Příroda se směje našim potížím s integrací. (Pierre Simon Laplace, francouzský matematik a fyzik)

Uživatelské nástroje


ode_reseni

====== Rozdíly ======

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

Odkaz na výstup diff

ode_reseni [2020/05/01 13:28] (aktuální)
Řádek 1: Řádek 1:
 +<html>
 +<style>
 +.page p img {max-width:400px}
 +ol img {max-width:400px;float:right;}
 +body {
 +        counter-reset: h2counter;
 +    }
 +
 +h2:before {
 +        content: counter(h2counter) ".\0000a0\0000a0";
 +        counter-increment: h2counter;
 +    }
 +
 +h2,h1,h3 {clear:both;}
 +
 +h1,h2,h3 {color:#4267b2;}
 +
 +</style>
 +</html>
 +
 +
 +
 +<markdown>
 +
 +[Zadání úlohy](http://user.mendelu.cz/marik/wiki/doku.php?id=ode)
 +
 +
 +# Diferenciální rovnice
 +
 +
 +## Základní informace
 +
 +
 +Pro porozumění problematice diferenciálních rovnic nejpve musíme ovládat pojem derivace funkce. Derivace funkce $f(x)$ je definována vztahem
 +$$ \frac{\mathrm df}{\mathrm dx}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}h$$
 +a vyjadřuje rychlost změny veličiny $f$ při změně veličiny $x$. Jednotka derivace $\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}$ je stejná jako jednotka podílu $\frac fx$.
 +
 +Je-li například zkoumanou veličinou teplota jako funkce času, derivace vyjadřuje rychlost růstu teploty v čase, tj. nárůst teploty za jednotku času. Jednotkou derivace teploty podle času je jednotka teploty dělená jednotkou času.
 +
 +## Diferenciální rovnice, počáteční podmínka a obecné řešení
 +
 +Nechť $f$ je funkce dvou proměnných.
 +Diferenciální rovnicí s neznámou funkcí $y(x)$ rozumíme rovnici
 +$$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f(x,y).$$
 +Tato rovnice zpravidla vyjařuje mechanismus
 +řidící změny veličiny $y$, tj. vlastní podstatu děje. Mechanismus změn sám nbedokáže jednoznačně determinovat vývoj systému, protože záleží i na tom, z  jakého stavu se systém vyvíjí. Proto má diferenciální rovnice má nekonečně mnoho řešení a mechanismus změn musí být ještě doplněn informací o výchozím stavu. Tato informace bývá formulována v počáteční podmínce ve tvaru
 +$$y(x_0)=y_0,$$
 +kde $x_0$ a $y_0$ jsou reálná čísla. 
 +
 +
 +*Příklad:*
 +Jeden z modelů popisujících formování ledu říká, že tloušťka ledu na hladině moře roste ve
 +stabilních podmínkách rychlostí nepřímo úměrnou této tloušťce.
 +Pokud tloušťku ledu označíme $h$, je možno tento model zapsat pomocí diferenciální rovnice
 +$$\frac{\mathrm dh}{\mathrm dt}=\frac{k}{h},$$
 +kde $k$ je  konstanta
 +Separací proměnných získáme
 +$$h \mathrm dh=k \mathrm dt$$
 +a po integraci získáme obecné řešení ve tvaru
 +$$\frac 12 h^2=kt+C,$$
 +kde $C$ je integrační konstanta. 
 +
 +
 +
 +## Autonomní diferenciální rovnice
 +
 +Autonomní diferenciální rovnice jsou rovnice tvaru $$\frac{\mathrm
 +dy}{\mathrm dx}=f(y),$$ tj. pravá strana nezávisí na $x$.
 +Konstantními řešením (stacionárním bodem) jsou právě nulové body
 +funkce $f$. Stacionární řešení dělíme na stabilní a nestabilní. V
 +prvním případě (stabilní stacionární bod) malé perturbace, které
 +řešení vychýlí ze stacionárního stavu, v čase zaniknou. Takový
