Mnoho nul je přesvědčených, že jsou elipsami, po kterých obíhá zem. (Stanislaw Jerzy Lec)

Uživatelské nástroje


aplikace_odr.md

====== Rozdíly ======

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

Odkaz na výstup diff

aplikace_odr.md [2017/11/22 23:39]
marik
aplikace_odr.md [2020/03/06 10:47] (aktuální)
Řádek 1: Řádek 1:
 <style> <style>
 .aplikace li {margin-bottom:30px;} .aplikace li {margin-bottom:30px;}
 +li strong {display:block;
 +text-align: right;
 +font-weight: normal;
 +color: gray;
 +margin-left: 20%;
 +}
 +li strong::before{content: "Řešení: ";}
 +
 </style> </style>
  
Řádek 16: Řádek 24:
 <markdown> <markdown>
  
-[Řešení příkladů z této stránky](inzmat/aplikace_dr.pdf)+[Řešení některých příkladů z této stránky](inzmat/aplikace_dr.pdf) 
 + 
 +## Slovní popis děje, který lze modelovat pomocí diferenciálních rovnic
  
 1. V nádrži je počáteční množství nečistot. Do nádrže teče 1. V nádrži je počáteční množství nečistot. Do nádrže teče
Řádek 22: Řádek 32:
  odtéká. Průtok na odtoku je stejný jako průtok na  odtéká. Průtok na odtoku je stejný jako průtok na
  přítoku. Sestavte diferenciální rovnici popisující vývoj množství  přítoku. Sestavte diferenciální rovnici popisující vývoj množství
- nečistot v čase.  + nečistot v čase.  **$\frac{dy}{dt}=-ky$**
 1.  Modifikujte předchozí model tak, že budete 1.  Modifikujte předchozí model tak, že budete
  předpokládat, že v přitékající vodě je přítomno konstantní  předpokládat, že v přitékající vodě je přítomno konstantní
  množství nečistot.  množství nečistot.
 +  **$\frac{dy}{dt}=-ky+p$, kde $p$ je množství nečistot, které přiteče za jednotku času**
 1. V příkladu z předchozího bodu předpokládejte, že na počátku je 1. V příkladu z předchozího bodu předpokládejte, že na počátku je
  voda v nádrži čistá. Je přirozené předpokládat, že znečištění vody  voda v nádrži čistá. Je přirozené předpokládat, že znečištění vody
Řádek 31: Řádek 42:
  množství nečistot v nádrži? Stanovte tuto hodnotu úvahou, bez  množství nečistot v nádrži? Stanovte tuto hodnotu úvahou, bez
  řešení diferenciální rovnice.  řešení diferenciální rovnice.
 +  **$\frac{dy}{dt}=0$, tj. $0=-ky+p$ tj. množství nečistot na přítoku i odtoku je stejné.**
 1. V příkladu z předchozího bodu předpokládejte, že nádrží je 1. V příkladu z předchozího bodu předpokládejte, že nádrží je
  jezero o objemu $1000\,\mathrm{m}^3$, průtok na přítoku a odtoku  jezero o objemu $1000\,\mathrm{m}^3$, průtok na přítoku a odtoku
Řádek 44: Řádek 56:
  koncentraci léku v krvi. Sestavte diferenciální rovnici popisující  koncentraci léku v krvi. Sestavte diferenciální rovnici popisující
  koncentraci léku v krvi pacienta.  koncentraci léku v krvi pacienta.
 + **$\frac{dy}{dt}=-ky+p$, kde buď $y$ je množství léku v krvi a $p$ rychlost infúze, nebo $y$ je koncentrace a $p$ rychlost infúze dělená objemem krve.**
 1. Podobně jako léky jsou v krvi odbourávány drogy nebo 1. Podobně jako léky jsou v krvi odbourávány drogy nebo
  alkohol. Modifikujte předchozí případ pro situaci, kdy se nejedná  alkohol. Modifikujte předchozí případ pro situaci, kdy se nejedná
Řádek 49: Řádek 62:
  drogy, ta již není dál dodávána a je pouze odbourávána rychlostí  drogy, ta již není dál dodávána a je pouze odbourávána rychlostí
