Příroda se směje našim potížím s integrací. (Pierre Simon Laplace, francouzský matematik a fyzik)

Uživatelské nástroje


difuzni

====== Rozdíly ======

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

Odkaz na výstup diff

difuzni [2020/05/04 10:39] (aktuální)
Řádek 1: Řádek 1:
 +<html>
 +<style>
 +.page p img {max-width:400px}
 +.reseni {color:blue; padding-bottom:20px;}
 +img {max-width:400px;float:right;}
 +body {
 +        counter-reset: h2counter;
 +    }
 +
 +h2:before {
 +        content: counter(h2counter) ".\0000a0\0000a0";
 +        counter-increment: h2counter;
 +    }
 +
 +
 +h2,h1,h3 {clear:both;}
 +
 +h1,h2,h3 {color:#4267b2;}
 +
 +</style>
 +</html>
 +
 +
 +
 +<markdown>
 +
 +
 +Toto je úkol za 10 bodů. Splňte co nejvíce úloh a odevzdejte ve formátu PDF. Úkol je kratší a má delší dobu na vypracování, kvůli online testu. **Konzultace k úlohám průběžně textovou komunikací přes Teams a v případě potřeby svoláme den nebo pár dnů dopředu videochat.**
 +
 +
 +# Difuzní rovnice
 +
 +## Etika na VŠ
 +
 +Seznamte se s doporučenými metodami citování a uvádění zdrojů na vysokých školách. Jako výstup tohoto bodu uveďte zdroj, kde jste se s pravidly a doporučeními seznámili. Používejte důvěryhodné a kvalitní zdroje, tj. například stránky univerzitních knihoven.
 +
 +Pravidla v rozumné míře uplatněte i v předkládané práci. Například snaha přeformulovat definici vlastními slovy není žádoucí, protože to je definice. Naopak slovní vysvětlení významu a použitelnosti by nemělo být opsáno bez uvedení citace a práce by se neměla skládat pouze z citací.
 +
 +## Diferenciální operátory gradientu a divergence, jejich definice a slovní interpretace
 +
 +Napište definici a slovní význam gradientu funkce a
 +divergence vektorového pole.
 +
 +*Poznámka: Pokud bychom podobnou úlohu plnili pro derivaci funkce, mohli bychom napsat například následující.
 +Derivace $f'(x)$ funkce $f(x)$ je definována vztahem $$f'(x):=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}h$$ a
 +v praktických aplikacích vyjadřuje okamžitou rychlost růstu veličiny $f$ v závislosti na
 +veličině $x$. Často ji také interpretujeme jako přibližnou změnu veličiny $f$, pokud se veličina
 +$x$ změní o jednotku.*
 +
 +
 +## Základní tvar difuzní rovnice a jeho slovní interpretace
 +
 +
 +Napište difuzní rovnici a slovní interpretaci všech jejích členů a
 +všech dílčích částí, ze kterých jsou tyto členy sestaveny.
 +
 +*Poznámka: Pokud bychom podobnou úlohu plnili pro vzorec na kterém je
 +založena lineární aproximace funkce, mohli bychom napsat například
 +následující.  Lineární aproximace funkce založena na vztahu
 +$$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a).$$ Na levé straně je přesná hodnota
 +funkce $f$ v bodě $x$, na pravé straně její odhad pomocí funkční
 +hodnoty v bodě $a$ a odhadu změny. Tento odhad změny je vyjádřen
 +členem $f'(a)(x-a)$. Tento člen se skládá ze součinu derivace $f'(a)$,
 +která představuje odhad změny veličiny $f$ při změně vstupních dat o
 +jednotku, se členem $(x-a)$, který tento odhad přepočítává přímou
 +úměrností na skutečnou změnu ve vstupních datech.*
 +
 +
 +## Tok tepla ve dvou rozměrech
 +
 +Teplota ve dvourozměrné desce pro $-5\leq x\leq 5$ a $-5\leq y\leq 5$ zachycené v určitém okamžiku termokamerou je popsána rovnicí
 +  $$T(x,y)=-x^3+2y$$
 +  Rozměry jsou v centimetrech, teplota ve stupních Celsia. (Formálně to nevychází, ale ke každému členu můžeme dodat konstantu, která rozměr opraví tak, aby výsledek opravdu vycházel ve stupních Celsia. Pro jednoduchost tuto komplikaci vynecháme.)
 +
 +### 4.1 Tok
 +
 +Vypočtěte gradient $\nabla T$  a tok tepla $-\lambda \cdot \nabla T.$
 +Součinitel tepelné vodivosti (pro jednoduchost s celými čísly a bez jednotky) je $\lambda=
 +  \begin{pmatrix}
 +    5 & -1\\\\-1&4
 +  \end{pmatrix}.
 +$
 +
 +### 4.2 Tok v zadaném bodě
 +
 +Určete směr, kterým teče teplo v bodě $(1,2)$. Vyjádřete v pojmech doprava, doprava nahoru apod. (Osa $x$ míří doprava, osa $y$ nahoru.)
 +
 +
 +### 4.3 Divergence toku
 +
 +Vypočtěte divergenci toku tepla, tj. $\nabla\cdot(-\lambda \cdot \nabla T).$
 +
 +
 +### 4.4 Scénář 1, bezzdrojová rovnice
 +
 +V desce nejsou zdroje tepla. Ochlazuje se deska v bodě $(1,2)$, nebo otepluje?
 +
 +### 4.5 Scénář 2, rovnice se spotřebiči
 +
 +Deska je ochlazována rovnoměrně rozloženými zdroji s vydatností $\sigma=-3$. Mění tato informace odpověď na předchozí otázku?
 +
 +### 4.6 Scénář 3, stacionární stav
 +
 +Rozložení teploty a tok jsou stacionární a dané hodnoty jsou udržovány vhodným rozmístěním zdrojů a spotřebičů tepla. Je v bodě $(1,2)$ nutné umístit zdroj nebo spotřebič?
 +
 +
 +</markdown>
 +
 +
  
difuzni.txt · Poslední úprava: 2020/05/04 10:39 (upraveno mimo DokuWiki)

Nástroje pro stránku