Každá věda se od určité úrovně automaticky stává částí matematiky. (David Hilbert)

Uživatelské nástroje


rychlosti

====== Rozdíly ======

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

Odkaz na výstup diff

rychlosti [2020/03/26 08:57] (aktuální)
Řádek 1: Řádek 1:
 +<html>
 +<style>
 +.page p img {max-width:400px;float:right;}
 +ol img {max-width:400px;float:right;}
 +body {
 +        counter-reset: h2counter;
 +    }
 +
 +h2:before {
 +        content: counter(h2counter) ".\0000a0\0000a0";
 +        counter-increment: h2counter;
 +    }
 +
 +h1,h2,h3 {color:#4267b2;}
 +
 +</style>
 +</html>
 +
 +
 +
 +<markdown>
 +
 +
 +# Rychlosti změn souvisejících veličin
 +
 +Pročtěte si příklad z přednášky [s kmitáním prodlužujícího se kyvadla](http://user.mendelu.cz/marik/mtk/mat-slidy/derivace_I/#p%C5%99ece-jenom-jeden-p%C5%99%C3%ADklad) a prostudujte si znovu [cvičení a příklady 1.6, 1.7. a 1.8](http://user.mendelu.cz/marik/mtk/mat-cviceni-screen.pdf). Poté se pokuste vyřešit následující příklady. Jeden příklad tohoto typu bude druhý příklad na test číslo jedna ve cvičení.
 +
 +**Update 15.3.**: Řešení je ve [videu](https://www.youtube.com/watch?v=KfjNcnQ9q3I).
 +
 +**Update 23.3.**: Řešení dvou příkladů podrobněji je [v dalším videu](https://youtu.be/RnudoNyem30). Podobné příklady z prvního týdne cvičení jsou 1.6, 1.7 a 1.8.
 +
 +**Update 26.3.**: Řešení podobných příkladů 1.6 a 1.7 ze cvičení v prvním týdnu podrobněji je [v dalším videu](https://youtu.be/wL4KicxvSRg).
 +
 +
 +
 +## Objem krychle
 +
 +Objem krychle o hraně délky $a=15\,\mathrm{cm}$ je dán vzorcem $$V=a^3.$$ Hrana krychle roste rychlostí $0.1$ centimetru za hodinu. Jak rychle se mění objem krychle?
 +
 +*Řešení: $a=15\,\mathrm{cm}$, $\frac{\mathrm da}{\mathrm dt}=0.1\,\mathrm{cm}\,{\mathrm{hod}}^{-1}$, $\frac{\mathrm dV}{\mathrm dt}=3a^2\frac{\mathrm da}{\mathrm dt}=\dots $.*
 +
 +![ryba](http://user.mendelu.cz/marik/images/ryba_400.jpg)
 +
 +## Růst ryb
 +
 +Malé ryby mají přibližně stejný tvar jako velké ryby. Díky tomu je možno jejich hmotnost psát pomocí vzorce $$m=k l^3,$$ kde $k$ je konstanta specifická pro daný druh a $l$ délka ryby. Ryba má délku $50$ centimetrů a roste rychlostí $3$ centimetry za rok. Jak rychle se mění její hmotnost?
 +
 +*Řešení: $l=50\,\mathrm{cm}$, $\frac{\mathrm dl}{\mathrm dt}=3\,\mathrm{cm}\,{\mathrm{rok}}^{-1}$, $\frac{\mathrm dm}{\mathrm dt}=k3l^2\frac{\mathrm dl}{\mathrm dt}=\dots $.*
 +
 +
 +## O Otesánkovi
 +
 +Otesánek se vykrmil do tvaru koule o průměru $2{,}4\,\mathrm{m}$ a dále baští. Jeho objem roste konstantní rychlostí $0{,}002 \mathrm{m}^3/\mathrm{hod}$. Jak tato úloha souvisí s derivacemi a jak rychle se mění průměr koule (Otesánka)? $$V=\frac 16 \pi d^3$$
