aplikovana_matematika

Pro popis vlastností v materiálu je zásadní schopnost modelovat transport tekutin a energie materiálem. Na obrázku výzkumá aparatura VCJR v Útěchově.

Zimní semestr - zima 2021/2022

Kurz je postaven jako navazující kurz, odpovídá obvyklému druhému kurzu matematiky na technických školách příbuzných LDF. Zohledňuje však specifika školy a požadavky na absolventy, kteří budou ze znalostí získaných v kurzu těžit v 21. století, ve století kdy výpočetní výkon letí nahoru a v mobilu má každý jedinec vyšší výpočetní výkon, než počítače použité k prvnímu letu na Měsíc. Tato skutečnost ovlivňuje i konkrétní náplň předmětu.

Do kurzu jsou zařazeny partie týkající se diferenciálního a integrálního počtu funkcí více proměnných a vektorových funkcí a dále kapitoly z diferenciálních rovnic. Důraz je více než na počítání konkrétních derivací nebo integrálů kladen na představení souvislostí a nastínění spektra aplikací tohoto aparátu. Tím se kurz liší od obecně pojatých kurzů, které jsou nejčastější a je k nim nejvíce literatury. Jinak řečeno, nebude pro nás stěžejní to, jak se vypočítá parciální derivace, ale jak tuto derivaci můžeme použít k popisu dějů a jevů ve dřevě, v materiálech obecně, nebo v přírodě okolo nás.

Předmět probíhá presenčně. Podmínky na ukončení jsou na této stránce níže.

Následující nástroje jsou kriticky důležité pro studium.

Webová stránka

Stránka, kterou právě čtete. Veřejně přístupné informace dlouhodobějšího charakteru.

Teams

Primární nástroj pro oboustrannou komunikaci, synchronní online výuku, online konzultace. Přístup přes účet MENDELU, heslo stejné jako do UIS.

Otevřít

WeBWorK

WeBWorK je primární nástroj pro kontrolu a evidenci práce během semestru, odevzdávání domácích úkolů, v případě potřeby distanční zkoušení.

Otevřít

UIS

Univerzitní informační systém použijeme pro hromadné maily od učitele, přihlašování na zápočty a zkoušky, distribuci hesel pro WeBWorK.

Otevřít

Materiály jsou k dispozici z minulých semestrů a mohou být a budou mírně upravovány, aby reflektovaly aktuální situaci

Přednášky

Materiály k přednáškám jsou k dispozici jako texty s vloženými odkazy na Youtube mikropřednášky.

Otevřít

Cvičení

Materiály pro cvičení jsou k dispozici v podobné formě jako pro přednášky.

Otevřít

Cheatsheet

Cheatsheet pro Aplikovanou matematiku. Vzorce, důležitá fakta.

Otevřít

IT cheatsheet

Cheatsheet pro věci související s IT: WeBWorK a LaTeX. Základní příkazy.

Otevřít

Učební materiály odpovídají učebním materiálům pro presenční formu. Pouze jsou jinak seskupeny do celků.

Legenda k semaforu a rozpisu přednášek:

