Mysleli jsme to dobře, ale dopadlo to jako vždy (Viktor Čenomyrdin po nepovedené měnové reformě v roce 1993)

Uživatelské nástroje


jjjjjj

====== Rozdíly ======

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

Odkaz na výstup diff

jjjjjj [2020/05/03 13:14] (aktuální)
Řádek 1: Řádek 1:
 +<html>
 +<style>
 +.page p img {max-width:400px}
 +.reseni {color:blue; padding-bottom:20px;}
 +img {max-width:400px;float:right;}
 +body {
 +        counter-reset: h2counter;
 +    }
 +
 +h2:before {
 +        content: counter(h2counter) ".\0000a0\0000a0";
 +        counter-increment: h2counter;
 +    }
 +
 +
 +h2,h1,h3 {clear:both;}
 +
 +h1,h2,h3 {color:#4267b2;}
 +
 +</style>
 +</html>
 +
 +
 +
 +<markdown>
 +
 +
 +## Inverzní matice
 +
 +Napište definici inverzní matice.
 +
 +<div class="reseni">
 +Inverzní maticí k čtvercové matici $A$ rozumíme matici $A^{-1}$ s vlastností $$A^{-1}A=AA^{-1}=I,$$
 +kde $I$ je jednotková matice.
 +</div>
 +
 +## Vlastní čísla
 +
 +Najděte vlastní čísla matice $\begin{pmatrix}0&1\\\\1&3\end{pmatrix}.$
 +
 +<div class="reseni">
 +Vlastními čísly matice $\begin{pmatrix}0&1\\\\1&3\end{pmatrix}$ jsou řešení rovnice
 +$$\begin{vmatrix}-\lambda&1\\\\1&3-\lambda\end{vmatrix}=0.$$
 +Výpočtem determinantu obdržíme
 +$$-\lambda(3-\lambda)-1=0$$
 +a po úpravě
 +$$\lambda^2-3\lambda-1=0.$$
 +Pomocí vzorců pro řešení kvadratické rovnice jsou kořeny této rovnice (a vlastní čísla)
 +$$\lambda_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{9-4\cdot 1\cdot (-1) }}{2}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}.$$
 +</div>
 +
 +## Transformace šikmého lepeného spoje
 +
 +Na přednášce jsme ukázali metodu nalezení normálového a smykového
 +napětí v šikmém lepeném spoji. Situace je stejná jako v příkladě v přednášce, prvek je namáhán jenom ve směru osy $y$ a tenzor napětí je (v megapascalech)
 +$$\sigma=\begin{pmatrix}0&0\\\\0&10\end{pmatrix}.$$
 +Připomeňme, že obecně má [tenzor napětí](https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_stress_tensor) tvar
 +$$\sigma=\begin{pmatrix}\sigma_{x}&\\tau_{xy}\\\\\tau_{xy}&\sigma_{y}\end{pmatrix},$$
 +kde $\sigma_{x}$ a $\sigma_{y}$ jsou napětí ve směru osy $x$ a osy $y$ a $\tau_{xy}$ je smykové napětí.
 +Odvodili jsme tvar transformačních rovnic
 +$$\sigma'=R(-\theta)\sigma R(\theta),$$
 +kde $R(\theta)$ je matice rotace o úhel $\theta$ proti směru hodinových ručiček. S tímto budeme nadále pracovat, tj. budme uvažovat tah ve svislém směru, který vyvolává uvedené normálové namáhání ve směru osy $y$ a jiné namáhání nebude přítomno.
 +
 +### 3.1. Otočení po směru a proti směru hodinových ručiček
 +
 +![http://user.mendelu.cz/marik/images/matice_02.png](http://user.mendelu.cz/marik/images/matice_02.png)
 +
 +Pokud se rozhodnu spojit tyč pod úhlem 30 stupňů, mělo by být z
 +hlediska namáhání jedno, zda šikmý spoj vznikne pootočením kolmého
 +spoje po nebo proti směru hodinových ručiček. Ale je to jenom laický
 +odhad. Ověřte moji hypotézu. prozkoumejte spoj, který vznikne otočením
 +příčného řezu po směru hodinových ručiček ($\theta=30^\circ$) a porovnejte s výsledkem z
