Příroda se směje našim potížím s integrací. (Pierre Simon Laplace, francouzský matematik a fyzik)

Uživatelské nástroje


iouewroiuewqr

====== Rozdíly ======

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

Odkaz na výstup diff

iouewroiuewqr [2020/03/17 09:17] (aktuální)
Řádek 1: Řádek 1:
 +<html>
 +<style>
 +h1,h2,h3 {color:#4267b2;}
 +
 +</style>
 +</html>
 +
 +
 +<markdown>
 +
 +# Model lovu a model obaleče
 +
 +## 1. Model lovu
 +
 +### 1.1 Základní model
 +
 +Studoval jsem rovnici $$\frac{\mathrm dP}{\mathrm dt}=rP\left(1-\frac PK\right)-\alpha,$$ která modeluje růst populace v prostředí s omezenou nosnou kapacitou $K$. Populace je vystavena konstantnímu lovu $\alpha$. Pro simulaci jsem použil hodnoty $K=40000$, $r=0.1$, $\alpha=950$. [Numerickou simulací](https://sagecell.sagemath.org/?z=eJx1Uttq3DAQfTf4HwbyEDtxsrtt89CCvmAp-H1ZysSaXSuSJSNLbuyv70jbzaVQYbAtzbnM0czoq9v2toYbkHRSVnUEo3cDWUtlcZMXtK739BIIJn5gRI8DBb_AHirrJougccROBUzQKXiSqgYENGOPUCkbyK7p1Lg51m-sP93K0OcoiZm7PqgAK-vyKyH8jKa5WnERtLPUlcVefNvyYrv_Uy6LrCu-P6UqliyLjBVfMix_w6SGaLDjFqeAPoivf0lH12Ggzirg_TmRXkvVm--yKAsvdptdAvil6w0rgycullEnzlPV1sLftXfV7qHd7OuHSxIfq-MUIov37nc1GheqBGmqttk2-7qBkzpPaiVxeGp2xzpdztnj6Q2uLvgGtCR4IdAGJWeB1_8VR-ctJqNBvLelocOJVWUQj7sUhXf6QxJlMS-TIUlaHA7bJgdzPHLdzLJuVfDs5D-JtCJXcU2aHIVGrfhpgE7Og-JD8GjPVJ2Mc77KV7CRoa5_MLJbtIlTWQAv2Qqbo7jj0-Tbq9Qp6QZsHMirTi-ATP-qBjejXbKflX3z3LzHcyFrxYCvVXsvOdVE1jtpXZoUN-aOGUeBgQjukxANcSV4XsJ7jokuiHAvw8VUyLUwp0DpcnzN7hHHkaysDqFpj0k2Grcmd6hDRGNV7_JsxQusLIyawq88A1eKZhmUFdnzvGhPvGtz-hFWNWluu-tZ-3oNfwBmtzsX&lang=sage&interacts=eJyLjgUAARUAuQ==) pomocí Eulerovy metody s velikostí kroku $0.1$ na intervalu délky $200$ jsem zjistil, že populace nevyhyne a její velikost se po počátečním poklesu ustálí na hodnotě příbližně $25 000$.  
 +
 +![Lov udrzitelny.](http://user.mendelu.cz/marik/images/DP_lov_1.png)
 +
 +### 1.2 Změna nosné kapacity
 +
 +Změnou nosné kapacity jsem se snažil změnit charakter vývoje populace. Cílem bylo najít, jak se na trvalé udržitelnosti lovu projevuje nosná kapacita prostředí. V minulém odstavci jsme viděli, že populace přežívá, lov je trvale udržitelný. Budeme hledat nosnou kapacitu prostředí, pro kterou populace vyhyne. Z biologického hlediska bychom měli nastavit takové podmínky, aby se populaci dařilo hůře, což v případě nosné kapacity prostředí odpovídá nižší hodnotě. Aby populace vyhynula, metodou pokus/korekce jsem snižoval hodnotu $K$. Zjistil jsem, že chování modelu se mění někde okolo hodnoty $K=37000$ kdy se stane to, že výraz definovaný pravou stranou rovnice je stále záporný a [populace