I$$ tedy ochudí skupinu $I$ a obohatí skupinu $R$.
• Jedinci, kteří se ocitli ve skupině $R$ v této skupině trvale zůstávají. Podle povahy choroby zde můžeme mít jedince, kteří se uzdravili a získali imunitu, nemocné, kteří jsou v izolaci, nebo zemřelé. V případě chřipky připadají v úvahu všechny možnosti. V případě koronaviru je imunita nejistá, předpokládejme však, že vznikne.

Matematická formulace modelu

Uvedené požadavky je možno matematicky vyjádřit soustavou diferenciálních rovnic (Kermack-McKendrik(1927)) $$ \begin{aligned} \frac{\mathrm dS}{\mathrm dt}&=-\alpha SI,\\ \frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}&=\alpha SI-\beta I,\\ \frac{\mathrm dR}{\mathrm dt}&=\beta I\\ S+I+R&=N \end{aligned} $$ s počátečními podmínkami $S(0)=S_0>0$, $I(0)=I_0>0$, $R(0)=0$, $S_0+I_0=N$.

Protože veličina $R$ se nevyskytuje v prvních dvou rovnicích systému, je možno uvažovat tyto první dvě rovnice samostatně. $$\begin{aligned} \frac{\mathrm dS}{\mathrm dt}&=-\alpha SI,\\ \frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}&=\alpha SI-\beta I. \end{aligned} $$

Důsledky modelu

Matematickou cestou je možno odvodit následující závěry. Pročtěte si je a potom si vyzkoušejte odkazy na simulace a pohrejte se s parametry $\alpha$ a $\beta$ modelu (v modelech parametry $a$, $b$).

• Epidemie skončí tak, že vymizí infikovaní jedinci.
• Počet jedinců $R_\infty$, kteří se nakazili infekcí, je řešením rovnice $$ N-R_\infty=S_0e^{-\frac {\alpha R_\infty}\beta}. $$ $R_\infty$ je rostoucí funkcí proměnné $\alpha$ a klesající funkcí proměnné $\beta$.
• Aby byl rozsah epidemie co nejmenší, je třeba aby koeficient $\alpha$ byl co nejmenší (dosáhneme například snižováním četnosti kontaktů jedinců ze skupiny $I$ s jedinci ze skupiny $S$, nebo zvyšováním odolnosti jedinců ze skupiny $S$) a aby koeficient $\beta$ byl co největší (tj. aby proces izolace nemocných jedinců ze skupiny $I$ probíhal co nejrychleji).
• $R_\infty<N$, tj. některým jedincům se epidemie vyhne, přestože jí byli vystaveni stejně jako ostatní. I když bude epidemie smrtící se stoprocentní jistotou, někdo přežije.

Numerický model

K obrázku: modrá křivka je procento populace tvořené lidmi, kteří nemoc neprodělali. Černá křivka ukazuje, kolik lidí populaci prodělalo. Červená křivka je počet lidí, kteří nemoc právě mají. Počty jsou měřeny v procentech celkové velikosti populace.

Prozkoumejte model SIR pomocí volně šiřitelného programu Sage přímo ve webovém prohlížeči.

• Rychlý primitivní model v Pythonu.
• Metoda Runge Kutta čtvrtého řádu. V programu Maxima, přesnější aproximace dokonalejší, ale mohou být problémy s odezvou serveru

Předpoklady modelu SIR platí, pokud choroba má krátké inkubační období a doba mezi nákazou jedince a jeho onemocněním je zanedbatelná. Více na Wikipedii a v mnoha dalších zdrojích. Sofistikovanější popis SIR modelu je v e-learningové učebnici Matematická biologie

Epidemie COVID-19 v roce 2020 způsobená coronavirem SARS-CoV-2

Model SIR popsaný zde je základní model, který doznal mnoho modifikací a vylepšení, pro zachycení jemných specifik konkrétních chorob a epidemií. Jedna z modifikací (SEIR model) nafitovaná na data aktuální epidemie coronaviru je v publikaci Phase-adjusted estimation of the number of Coronavirus Disease 2019 cases in Wuhan, China, Cell Discovery (2020). Komplexnější model včetně přenosu z netopýrů přes hostitele na lidskou populaci je v publikaci Chen et al., A mathematical model for simulating the phase-based transmissibility of a novel coronavirus, Infectious Diseases of Poverty (2020) 9:24. Soustava je podstatně větší díky tomu, že model zachycuje více faktorů, ale v podstatě se jedná opět o modelování pomocí přestupu členů populace z jedné skupiny do jiné, tak jak u našeho modelu.

Update 15.3.2020: Shrnutí How COVID-19 and Other Infectious Diseases Spread: Mathematical Modeling. Obsahuje náš SIR model a vylepšený SEIR model publikovaný WHO. A Social Distancing to Slow the Coronavirus vysvětluje na trošku vylepšeném modelu SEIR vliv sociálního distancování se. Používá také Eulerovu metodu.

Update 16.3.2020: Sage simulace socialniho distancovani v SEIR modelu a podle dat z clanku "Social Distancing to Slow the Coronavirus" a komentáře k tomuto článku včetně doprovodného videa.