 +přednášky ($\theta=-30^\circ$). Jsou namáhání stejná nebo ne? Vysvětlete.
 +
 +
 +Můžete využít [modifikaci výpočtu](https://sagecell.sagemath.org/?z=eJxVzT0OwjAMBeC9Uu9giYGkSiGIhaU3gIW16hBKRCxKEjlJxSU4AWdhogej_EgVm_35PXkGW7RakUVQ3UkfSAnwzkXX6pE8uYgQLsOdEhh3ROv656M1QGm44XDT5zzrFbF5NDqqOc-zfXVRkfDK6rp1gX2cizKg_c2NqKdFTJmmGdu7qS2FHKNSrOTnkozuqnItl6uNLDwCzOBNMBKEmLxN0AOpIyqrW5NneeYJbQRmGdsvQjr8_lTlu8Z5sSv-_cucvwBQc1sr&lang=sage&interacts=eJyLjgUAARUAuQ==), který jsme měli pro otočení spoje o $30$ stupňů po směru hodinových ručiček.
 +
 +<div class="reseni">
 +Výsledek z přednášky je
 +$$R(30^\circ)\sigma R(-30^\circ)=\begin{pmatrix}2.5&-4.3 \\-4.3&7.5\end{pmatrix}.$$
 +Pro otočení na opačnou stranu platí
 +$$R(-30^\circ)\sigma R(30^\circ)=\begin{pmatrix}2.5&4.3 \\4.3&7.5\end{pmatrix}.$$
 +Přímým porovnáním vidíme, že normálová napětí jsou stejná. Smyková napětí stejná nejsou, ale jsou stejné jejich velikosti. Znaménko rozlišuje pouze směr smykového namáhání a z obrázku je žrejmé, že směry se liší. Platí tedy přirozená doměnka, že pro namáhání spoje nezáleží na tom, jakým směrem spoj zešikmíme. 
 +</div>
 +
 +### 3.2. Otočení o 45 a 90 stupňů
 +
 +Při otočení spoje o $45$ stupňů má situace jistou míru symetrie
 +(stejný odklon působící síly od směru spoje jako od normálového směru
 +na spoj) a laicky bych očekával, že normálové napětí
 +$\sigma^{\prime}\_{x}$, které se snaží spoj natáhnout bude stejné jako
 +napětí $\sigma'_{y}$ , které se snaží spoj narušit v normálovém
 +směru. Ověřte tento odhad: vypočtěte komponenty transformovaného
 +tenzoru napětí a napište, zda potvrzují můj odhad. Dále určete v této
 +konfiguraci spoje komponentu smykového napětí.
 +
 +Při otočení spoje o 90 stupňů se jedná vlastně o podélné namáhání dvou
 +tyčí vedle sebe. Ze zkušenosti si myslím, že při takovém podélném
 +namáhání je jedno, jestli jsou části podélně slepeny podél červené
 +linie na obrázku nebo ne. Proto bych laicky očekával, že normálové
 +napětí $\sigma'\_{x}$, které se snaží spoj natáhnout bude stejné jako
 +působící tahové napětí, tj. $10\,\mathrm{MPa}$ a žádné jiné napětí se
 +neprojeví. Napětí $\sigma'_{y}$, které se snaží spoj narušit v
 +normálovém směru bude nulové a smykové napětí $\tau'\_{xy}$ bude také
 +nulové. Ověřte tento odhad: vypočtěte komponenty transformovaného
 +tenzoru napětí a napište, zda potvrzují můj odhad.
 +
 +<div class="reseni">
 +Pro otočení o $45^\circ$ platí
 +$$R(-45^\circ)\sigma R(45^\circ)=\begin{pmatrix}5&5 \\5&5\end{pmatrix}.$$
 +Napětí v pootočených souřadných osách, tj. čísla v hlavní diagonále, jsou opravdu stejná. Smykové napětí, tj. číslo ve vedlejší diagonále, je stejné, jako napětí ve směru os.
 +</div>
 +<div class="reseni">
 +Pro otočení o $90^\circ$ platí
 +$$R(-90^\circ)\sigma R(90^\circ)=\begin{pmatrix}10&0 \\0&0\end{pmatrix}.$$
 +Smykové napětí ve spoji a normálové napětí ve směru kolmém ke spoji jsou nulová a je tedy jedno, zda je spoj slepený či nikoliv. Normálové napětí ve směru spoje, $\sigma'_{x}$, je působící tahové napětí  $10\,\mathrm{MPa}$.
 +</div>
 +
 +
 +### 3.3 Derivace normálového napětí
 +
 +Vrátíme se zpět k numerickému derivování. Použijeme dopřednou
