Každá věda se od určité úrovně automaticky stává částí matematiky. (David Hilbert)

Uživatelské nástroje


Sidebar

matematika_new

V 21. století má každý nástroje pro simulace na dosah ruky. I pojetí matematiky je proto vhodné posunout od "jak vypočítat jednoduchý příklad" k "jak naformulovat a zadat užitečný model". Na obrázku je měření teplotního toku dřevěným panelem ve VCJR v Útěchově. Popis transportu energie a hmoty bude jeden z našich hlavních cílů.

Matematika (bakalářský stupeň, LDF)

Tato stránka obsahuje materiály pro zimní semestr, podzim a zima 2020/2021.

Předmět odpovídá obecným úvodům do matematiky na technicky zaměřených oborech s jednosemestrální výukou matematiky. Obsahuje diferenciální a integrální počet a lineární algebru. Je však pojetím a skladbou příkladů silně zaměřen na praktické využití matematiky ve vědách o přírodě a přírodních materiálech. Toto pojetí zahrnuje dřevo (dřevařství, arboristika, nábytek, dřevostavby), půdu (krajinářství) i ekosystémy (lesnictví).

  • Proto derivaci poznáme jako nástroj pro detekci prostorové nebo časové změny veličiny. Nikoliv jako směrnici tečny z obecně zaměřených učebnic nebo Wikipedie.
  • Integrál poznáme především jako cestu od rychlosti změny k velikosti této změny. Nikoliv jako obsah obrazce. To je sice obvyklá představa, ale v materiálovém inženýrství málo užitečná.
  • Lineární algebru nezaměříme na soustavy lineárních rovnic, které za nás dnes řeší počítače tak, že vše vlastně probíhá na pozadí a my o tom ani nevíme. Zaměříme se raději na využití vyjadřovacích prostředků lineární algebry v popisu materiálů, které mají význačné směry ve kterých se liší jejich fyzikální vlastnosti. Dřevo totiž mezi takové materiály bezesporu patří.

Jak plyne z předešlých odstavců, předmět se malinko liší od obecně zaměřených matematických přednášek. Ke zvládnutí čistě matematického aparátu existuje v online i tištěné podobě nepřeberné množství snadno dostupného materiálu. Všechno potřebovat nebudeme. Ale budeme potřebovat poznatky, které se z takové záplavy informací těžko vyzobávají a v těch ryze matematicky orientovaných materiálech ani nejsou. Proto je silně doporučeno sledovat náplň kurzu a přizpůsobit tomu práci během semestru a výběr literatury. To poněkud zvyšuje nároky na studenty, ale je nutné si uvědomit, že cílem předmětu není přispět k výchově poloprofesionálních matematiků, jak tomu může být na obecně zaměřených oborech. Chceme otevřít dveře poznání studentům, kteří mají ambice studovat přírodu a prostředí okolo nás prostředky dostupnými v 21. století.

Kombinovaná forma, ZS 2020/2021

Materiály jsou stejné jako pro denní studium níže. Další instrukce budou doplněny.

