Každá věda se od určité úrovně automaticky stává částí matematiky. (David Hilbert)

Uživatelské nástroje


matice_01

====== Rozdíly ======

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

Odkaz na výstup diff

matice_01 [2020/04/22 00:23] (aktuální)
Řádek 1: Řádek 1:
 +<html>
 +<style>
 +.page p img {max-width:400px}
 +ol img {max-width:400px;float:right;}
 +body {
 +        counter-reset: h2counter;
 +    }
 +
 +h2:before {
 +        content: counter(h2counter) ".\0000a0\0000a0";
 +        counter-increment: h2counter;
 +    }
 +
 +h2,h1,h3 {clear:both;}
 +
 +h1,h2,h3 {color:#4267b2;}
 +
 +</style>
 +</html>
 +
 +
 +
 +<markdown>
 +
 +
 +Toto je úkol za 10 bodů, ve finálním hodnocení však bude započítáván vyšší vahou než předchozí úlohy nebo online test. 
 +
 +# Maticové operace
 +
 +Maticové násobení není komutativní. Je však asociativní a distributivní vzhledem ke sčítání. Najděte v [přednášce](http://user.mendelu.cz/marik/mtk/mat-slidy/matice/#maticov%C3%BD-sou%C4%8Din) nebo v libovolném spolehlivém zdroji, co tyto vlastnosti (tj. asociativita a distributivita vzhledem ke sčítání). Dále ukažte, že komutativita pro součin matic obecně neplatí na příkladě matic $A=\begin{pmatrix} 2&4 \\\\ 0 &1\end{pmatrix}$ a
 +$B=\begin{pmatrix} 5&0 \\\\ 0 &3\end{pmatrix}$.  Tj. vypočtěte součiny $AB$ a $BA$ a ukažte, že oba součiny jsou různé.
 +
 +*Řešení:* Asociativita znamená, že platí $$(AB)C=A(BC)$$ a distributivita
 +$$A(B+C)=AB+AC,\quad (A+B)C=AC+BC$$
 +pro libovolné matice $A$, $B$, $C$ vždy, když jsou tyto operace definovány (tj. matice mají správný počet sloupců a řádků tak, aby příslušné operace bylo možno provést).
 +Přímým výpočtem dostáváme pro zadané matice $A$ a $B$
 +$$AB=\begin{pmatrix}10&12\\\\0&3\end{pmatrix}$$
 +a
 +$$BA=\begin{pmatrix}10&20\\\\0&3\end{pmatrix}.$$
 +Jak vidíme, součiny se nerovnají (liší se prvek v pravém horním rohu).
 +
 +
 +# Symetrické a antisymetrické matice
 +
 +Každou matici umíme zapsat jako součet symetrické a antisymetrické matice. Zapište v tomto tvaru matici $A$ z předchozího bodu.
 +
 +*Řešení:* Pro matici $A=\begin{pmatrix} 2&4 \\\\ 0 &1\end{pmatrix}$ určíme její symetrickou část vzorcem $A_{\text{sym}}=\frac{A+A^T}2$
 + a antisymetrickou část vzorcem $A_{\text{asym}}=\frac{A-A^T}2$.
 + Odsud
 + $$A_{\text{sym}}=\frac12\left(\begin{pmatrix} 2&4 \\\\ 0 &1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2&0 \\\\ 4 &1\end{pmatrix}\right)=\frac12\begin{pmatrix} 4&4 \\\\ 4 &2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&2 \\\\ 2 &1\end{pmatrix}
 +$$
 +a
 + $$A_{\text{asym}}=\frac12\left(\begin{pmatrix} 2&4 \\\\ 0 &1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2&0 \\\\ 4 &1\end{pmatrix}\right)=\frac12\begin{pmatrix} 0&4 \\\\ -4 &0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&2 \\\\ -2 &0\end{pmatrix}.$$
 + Tím dostáváme požadovaný rozklad
 + $$A=\begin{pmatrix} 2&2 \\\\ 2 &1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0&2 \\\\ -2 &0\end{pmatrix}.$$
 +
 +# Soustava rovnic pro ustálené vedení tepla v jedné dimenzi
 +
 +Uvažujme jednorozměrné vedení tepla jako v [příkladě 2.2](http://user.mendelu.cz/marik/mtk/mat-cviceni-screen-reseni.pdf), tj. levý konec tyče je udržován na teplotě $20^\circ\mathrm{C}$ a pravý konec je udržován na teplotě $0^\circ\mathrm{C}$. Po dosažení rovnovážného stavu se bude teplota měnit podél tyče. Situaci můžeme modelovat podobně jako ve [dvourozměrném případě](https://youtu.be/ihZ30PCT0ks): mezi koncovými body tyče si ustanovíme čtyři uzlové body, další dva uzlové body budou na koncích a teploty v uzlových bodech budou po řadě