vyhyne](https://sagecell.sagemath.org/?z=eJx1Um1rpDAQ_i74Hwb6odradpdSjjvIL1gO_L4sx9TM1jQxkZh41V9_k8j25aBBUJN5XubJzOir6_a6hiuQdFZWdQSjdwNZS2VxlRe0rvf0GggmfmBEjwMFv8ABKusmi6BxxE4FTNApeJKqBgQ0Y49QKRvIrunUuDnW76y_3crQ5yiJmbs-qAAr6_IrIfyMprlYcRG0s9SVxUE8_tjtdmz3O-WyyLri51OqYsmyyFjxlGH5GyY1RIMdtzgF9EE87jbS0XUYqLMKeH9OpJdS9e67LMrCi_3DPgH80vWGlcETF8uoE-e5amvhb9qban_XPhzquy2Jz9VxCpHFe_e3Go0LVYI0VdvsmkPdwFm9TGolcXxq9qc6Xc6Lx_M7XG34BrQkeCXQBiVngZf_FUfnLSajQXy0paHDiVVlEPf7FIV3-lMSZTEvkyFJWhyPuyYHczpx3cyyblXw7OR_ibQiV3FNmhyFRq34ZYDOzoPiQ_BoX6g6G-d8la_gQYa6_sXIbtEmTmUBvGQrbI7ihk-Tb69Sp6QbsHEgrzq9ADL9mxrcjHbJflb2zXPzEc9G1ooB36r2VnKqiax30ro0KW7MHTOOAgMR3BchGuJK8LyEjxwTXRDhVobNVMi1MKdAaTu-ZHeP40hWVsfQtKckG41bkzvUIaKxqnd5tuIGKwujpvAnz8CFolkGZUX2PC_aE-_anH6EVU2a2-561r5cwz-Bnjsg&lang=sage&interacts=eJyLjgUAARUAuQ==), viz obrázek.
 +
 +![Lov udrzitelny.](http://user.mendelu.cz/marik/images/DP_lov_2.png)
 +
 +### 1.3 Závěr
 +
 +Tento výsledek kvalitativně odpovídá biologické představě, protože při zadané intenzitě lovu se zmenšením nosné kapacity prostředí může do té doby trvale udržitelná strategie lovu stát neudržitelnou z dlouhodobného hlediska. Například intenzita rybolovu se musí snížit, pokud se zhorší životní prosředí pro ryby a ty nemohou dynamikou své reprodukce ztráty způsobené lovem nahrazovat.
 +
 +## 2 Model obaleče
 +
 +### 2.1 Základní model
 +
 +Studoval jsem model $$\frac{\mathrm dP}{\mathrm dt}=P\left[r\left(1-\frac Pq\right)-\frac{P}{P^2+1}\right],$$
 +který modeluje populaci obaleče v prostředí s omezenou nosnou kapacitou $q$ a populace je vystavena lovu od predátorů (ptáků). Snažil jsem se populaci modelovat od vývoje z nulového stavu a proto jsem ve všech simulacích použil počáteční podmínku $P(0)=0.01$
 +
 +### 2.2 Simulace 
 +
 +Rozborem pravé strany jsem zjistil, že pro hodnoty parametrů $r=0.5$, $q=11$ má pravá strana rovnice na intervalu $(0,q)$ tři nulové body, protože křivky $r\left(1-\frac Pq\right)$ a $\frac{P}{P^2+1}$ [mají tři průsečíky](https://sagecell.sagemath.org/?z=eJwrtDU05OUqsjXQM-XlCjC0LcjJL9Go0NeoiDPSNtTU0ajQMdAxMtDUUUjOz8kvslUvSk1R1wSqNIKoLNLSMNSt0C-EqgTSUHVJOaWpYIWG2gFGADSaGrU=&lang=sage&interacts=eJyLjgUAARUAuQ==). Simulace [vývoje populace](https://sagecell.sagemath.org/?z=eJxdUsuO4yAQvFvyPyDNYXDiSZyR5rIS_8A9yq56gGwQGDw8rLG_fhssrzbLAVndVdXVhWcI9JW_duSFSHXXTgtFpuBH5Zxqmy92uWDH-eiAGJhA6ASlH1NQUreN8U4J9j4MiKrfJOoxWxBIjglCYsNpKBKTF5CUcJpgeS4SOxJVXuohbdM2AQkfiA-LeFgcQ4JCrMymKN4p71g48AO9vPHzV_fGf76fKV7HS_fEyTHloobj_842REDEqkzsVByZ4M0_bttmXqJVUhl2vQ59NX-7IW5GVb9q8unlf7Y5qyjElNw0WL3CU3x3H4jGJgngfit6t94HWmM6y9R1P5ApFmNzbBuCR3LmaNnxgN3iO-iyiTI9cXlUQQuzEED5bz36GdxS_azoW2Gu-_Z6E-NshG_Kj5L3QxF7eOl8eTw_1Y2RpxISgfinQWrMqyKfSyIrTD442OQSS0eZNlOpYslcAlVbe8_uBNOknKTX1PNbGZutX4s7MCmDdfrh6w-QN1rbWB3Tr8n6RHeJfhm1Y9XzvJigsOpq-pmsOhpcWzxw9v4MfwAYNOX1&lang=sage&interacts=eJyLjgUAARUAuQ==) obaleče pro tyto hodnoty  pro tyto hodnoty Eulerovou metodou s krokem $0.1$ na intervalu délky $200$ je na obrázku níže. Vývoj populace se ustálí přibližně na hodnotě $0.7$.