 +diferenci, tj. $$\frac{\mathrm df}{\mathrm
 +dx}\approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$ Tento vztah použijeme k numerickému
 +odhadu derivace normálového napětí v předchozích příkladech podle úhlu.
 +
 +Určete změnu normálového napětí $\sigma'_y$ na spoji při otočení spoje
 +z hodnoty $\theta=-30^\circ$ na $\theta=-28^\circ$, tj. lepený spoj se
 +z hodnoty $\theta=-30^\circ$ napřímí o dva stupně. Použijte tuto
 +hodnotu k určení odhadu derivace normálového napětí podle úhlu pro
 +$\theta=-30^\circ$, tj.  $$\frac{\mathrm d\sigma'_y}{\mathrm dx}(-30^\circ)\approx\frac{\sigma'_y(-28^\circ)-\sigma'_y(-30^\circ)}{2}.$$ Podejte i
 +slovní interpretaci této derivace a určete její jednotku. Určete
 +znaménko této derivace, podejte slovní interpretaci tohoto znaménka
 +(vzpomeňte si přitom na souvislost znaménka derivace a monotonie
 +funkce) a vysvětlete, zda toto znaménko vychází v souladu s
 +očekáváním, která máme ze zkušenosti při používání šikmých spojů.
 +
 +<div class="reseni">
 +Platí (s přesností na tři destinná místa) $\sigma'_y(-30)=7.500\,\mathrm{MPa}$ a $\sigma'_y(-28)=7.796\,\mathrm{MPa}$. Odsud
 +$$\frac{\mathrm d\sigma'_y}{\mathrm dx}(-30^\circ)\approx\frac{\sigma'_y(-28^\circ)-\sigma'_y(-30^\circ)}{2}=\frac{7.796-7.500}{2}=0.148\,\mathrm{MPa}\,\mathrm{deg}^{-1}=148\,\mathrm{kPa}\,\mathrm{deg}^{-1}.$$ Derivace je 148 kilopascalů na úhlový stupeň a slovně vyjádřeno tato hodnota udává, že s každým úhlovým stupněm o který se směr spoje zvýší z hodnoty $-30^\circ$ naroste normálové namáhání spoje o $148$ kilopascalů. Vypočtená derivace je kladná. To odpovídá očekávání. Ze zkušenosti totiž víme, že funkce $\sigma'_y(\theta)$ je v bodě $\theta=-30^\circ$ rostoucí. Vskutku, pokud úhel při hodnotě $-30^\circ$ roste, znamená to, že spoj je více kolmý. A namáhání takového spoje je vyšší, což zná asi každý, kdo někdy něco lepil.
 +</div>
 +
 +
 +**Poznámka:** Jsou známy i přesné transformační vztahy. Například v [přednášce](http://user.mendelu.cz/marik/mtk/mat-slidy/inverzni_matice/#obecn%C3%A9-vzorce-pro-transformaci-tenzoru), v [e-opoře Fyzikální a mechanické vlastnosti dřeva](https://is.mendelu.cz/eknihovna/opory/index.pl?cast=9178;lang=cz), ve skriptech P. Horáček, Fyzikální a mechanické vlastnosti dřeva nebo v knize A. Požgaj a kol. Šruktůra a vlastnosti drevá nebo běžně na [Internetu](https://www.continuummechanics.org/coordxforms.html), zejména na stránkách věnovaných mechanice kontinua. Pro normálové napětí ve spoji z nich plyne přímo vzorec, který se v našem případě ($\sigma_{x}=\tau_{xy}=0$, $\sigma_y=10\,\mathrm{MPa}$) redukuje na
 +$$\sigma'_y=\cos^2(\theta)10\,\mathrm{MPa}.$$ Pokud byste porovnávali výstupy tohoto vzorce s vypočtenou hodnotou derivace, je nutné si uvědomit, že tento vzorec pracuje s radiány, ale my jsme pracovali se stupni, tj. je nutné převést jednotky. Dále se výsledky neshodují ani po převedení jednotek zcela přesně, protože náš numerický výpočet derivace je pouze aproximace.
 +
 +
 +</markdown>
 +
  
jjjjjj.txt · Poslední úprava: 2020/05/03 13:14 (upraveno mimo DokuWiki)

Nástroje pro stránku