Mysleli jsme to dobře, ale dopadlo to jako vždy (Viktor Čenomyrdin po nepovedené měnové reformě v roce 1993)

Uživatelské nástroje


mkd

====== Rozdíly ======

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

Odkaz na výstup diff

mkd [2020/05/07 15:29] (aktuální)
Řádek 1: Řádek 1:
 +<html>
 +<style>
 +.page p img {max-width:400px}
 +img {max-width:400px;float:right;}
 +body {
 +        counter-reset: h2counter;
 +    }
 +
 +h2:before {
 +        content: counter(h2counter) ".\0000a0\0000a0";
 +        counter-increment: h2counter;
 +    }
 +
 +
 +h2,h1,h3 {clear:both;}
 +
 +h1,h2,h3 {color:#4267b2;}
 +
 +</style>
 +</html>
 +
 +
 +
 +<markdown>
 +
 +
 +Toto je úkol za 10 bodů. Splňte co nejvíce úloh a odevzdejte ve formátu PDF. **Konzultace k úlohám průběžně textovou komunikací přes Teams a v případě potřeby svoláme den nebo pár dnů dopředu videochat.** Zadání je okomentováno i v [závěru přednášky](https://youtu.be/Zl5HzfvypGY?t=3166) od času 52:46.
 +
 +
 +# Metoda konečných diferencí pro lineární operátory
 +
 +## Diskretizace dvourozměrné rovnice stacionárního vedení tepla v izotropním prostředí prostředí
 +
 +![MKD](http://user.mendelu.cz/marik/images/mkd.png)
 +
 +Využijte aproximaci druhé derivace pomocí vzorce z [prvního týdne výuky](http://user.mendelu.cz/marik/am/slidy/01/#numerick%C3%A1-aproximace-kone%C4%8Dn%C3%A9-diference-ii)
 +$$ \frac{\partial^2f}{\partial x^2}\approx
 +\frac{f(x-h,y)-2f(x,y)+f(x+h,y)}{h^2} $$ $$ \frac{\partial^2f}{\partial y^2}\approx
 +\frac{f(x,y-h)-2f(x,y)+f(x,y+h)}{h^2} $$ k tomu, abyste aproximovali
 +stacionární rovnici vedení tepla v dvourozměrném homogenním prostředí
 +$$\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial
 +y^2}=0$$ převodem derivací na konečné diference. Ukažte, že výsledná
 +rovnice je lineární v proměnných $T(x,y)$, $T(x\pm h,y)$, $T(x,y\pm
 +h)$, tj. je možné ji zapsat ve tvaru, kdy na levé straně je lineární
 +kombinace těchto pěti hodnot a napravo konstanta. Aby byly zápisy co
 +nejjednodušší, můžete použít označení $T_0=T(x,y)$, $T_1=T(x,y+h)$, $T_2=T(x+h,y)$, $T_3=T(x,y-h)$,
 +$T_4=T(x-h,y)$ podle obrázku.
 +
 +**Odpověď:** Přímo ze vzorců pro aproximaci druhé derivace máme
 +$$ \frac{\partial^2T}{\partial x^2}\approx
 +\frac{T(x-h,y)-2T(x,y)+T(x+h,y)}{h^2} $$ a $$ \frac{\partial^2f}{\partial y^2}\approx
 +\frac{T(x,y-h)-Tf(x,y)+T(x,y+h)}{h^2}, $$
 +což v navrhovaném kratším označení je 
 +$$ \frac{\partial^2T}{\partial x^2}\approx
 +\frac{T_4-2T_0+T_2}{h^2} $$ a $$ \frac{\partial^2T}{\partial y^2}\approx
 +\frac{T_3-2T_0+T_1}{h^2}.$$
 +Sečtením dostáváme
 +$$ \frac{\partial^2T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2T}{\partial y^2}\approx
 +\frac{T_4-2T_0+T_2}{h^2} +
 +\frac{T_3-2T_0+T_1}{h^2}=\frac{T_1+T_2+T_3+T_4-4T_0}{h^2}.$$
 +Rovnice
 +$$ \frac{\partial^2T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2T}{\partial y^2}=0$$
 +poté dostává tvar
 +$$\frac{T_1+T_2+T_3+T_4-4T_0}{h^2}=0$$
 +a po vynásobení $h^2$
 +máme lineární rovnici
 +$$T_1+T_2+T_3+T_4-4T_0=0.$$
 +
 +## Snadno interpretovatelný důsledek diskretizace
 +
 +Odvoďte z předchozího výpočtu tvrzení, že teplota v každém uzlovém
 +bodě je aritmetickým průměrem teplot ve čtyř uzlových okolních bodech.
 +
 +**Poznámka:** Toto je jednoduchá úloha, nehledejte v ní nic složitého. Cílem je
 +ukázat, že výstupy rovnic jsou v souladu se selskou logikou. Jsou ale
 +použitelné i v případech, které jsou selskou logikou postihnutelné
 +hůře nebo vůbec, jako například nestacionární vedení tepla nebo vedení
 +tepla v ortotropním materiálu.
 +
 +**Odpověď:** Z rovnice
 +$$T_1+T_2+T_3+T_4-4T_0=0.$$
 +přímým výpočtem ihned dostáváme
 +$$T_0=\frac {T_1+T_2+T_3+T_4}4$$ a teplota $T_0$ je aritmetickým průměrem okolních teplot.
 +
 +## Diskretizace dvourozměrné rovnice vedení tepla v ortotropním prostředí
 +
 +Splňte stejný úkol jako v první úloze, ale pro ortotropní prostředí,