 +$$20^\circ\mathrm{C},\ x_1,\ x_2,\ x_3,\ x_4,\ 0^\circ\mathrm C.$$ Je přirozené očekávat, že při rovnoměrném rozmístěni uzlových bodů v homogenním materiálu bude teplota v každém bodě vždy aritmetickým průměrem hodnot sousedních. Tedy
 +$$\begin{aligned}x_1&=\frac {20+x_2}2, \\\\x_2&=\frac {x_1+x_3}2, \\\\ x_3&=\frac {x_2+x_4}2, \\\\ x_4&=\frac {x_3}2.\end{aligned}$$ Stejně jako ve [videu](https://youtu.be/ihZ30PCT0ks), kde se podobná úloha řešila ve dvourozměrném případě, převeďte soustavu do tvaru, kdy jsou všechny neznámé na jedné straně a zapište soustavu maticově. V odkazovaném videu je matice $A$ soustavy symetrická. Dostáváme symetrickou matici i v tomto případě?
 +
 +*Řešení:* Úpravou rovnic dostáváme
 +$$\begin{aligned}2x_1&=20+x_2, \\\\2x_2&=x_1+x_3, \\\\ 2x_3&=x_2+x_4, \\\\ 2x_4&=x_3.\end{aligned}$$
 +Po převodu neznámých na jednu stranu má soustava tvar
 +$$\begin{aligned}2x_1-x_2&=20, \\\\-x_1+2x_2-x_3&=0, \\\\ -x_2+2x_3-x_4&=0, \\\\ -x_3+2x_4&=0.\end{aligned}$$
 +Maticově zapsáno, platí
 +$$
 +\begin{pmatrix}2 & -1 & 0 &0\\\\
 +-1 & 2 & -1 &0\\\\
 +0 & -1 & 2& 1\\\\
 +0 & 0 & -1 & 2
 +\end{pmatrix}
 +\begin{pmatrix}x_1\\\\x_2\\\x_3\\\\x_4
 +\end{pmatrix}
 +=\begin{pmatrix}20\\\\0\\\\0\\\\0
 +\end{pmatrix}
 +$$
 +a matice soustavy je symetrická.
 +
 +
 +# Matice jako materiálová charakteristika
 +
 +Matice $D=\begin{pmatrix} 5&0 \\\\ 0 &2\end{pmatrix}$ představuje difuzní matici pro materiál, kterým se látky ve směru osy $x$ difuzí přenášejí 2.5-krát lépe než ve směru kolmém. Uvažujme tři různé podněty (spád koncentrace) stejné intenzity ve třech různých směrech, tj. tři sloupcové vektory stejné délky ve třech různých směrech: $e_1=(1,0)^T$, $e_2=(0,1)^T$ a $u=\left(\frac{\sqrt 2}{2},\frac{\sqrt 2}{2}\right)^T$. Vypočtěte odezvu materiálu (difuzní tok), tj. součiny
 +$$D\vec e_1,\ D\vec e_2,\ D\vec u $$
 +a určete délky výsledných vektorů (velikost difuzních toků). Tyto tři výsledné velikosti difuzního toku porovnejte.
 +
 +Pokud bychom takto popisovali difuzi vody ve dřevě, je možné poznat,
 +ve kterém směru je podélný směr dřeva? Ve směru osy $x$, osy $y$, nebo
 +v jiném směru?
 +
 +**Poznámka:** Délku $|\vec u|$ vektoru $\vec u=(a,b)$ vypočteme podle Pythagorovy věty jako $|\vec u|=\sqrt{a^2+b^2}$.
 +
 +*Řešení:* 
 +Přímým výpočtem pomocí maticového násobení vidíme, že platí
 +$$D\vec e_1=\begin{pmatrix}5&0\\\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\\\0\end{pmatrix},$$
 +$$D\vec e_2=\begin{pmatrix}5&0\\\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\\2\end{pmatrix}$$
 +a
 +$$D\vec u=\begin{pmatrix}5&0\\\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{\sqrt 2}2\\\\\frac{\sqrt 2}2\end{pmatrix}=\frac{\sqrt 2}2
 +\begin{pmatrix}5&0\\\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\\\1\end{pmatrix}
 +=\frac{\sqrt 2}2 \begin{pmatrix}5\\\\2\end{pmatrix}=
 +\begin{pmatrix}\frac{5\sqrt{2}}2\\\\\sqrt{2}\end{pmatrix}.
 +$$
 +Délky vektorů jsou
 +$$|D\vec e_1|=\sqrt{5^2+0^2}=5,$$
 +$$|D\vec e_2|=\sqrt{0^2+2^2}=2$$
 +a
 +$$|D\vec u|=\sqrt{\frac {25}2+2}=\sqrt{\frac{29}2}\approx 3.8.$$
 +Vektory popisující spád koncentrace mají všechny stejnou délku a největší odezva je ve směru vektoru $\vec e_1$. To je i podélný směr, tj. směr osy $x$. Nejmenší odezva je ve směru $\vec e_2$, to je směr kolmý na podélný směr.
 +
 +
 +**Oprava po konzultaci s dřevaři:** V podélném směru vede dřevo vodu mnohem lépe než $2.5$-krát. Koeficient $2.5$ platí pro buněčnou stěnu. Pro dřevo jako celek je koeficient mnohem vyšší a souvisí i s hustotou dřeva.
 +
 +</markdown>
 +
  
matice_01.txt · Poslední úprava: 2020/04/22 00:23 (upraveno mimo DokuWiki)

Nástroje pro stránku