Presenční forma, ZS 2020/2021

  1. 01.jpg Přednáška o derivacích, základním stavebním kamenu pro studium funkcí. Naučíme se matematicky popsat rychlost. Ve cvičení se naučíme derivovat a tuto znalost využijeme v týdnech bezprostředně následujících. Naučíme se například pro veličiny spojené fyzikálním vzorcem najít souvislost mezi rychlostmi změn těchto veličin. Jedna z aplikací je měření odporu dřeva pro stanovení vlhkosti.
    • Přednáška Derivace I
    • Cvičení: Výpočet derivací.
  2. 02.jpg Naučíme se využít derivace k rozumné aproximaci funkcí a fyzikálních zákonů. Tím se mnoho vztahů stane významně jednoduššími a matematické modely se stanou spočitatelnými i bez superpočítačů. Ukážeme si dále polynomiální aproximaci, která umožní zachytit jevy z podstaty nelineární, jako je například laser. Ale rozebereme si i řešitelnost rovnic a možnosti jejich numerického řešení.
    • Přednáška: Derivace II
    • Cvičení: Využití derivací v matematických modelech
  3. 03.jpg Další využití derivací, tentokrát zaměřeno na extrémy. Naučíme se hledat optimální stavy systému. Ukážeme si příklady v souladu s intuicí (pokud chci vyřezat co nejtužší nosník z kulatiny, musím řezat obdélníkový profil) i jdoucí proti intuici (tlustší izolace okolo horké trubky nemusí znamenat menší tepelné ztráty, existuje takzvaný kritický poloměr izolace). Seznámíme s pojmem gradient, který dokáže identifikovat směr podnětů dávajících do pohybu vedení tepla nebo transport látek. A poprvé se seznámíme s bezrozměrnými veličinami, které přijdou ke slovu i později.
    • Přednáška: Derivace III.
    • Cvičení: Derivace součinu a podílu, lineární aproximace, numerické derivování, lokální extrémy funkce.
  4. 04.jpg Derivaci jsme poznali jako míru měřící rychlost změn a nyní si uvedeme opačnou úlohu. Znalost rychlosti s jakou se mění nějaká veličina nám umožní najít tuto veličinu. Naučíme se například najít změnu teploty u procesu, u kterého intenzita tepelné výměny klesá s časem.
  5. 05.jpg Integrály pro pokročilé. Naučíme se numericky aproximovat určitý integrál a dokonce otevřeme vrátka mimo svět elementárních funkcí.
  6. 06.jpg Fyzikální zákony formulujeme pomocí rychlostí změn (derivací) a důsledky hledáme řešením vzniklých rovnic, zpravidla vhodným integrováním. Problematika spadá do oblasti diferenciálních rovnic. Diferenciální rovnice jsou ale i ideálním nástrojem i pro modelování růstu populací v ekologii nebo odtoku srážek z regionu. Formulovat diferenciální rovnice již umíme díky derivacím. Teď si znalosti prohloubíme, utřídíme. Poznáme problematiku existence a jednoznačnosti řešení. Naučíme se redukovat počet parametrů v modelu popisujícím přírodní proces díky zavedení bezrozměrných veličin.
  7. 07.jpg V materiálovém inženýrství potřebujeme často zohlednit, že v jednom směru má materiál jiné vlastnosti než ve směru jiném. Příroda má v materiálu jakési dálnice pro transport vody nebo tepla. Matice, které poznáme na této přednášce, jsou skvělým prostředkem pro zachycení tohoto jevu. Také matice poznáme jako nástroj na studium deformací materiálu. Podíváme se i na vedení tepla, zatím bez rovnice vedení tepla.
  8. 08.jpg Má-li materiál v jednom směru výrazně odlišné vlastnosti než ve směru jiném, můžeme tuto vlastnost zohlednit v matematickém modelu a snažit se najít směry, ve kterých je popis úlohy nejjednodušší. Týká se zejména dřeva, které má silně odlišné vlastnosti v různých směrech. Ukážeme si, jak najít tyto zásadní směry (využívá se řešení soustav lineárních rovnic) a jak se materiálové charakteristiky při popisu, který tyto směry bere v úvahu, zjednodušují (diagonalizace matice).
  9. 09.jpg Při řešení praktických úloh sice pomocí fyziky zpravidla snadno sestavíme diferenciální rovnici popisující daný jev, ale vyřešit rovnici efektivně bývá i v relativně jednoduchých případech nemožné. Například velice záleží na geometrii úlohy, tj. tvaru studovaného tělesa apod. Zpravidla se takové úlohy převádí na řešení soustav lineárních rovnic. Proto soustavy patří k malé násobilce inženýra a v této přednášce se je mimo jiné naučíme řešit numericky.
  10. 10.jpg Zákony zachování jsou základními stavebními kameny mnoha technických výpočtů zabývajících se transportem látky, energie, či jakékoliv veličiny. Prakticky všechny mají jednotné matematické pozadí a stejnou formu (rovnice kontinuity, resp. rovnice difuze, resp. rovnice vedeni tepla), kterou si představíme v této přednášce. Ukážeme si jednotný aparát pro popis sušení dřeva, vedení tepla, proudění vody v korytě a proudění podzemní vody.
  11. 11.jpg Integrály je někdy nutné uvažovat i ve více proměnných. Třeba pokud veličina, kterou studujeme, není rozložena v jedné dimenzi podél přímky, ale v rovině. Technické aplikace jsou například při studiu odolnosti nosníků vůči deformaci (kvadratický moment průřezu). Geometrické aplikace jsou například při výpočtech objemů těles nepravidelného tvaru, jako jezero se známým profilem dna.
  12. 12.jpg Numerické modelování je silná zbraň, ale množství parametrů, které je nutno nastavit, by úlohu komplikovalo. Na rovnici vedení tepla si ukážeme zavedení bezrozměrných veličin, které toto množství parametrů sníží. Navazuje na problematiku transformace diferenciální rovnice do bezrozměrných veličin. To jsme nakousli během semestru a teď si dovednosti rozšíříme.
  13. Poslední týden výuky. Srhnutí rezerva, bude specifikováno dle organizace semestru.

Literatura

Základní literatura

  • Slidy a všechny slidy v jednom PDF (bude se aktualizovat během semestru podle skutečné náplně)
  • Cvičení: Text s cvičeními bude postupně aktualizován a rozšiřován, jak poběží semestr. text prezentace

Další literatura

Ukončení

Bude oznámeno na začátku semestru.

Obrázky: pixabay.com, R. Mařík, R. Slávik, J. Dömény

matematika_new.txt · Poslední úprava: 2020/07/14 11:18 (upraveno mimo DokuWiki)