Mnoho nul je přesvědčených, že jsou elipsami, po kterých obíhá zem. (Stanislaw Jerzy Lec)

Uživatelské nástroje


ode2

====== Rozdíly ======

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

Odkaz na výstup diff

ode2 [2020/05/11 11:51] (aktuální)
Řádek 1: Řádek 1:
 +<html>
 +<style>
 +.page p img {max-width:400px}
 +img {max-width:400px;float:right;}
 +body {
 +        counter-reset: h2counter;
 +    }
 +
 +h2:before {
 +        content: counter(h2counter) ".\0000a0\0000a0";
 +        counter-increment: h2counter;
 +    }
 +
 +
 +h2,h1,h3 {clear:both;}
 +
 +h1,h2,h3 {color:#4267b2;}
 +
 +</style>
 +</html>
 +
 +
 +
 +<markdown>
 +
 +
 +Toto je úkol za 10 bodů. Splňte co nejvíce úloh a odevzdejte ve formátu PDF. **Konzultace k úlohám průběžně textovou komunikací přes Teams a kromě toho svolám cca týden dopředu videochat.** Část zadání je okomentováno i v závěru přednášky, ale řiďte se ze napsanými instrukcemi. Vypadá to možná na první i druhý pohled složitě, ale výpočty jsou na dva řádky.
 +
 +
 +# Lineární diferenciální rovnice druhého řádu
 +
 +## Charakteristická rovnice
 +
 +V přednášce mám chybu při výpočtu determinantu udávajícím vlastní čísla systému
 +$$\begin{pmatrix}x_1\\\\x_2\end{pmatrix}'=
 +\begin{pmatrix}0 &1\\\\ -q &-p\end{pmatrix}
 +\begin{pmatrix}x_1\\\\x_2\end{pmatrix},
 +$$
 +který je ekvivalentní rovnici
 +$$y''+py'+qy=0.$$
 +
 +Najděte ji a opravte. Přesněji, napište obecný vzorec pro výpočet determinantu matice $2\times 2$ (křížové pravidlo, viz základní kurz matematiky nebo jiné zdroje), použijte toto pravidlo pro výpočet determinantu
 +$$\begin{vmatrix}-\lambda &1\\\\ -q &-p-\lambda\end{vmatrix}$$
 +a odvoďte správný tvar charakteristické rovnice, kdy je tento determinant roven nule. 
 +
 +
 +## Rovnice vedení tepla se zdroji
 +
 +V přednášce je studována okrajová úloha pro jednorozměrnou rovnici vedení tepla
 +$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}, \quad u(0,t)=u(l,t)=0.$$
 +Je ukázáno, že pokud hledáme řešení $u(x,t)$ ve tvaru
 +$$u(x,t)=\varphi(x)\psi(t)$$
 +funkce $\varphi(x)$ a $\psi(t)$
 +musí splňovat úlohu na vlastní čísla
 +$$\varphi''+\lambda^2\varphi =0, \quad \varphi(0)=\varphi(l)=0$$
 +a rovnici
 +$$\psi'=-\lambda^2 \psi.$$ Z řešení těchto rovnic dokážeme najít funkci $u$ (závislou na parametru $\lambda$). Poté díky linearitě dokážeme tato řešení seskládat použitím součtu (nekonečného) přes všechny možné hodnoty $\lambda$ a je možné ukázat, že takto vytvořený vzorec bude obsahovat všechna řešení.
 +Pro použití pro difuzi ve dřevě viz například [zde](https://is.mendelu.cz/eknihovna/opory/zobraz_cast.pl?cast=9180) od rovnice (144) dále.
 +
 +Tento postup budeme modifikovat pro jinou rovnici. 
 +V semestru jsme měli (přednáška o integrálních větách a integrálním tvaru difuzní rovnice) i rovnici, kdy jsme do této rovnice započítali zdroje úměrné rozdílu teploty materiálu a okolí. Byl to model [žebra chladiče](https://youtu.be/rlyyIjwXGug?t=2135). V nejjednodušším možném přiblížení a po vhodné úpravě bychom tuto rovnici mohli zapsat ve tvaru
 +$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}-u$$
 +nebo (se zdroji převedenými na druhou stranu)
 +$$\frac{\partial u}{\partial t}+u=\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}. \tag{1}$$
