Příroda se směje našim potížím s integrací. (Pierre Simon Laplace, francouzský matematik a fyzik)

Uživatelské nástroje


matematika-otazky

====== Rozdíly ======

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

Odkaz na výstup diff

matematika-otazky [2020/03/05 07:36] (aktuální)
Řádek 1: Řádek 1:
 +<markdown>
 +
 +Otázky ke zkoušce předmětu Matematika
 +-------------------------------------
 +
 +<b>Finální verze pro zimu 2019.</b>
 +
 +Zkouška obsahuje cca 50% teorie a 50% praktického počítání, ale řada
 +příkladů a otázek kombinuje obojí. Pro teorii vycházejte ze slidů, pro
 +příklady z materiálů ze cvičení. Tyto materiály si v případě potřeby
 +doplňte dalšími zdroji, například z doporučené literatury nebo z
 +literatury v minulých bězích předmětu.  U každého pojmu je nutná
 +znalost definice, je nutné mít představu o případném využití a být
 +schopen uvést jednoduchý příklad. Odpouští se jenom definice limity,
 +Riemannova integrálu a determinantu. Pozor: někdy je definice pojmu v
 +jedné přednášce a metoda výpočtu nebo možné využití je některé
 +přednášce následující. U metod jako Jacobiho, Newtonova, Gaussova
 +... je nutné vědět, co je na vstupu metody (pro jaké úlohy se
 +používá), co je na výstupu (co dostaneme) a jak se metoda
 +provádí. Případně zda, kdy a jak je zajištěno, že metoda funguje.
 +
 +## Otázky (spíše teorie)
 +
 +1. **Derivace a parciální derivace**.
 +1. **Souvislost derivace se spojitostí**, **souvislost derivace s monotonií**.
 +1. **Fyzikální význam derivace**, **jednotka derivace**, **přibližná změna a lineární aproximace pomocí derivace**, parciální derivace, **gradient.**
 +1. Derivace vyšších řádů, aproximace funkce Taylorovým polynomem.
 +1. **Schopnost formulovat jednoduché matematické modely ze slovního zadání obsahujícího rychlosti změn veličin.**
 +1. **Schopnost najít souvislost mezi rychlostmi změn dvou veličin.**
 +1. Lokální extrémy a jejich souvislost s derivací, hledání lokálních extrémů.
 +1. Bolzanova věta.
 +1. **Neurčitý integrál**, **určitý integrá**l (Newtonův), **určitý integrál** (Riemannův - jenom základní koncept), včetně příkladů využití.
 +1. Aplikace integrálu, metoda per partés a substituční metoda.
 +1. Jednoznačnost primitivní funkce, existence primitivní funkce, **určitý
 +  integrál jako funkce meze**, **střední hodnota**, numerická aproximace
 +  (základní myšlenka).
 +1. Diferenciální rovnice, Cauchyova úloha, řešení pomocí separace
 +  proměnných, základní myšlenka pro numerickou aproximaci (Eulerova
 +  metoda), základní myšlenka pro redukci konstant pomocí transformace
 +  do jiných proměnných (změna jednotek), jednoznačnost řešení.
 +1. Diferenciální rovnice $y'=f(y)$ a stabilita jejích konstantních řešení.
 +1. Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými, metoda řešení a jednoznačnost.
 +1. Maticové násobení, inverzní matice, vlastní čísla a vektory.
 +1. Determinant matice, charakteristická rovnice matice.
 +1. Maticový a vektorový tvar soustavy lineárních rovnic.
 +1. **Věta o souvislosti determinantu, inverzní matice, soustavě rovnic,
 +    lineární nezávislosti.**
 +1. Iterační metody řešení soustavy lineárních rovnic (Jacobiho metoda, obecně nebo i konkrétně pro malou soustavu rovnic)
 +1. **Divergence vektorového pole - využití, fyzikální význam.**
 +1. Dvojný integrál - základní vlastnosti, metoda převodu na dvojnásobný (Fubiniova věta), využití. Kdy se dvojný integrál redukuje na součin dvou integrálů?
 +1. **Co mají společné a v čem se liší jednotlivé typy integrálů (neurčitý, Newtonův, Riemannův, dvojný), kdy se který používá?**
 +1. **Co mají společné a v čem se liší jednotlivé typy derivací (obyčejná, parciální), kdy se která používá?**
 +1. **Adaptujte zadanou rovnici kontinuity pro konkrétní situaci a rozepište pomocí parciálních derivací** (přítomnost/nepřítomnost zdrojů, anizotropní/ortotropní/izotropní prostředí, homogenní/nehomogenní prostředí, stacionární/nestacionární případ, ...) nebo naopak, **v rovnici kontiuity sestavené někým  pro konkrétní případ vysvětlete úlohu jednotlivých členů**.
 +1. **Newtonova metoda řešení rovnic.**
 +1. **Taylorův polynom a odvození vztahů pro aproximaci první a druhé derivace pomocí konečných diferencí**.
 +1. Transformace stacionnární rovnice vedení tepla na soustavu lineárních rovnic metodou konečných diferencí.
 +1. **Slovní úloha vedoucí na derivace nebo integrál nebo diferenciální rovnici.** Něco velmi podobného tomu, co se dělalo během semestru na přednáškách a ve cvičeních
 +
 +
 +## Příklady (spíše počítání)
 +
 +Obtížnost příkladů zhruba podle cvičení a podle toho, co se dělalo v semestru.  
 +
 +1. **Podejte slovní interpretaci (včetně jednotky) derivace zadané proměnné nebo funkce podle jiné proměnné.**
 +1. **Vypočítejte derivaci, druhou derivaci, integrál, střední hodnotu.**
 +1. Najděte lokální extrémy,
 +1. **Sestavte matematický model (diferenciální rovnice)**
 +1. Vyřešte diferenciální rovnici.
 +1. Vyřešte soustavu rovnic 3x3 nebo 3x4 Gaussovou eliminací.
 +1. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory matice 2x2.
 +1. Velmi jednoduché příklady na kterýkoliv pojem. 
 +
 +
 +</markdown>
  
matematika-otazky.txt · Poslední úprava: 2020/03/05 07:36 (upraveno mimo DokuWiki)

Nástroje pro stránku