 +stabilní stacionární bod přitahuje řešení ze svého okolí. Malá
 +výchylka ze stacionárního bodu směrem nahoru je doprovázena efektem,
 +který řešení "tlačí" zpět směrem dolů a řešení se vrací do
 +stacionárního stavu. Podobně malá výchylka směrem dolů má za důsledek
 +opětovný nárůst zpět do stacionárního bodu. Pro funkci $f$ to znamená,
 +ze kromě toho, že ve stacionárním bodě prochází nulou, musí být
 +napravo od stacionárního bodu záporná a nalevo kladná. V důsledku toho
 +musí být ve stacionárním bodě klesající. To je zaručeno například
 +pokud tato funkce má zápornou derivaci. Naopak, pokud má funkce $f$
 +kladnou derivaci ve stacionárním bodě, je toto řešení nestabilní.
 +
 +Často v autonomních rovnicích modelujeme děj, ve kterém proti sobě
 +působí dva faktory, jeden navyšuje modelovanou veličinu a druhý ji
 +snižuje. Rovnice má potom tvar $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm
 +dx}=f(y)-g(y),$$ kde $f(y)$ vyjadřuje růst a $g(y)$ pokles. Ve společném grafu funkcí $f$ a $g$ jsou poté konstantními řešeními body, kde se grafy funkcí $f$  a $g$ protínají. Pro stabilitu stačí posoudit, zda při zvýšení hodnoty $y$ za stacionární bod (na grafech posun doprava) je intenzivnější člen $g$ snižující veličinu $y$ zpět, nebo člen $f$ způsobující další nárůst veličiny $y$. Analogicky pro pokles (na grafech směr doleva). Pokud například obě funkce v daném bodě rostou a funkce $g$ roste rychleji než funkce $f$, je daný stacionární bod stabilní.
 +
 +Pokud tyto 
 +poznatky aplikujeme na model logistického růstu s
 +  konstantním lovem, tj.
 +$$\frac{\mathrm dP}{\mathrm dt}=rP\left(1-\frac PK\right)-h,$$
 +  kde $r$, $K$ a $h$ jsou konstanty, vidíme, že jsou dva kvalitativně odlišné případy, viz [obrázek](https://sagecell.sagemath.org/?z=eJzNkE1qwzAQhfcG30EYg2RXdSKnWeoEpqBVN1UxijP-IWpkJJW6DTlQz9GL1XG8MV0EuupmGIZ57818lrMwKC6l5euMbcNAMN5r44lNh5Sw-2FVJJQMdE1ZxtKxR5XRxnK806o6YKqhgeO-1GoHmkexFVJqqP2olLK2qkIncT4VZylt17Q-iaNkjMivEe1svFoYW9j_sm0nnWvNOxHsTuS07hrXfQJ_oMh3XgOPHpX-_kKXTYrUAO6qdfwZxyLGFOOXxbyc5Iyij1c1jK9vtmNAGNgFj83_xfH3J0WeOfDlbGl635mjI9pUHL_1PVg0nYZv8X4CfZiBJz8Dy7Cu&lang=sage&interacts=eJyLjgUAARUAuQ==) 
 +
 +![](http://user.mendelu.cz/marik/images/img_logisticka_1.png)
 +![](http://user.mendelu.cz/marik/images/img_logisticka_2.png)
 +
 +V prvním obrázku vidíme dva průsečíky černé křivky (způsobuje nárůst) a červené přímky (způsobuje pokles). V levém průsečíku je růst černé křivky rychlejší než u červené křivky a proto je tento stacionární bod nestabilní. Pravý průsečík naopak odpovídá stabilnímu stacionárnímu bodu. Populace vymře, pokud je příliš malá (pod nestabilním stacionárním bodem) a může dlouhodobě přežívat, pokud je dostatečně velká.
 +
 +Ve druhém obrázku žádné průsečíky nejsou. Rovnice nemá stacionární body a populace vymře při jakýchkoliv počátečních podmínkách. 
 +
 +## Energetická bilance Země a skleníkový efekt
 +
 +Následující text je zpracován podle J. Walsh: Climate Modeling in Differential Equations, The UMAPJournal36 (4) (2015) 325–363. Jiné zpracování podle stejného zdroje je v kurzu [Calculus Applied!](https://www.edx.org/course/calculus-applied), dostupném volně na platformě online kurzů edX.
