Text byl vytvořen jako součást zadání pro práci v předmětech Matematika a Aplikovaná matematika během letního semestru 2020.

Energetická bilance Země a skleníkový efekt

Následující text je zpracován podle J. Walsh: Climate Modeling in Differential Equations, The UMAPJournal36 (4) (2015) 325–363. Jiné zpracování podle stejného zdroje je v kurzu Calculus Applied!, dostupném volně na platformě online kurzů edX.

Teplota $T$ planety je ovlivněna absorpcí energie dopadající ze Slunce a vyzařováním energie do kosmu, tj. dvěma proti sobě působícími faktory. Poměr těchto faktorů je rozhodující pro teplotu povrchu. To, že velkou roli hrají fyzikální vlastnosti povrchu a atmosféry si můžeme ukázat na příkladu Merkuru a Venuše. Venuše je v téměř dvojnásobné vzdálenosti od Slunce než Merkur a na metr čtvereční jejího povrchu proto dopadá sluneční záření se čtvrtinovou intenzitou. Vskutku, povrch koule na kterou dopadá záření roste s druhou mocninou vzdálenosti a záření Slunce se rovnoměrně rozloží na myšlenou kulovou plochu se středem ve Slunci, protože Slunce vyzařuje všemi směry stejně. Proto intenzita osvětlení na jednotku povrchu ubývá s druhou mocninou vzdálenosti. Dvojnásobná vzdálenost tedy odpovídá čtvrtinovému výkonu na jednotku plochy. Přesto je průměrná teplota Venuše $464^\circ\mathrm{C}$ oproti "pouhým" $167^\circ\mathrm C$ na Merkuru (údaj z Wikipedie, 2.4.2020). Pokusíme se sestavit model popisující situaci na Zemi.

Celková energetická bilance Země

Rychlost s jakou roste teplota Země je dána bilancí mezi výkonem $R_\text{in}$ Slunce dopadajícím na metr čtvereční Země a výkonem $R_\text{out}$ vyzářeným z metru čtverečního do okolí. Změna teploty za jednotku času je dána modelem $$C\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt}=R_\text{in}-R_\text{out},$$ kde $C$ je tepelná kapacita Země na metr čtvereční povrchu. Jedná se o jednoduchý model, který zanedbává jiné osvětlení rovníku a pólů, vedení tepla od rovníku k pólům a pracuje s průměrnou teplotou. Konstanta $C$ nemá vliv na kvalitativní chování modelu a proto ji budeme klást rovnu jedné. Pokud bychom chtěli prozkoumat nejenom kvalitativní, ale i kvantitativní chování, je možné volit $C=2.911\,\mathrm{W}\,\mathrm{rok}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$ (viz Calculus Applied! na edx.com)

Energie absorbovaná ze Slunce

Předpokládejme, že výkon $Q$ dopadající na metr čtvereční od Slunce je konstantní. Z tohoto výkonu však část odrazí. Odrazivost (albedo) sníží absorbovaný výkon $R_\text{in}$ o odraženou složku. Můžeme tedy psát $$R_\text{in}=Q(1-\alpha(T)),$$ kde $$\alpha (T)=0.5+0.2 \tanh(0.1(265-T))$$ je koeficient odrazivosti. Závislost odrazivosti na teplotě modeluje to, že studená zamrzlá Země má větší odrazivost. Nižší průměrná teplota znamená více ledu na Zemi a má za důsledek větší odrazivost, protože led odráží sluneční záření více než voda.

Vyzařování energie Zemí do vesmíru

Výkon $R_\text{out}$ vyzářený do okolí je podle Stefan-Bolzmanova vyzařovacího zákona úměrný čtvrté mocnině termodynamické teploty $T$. (Termodynamická teplota je teplota ve stupních Celsia zvýšená o hodnotu $273.15$ a udává se v Kelvinech. Teplotě nula stupňů Celsia odpovídá termodynamická teplota $273.15$ Kelvinů.) Vyzařování je tedy dáno vztahem $$R_\text{out}=\sigma T^4,$$ kde $\sigma$ je konstanta Stefan-Bolzmanova vyzařovacího zákona. Při aplikaci tohoto zákona je nutno zohlednit to, že Země nezáří jako fyzikálně ideální černé těleso, ale tzv. šedé těleso. Část vyzářeného výkonu se vlivem skleníkového efektu vrátí zpět na Zemi a nevyzáří se. Opravu na reálné těleso a skleníkový efekt můžeme započítat multiplikativní konstantou, podobně jako jsme započítali sociální distancování do SEIR modelu epidemie. Upravený vztah pro vyzařování, který determinuje rychlost ochlazování, je tedy možno psát ve tvaru $$R_\text{out}=\varepsilon\sigma T^4.$$ Dodatečný parametr $\varepsilon$ modeluje skleníkový efekt. Udává, kolik procent záření projde ven do vesmíru. Tedy větší skleníkový efekt znamená menší procento energie vyzářené do vesmíru a to odpovídá menší hodnotě $\varepsilon$.

Analýza stacionárních bodů

Existuje několik možností vzájemné polohy křivek modelujících absorpci energie a vyzařování energie. Tři nejzajímavější jsou v tabulce níže. Červená křivka (ohřívání) je společná, mění se modrá křivka (ochlazování). Díky tomu snadno posoudíme vzájemnou polohu průsečíků v různých obrázcích.

Pro malé teploty je dominantní ohřev, pro velké teploty ochlazování. Nestane se tedy, že by teplota rostla neomezeně, nebo že by Země zchládla na nulu. Za této situace musí být alespoň jeden stabilní bod.

Analýza odpovídá našemu očekávání, že vyšší skleníkový efekt způsobí nárůst teploty. Tento závěr souhlasí se závěry, které jsou předkládány médii i odborníky na globální klimatickou změnu.

Uvedená analýza je velmi jednoduchá a v současnosti jsou pochopitelně detailnější a sofistikovanější modely. Cesta k jejich pochopení však samozřejmě vede přes modely jednodušší. S jedním z nich jsme se právě seznámili.

Poznámka: Pokud si potřebujete ověřit své závěry nebo modelovat časový průběh, můžete použít předprogramovaný model. Jsou v něm zahrnuty hodnoty konstant, grafy funkcí $R_{\text{in}}(T)$ a $R_{\text{out}}(T)$, výpočet průsečíků a předprogramovaná numerická simulace pro několik počátečních podmínek. Zapoznámkováním resp. odpoznámkováním si vyberte vhodné nastavení skleníkového efektu a zvolte výpočet. Tato aktivita není nutná pro splnění zadání a slouží spíše pro zájemce, případně k potvrzení doměnky o stabilitě nebe ke zjištění průsečíků křivek bez nepřesného odečítání z grafů.