Příroda se směje našim potížím s integrací. (Pierre Simon Laplace, francouzský matematik a fyzik)

Uživatelské nástroje


Sidebar

aplikovana_matematika

Pro popis vlastností v materiálu je zásadní schopnost modelovat transport tekutin a energie materiálem. Na obrázku výzkumá aparatura VCJR v Útěchově.

Aplikovaná matematika a Inženýrská matematika

Zimní semestr - podzim a zima 2020

Úvodem

Kurz je postaven jako navazující kurz, odpovídá obvyklému druhému kurzu matematiky na technických školách příbuzných LDF. Zohledňuje však specifika školy a požadavky na absolventy, kteří budou ze znalostí získaných v kurzu těžit v 21. století, ve století kdy výpočetní výkon letí nahoru a v mobilu má každý jedinec vyšší výpočetní výkon, než počítače použité k prvnímu letu na Měsíc. Tato skutečnost ovlivňuje i konkrétní náplň předmětu.

Do kurzu jsou zařazeny partie týkající se diferenciálního a integrálního počtu funkcí více proměnných a vektorových funkcí a dále kapitoly z diferenciálních rovnic. Důraz je více než na počítání konkrétních derivací nebo integrálů kladen na představení souvislostí a nastínění spektra aplikací tohoto aparátu. Tím se kurz liší od obecně pojatých kurzů, které jsou nejčastější a je k nim nejvíce literatury. Jinak řešeno, nebude pro nás stěžejní to, jak se vypočítá parciální derivace, ale jak tuto derivaci můžeme použít k popisu dějů a jevů ve dřevě, v materiálech obecně, nebo v přírodě okolo nás.

Kurz navazuje na znalosti matematiky získané v bakalářském stupni studia. Tyto znalosti je možné načerpat nebo si zopakovat zde.

Základní materiály

Přednášky ZS 2020-2021 (podzim a zima 2020), kombinovaná forma

Neprobíhají.