  • zelená ikonka = proběhlo v minulých týdnech,
  • červená ikonka = probíhá tento týden,
  • šedá ikonka = těšíme se na tuto problematiku v dalších týdnech
  1. 8.2.2021, 12:00-16:00. Naučíme se základy matematické gramotnosti nutné pro použití výpočetní techniky. Budeme hledat matematické vyjádření transportních jevů (vedení tepla, sušení dřeva, ...). Jako nástroj pro zachycení intenzity změn v čase nebo prostoru poznáme parciální derivaci. Jako nástroj pro detekci směru maximálního poklesu skalární veličiny (například teploty nebo koncentrace vody) poznáme gradient. Výše uvedený gradient může spustit transport příslušné látky v materiálu, ale roli může hrát i struktura materiálu a výsledný tok nemusí být ve směru gradientu. Proto poznáme lineární aproximaci vektorových funkcí a konstituční vztahy v tenzorovém tvaru (Fourierův nebo Fickův zákon). Odpovídá náplni prvních třech týdnů pro presenční studium.
  2. 11.2.2021, 15:00-19:00. Když už díky gradientu hnacího faktoru a konstitučnímu zákonu pozorujeme tok, může tento tok v některých místech nabírat na intenzitě nebo vyhasínat. Tyto změny detekuje další nástroj, který poznáme, a tím je divergence vektorového pole. Nakonec pomocí všech uvedených pojmů sestavíme balanční rovnici (jakýsi zákon zachování) fungující pro široké spektrum fyzikálních veličin. Jedná se o rovnici kontinuity a difuzní rovnici. Mimo jiné odvodíme rovnici modelující teplotní pole ve dřevě a vlhkostní pole ve dřevě. Ta vektorová pole, která jsou gradientem nějakého skalárního pole, jsou při matematickém modelování příjemná díky možnosti přejít ke skalárnímu popisu pole. Fyzikálně to odpovídá například potenciální energii v mechanice nebo vodnímu potenciálu ve fyziologii rostlin. Nástroj který odhalí možnost či nemožnost zavedení skalárního popisu vektorového pole je další diferenciální operátor, operátor rotace.
  3. 5.3.2021, 8:00-12:00. Budeme se věnovat rozšíření aparátu integrálního počtu. Klasický Riemannův integrál odpovídá integraci po části vodorovné osy, tj. po úsečce. Pro aplikace je nutné se věnovat integrálu po křivce a po části roviny. To nám umožní podchytit takové efekty, jako celkové množství stavové veličiny, které vygenerují zdroje v určité oblasti a celkové množství stavové veličiny, které pronikne přes hranice oblasti dovnitř nebo ven. Bilance dávající do souvislosti tato dvě množství s rychlostí růstu množství stavové v uvažované oblasti je makroskopickou formulací zákona řídícího transportní jevy. Přechod mezi touto formulací a mezi lokální informací odvozenou v přednášce o divergenci zaručuje Greenova věta. Jako vedlejší produkt zjistíme, že křivkový integrál, jako cesta k zavedení potenciální energie, může posloužit k určení skalárního potenciálu, tj. skalárního popisu pole namísto komplikovanějšího popisu vektorového. Odpovídá náplni týdnů 6 až 8 pro presenční studium.
  4. 19.3.2021, 8:00-12:00. Budeme se věnovat diferenciálním rovnicím - modelům, dávajícím do souvislosti rychlosti změn s hodnotami měnících se veličin. Naprostá většina fyzikálních a biologických dějů probíhá rychlostmi, které jsou svázány s aktuálními hodnotami veličin, které se při tomto ději mění. Tato jakási zpětná vazba komplikuje matematický popis. Proto se středoškolská fyzika omezuje zpravidla na děje probíhající konstantními rychlostmi, jako je například rovnoměrný pohyb nebo rovnoměrně zrychlený pohyb (pohyb kde se rychlost mění konstantní rychlostí). Pro práci s realističtějšími modely nám předpoklady konstantních rychlostí nestačí a musíme vyvinout aparát, který nám umožní pracovat s rovnicemi, obsahujícími kromě neznámých funkcí i derivace těchto funkcí. Přesně to jsou diferenciální rovnice. Konzultace odpovídá náplni týdnů 9 a 10 pro presenční studium a části 11-tého týdne.
  5. 9.4.2021, 13:00-17:00. Budeme se věnovat vícedimenzionálním úlohám. Ukážeme si, jak se dá linerita a vlastní čísla využít k analýze chování lineárních i nelineárních soustav diferenciálních rovnic (autonomních systémů). Budeme se věnovat diferenciálním rovnicím druhého řádu, které je možno chápat jako speciální autonomní systémy, ale vzhledem k množství a charakteru aplikací se zpravidla uvažují samostatně. Tyto rovnice můžeme dostat jako speciální případy difuzní rovnice (což zahrnuje difuzi i vedení tepla), nebo jako výstupy z Newtonových zákonů mechaniky. Odpovídá zbytku semestru.

Rozpis je předběžný, otevřeny jsou zajména čtvrtý a pátý týden, kdy jsou hlavní cvičení a tato cvičení jsou na každém oboru v jiných dnech.

Legenda k semaforu a rozpisu přednášek:

  • zelená ikonka = proběhlo v minulých týdnech,
  • červená ikonka = probíhá tento týden,
  • šedá ikonka = těšíme se na tuto problematiku v dalších týdnech

Délka videí vložených do přednášek: Do textů přednášky a cvičení jsou vložena videa jako mikropřednášky. To šetří čas (poslechnu jenom to, kde problematice nerozumím ze čteného textu) i orientaci (nemusí se hledat v hodinovém a delším videu). Přibližná doba videí (čas trvání zaokrouhelný na celé minuty a posčítaný pro přednášku i cvičení) je následující.
Údaje k 1.3.2021
Týden 01, prednaska + cviceni 01: 140 minut
Týden 02, prednaska + cviceni 02: 151 minut
Týden 03, prednaska + cviceni 03: 81 minut
Týden 04, prednaska + cviceni 04: 84 minut
Týden 05, prednaska + cviceni 05: 107 minut
Týden 06, prednaska + cviceni 06: 104 minut
Týden 07, prednaska + cviceni 07: 74 minut
Týden 08, Prednaska + cviceni 08: 100 minut
Týden 19, Prednaska + cviceni 09: 103 minut
Týden 10, prednaska + cviceni 10: 80 minut
Týden 11, prednaska + cviceni 11: v priprave