 +
 +Teplota $T$ planety je ovlivněna absorpcí energie dopadající ze Slunce a vyzařováním energie do kosmu, tj. dvěma proti sobě působícími faktory. Poměr těchto faktorů je rozhodující pro teplotu povrchu. To, že velkou roli hrají fyzikální vlastnosti povrchu a atmosféry si můžeme ukázat na příkladu Merkuru a Venuše. Venuše je v téměř dvojnásobné vzdálenosti od Slunce než Merkur a na metr čtvereční jejího povrchu proto dopadá sluneční záření se čtvrtinovou intenzitou. Vskutku, povrch koule na kterou dopadá záření roste s druhou mocninou vzdálenosti a záření Slunce se rovnoměrně rozloží na myšlenou kulovou plochu se středem ve Slunci, protože Slunce vyzařuje všemi směry stejně. Proto intenzita osvětlení na jednotku povrchu ubývá s druhou mocninou vzdálenosti. Dvojnásobná vzdálenost tedy odpovídá čtvrtinovému výkonu na jednotku plochy. Přesto je průměrná teplota Venuše $464^\circ\mathrm{C}$ oproti "pouhým" $167^\circ\mathrm C$ na Merkuru (údaj z Wikipedie, 2.4.2020). Pokusíme se sestavit model popisující situaci na Zemi.
 +
 +### Celková energetická bilance Země
 +
 +Rychlost s jakou roste teplota Země je dána bilancí mezi výkonem
 +$R_\text{in}$ Slunce dopadajícím na metr čtvereční Země a výkonem
 +$R_\text{out}$ vyzářeným z metru čtverečního do okolí. Změna teploty
 +za jednotku času je dána modelem $$C\frac{\mathrm dT}{\mathrm
 +dt}=R_\text{in}-R_\text{out},$$ kde $C$ je tepelná kapacita Země na
 +metr čtvereční povrchu. Jedná se o jednoduchý model, který zanedbává
 +jiné osvětlení rovníku a pólů, vedení tepla od rovníku k pólům a
 +pracuje s průměrnou teplotou. Konstanta $C$ nemá vliv na kvalitativní
 +chování modelu a proto ji budeme klást rovnu jedné. Pokud bychom chtěli prozkoumat nejenom kvalitativní, ale i kvantitativní chování, je možné volit $C=2.911\,\mathrm{W}\,\mathrm{rok}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ (viz Calculus Applied! na edx.com)
 +
 +
 +### Energie absorbovaná ze Slunce
 +
 +Předpokládejme, že výkon $Q$ dopadající na metr čtvereční od Slunce je konstantní.  Z tohoto výkonu však část odrazí. Odrazivost (albedo) sníží absorbovaný výkon $R_\text{in}$ o odraženou složku. Můžeme tedy psát
 +$$R_\text{in}=Q(1-\alpha(T)),$$
 +kde
 +$$\alpha (T)=0.5+0.2 \tanh(0.1(265-T))$$
 +je koeficient odrazivosti. Závislost odrazivosti na teplotě modeluje
 +to, že studená zamrzlá Země má větší odrazivost. Nižší průměrná
 +teplota znamená více ledu na Zemi a má za důsledek větší odrazivost,
 +protože led odráží sluneční záření více než voda.
 +
 +
 +### Vyzařování energie Zemí do vesmíru
 +
 +Výkon $R_\text{out}$ vyzářený do okolí je podle [Stefan-Bolzmanova vyzařovacího zákona](https://cs.wikipedia.org/wiki/Stefan%C5%AFv%E2%80%93Boltzmann%C5%AFv_z%C3%A1kon) úměrný čtvrté mocnině termodynamické teploty $T$. (Termodynamická teplota je teplota ve stupních Celsia zvýšená o hodnotu $273.15$ a udává se v Kelvinech. Teplotě nula stupňů Celsia odpovídá termodynamická teplota $273.15$ Kelvinů.)
 +Vyzařování je tedy dáno vztahem