 +Ukažte, že separace proměnných funguje i pro takovouto rovnici. Hledejte řešení $u(x,t)$ rovnice (1) ve tvaru
 +$$u(x,t)=\varphi(x)\psi(t)     $$
 +a ukažte, že je možné odvodit obyčejnou diferenciální rovnici (tj. s derivacemi funkcí jendé proměnné) pro funkci $\varphi(x)$ a obyčejnou diferenciální rovnici pro $\psi(t)$. Napište tyto dvě rovnice. Řešit je nemusíte. Okrajové podmínky také uvažovat nemusíte.
 +
 +
 +## Nenulové okrajové podmínky
 +
 +V přednášce je ukázáno, že při studiu okrajové úlohy pro jednorozměrnou rovnici vedení tepla s nulovými okrajovými podmínkami
 +$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}, \quad u(0,t)=u(l,t)=0$$
 +vede separace proměnných na  Dirichletovu úlohu na vlastní čísla
 +$$\varphi''+\lambda^2\varphi =0, \quad \varphi(0)=0=\varphi(l).$$
 +Řešení této úlohy je snadno popsatelné, jak je ulázáno také v přednášce. 
 +Zde se podmínky $$\varphi (0)=0=\varphi (l)$$ objevily z podmínek
 +$$u(0,t)=u(l,t)=0.$$
 +V praxi bychom však potřebovali studovat obecnější úlohy.
 +
 +Ukažte, že řešení podobné úlohy s nenulovými okrajovými podmínkami
 +$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}, \quad
 +u(0,t)=A, \ u(l,t)=B$$
 +(jednorozměrné vedení tepla mezi prostředími o teplotách $A$ a $B$)
 +je možné zapsat jako součet řešení rovnice stacionární rovnice 
 +$$0=\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}, \quad \frac{\partial u}{\partial t}=0,\quad u(0,t)=A, \ u(l,t)=B$$
 +a řešení rovnice s nulovými okrajovými podmínkami
 +$$\frac{\partial  u}{\partial t}=\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}, \quad
 +u(0,t)=0, \ u(l,t)=0.$$
 +Toto je důležité pozorování, protože řešení první rovnice je snadné (řešením jsou funkce mající druhé derivace nulové, tj. přímky, což koresponduje s tím, co znáte o teplotním profilu ve stěně) a druhou úlohu jsme řešili separací proměnných.
 +
 +Jinými slovy, ukažte, že pokud funkce $v(x)$ a $w(x,t)$ splňují
 +$$0=\frac{\partial ^2 v}{\partial x^2}, \quad
 +v(0)=A, \ v(l)=B$$
 +a
 +$$\frac{\partial  w}{\partial t}=\frac{\partial ^2 w}{\partial x^2}, \quad
 +w(0,t)=0, \ w(l,t)=0,$$
 +potom funkce
 +$$u(x,t)=v(x)+w(x,t)$$
 +splňuje
 +$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}, \quad
 +u(0,t)=A, \ u(l,t)=B \tag{2}$$
 +Musíte tedy ověřit tři rovnosti ze vztahu (2). Pro první z nich můžete využít linearitu rovnice nebo přímé dosazení. Pro ověření dalších dvou (hodnota pro $x=0$ a pro $x=l$) použijte přímé dosazení. 
 +
 +
 +Tyto úlohy nejsou tak strašné jak možná pro někoho na první pohled vypadají. Nejtěžší je uvědomit si, co je potřeba počítat. Vlastní výpočet je poté triviální. Úlohy ukazují zase na další výhody linearity, která nám umožňuje úlohy rozkouskovávat na jednodušší. Pokud byste uvedenou problematiku chtěli shlédnout v nějaké učebnici, můžete využít velkou nabídku mnoha vydavatelství zpřístupněnou díky koronaviru. Jednu z nich dávám do souborů (sedmá kapitola monografie Mathematical physics with partial differentiaion equations, James R. Kirkwood, 2013). Druhá úloha je modifikací úlohy y 4a z kapitoly 7-5 Solving the heat equation in one dimension using separtion of variables. 
 +Třetí úloha je zjednodušení postupu 7-6 Steady state of the heat equation.
 +
 +
 +
 +</markdown>
 +
  
ode2.txt · Poslední úprava: 2020/05/11 11:51 (upraveno mimo DokuWiki)

Nástroje pro stránku