 +tj. pro rovnici $$\lambda_x\frac{\partial^2 T}{\partial
 +x^2}+\lambda_y\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}=0.$$ Teplota v uzlovém
 +bodě již nebude aritmetickým průměrem okolních hodnot, ale jakýmsi
 +váženým průměrem. Budou mít větší váhu teploty se směru s větší
 +hodnotou součinitele teplené vodivost nebo s menší hodnotou?
 +Rozmyslete si odpověď logicky a ukažte, že vychází i matematicky.
 +
 +**Odpověď:** Podobně jako výše dostáváme
 +$$ \lambda_x \frac{\partial^2T}{\partial x^2} + \lambda_y \frac{\partial^2T}{\partial y^2}\approx
 +\lambda_x\frac{T_4-2T_0+T_2}{h^2} +
 +\lambda_y\frac{T_3-2T_0+T_1}{h^2}=\frac{\lambda_y T_1+\lambda_x T_2+ \lambda_y T_3+ \lambda_x T_4- 2(\lambda_x+\lambda_y) T_0}{h^2}.$$
 +a rovnice má tvar
 +$$\lambda_y T_1+\lambda_x T_2+ \lambda_y T_3+ \lambda_x T_4- 2(\lambda_x+\lambda_y) T_0 =0.$$
 +Je tedy opět lineární a po výpočtu $T_0$ získáme
 +$$T_0=\frac {\lambda_y T_1+\lambda_x T_2+ \lambda_y T_3+ \lambda_x T_4}{2(\lambda_x+\lambda_y)}.$$ Váha u každé teploty je součinitelem udávajícím tepelnou vodivost materiálu ve směru od uvažované teploty k centrální teplotě $T_0$ a proto se více projeví tepltoty ve směru, ve kterém materiál lépe vede teplo. To je zcela přirozený výsledek, který odpovídá našemu očekávání.
 +
 +**Poznámka:** Váženým průměrem čtyř hodnot $x_1$, $x_2$, $x_3$ a $x_4$
 +rozumím výraz tvaru $$\frac{c_1
 +x_1+c_2x_2+c_3x_3+c_4x_4}{c_1+c_2+c_3+c_4}.$$ Nejvyšší váhu má ta
 +hodnota, u které je největší koeficient $c_i$. Všechny tyto
 +koeficienty předpokládáme kladné. Pro snadnou představu, jak reaguje
 +materiál v různých směrech, je nejelpší si ptřestavit velmi etrémní
 +případ. Představte si například materiál, který v jednom směru
 +prakticky nevede teplo a vodivost v tomto směru je prakticky nulová.
 +
 +
 +## Rovnice podzemní vody
 +
 +Rovnice podzemní vody s volnou hladinou
 +$$ {S\frac{\partial h}{\partial t} - \nabla\cdot \bigl(kh\nabla h\bigr)=  \sigma }$$
 +má na levé straně nelineární operátor kvůli součinu $h\nabla h$. Přesto je možná linearizace trikem: převodem na rovnici se stavovou veličinou $H=h^2$, jak je ukázáno ve [videu](https://youtu.be/Zl5HzfvypGY?t=2452) v čase cca 40:50 a v [přednášce](http://user.mendelu.cz/marik/am/slidy/09/#p%C5%99%C3%ADklady-line%C3%A1rn%C3%ADch-oper%C3%A1tor%C5%AF). Přitom je potřeba uvažovat pouze stacionární případ, tj. vynulovat člen obsahující derivaci $h$ podle času. Tento člen je ale lineární a neměl by tedy ničemu vadit! Proč jej tedy v rovnici nemůžeme připustit?
 +
 +
 +**Odpověď:** Do nové proměnné $H$ musíme převést celou rovnici. Podobně jako člen s divergencí po tomto kroku linearitu získá, člen $S\frac{\partial h}{\partial t}$, který je lineární, ji naopak ztratí. Proto by rovnice při zachování členu s derivací podle času opět byla nelineární. Měla by tvar
 +$$ S\frac{\partial \sqrt H}{\partial t} - \nabla\cdot \bigl(\frac 12 k\nabla H\bigr)=  \sigma $$
 +tj. 
 +$$ S\frac 1{2\sqrt H}\frac{\partial H}{\partial t} - \nabla\cdot \bigl(\frac 12 k\nabla H\bigr)=  \sigma $$
 +a objevil se nám tam v součinu s $\frac{\partial H}{\partial t}$ faktor $\frac 1{2\sqrt H}$, který opět "kazí" linearitu. Naštestí se jej můžeme zbavit uvažováním stacionárního případu. Je to trochu omezení, že nedokážeme počítat i nestacionární děje, naštestí například při provozu hydraulické clony je  zařízení v provozu nonstop (v přednášce je vysvětleno že jde o ochranu podzmení vody před kontaminanty a to je "nepřetržitý provoz") a po čase se systém do stacionárního stavu dostane. Příliš drastické omezení to tedy není. Každopádně, stacionárnost je pro men omezení vynucené tím, že potřebuji rovnici mít lineární. Z řady odpovědí jsem cítil, že stacionárnost je to, o co se snažím a proto nuluji první člen. Z tohoto vyplývá mírná bodová srážka. 
 +
 +
 +
 +</markdown>
 +
  
mkd.txt · Poslední úprava: 2020/05/07 15:29 (upraveno mimo DokuWiki)

Nástroje pro stránku