Každá věda se od určité úrovně automaticky stává částí matematiky. (David Hilbert)

Uživatelské nástroje


difuzni_reseni

====== Rozdíly ======

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

Odkaz na výstup diff

difuzni_reseni [2020/05/22 09:11] (aktuální)
Řádek 1: Řádek 1:
 +<html>
 +<style>
 +.page p img {max-width:400px}
 +.reseni {color:blue; padding-bottom:20px;}
 +img {max-width:400px;float:right;}
 +body {
 +        counter-reset: h2counter;
 +    }
 +
 +h2:before {
 +        content: counter(h2counter) ".\0000a0\0000a0";
 +        counter-increment: h2counter;
 +    }
 +
 +
 +h2,h1,h3 {clear:both;}
 +
 +h1,h2,h3 {color:#4267b2;}
 +
 +</style>
 +</html>
 +
 +
 +
 +<markdown>
 +
 +
 +
 +# Difuzní rovnice
 +
 +## Etika na VŠ
 +
 +Předpokládám, že každý dohledal citační zvyklosti popsané srozumitelnným jazykem pro začínající vysokoškoláky. Důležité je umět rozlišovat mezi vlastní myšlenkou, citací z literatury a plagiátem. Třetí nezařazujeme do prací vůbec, první a druhé musí být pro čtenáře zřetelně rozlišitelné. Zařazením této části do odevzdávané práce každý dává najevo, že se s touto problematikou seznámil.
 +
 +## Diferenciální operátory gradientu a divergence, jejich definice a slovní interpretace
 +
 +Gradient funkce dvou proměnných $f(x,y)$ je vektor
 +$$\nabla f:=\left(\frac{\partial f}{\partial
 +    x},\frac{\partial f}{\partial y}\right).$$ Analogicky definujeme gradient funkce více proměnných jako vektor sestávájící se z parciálních derivací podle jednotlivých (v aplikacích zpravidla prostorových) prostorových proměnných.
 +Z hlediska aplikací je gradinet funkce $f$ vektor ve směru maximálního růstu veličiny $f$ a délka tohoto vektoru je nárůst veličiny $f$ na intervalu jednotkové délky. Podle potřeby pracujeme buď s řádkovými nebo sloupcovými vektory. 
 +
 +Divergence vektorové funkce dvou proměnných $\vec F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$ je v kartézských souřadnicích definována vztahem $$\nabla \cdot \vec F=\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}.$$ Vektorové pole zpravidla používáme k popisu toku. Divergence vektorového vektorového pole udává, jestli se v daném místě a čase tok zhušťuje a nabývá na intenzitě (kladná divergence) nebo řídne a ustává (záporná divergence).
 +
 +## Základní tvar difuzní rovnice a jeho slovní interpretace
 +
 +
 +Difuzní rovnice je rovnice
 +$$
 +      {\frac{\partial u}{\partial t}=\sigma + \nabla\cdot \bigl(D\nabla u\bigr)}.$$
 +Členy $\frac{\partial u}{\partial t}$ a $\sigma$ udávjí po řadě jak rychle se mění hustota stavové veličiny $u$ a  vydatnost zdrojů stavové veličiny. Poslední člen je složený z několika částí, proto je rozebereme jednotlivě. Výraz $\nabla u$ udává nerovnoměrnost v prostorovém rozložení stavové veličiny $u$. Tuto nerovnoměrnost přepočítáme pomocí difuzní matice $D$ a konstitutivního zákona na tok, přenášející stavovou veličinu. Tento tok je reprezentován výrazem $-D\nabla u$. Záporně vzatá divergence tohoto toku doplňuje tento výraz do tvaru
 +$$\nabla\cdot \bigl(D\nabla u\bigr)$$