 +
 +## Dlouhý a Bystrozraký
 +
 +Dlouhý má na ramenou Bystrozrakého ve výšce $4$ metry. Bystrozraký hledá princeznu a vzdálenost, na kterou vidí, je dána vzorcem pro vzdálenost k horizontu, tj. $$H=k\sqrt {h},$$ kde $H$ je vzdálenost k horizontu v kilometrech, $h$ je výška pozorovatele nad povrchem  v metrech  a $k$ je konstanta.
 +  Dlouhý roste rychlostí $0{,}1\,\mathrm{m} \mathrm{s}^{-1}$.
 +Jak tato úloha souvisí s derivacemi a jak rychle se mění vzdálenost na kterou Bystrozraký vidí?
 +
 +![ondatra](http://user.mendelu.cz/marik/images/nutria_small.jpg)
 +
 +
 +## Ondatra
 +
 +V roce 1905 vysadil na svém panství
 +  hrabě Colloredo-Mansfeld několik párů
 +  ondatry, které dovezl z
 +  Ameriky. Ondatra se díky absenci
 +  přirozených nepřátel rychle rozšířila
 +  po celé Evropě. Předpokládejme, že
 +  oblast zasažená rozšířením ondatry má
 +  tvar kruhu o poloměru $230\, \mathrm{km}$ a tento
 +  poloměr roste rychlostí
 +  $30 \,\mathrm{km}/\mathrm{rok}$. Jak
 +  rychle roste plocha kruhu? Jak rychle
 +  roste obvod kruhu?
 +
 +
 +## Voňavá kulička
 +
 +Po ondatře zkusme něco voňavějšího. Voňavá kulička je vyrobena z pevné látky, která sublimuje, uvolňuje vonné látky do ovzduší a tím se zmenšuje. Pořád však má tvar koule. V určitém okamžiku má tato koule poloměr $5$ centimetrů a tento poloměr se zmenšuje rychlostí $0.2$ centimetru za týden. Jak rychle se mění objem kuličky? Jak rychle se mění povrch kuličky?
 +
 +
 +## Brýle a zhoršující se zrak
 +
 +Funkce $$\varphi(a)=-\frac 1a$$ je funkce, která udává, jak závisí počet
 +  dioptrií $\varphi$ pro korekci krátkozrakosti na vzdálenosti $a$ (v
 +  metrech), na kterou ještě oko vidí ostře. Nechť $a=10\,\mathrm m$ a
 +  nechť se $a$ zkracuje rychlostí $0.1$ metru za rok. Napište, jak
 +  souvisí rychlost s jakou se mění $a$ s rychlostí, s jakou se mění
 +  $\varphi$ a pro daný případ určete, jak rychle se mění počet
 +  dioptirí nutných pro korekci této vady?
 +
 +
 +## Kmen stromu
 +
 +  Kmen můžeme v určitých
 +částech stromu primitivně modelovat
 +válcem. Uvažujme délkový metr kmene,
 +tj. válec o výšce 1m a poloměru
 +$r$. Hmotnost válce je
 +$$
 +m=V\rho =\pi \rho
 +r^2,
 +$$
 +kde $\rho=700 \mathrm{kg/m^3}$ je hustota
 +dřeva. Poloměr kmene roste rychlostí
 +$0{,}01\,\mathrm{m/rok}$. Najděte vztah
 +mezi rychlostí růstu poloměru válce a
 +rychlostí růstu hmotnosti válce. Určete
 +rychlost s jakou se mění hmotnost
 +v okamžiku, kdy poloměr kmene je
 +$r=0{,}20\,\mathrm{m}$.
 +
 +</markdown>
  
rychlosti.txt · Poslední úprava: 2020/03/26 08:57 (upraveno mimo DokuWiki)

Nástroje pro stránku