Informace

  • Po cvičení 7.10. (nestihly se některé příklady na gradient) jsem posunul termín odevzdání domácího úkolu a termín otevření dalších úkolů tak, aby termíny reflektovaly skutečný běh předmětu.
  • Pokud nenastane nepředvídatelná situace a budou se realizovat hlavní cvičení podle plánu, bude výuka v týdnu od 11.10. jenom pro nábytek (krajináři hlavní cvičení) a v týdnu od 18.10. jenom pro krajinářství (nábytek hlavní cvičení). Oba týdny se bude dělat to samé, přednáška a cvičení pro čtvrtý týden s doděláním cvičení pro třetí týden.

  1. 00.jpg Základy matematické gramotnosti. Práce se systémem WeBWorK. Vyzkoušejte si systém pro domácí úlohy.
  2. 20.9.2021-24.9.2021 01.jpg Při studiu přírody nás přirozeně zajímají změny veličin, protože jsou hybnou silou nebo kvantitativním popisem veškerého dění. Seznámíme se s parciálními derivacemi, které dokáží zachytit rychlost změn, ať už v čase, nebo v prostoru nebo v abstraktním prostoru. Toto je možno využít ke kvantitativnímu popisu přírodních dějů. Jako aplikaci parciálních derivací odvodíme rovnici vedení tepla v jedné dimenzi. Tu je možno použít například při modelování prostupu tepla stěnou nebo oknem. Nejdůležitější pojmy jsou zpravidla nějakým způsobem zakomponovány do domácích úkolů a je tedy možné začít i od nich (dejte mi zpětnou vazbu, jaký postup vyhovuje největšímu procentu lidí a budeme se snažit průchod semesterem udělat co nejhladší).
  3. 27.9.2021-1.10.2021 Přednáška odpadá (státní svátek). Cvičení: dokončení rovnice vedení tepla a základy teorie grafů (nejkratší cesta, minimální kostra, metoda kritické cesty).
  4. 4.10.2021-8.10.2021 02.jpg Gradient je diferenciální operátor sestavený z parciálních derivací tak, aby odkryl další přírodní zákony. Zejména tok. Gradient umožní popsat skutečnost, že mnoho přírodních dějů vede k tomu, že se příroda snaží nastolit rovnováhu. Proudění se tedy děje z míst, kde je něčeho více. Přesně tento směr dokáže podchytit pojem gradient. K tomuto se ještě přidává fakt, že příroda někdy usměrňuje proudění v materiálech do svých preferovaných směrů. Jsou to jakési dálnice, které strhávají například proudění hmoty nebo tepla. Ve dřevu jsou tyto dálnice poměrně výrazné a jsou v podélném směru.
  5. 11.10.2021-15.10.2021 03.jpg Podrobněji se podíváme na proudění a sestavíme matematický model tak obecného proudění, že jím pokryjeme přenos látky i přenos energie. Jako aplikaci ukážeme matematický popis libovolného transportního jevu. Toto zahrnuje jako speciální případy vedení tepla, proudění mělké nebo podzemní vody, difuzi nebo sušení dřeva. Častým praktickým úkolem je modelování fyzikálních polí (teploty a vlhkosti) v okolí okna. Pokud vše bude podle plánu, je výuka pouze pro nábytek, krajináři mají hlavní cvičení.
  6. 18.10.2021-22.10.2021 Pokud vše bude podle plánu, je cvičení pouze pro krajináře, nábytek má ve čtvrtek hlavní cvičení. Výuka (přednáška i cvičení) bude opakování předešlého týdne pro obor, který neměl výuku.
  7. 25.10.2021-29.10.2021 04.jpg Seznámíme se s dalším vektorovým operátorem, který nám umožní rozhodnout, zda je proudění nebo silové pole popsatelné skalární veličinou. To souvisí s možností či nemožností zavést ve studovaném poli potenciální energii a je to tedy otázka možnosti či nemožnosti razantně zjednodušit modelování procesů v takovém poli. Jako vedlejší produkt poznáme kritérium které rozhodne, zda pole roztáčí objekty, které jsou tímto polem unášeny. Takové je třeba rychlostní pole v řece. Praktické využití znají například vodáci, kteří najíždí do proudu napříč a proud je sám stočí obloučkem do svého směru. Cvičení odpadá - státní svátek. Na přednášce projdeme látku z přednášky i cvičení.