 +a udává, jak tok v daném místě ztrácí na intenzitě. Poslední část difuzní rovnice tedy představuje přírůstek hustoty stavové veličiny v daném místě za jednotku času, způsobený zeslábnutím toku.
 +
 +Rovnice jako celek vyjadřuje celkovou bilanci stavové veličiny $u$ se započítáním časové změny, příspěvku ze zdrojů a příspěvku způsobeného tokem.
 +
 +
 +## Tok tepla ve dvou rozměrech
 +
 +Teplota ve dvourozměrné desce pro $-5\leq x\leq 5$ a $-5\leq y\leq 5$ zachycené v určitém okamžiku termokamerou je popsána rovnicí
 +  $$T(x,y)=-x^3+2y$$
 +
 +### 4.1 Tok
 +
 +Protože platí $$\frac{\partial}{\partial x}(-x^3+2y)=-3x^2$$ a $$\frac{\partial}{\partial y}(-x^3+2y)=2,$$ jsou gradient $\nabla T$ a tok $\vec q$ po řadě dány funkcemi
 + $$\nabla T=\begin{pmatrix}-3x^2\\\\2\end{pmatrix}$$
 + a
 + $$
 +\vec q= - \begin{pmatrix}
 +    5 & -1\\\\-1&4
 +  \end{pmatrix}
 +  \begin{pmatrix}-3x^2\\\\2\end{pmatrix}
 +  =3x^2
 +  \begin{pmatrix}
 +    5 \\\\-1
 +  \end{pmatrix}
 +  -2
 +  \begin{pmatrix}
 +    -1 \\\\4
 +  \end{pmatrix}
 +  =
 +    \begin{pmatrix}
 +    15x^2+2 \\\\-3x^2-8
 +  \end{pmatrix}.
 +$$
 +
 +### 4.2 Tok v zadaném bodě
 +
 +Platí $$\vec q(x=1,y=2)= \begin{pmatrix}    15+2 \\\\-3-8  \end{pmatrix}=    \begin{pmatrix}    17 \\\\-11  \end{pmatrix}.$$
 +Teplo teče doprava dolů, protože první komponenta je kladná a druhá záporná.
 +
 +
 +### 4.3 Divergence toku
 +
 +Přímým výpočtem divergence dostáváme
 +$$\nabla \vec q=\frac{\partial }{\partial x}\left(15x^2+2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(-3x^2-8\right)
 +=30x+0=30x.
 +$$
 +
 +### 4.4 Scénář 1, bezzdrojová rovnice
 +
 +Dosazením $x=1$ vidíme, že divergence toku v bodě $(1,2)$ je kladná. Vydatnost zdrojů je podle zadání nulová. Proto je v tomto bodě pravá strana difuzní rovnice záporná (napravo je součet vydatnosti zdrojů a záporně vzaté divergence) a levá strana je proto také záporná.
 +$$\frac{\partial T}{\partial t}=0-30=-30<0$$
 +Záporná derivace teploty podle času znamená, že teplota klesá.
 +
 +### 4.5 Scénář 2, rovnice se spotřebiči
 +
 +Pokud je deska ochlazována rovnoměrně rozloženými zdroji s vydatností $\sigma=-3$, odpověď na předchozí otázku se nemění.
 +$$\frac{\partial T}{\partial t}=-3-30=-33<0$$
 +Pravá strana rovnice je ještě zápornější, tím pádem je ještě zápornější i levá strana rovnice a materiál se ochlazuje ještě rychleji.
 +
 +### 4.6 Scénář 3, stacionární stav
 +
 +Zdroj. Plyne z difuzní rovnice tak, že pokud má být v daném bodě teplota konstantní, musí být derivace teploty podle času nulová a to zařídíme kladným přírůstkem ze zdrojů. Opravdu, z rovnice
 +$$0=\sigma-30$$ plyne $$\sigma =30>0.$$
 +Plyne také z předchozího a z toho, že bez zdrojů se materiál ochlazuje.
 +
 +# Literatura
 +
 +(Vkládám jenom odkazy ale podle prvního bodu víte, jak je správně naformátovat a co všechno uvést. Cílem prvního bodu ostatně nebylo naučit se formátovat literaturu, ale poznat hranici mezi vlastní myšlenkou, citací a plagiátem.)
 +
 +* http://user.mendelu.cz/marik/mtk/mat-slidy/derivace_III/
 +* http://user.mendelu.cz/marik/mtk/mat-slidy/vektorove_pole/
 +
 +</markdown>
 +
 +
  
difuzni_reseni.txt · Poslední úprava: 2020/05/22 09:11 (upraveno mimo DokuWiki)

Nástroje pro stránku