Každá věda se od určité úrovně automaticky stává částí matematiky. (David Hilbert)

Uživatelské nástroje


ode2_reseni

====== Rozdíly ======

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

Odkaz na výstup diff

ode2_reseni [2020/05/25 07:13] (aktuální)
Řádek 1: Řádek 1:
 +<html>
 +<style>
 +.page p img {max-width:400px}
 +img {max-width:400px;float:right;}
 +body {
 +        counter-reset: h2counter;
 +    }
 +
 +h2:before {
 +        content: counter(h2counter) ".\0000a0\0000a0";
 +        counter-increment: h2counter;
 +    }
 +
 +
 +h2,h1,h3 {clear:both;}
 +
 +h1,h2,h3 {color:#4267b2;}
 +
 +</style>
 +</html>
 +
 +
 +
 +<markdown>
 +
 +
 +# Lineární diferenciální rovnice druhého řádu
 +
 +## Charakteristická rovnice
 +
 +Determinant matice $2\times 2$ je dán vzorcem
 +$$\begin{vmatrix}a&b\\\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$$ a pro determinant udávající rovnici pro vlastní čísla matice tedy máme
 +$$
 +\begin{vmatrix}-\lambda &1\\\\ -q &-p-\lambda\end{vmatrix}
 +=-\lambda(-p-\lambda)-(-q)=\lambda^2+p\lambda +q.
 +$$
 +Charakteristická rovnice je $$\lambda^2+p\lambda +q=0.$$
 +
 +## Rovnice vedení tepla se zdroji
 +
 +Uvažujeme rovnici 
 +$$\frac{\partial u}{\partial t}+u=\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}. \tag{1}$$
 +a pomocí separace proměnných hledáme řešení $u(x,t)$ rovnice (1) ve tvaru
 +$$u(x,t)=\varphi(x)\psi(t). $$
 +Platí
 +$$\frac{\partial u}{\partial t}=\varphi(x)\psi'(t)$$
 +a
 +$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\varphi''(x)\psi(t).$$
 +Po dosazení do rovnice (1) dostáváme
 +$$\varphi(x)\psi'(t)+\varphi(x)\psi(t)=\varphi''(x)\psi(t).$$
 +Pokud vydělíme součinem $\varphi(x)\psi(t)$, dostáváme
 +$$\frac{\psi'(t)}{\psi(t)}+1=\frac{\varphi''(x)}{\varphi(x)}.$$
 +Protože každá strana rovnice závisí na jiné proměné, může být tato rovnost splněna pouze, pokud se obě strany rovnají společné konstantě. Ze stejných důvodů jako u klasické rovnice vedení tepla tuto konstantu volíme ve tvaru $-\lambda^2.$ Dostáváme tedy
 +$$\frac{\psi'(t)}{\psi(t)}+1=\frac{\varphi''(x)}{\varphi(x)}=-\lambda^2, $$
 +což reprezentuje dvě rovnice,
 +$$\frac{\psi'(t)}{\psi(t)}+1=-\lambda^2,\quad \frac{\varphi''(x)}{\varphi(x)}=-\lambda^2, $$
 +nebo po úpravě
 +$${\psi'(t)}+(1+\lambda^2){\psi(t)}=0,\quad {\varphi''(x)}+\lambda^2 {\varphi(x)}=0.$$
 +
 +
 +## Nenulové okrajové podmínky
 +
 +Uvažujeme úlohu s nenulovými okrajovými podmínkami
 +$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}, \quad
 +u(0,t)=A, \ u(l,t)=B$$
 +(jednorozměrné vedení tepla mezi prostředími o teplotách $A$ a $B$)
 +a ukážeme, že její řešení je možné zapsat jako součet řešení rovnice stacionární rovnice 
 +$$0=\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}, \quad \frac{\partial u}{\partial t}=0,\quad u(0,t)=A, \ u(l,t)=B$$
 +a řešení rovnice s nulovými okrajovými podmínkami
 +$$\frac{\partial  u}{\partial t}=\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}, \quad
 +u(0,t)=0, \ u(l,t)=0.$$
 +
 +Nechť $v(x)$ a $w(x,t)$ jsou řešeními příslušných úloh, tj. splňují
 +$$0=\frac{\partial ^2 v}{\partial x^2}, \quad
 +v(0)=A, \ v(l)=B \tag{2}$$
 +a
 +$$\frac{\partial  w}{\partial t}=\frac{\partial ^2 w}{\partial x^2}, \quad
 +w(0,t)=0, \ w(l,t)=0. \tag{3}$$
 +Uvažujme funkci
 +$$u(x,t)=v(x)+w(x,t).$$
 +
 +Platí $$\frac{\partial u}{\partial t}= \frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\partial w}{\partial t}=0+ \frac{\partial w}{\partial t}, \tag{4}$$
 +protože $v$ nezávisí na $t$.
 +Dále platí 
 +$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}= \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial x^2}= 0 +  \frac{\partial w}{\partial t},\tag{5}$$
 +protože $v$ a $w$ splňují vztahy (2) a (3).
 +Protože pravé strany rovnic (4) a (5) jsou stejné, rovnají se i levé strany a funkce $u$ proto splňuje rovnici $$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}.$$
 +
 +Nyní stačí ověřit podmínky na okrajích, tj. pro $x=0$ a $x=l$.
 +
 +Přímým dosazením a využitím (2) a (3) dostáváme
 +$$u(0,t)=v(0)+w(0,t)=A+0=A$$
 +a
 +$$u(l,t)=v(l)+w(l,t)=B+0=B.$$
 +Tímto je ověřena platnost rovnice i okrajových podmínek, [*quod erat demonstradum*](https://cs.wikipedia.org/wiki/Q.E.D.).
 +
 +</markdown>
 +
  
ode2_reseni.txt · Poslední úprava: 2020/05/25 07:13 (upraveno mimo DokuWiki)

Nástroje pro stránku