  8. 1.11.2021-5.11.2021 05.jpg Rozšíříme si výpočet integrálu o možnost integrovat podle libovolné křivky. Tím je možno počítat napětí v cylindrických nádobách pod tlakem a zjistit, proč trubky praskají podélně. Jinou aplikací je možnost definovat potenciál i v abstraktních případech nesouvisejících s mechanickou prací. Známý je například vodní potenciál při studiu evapotranspirace stromů nebo rostlin. Práce souvisí s potenciální energií a proto se dá čekat, že bude i souvislost s operátorem rotace, představeným na předchozí přednášce. Na takovou souvislost si ovšem budeme muset ještě nějaký ten týden počkat.
  9. 8.11.2021-12.11.2021 06.jpg Pokračujeme v rozšiřování integračních možností a naučíme se integrovat přes dvourozměrné množiny. Aplikací je například výpočet charakteristik důležitých pro posouzení odolnosti nosníku vúči deformaci. Jinou aplikací výpočet tlaku na plochu ponořenou napříč různými hloubkami.
  10. 15.11.2021-19.11.2021 07.jpg Poznáme obecné věty, které dávají fyzikální význam operátorům rotace a divergence. Umožňují převod mezi lokálním a globálním tvarem fyzikálních zákonů a dávají konečně odpověď na otázku, ke kterým vektorovým polím je možno zavést skalární potenciál a jak. Vedlejším produktem je vysvětlení funkce planimetru nebo výpočet křivkového integrálu druhého druhu pomocí kmenové funkce.
  11. 22.11.2021-26.11.2021 08.jpg Seznámíme se s přirozeným nástrojem pro formulaci fyzikálních zákonů a přírodních dějů obecně: s diferenciálními rovnicemi. Fyzika střední školy obsahuje zpravidla jenom děje probíhající za speciálních podmínek. V reálu nás v přírodě zajímají změny a souvislosti změn s ostatními veličinami. Tyto změny se vyjadřují pomocí derivací a souvislosti poté pomocí diferenciálních rovnic. Diferenciální rovnice jsou takto ideálním prostředkem pro popis přírodních zákonů. Typickým představitelem je radioaktivní rozpad (a s ním související například ochrana budov) nebo tepelná výměna. Další aplikace jsou v modelování populací živočišných a rostlinných druhů v různých podmínkách. Obrázek z https://www.hauff-technik.de/en/company/industry-news/radon-safe-construction .
  12. 29.11.2021-3.12.2021 09.jpg Linearita. Důležitá vlastnost, která usnadňuje řešení matematických modelů. Modely, které jsou lineární se chovají v jistém smyslu pěkně a mnoho vlastností mají podobných. Naprostá většina technicky zajímavých jevů a dějů snese lineární aproximaci a tím pádem umožní i jednotný popis řešení tak, jak se s ním seznámíme na přednášce.
  13. 6.12.2021-10.12.2021 10.jpg Poznáme speciální soustavy diferenciálních rovnic, které jsou nezávislé na čase a umožňují modelování interagujících populací (různé druhy konkurence, modely dravce a kořisti apod). Ukážeme si model vývoje vzorců chování a vysvětlení principu přemnožení lesního škůdce. Dalšími aplikacemi jsou kompartmentové modely, které popisují jakési přelévání veličin, které modelujeme, mezi různými stavy. Využití je od chemických reakcí přes model složeného žaludku nebo šíření epidemie až k modelu odtoku srážek z regionu.
  14. 13.12.2021-17.12.2021 11.jpg V této přednášce se seznámíme s lineárními diferenciálními rovnicemi druhého řádu. Těmito rovnicemi je prostoupena v podstatě celá klasická mechanika. Mají uplatnění při studiu kmitavých pohybů strun, desek nebo těles. Dále při studiu nosníků namáhaných na vzpěr a v úlohách založených na třech Newtonových pohybových zákonech. Naučíme se metody řešení, ale zaměříme se i na to, jakým způsobem se obyčejná lineární diferenciální rovnice druhého řádu objeví objeví při studiu parciálních diferenciálních rovnic, například při studiu rovnice vedení tepla.

