Home Page of Robert Mařík

SEIR model a důležitost karantény

Pokusíme se zdůvodnit, jaký má karanténa vliv na šíření epidemie. Na rozdíl od minulé simulace s SIR modelem vezmeme reálnější SEIR model, kde je populace rozdělená na část náchylnou k infekci, vystavenou infekci, infikovanou a rezistentní. Hodnoty použijeme z článku Social Distancing to Slow the Coronavirus.

Koncepce modelu

Vysvětlení modelu je opravdu z rychlíku, zájemci si mohou sehnat podrobnější literaturu. Například populace neznamená počet všech lidí ve státě nebo na planetě. Ten, kdo důsledně dodržuje hygienická pravidla a nemá kontakty je z hlediska viru z populace zcela izolován od okolí a v modelované populaci prostě není. To je určitě nejlepší volba.

Komu se nechce číst tak doprovodné video je nalinkované jako obrázkový odkaz.

Populaci velikosti $N$ rozdělíme na čtyři skupiny jak je v názvu modelu a v úvodním odstavci.

• Skupina S (angl. susceptible) obsahuje tu část populace, které je náchylná k onemocnění. Tito jedinci netrpí chorobou, mohou však být infikováni při styku s lidmi, kteří chorobu přenáší.
• Skupina E (angl. exposed) jsou obsahuje tu část populace, která byla vystavena infekci a je v inkubační době onemocnění. Tito jedinci onemocní a přejdou do skupiny $I$.
• Skupina I (angl. infected) obsahuje část populace tvořenou infikovanými jedinci. Tito jedinci vykazují známky onemocnění a rozšiřují nemoc mezi členy skupiny $S$.
• Skupina R (angl. removed) obsahuje tu část populace, která je tvořena jedinci, kteří byli dříve infikováni, ale nyní již nemohou šířit chorobu. Jsou zde obsaženi jedinci, kteří se uzdravili a zůstali trvale imunní. Dále jsou zde jedinci, kteří byli trvale izolováni a dokonce, v případě smrtelné nemoci, jedinci, kteří zemřeli.

Velikosti skupin S, E, I a R budeme označovat $S$, $E$, $I$ a $R$. Veličiny jsou obecně funkcemi času. V libovolném časovém okamžiku $t$ platí $$ S(t)+E(t)+I(t)+R(t)=N. $$

Pro vývoj epidemie přijmeme předpoklady stejné jako v SIR modelu, je zde však mezistupeň s jedinci v inkubační době.

Matematická formulace modelu

Převzatý model z článku Social Distancing to Slow the Coronavirus je soustava rovnic $$ \begin{aligned} \frac{\mathrm dS}{\mathrm dt}&=-\rho\beta SI,\\ \frac{\mathrm dE}{\mathrm dt}&=\rho\beta SI-\alpha E,\\ \frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}&=\alpha E-\gamma I,\\ \frac{\mathrm dR}{\mathrm dt}&=\gamma I\\ S+E+I+R&=N \end{aligned} $$ s počátečními podmínkami $S(0)>0$, $E(0)>0$, $R(0)=I(0)=0$, $S(0)+E(0)=N$.

Zdůvodnění hodnot parametrů je ve výchozím článku. Jak je tradiční v modelech epidemií, závislosti bereme jako lineární funkce procházející počátkem, tj. jako přímé úměrnosti. Konstanty úměrnosti ve skutečnosti nebudou konstantami, protože při velkém promoření populace virem si lidé začnou dávat větší pozor a sníží se parametr $\beta$. Také budou ochotněji zůstávat s příznaky nemoci doma a zvýší se parametr $\gamma$. Musíme tedy situaci brát jako model, jak by to vypadalo, kdyby lidé setrvali ve svých stereotypech chování.

Simulace

Simulace používá počáteční podmínku, kdy epidemii začne jeden z desetitisíce, tj. stejně jako v původním článku. ČR je už pochopitelně mnohem dál.

Parametr $\rho$ je koeficient, který charakterizuje, jak se sníží přenos díky omezení sociálních kontaktů, díky karanténě. V simulaci je použita hodnota $\rho =1$ (před omezením sociálních kontaktů) a $\rho = 0.6$ (po omezení sociálních kontaktů). Všimněte si, že s křivkami se děje přesně to, co jste viděli ve zpravodajství: jsou více ploché a maximum je odsunuto odsunuto dále v čase. Zelené křivky udávají, kolik procent lidí epidemii prodělalo. Při pomalejším šíření (čárkovaná čára) prodělá epidemii méně lidí a je tedy větší procento těch, kterým se epidemie zcela vyhne.

Spustit simulaci