Každá věda se od určité úrovně automaticky stává částí matematiky. (David Hilbert)

Uživatelské nástroje


buckingham_reseni

====== Rozdíly ======

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

Odkaz na výstup diff

buckingham_reseni [2020/04/02 15:06] (aktuální)
Řádek 1: Řádek 1:
 +<html>
 +<style>
 +.page p img {max-width:400px;float:right;}
 +body {
 +        counter-reset: h2counter;
 +    }
 +
 +h2:before {
 +        content: counter(h2counter) ".\0000a0\0000a0";
 +        counter-increment: h2counter;
 +    }
 +</style>
 +</html>
 +
 +<markdown>
 +
 +# Bezrozměrné veličiny, Buckinghamův teorém
 +
 +## Biotovo číslo
 +
 +Biotovo číslo je bezrozměrná veličina definovaná vztahem
 +$$\mathrm{Bi}=\frac{h}{k}L,$$
 +kde $h$ je koeficient přestupu tepla, $k$ je součinitel tepelné vodivosti a $L$ je charakteristická délka tělesa. Derivace této veličiny podle charakteristické délky tělesa je
 +$$\frac{\mathrm d\,\mathrm{Bi}}{\mathrm dL}=\frac{h}{k},$$
 +a udává, jak rychle se mění toto číslo při změně charakteristické délky tělesa. Nebo přesněji, jaká změna Biotova čísla odpovídá změně charakteristické délky o jednotku. 
 +
 +## Tuhost nosníků s jednoparametrickým průřezem
 +
 +Tuhost $I$ kmene ve tvaru válce, tj. nosníku s kruhový průřezem, je dána vztahem $$I=k r^4,$$ kde $k$ je bezrozměrná konstanta a $r$ poloměr.
 +Vypočteme, jak se změní tuhost při snížení poloměru na polovinu. Pokud do vztahu pro tuhost dosadíme poloviční poloměr, tj. za poloměr dosadíme hodnotu $\frac r2$, je tuhost takového oslabeného nosníku
 +$$I=k\left(\frac r2\right)^4 = k\frac{r^4}{2^4}=\frac 1{16}kr^4.$$
 +Vidíme, že při snížení poloměru na polovinu klesne tuhost nosníku šestnáctkrát.
 +
 +
 +## Tuhost nosníků s víceparametrickým průřezem
 +
 +Tuhost nosníku s obdélníkovým průřezem výšky $h$ a šířky $b$ je formálně dána vztahem tvaru $$I=k h^\alpha b^\beta,$$ kde $k$ je bezrozměrná konstanta a $\alpha$ a $\beta$ jsou reálná čísla taková, že jednotka pravé strany je rovna jednotce délky umocněné na čtvrtou. Toto omezení implikuje nutnost splnění vztahu $$\alpha+\beta=4$$ a bohužel máme úlohu, která má pořád nekonečně mnoho řešení. Z hlediska analýzy jednotek je přijatelná například libovolná z následujících tří možností:
 +$$I= k h^3 b, \quad I= k h^2 b^2, \quad I= k h b^3.$$
 +Takových možností je však nekonečně mnoho a jenom jedna z těchto nekonečně mnoha možností je správná. Prostou analýzou jednotek a bez další fyzikální informace o chování skutečných nosníků s obdélníkovým průřezem bohužel nemůžeme tu správnou volbu, která odráží fyzikální realitu, identifikovat. Podívejte se do textu přednášky pro ukázku, jak si s problémem poradit.
 +
 +PS: V původním zadání tohoto příkladu se popletlo označení šířky a omylem jsem použil jednou $w$ a jednou $b$. Děkuji za upozornění všem, kdo si toho všimli. 
 +
 +</markdown>
 +
  
buckingham_reseni.txt · Poslední úprava: 2020/04/02 15:06 (upraveno mimo DokuWiki)

Nástroje pro stránku