  úměrnou koncentraci drogy v krvi.  úměrnou koncentraci drogy v krvi.
 + **$\frac{dy}{dt}=-ky$, kde $y$ je množství drogy v krvi nebo koncentrace.**
 1. Kapka vody kulovitého tvaru v atmosféře roste tak, že rychlost, 1. Kapka vody kulovitého tvaru v atmosféře roste tak, že rychlost,
  s jakou se zvětšuje její objem je přímo úměrná velikosti povrchu. Sestavte  s jakou se zvětšuje její objem je přímo úměrná velikosti povrchu. Sestavte
  diferenciální rovnici popisující změnu objemu kapky v čase.  diferenciální rovnici popisující změnu objemu kapky v čase.
 + **$\frac{dV}{dt}=k V^{2/3}$**
 +1. Rychlost (v jednotkách objemu za čas), s jakou vytéká voda z nádrže s vypouštěcím otvorem u dna je úměrná odmocnině výšky hladiny v nádrži. Sestavte diferenciální rovnici udávající, jak rychle klesá hladina v nádrži. Uvažujte nádrž ve tvaru válce a poté nádrž ve tvaru kužele otočeného špičkou dolů a s vypouštěcím ovtorem ve špičce (trychtýř). Souvislost objemu  s výškou je $V=k h$ pro válec a $V=kh^3$ pro kužel, kde $k$ je vždy konstana charakterizující nádrž (je rovna povrchu dna u válce a souvisí s vrcholovým úhlem u kužele).
 1. Kruhová ropná skvrna na hladině se rozšiřuje tak, že poloměr 1. Kruhová ropná skvrna na hladině se rozšiřuje tak, že poloměr
  roste rychlostí, která je nepřímo úměrná druhé mocnině  roste rychlostí, která je nepřímo úměrná druhé mocnině
Řádek 57: Řádek 73:
  vyřešte ji. Jaká funkce popisuje proces zvětšování poloměru  vyřešte ji. Jaká funkce popisuje proces zvětšování poloměru
  olejové skvrny v čase?  olejové skvrny v čase?
 + **$\frac{dr}{dt}=\frac{k}{r^2}$ tj. $r=\sqrt[3]{3kt+C}$**
 1. Pokud bude ropná skvrna z předchozího příkladu vhodným způsobem 1. Pokud bude ropná skvrna z předchozího příkladu vhodným způsobem
  chemicky ošetřena, bude se její poloměr rozšiřovat rychlostí  chemicky ošetřena, bude se její poloměr rozšiřovat rychlostí
Řádek 63: Řádek 80:
  proces a vyřešte ji. Jaká funkce popisuje proces zvětšování  proces a vyřešte ji. Jaká funkce popisuje proces zvětšování
  poloměru olejové skvrny v čase?  poloměru olejové skvrny v čase?
 + **$\frac{dr}{dt}=\frac{k}{r^2(2+t)}$ tj. $r=\sqrt[3]{3\ln(t+2)+C}$**
 1. Podle Newtonova zákona tepelné výměny je rychlost změny teploty 1. Podle Newtonova zákona tepelné výměny je rychlost změny teploty
  při tepelné výměně úměrná rozdílu teplot. Uvažujme horký nápoj  při tepelné výměně úměrná rozdílu teplot. Uvažujme horký nápoj
  přinesený do chladné místnosti. Sestavte diferenciální rovnici  přinesený do chladné místnosti. Sestavte diferenciální rovnici
- popisující chladnutí nápoje. Navrhněte, jak určit onu konstantu+ popisující chladnutí nápoje. *Extra challenge: Navrhněte, jak určit onu konstantu
  úměrnosti udávající vztah mezi rozdílem teplot a rychlostí změny  úměrnosti udávající vztah mezi rozdílem teplot a rychlostí změny
- teploty. _Návod:_ konstanta se bude zřejmě lišit pro různé+ teploty._Návod:_ konstanta se bude zřejmě lišit pro různé
  hrníčky. Kromě počáteční podmínky pomůže dodatečná informace,  hrníčky. Kromě počáteční podmínky pomůže dodatečná informace,
  například teplota nápoje po uplynutí určité doby.  například teplota nápoje po uplynutí určité doby.