  • Během semestru budou zadávány domácí úlohy v systému WeBWorK. Tyto domácí úlohy se budou započítávat ke zkoušce.
  • Písemka na 50 bodů. Během zkoušky je možné pracovat s literaturou.
  • Bonus za domácí úkoly je nevýše 20 bodů. Bonusy jsou přidělovány následovně (součet za všechny úlohy je 160 bodů)
    • 20 bonusových bodů za hodnocení alespoň 90% bodů z domácích úloh, tj. alespoň 144 bodů,
    • 15 bonusových bodů za alespoň 70% bodů z domácích úloh, tj. alespoň 112 bodů,
    • 10 bonusových bodů za alespoň 60% bodů z domácích úloh, tj. alespoň 96 bodů,
    • 6 bonusových bodů za alespoň 50% bodů z domácích úloh, tj. alespoň 80 bodů.
  • Podmínky na ukončení:
    • Písemka alespoň na 15 bodů z 50.
    • Součet bodů za písemku a domácí úkoly a musí být alespoň 25 bodů
    • Antiplagiátorská a antighostwritingová ochrana: Nutnou podmínkou absolvování je schopnost srozumitelně a jasně vysvětlit jakýkoliv postup a jakýkoliv výpočet, který student odevzdal během semestru v domácích úlohách nebo se použil ve zkouškové písemce.
  • Hodnocení. První nástřel známky je podle bodů z písemky, A (56-70 bodů), B (48-55 bodů), C (41-47 bodů), D (33-40 bodů), E (25-32 bodů), F (nevyhověl). Toto hodnocení bude upraveno na základě výsledků ústního zkoušení, které bude po písemce.
  • Staré písemky zde
  • Písemka bude v každém případě openbook, tj. můžete si přinést literaturu. Mezi literaturu se nepočítá přístup na internet a programy na matematické výpočty.
  • Ústní část zkoušky se plánuje spíše jako rozprava nad odpověďmi z písemek a domácích úkolů vedoucí k potvrzení toho, že student ví co dělal během semestru v domácích úlohách a v písemce během zkouškové písemky. Že je schopen (po případném nahlédnutí do materiálů) tyto postupy reprodukovat a obhájit.

Termíny zkoušek

  • Budou oznámeny koncem semestru v termínu sle studijního a zkušebního řádu.

Následující nástroje mohou být vaši pomocníci

  • LaTeXovátko, nástroj pro usnadnění psaní textů obsahujících matematické výrazy. Je k dispozici i přímo ve WeBWorKových úkolech, kde se zadávají ucelené texty.
  • WeBWorK nezávazně si můžete vyzkoušet i bez přihlášení. Má překryv s domácími úkoly a je možné použít i pro zopakování partií z úvodního kurzu matematiky (většinou v prvním ročníku).
  • Kurz navazuje na znalosti matematiky získané v bakalářském stupni studia. Měli byste znát derivace, integrály a operace s maticemi (definice a využití). Měli byste umět derivovat a integrovat polynomy, počítat determinanty třetího řádu. Tyto znalosti je možné načerpat nebo si zopakovat zde.
  • Odznáčky ve WeBWorKu - porovnejete se se spolužáky, jak jste aktivní a kolik máte odměn nebo jaký máte level za splněné domácí úkoly. Čím víc, tím lepší šance projít zkouškou v pohodě a bez dalšího učení.
  • Ctrlv.tv vám pomůže nasdílet videokomentář nebo videodotaz. Nahraje hlasový komentář a obrazovku a jenom nasdílíte krátký kód. Není potřeba nic nikam uploadovat.
  • Sage online, jazyk pro skriptování výpočtů, v podstatě knihovna pro populární jazyk Python. Vypočítáte derivace, integráyl, cokoliv z lineární algebry.
  • Octave online, free alternativa MATLABU, obzvlášť maticové výpočty jsou zde snadné ale je možné i derivace, integrály, …
  • MATLAB online, přístup přes účet MENDELU a poté založit profil, podrobněji viz [zde](doku.php?id=matlab). Příklady ze cvičení zde (Cviceni AM).

diferenciální počet
calculus
diferenciální počet funkcí více proměnných
multivariable calculus
parciální derivace
partial derivative
gradient
gradient
divergence
divergence
rotace (vektorového pole)
curl
křivkový integrál
line integral
křivkový integrál prvního druhu
line integral of scalar field
křivkový integrál druhého druhu
line integral of vector field
dvojný integrál
double integral
nezřídlové pole
incompresible field

středník
bodkočiarka
krychle
kocka
tečna
dotyčnica
sudá (funkce)
párna
lichá
nepárna

MENDELU, tento předmět

MENDELU, jiné předměty s částečným překryvem

ne-MENDELU

Nástroje

Tady je Sage, ale pro vektorové funkce se více hodí MATLAB

  • aplikovana_matematika.txt
  • Poslední úprava: 2021/11/28 12:38
  • (upraveno mimo DokuWiki)