 +
 +
 +![Obalec 1.](http://user.mendelu.cz/marik/images/DP_lov_3.png)
 +
 +
 +### 2.3 Simulace pro modifikované hodnoty parametrů
 +
 +Pro hodnoty parametrů $r=0.6$, $q=11$ (tj. parametr $q$ je stejný jako v předchozí simulaci a zvýšila/snížila se hodnota $r$) má pravá strana rovnice na intervalu $(0,q)$ jediný nulový bod, protože křivky $r\left(1-\frac Pq\right)$ a $\frac{P}{P^2+1}$ mají [jediný](https://sagecell.sagemath.org/?z=eJwrtDU05OUqsjXQM-PlCjC0LcjJL9Go0NeoiDPSNtTU0ajQMdAxMtDUUUjOz8kvslUvSk1R1wSqNIKoLNLSMNSt0C-EqgTSUHVJOaWpYIWG2gFGADT1GrY=&lang=sage&interacts=eJyLjgUAARUAuQ==) průsečík. V tomto případě mají křivka $\frac{P}{P^2+1}$ a $r\left(1-\frac Pq\right)$ jediný průsečík a to v klesající části křivky $\frac{P}{P^2+1}$. [Simulace vývoje populace obaleče pro tyto hodnoty](https://sagecell.sagemath.org/?z=eJxdUsuO4yAQvFvyPyDNYXDiSZw5zGEl_oF7lF31ANkgMHh4WGN__TZYXm2WA7K6q6qrC88Q6Ct_7cgLkequnRaKTMGPyjnVNl_scsGO89EBMTCB0AlKP6agpG4b450S7H0YEFW_SdRjtiCQHBOExIbTUCQmLyAp4TTB8lwkdiSqvNRD2qZtAhI-EB8W8bA4hgSFWJlNUbxT3rFw4Ad6eePnr-6N_3w_U7yOl-6Jk2PKRQ3H_51tiICIVZnYqTgywZt_3LbNvESrpDLseh36av52Q9yMqn7V5NPL_2xzVlGIKblpsHqFp_juPhCNTRLA_Vb0br0PtMZ0lqnrfiBTLMbm2DYEj-TM0bLjAbvFd9BlE2V64vKoghZmIYDy33r0M7il-lnRt8Jc9-31JsbZCN-UHyXvhyL28NL58nh-qhsjTyUkAvFPg9SYV0U-l0RWmHxwsMkllo4ybaZSxZK5BKq29p7dCaZJOUmvqee3MjZbvxZ3YFIG6_TD1x8gb7S2sTqmX5P1ie4S_TJqx6rneTFBYdXV9DNZdTS4tnjg7P0Z_gAaYeX2&lang=sage&interacts=eJyLjgUAARUAuQ==) je na obrázku níže. Vývoj populace se ustálí na přibližně na hodnotě 9. 
 +
 +![Obalec 2.](http://user.mendelu.cz/marik/images/DP_lov_4.png)
 +
 +
 +### 2.4 Závěr
 +
 +Porovnáním vidíme, že v některých případech i malá změna parametrů systému může mít dramatickou odezvu. To je zapříčíněno tím, že malou změnou jednoho parametru došlo k eliminaci dvou průsečíků křivek $r\left(1-\frac Pq\right)$ a $\frac{P}{P^2+1}$, definujících stabilní stavy obaleče. Malý nárůst rychlosti reprodukce z $0.5$ na $0.6$ způsobil mnohonásobný nárůst stabilní hodnoty populace z $0.7$ na $9$.
 +
 +
 +## Poznámka: Bifurkace a jaký byl hlavní smysl této úlohy
 +
 +
 +Při pomalé změně parametrů se situace přizpůsobuje a i odezva je malá a pozvolná. Pokud však máme situace, které vykazují pro různé hodnoty parametrů různé kvalitativní chování (lov může a nemusí být ekologicky udržitelný, škůdce se může a nemusí přemnožit apod), existují v těchto pozvolných změnách i změny skokové. Těm jsme se věnovali v zadané úloze. Nazývají se bifurkace a shlédli jsme o nich názorná videa z Harvardovy univerzity a poté se pokusili je prozkoumat vlastními silami. 
 +
 +
 +
 +</markdown>
 +
 +
  
iouewroiuewqr.txt · Poslední úprava: 2020/03/17 09:17 (upraveno mimo DokuWiki)

Nástroje pro stránku