Přednášky LS 2019-2020 (jaro 2020), presenční forma

  1. 01.jpg Při studiu přírody nás přirozeně zajímají změny veličin, protože jsou hybnou silou nebo kvantitativním popisem veškerého dění. Seznámíme se s parciálními derivacemi, které dokáží zachytit rychlost změn, ať už v čase, nebo v prostoru nebo v abstraktním prostoru. Toto je možno využít ke kvantitativnímu popisu přírodních dějů. Jako aplikaci paricálních derivací odvodíme rovnici vedení tepla v jedné dimenzi. Tu je možno použít například při modelování prostupu tepla stěnou nebo oknem.
    • Přednáška: Parciální derivace a jejich využití. Numerické derivování. Spojitost funkcí více proměnných.
    • Cvičení: Parciální derivace, jejich výpočet, numerický odhad a slovní interpretace.
  2. 02.jpg Gradient je diferenciální operátor sestavený z parciálních derivací tak, aby odkryl další přírodní zákony. Zejména tok. Gradient umožní popsat skutečnost, že mnoho přírodních dějů vede k tomu, že se příroda snaží nastolit rovnováhu. Proudění se tedy děje z míst, kde je něčeho více. Přesně tento směr dokáže podchytit pojem gradient. K tomuto se ještě přidává fakt, že příroda někdy usměrňuje proudění v materiálech do svých preferovaných směrů. Jsou to jakési dálnice, které strhávají například proudění hmoty nebo tepla. Ve dřevu jsou tyto dálnice poměrně výrazné a jsou v podélném směru.
    • Přednáška: Gradient funkce, lineární aproximace, konstitutivní zákony, implicitně definované funkce.
    • Cvičení: Parciální derivace, gradient, tok.
  3. 03.jpg Podrobněji se podíváme na proudění a sestavíme matematický model tak obecného proudění, že jím pokryjeme přenos látky i přenos energie. Jako aplikaci ukážeme matematický popis libovolného transportního jevu. Toto zahrnuje jako speciální případy vedení tepla, proudění mělké nebo podzemní vody, difuzi nebo sušení dřeva. Častým praktickým úkolem je modelování fyzikálních polí (teploty a vlhkosti) v okolí okna.
    • Přednáška: ...
    • Cvičení: ...
  4. 04.jpg Seznámíme se s dalším vektorovým operáterem, který nám umožní rozhodnout, zda je proudění nebo silové pole popsatelné skalární veličinou. Ve druhém případě to souvisí s možností či nemožností zavést ve studovaném poli potenciální energii a je to tedy otázka možnosti či nemožnosti razantně zjednodušit modelování procesů v takovém poli. Jako vedlejší produkt poznáme kritérium které rozhodne, zda pole roztáčí objekty, které jsou tímto polem unášeny. Takové je třeba rychlostní pole v řece. Praktické využití znají například vodáci, kteří najíždí do proudu napříč a proud je sám stočí obloučkem do svého směru.
    • Přednáška: ...
    • Cvičení: ...
  5. 05.jpg Rozšíříme si výpočet integrálu o možnost integrovat podle libovolné křivky. Tím je možno počítat napětí v cylindrických nádobách pod tlakem a zjistit, proč trubky praskají podélně. Jinou aplikací je možnost definovat potenciál i v abstraktních případech nesouvisejících s mechanickou prací. Známý je například vodní potenciál při studiu evapotranspirace stromů nebo rostlin. Práce souvisí s potenciální energií a proto se dá čekat, že bude i souvislost s operátorem rotace, představeným na předchozí přednášce. Na takovou souvislost si ovšem budeme muset ještě nějaký ten týden počkat.
    • Přednáška: ...
    • Cvičení: ...
  6. 06.jpg Pokračujeme v rozšiřování integračních možností a naučíme se integrovat přes dvourozměrné množiny. Aplikací je například výpočet charakteristik důležitých pro posouzení odolnosti nosníku vúči deformaci. Jinou aplikací výpočet tlaku na plochu ponořenou napříč různými hloubkami.
    • Přednáška: ...
    • Cvičení: ...
  7. 07.jpg Poznáme obecné věty, které dávají fyzikální význam operátorům rotace a divergence. Umožňují převod mezi lokálním a globálním tvarem fyzikálních zákonů a dávají konečně odpověď na otázku, ke kterým vektorovým polím je možno zavést skalární potenciál a jak. Vedlejším produktem je vysvětlení funkce planimetru nebo výpočet křivkového integrálu druhého druhu pomocí kmenové funkce.
    • Přednáška: ...
    • Cvičení: ...
  8. 08.jpg Seznámíme se s přirozeným nástrojem pro formulaci fyzikálních zákonů a přírodních dějů obecně: s diferenciálními rovnicemi. Fyzika střední školy obsahuje zpravidla jenom děje probíhající za speciálních podmínek. V reálu nás v přírodě zajímají změny a souvislosti změn s ostatními veličinami. Tyto změny se vyjadřují pomocí derivací a souvislosti poté pomocí diferenciálních rovnic. Diferenciální rovnice jsou takto ideálním prostředkem pro popis přírodních zákonů. Další aplikace jsou v modelování populací živočišných a rostlinných druhů v různých podmínkách.
    • Přednáška: ...
    • Cvičení: ...
  9. 09.jpg Linearita. Důležitá vlastnost, která usnadňuje řešení matematických modelů. Modely, které jsou lineární se chovají v jistém smyslu pěkně a mnoho vlastností mají podobných. Naprostá většina technicky zajímavých jevů a dějů snese lineární aproximaci a tím pádem umožní i jednotný popis řešení tak, jak se s ním seznámíme na přednášce.
    • Přednáška: ...
    • Cvičení: ...
  10. 10.jpg Poznáme speciální soustavy diferenciálních rovnic, které jsou nezávislé na čase a umožňují modelování interagujících populací (různé druhy konkurence, modely dravce a kořisti apod). Ukážme si model vývoje vzorců chování a vysvětlení principu přemnožení lesního škůdce. Dalšími aplikacemi jsou kompartmentové modely, které popisují jakési přelévání veličin, které modelujeme, mezi různými stavy. Využití je od chemických reakcí přes model složeného žaludku nebo šíření epidemie až k modelu odtoku srážek z regionu.
    • Přednáška: ...
    • Cvičení: ...
  11. 11.jpg V této přednášce se seznámíme s lineárními diferenciálními rovnicemi druhého řádu. Těmito rovnicemi je prostoupena v podstatě celá klasická mechanika. Mají uplatnění při studiu kmitavých pohybů strun, desek nebo těles. Dále při studiu nosníků namáhaných na vzpěr a v úlohách založených na třech Newtonových pohybových zákonech. Naučíme se metody řešení, ale zaměříme se i na to, jakým způsobem se obyčejná lineární diferenciální rovnice druhého řádu objeví objeví při studiu paricálních diferenciálních rovnic, například při studiu rovnice vedení tepla.
    • Přednáška: ...
    • Cvičení: ...
  12. Nondimenzionalizace v rovnici vední tepla a některé další úlohy.
    • Přednáška: ...
    • Cvičení: ...
  13. Vybrané matematické modely.
    • Přednáška: ...
    • Cvičení: ...
  14. Opakování, shrnutí látky.
    • Přednáška: ...
    • Cvičení: ...

Základní informace a ukončení

Účast na výuce silně doporučená. Je však nepovinná, prezence se bude evidovat pouze pro statistické účely.

  • Předmět je ukončen písemnou zkouškou.
  • Povolená literatura při zkoušce:
    • presenční forma: Vlastní výpisky z literatury, vlastní poznámky, tabulka vzorců, jedna kniha.
    • kombinovaná forma: Literatura, která zahrnuje vlastní poznámky, dvě knihy a nejvýše 100 stran vytištěných A4 dle vlastního výběru.

Literatura

Základní literatura

Doplňková literatura a dodatečné zdroje

Nástroje

Česko - anglický slovník

diferenciální počet
calculus
diferenciální počet funkcí více proměnných
multivariable calculus
parciální derivace
partial derivative
gradient
gradient
divergence
divergence
rotace (vektorového pole)
curl
křivkový integrál
line integral
křivkový integrál prvního druhu
line integral of scalar field
křivkový integrál druhého druhu
line integral of vector field
dvojný integrál
double integral
nezřídlové pole
incompresible field

Webové aplikace

Kino

aplikovana_matematika.txt · Poslední úprava: 2020/07/07 14:11 (upraveno mimo DokuWiki)