 +$$R_\text{out}=\sigma T^4,$$
 +kde $\sigma$ je konstanta Stefan-Bolzmanova vyzařovacího zákona.
 +Při aplikaci tohoto zákona je nutno zohlednit to, že Země nezáří jako fyzikálně ideální černé těleso, ale tzv. šedé těleso. Část vyzářeného výkonu se vlivem  skleníkového efektu vrátí zpět na Zemi a nevyzáří se. 
 +Opravu na reálné těleso a skleníkový efekt můžeme započítat multiplikativní konstantou, podobně jako jsme [započítali sociální distancování do SEIR modelu epidemie](http://user.mendelu.cz/marik/wiki/doku.php?id=karantena).
 +Upravený vztah pro vyzařování, který determinuje rychlost ochlazování, je tedy možno psát ve tvaru
 +$$R_\text{out}=\varepsilon\sigma T^4.$$
 +Dodatečný parametr $\varepsilon$ modeluje skleníkový efekt. Udává, kolik procent záření projde ven do vesmíru. Tedy větší skleníkový efekt znamená menší procento energie vyzářené do vesmíru a to odpovídá menší hodnotě $\varepsilon$.
 +
 +### Analýza stacionárních bodů
 +
 +Existuje několik možností vzájemné polohy křivek modelujících absorpci energie a vyzařování energie. Tři nejzajímavější jsou v tabulce níže. Červená křivka (ohřívání) je společná, mění se modrá křivka (ochlazování). Díky tomu snadno posoudíme vzájemnou polohu průsečíků v různých obrázcích. 
 +
 +Pro malé teploty je dominantní ohřev, pro velké teploty ochlazování. Nestane se tedy, že by teplota rostla neomezeně, nebo že by Země zchládla na nulu. Za této situace musí být alespoň jeden stabilní bod.
 +
 +</markdown>
 +
 +^Hodnota $\varepsilon$^Vzájemná poloha křivek^Komentář^
 +| Vysoká hodnota $\varepsilon$.|{{http://user.mendelu.cz/marik/images/img_earth_balance_1.png}}|Vysoká hodnota $\varepsilon$ značí malý skleníkový efekt. Jeden průsečík značí jeden stacionární bod, který je stabilní. Tento půsečík je nejvíce nalevo v porovnání s dalšími situacemi níže, odpovídá zamrzlé Zemi.|
 +| Střední hodnota $\varepsilon$.|{{http://user.mendelu.cz/marik/images/img_earth_balance_2.png}}| Střední hodnota skleníkového efektu. Dva stacionární body jsou stabilní, jeden (uprostřed) nestabilní. Pravý bod by mohl odpovídat Zemi jak ji známe dnes, levý bod Zemi jak vypadala v době ledové. V historii pradvěpodobně několikát došlo z nejrůznějších důvodů k přeskočení mezi těmito stabilními stacionárními body.|
 +| Malá hodnota $\varepsilon$.|{{http://user.mendelu.cz/marik/images/img_earth_balance_3.png}}|Malá hodnota $\varepsilon$ značí velký skleníkový efekt. Jeden průsečík značí jeden stacionární bod, který je stabilní. Tento půsečík je nejvíce napravo v porovnání s dalšími situacemi výše, odpovídá rozpálené Zemi.|
 +
 +Analýza odpovídá našemu očekávání, že vyšší skleníkový efekt způsobí
 +nárůst teploty. Tento závěr souhlasí se závěry, které jsou předkládány
 +médii i odborníky na globální klimatickou změnu.
 +
 +
 +Uvedená analýza je velmi jednoduchá a v současnosti jsou pochopitelně
 +detailnější a sofistikovanější modely. Cesta k jejich pochopení však
 +samozřejmě vede přes modely jednodušší. S jedním z nich jsme se právě seznámili. 
 +
  
ode_reseni.txt · Poslední úprava: 2020/05/01 13:28 (upraveno mimo DokuWiki)

Nástroje pro stránku