Každá věda se od určité úrovně automaticky stává částí matematiky. (David Hilbert)

Uživatelské nástroje


nosniky

====== Rozdíly ======

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

Odkaz na výstup diff

nosniky [2020/04/01 11:49] (aktuální)
Řádek 1: Řádek 1:
 +<html>
 +<style>
 +.page p img {max-width:400px;float:right;}
 +body {
 +        counter-reset: h2counter;
 +    }
 +
 +h2:before {
 +        content: counter(h2counter) ".\0000a0\0000a0";
 +        counter-increment: h2counter;
 +    }
 +
 +h1,h2,h3 {color:#4267b2; clear:both;}
 +
 +</style>
 +</html>
 +
 +<markdown>
 +
 +**Zadání: Přečtěte si následující text. Na konci tvrdím, že tři nosníky slepené jsou 27-krát tužší než jenom položené na sebe. Jako laikovi se mi to zdá moc. Je můj odhad špatný, nebo je chyba v mém výpočtu? Najděte tuto chybu. A dokázali byste mi vysvětlit, kde se vlastně při slepení nosníků vezme vůbec nějaké navýšení tuhosti? Zkuste to. Předpokládejme, že sedíme u piva, nechceme nic počítat ani nic kreslit, jenom vysvětlit toto navýšení tuhosti tak, aby to pochopil průměrně chápavý člověk, co neví nic o dřevě, fyzice, matematice. V čem je z hlediska tuhosti ten hlavní rozdíl mezi spojenými a volně položenými nosníky a jak tam vznikne? Velmi stručně, spíš jde o to, abyste se nad tím zamysleli a pokuseli se to strunčně vysvětlit, než abyste vypisovali nějaké elaboráty. :)**
 +
 +Tento aprílový úkol nemá správnou odpověď. Prostě chci znát vaše názory a vědět, jestli odhalíte malý matematický nebo logický podvod, který jsem na vás nalíčil.
 +
 +
 +# Nosník obdélníkového průřezu a jeho tuhost
 +
 +Tuhost nosníku souvisí s materiálem a geometrií. Pokud jsou materiál a délka dány použitím, můžeme měnit průřez. V tomto případě o tuhosti nosníku rozhoduje kvadratický moment průřezu definovnaný vztahem
 +$$I=\frac 1{12} wh^3,$$
 +kde $w$ je šířka a $h$ výška nosníku. Předpokládám, že tento vzorec znáte z jiných předmětů, kde se používal k dimenzování. V přednášce jej odvodíme pomocí dvojného integrálu, ale tady ho vezměme jako fakt.
 +
 +## Jeden nosník
 +
 +U jednoho nosníku záleží na tom, zda jej položíme naležato nebo naplacato. Nosník s poměrem stran $2:1$ má nastojato čtyřnásobný kvadratický moment (a čtyřnásobnou tuhost) ve srovnání s nosníkem naplacato. Nosník postavený nastojato více unese a méně se prohýbá. 
 +
 +## Tři nosníky
 +
 +![nosniky](http://user.mendelu.cz/marik/images/nosniky2.jpeg)
 +
 +Tři nosníky položené vedle sebe mají trojnásobnou tuhost a trojnásobný kvadratický moment. Toto je přirozené, protože namáhající síla se rovnoměrně dělí na třetiny. Totéž bude platit i pro tři nosníky položené na sebe tak, jak je na obrázku (napravo tři nosníky průřezu $5\times 20$) posunuté tak, aby šlo vidět, že se opravdu jedná o tři nosníky. 
 +
 +
 +## Trojnásobně tlustý nosník
 +
 +![nosniky](http://user.mendelu.cz/marik/images/nosniky1.jpeg)
 +
 +Nalevo od tří nosníků je ještě skoro trojnásobně tlustý nosník o průřezu
 +$14 \times 20$). Má mnohem větší kvadratický moment. Tyto momenty jsou napsány na nosnících v milimetrech na čtvrtou a proto vidíme nárůst více než dvacetinásobný. Pokud bychom přepočítali pro nosník $15 \times 20$, který je přesně za tři nosníky $5 \times 20$, došli bychom k hodnotě $5625$, která hodnotu $208$ převyšuje $27$-krát.
 +
 +## Problém lepených nosníků
 +
 +Předchozí rozbor ukazuje, že pokud bychom tři nosníky o kvadratickém momentu $208$ slepili, sešroubovali nebo spojili hřebíky, chovaly by se jako nosník s kvadratickým momentem $5625$, protože by to byla stejná situace, jako by nosník byl z jednoho kusu dřeva. Tedy lepidlo by zvýšilo kvadratický moment a tím i odolnost vůči namáhání DVACETSEMDKRÁT. Při vší úctě k lepeným nosníkům, zdá se mi to poněkud moc. Nevěřím, že slepení tří nosníků, tj. dvě vrstvy lepidla, navýší tuhost trojice nosníků sedmadvacetkrát. Udělal jsem někde chybu? Nebo jako laik jenom nevím, co od dřeva očekávat. Anebo je problém v tom, že lepidlo takové namáhání nevydrží? Prosím o radu :) Kolikrát se zvýší tuhost, když tři nosníky na sebe jenom nepoložím, ale navíc je ještě sešroubuju nebo slepím?
 +
 +Ať je to sedmadvacetkrát, nebo s menším ziskem, zapojení lepidla nebo hřebíků tuhosti přece jenom pomůže. To je další věc, které nerozumím. Proč jsou tři slepené nosníky tužší než tři položené na sobě? Jakou roli tam hraje to lepidlo nebo hřebíky. Dá se to vysvětlit nějak laicky, bez matematiky, fyziky, dřevařiny?
 +
 +
 +</markdown>
 +
  
nosniky.txt · Poslední úprava: 2020/04/01 11:49 (upraveno mimo DokuWiki)

Nástroje pro stránku