 + **$\frac{dT}{dt}=-k (T-T_0)$, kde $T_0$ je tepltota místnosti** 
 1. Při volném pádu v prostředí s odporem vzduchu je rychlost 1. Při volném pádu v prostředí s odporem vzduchu je rychlost
  tělesa ovlivněna dvěma faktory: roste konstantní rychlostí vlivem  tělesa ovlivněna dvěma faktory: roste konstantní rychlostí vlivem
Řádek 78: Řádek 97:
  sobě) . Sestavte diferenciální rovnici pro rychlost takového  sobě) . Sestavte diferenciální rovnici pro rychlost takového
  volného pádu.  volného pádu.
 +  **$\frac{dv}{dt}=g-kv^2$** 
 1. Při nižších rychlostech je odporová síla úměrná ne druhé, ale 1. Při nižších rychlostech je odporová síla úměrná ne druhé, ale
  první mocnině rychlosti. Modifikujte model z předchozího bodu pro  první mocnině rychlosti. Modifikujte model z předchozího bodu pro
  nižší rychlosti.  nižší rychlosti.
 +  **$\frac{dv}{dt}=g-kv$** 
 1. Mnoho živočichů roste tak, že mohou dorůstat jisté maximální 1. Mnoho živočichů roste tak, že mohou dorůstat jisté maximální
  délky a rychlost jejich růstu je úměrná délce, která jim do této  délky a rychlost jejich růstu je úměrná délce, která jim do této
Řádek 86: Řádek 107:
  délky dorůst). Sestavte diferenciální rovnici popisující takovýto  délky dorůst). Sestavte diferenciální rovnici popisující takovýto
  růst.  růst.
 + **$\frac{dL}{dt}=k (L_\infty-L)$, kde $L_\infty$ je maximální délka** 
 1. Rychlost učení (tj. časová změna objemu osvojené látky) je 1. Rychlost učení (tj. časová změna objemu osvojené látky) je
  úměrná objemu dosud nenaučené látky. Sestavte diferenciální  úměrná objemu dosud nenaučené látky. Sestavte diferenciální
  rovnici modelující proces učení probíhající podle těchto pravidel.  rovnici modelující proces učení probíhající podle těchto pravidel.
 + **$\frac{dL}{dt}=k (L_\infty-L)$, kde $L_\infty$ je celkový objem znalostí**
 1. Plníme nádrž vodou. Voda přitéká konstantní rychlostí $k$ litrů/sec. Kvůli netěsnostem voda vytéká rychlostí úměrnou druhé mocnině objemu vody v nádrži. Na počátku nádrž obsahovala 100 litrů vody. Napište počáteční úlohu modelující tento proces. 1. Plníme nádrž vodou. Voda přitéká konstantní rychlostí $k$ litrů/sec. Kvůli netěsnostem voda vytéká rychlostí úměrnou druhé mocnině objemu vody v nádrži. Na počátku nádrž obsahovala 100 litrů vody. Napište počáteční úlohu modelující tento proces.
 + **$V(0)=100$, $\frac{dV}{dt}=k-k_0V^2$**
 1. Vika má na účtu 150 tisíc Kč. Každý měsíc se jí připíše úrok ve výši 0.22% a odešle 6200 Kč na poplatky. Napište počáteční úlohu modelující tento proces. 1. Vika má na účtu 150 tisíc Kč. Každý měsíc se jí připíše úrok ve výši 0.22% a odešle 6200 Kč na poplatky. Napište počáteční úlohu modelující tento proces.
 +**rovnice je $\frac{du}{dt}=0.0022u-6200$, počáteční podmínka je $u(0)=150000$**
 +1. Populace jelenů v národním parku přibývá rychlostí 10% za rok. Správa parku každý rok odebere 50 jedinců. Napište matematický model pro velikost populace jelenů v oboře.
 +**$\frac{dy}{dt}=0.1 y-50$**
 +1. Dospělý člověk potřebuje na udržení své hmotnosti přibližně 40 kalorií na každý kilogram své váhy. Jakákoliv odchylka směrem nahoru od této ideální situace má za následek příbývání váhy rychlostí úměrnou rozdílu mezi skutečným přijmem a příjmem nutným pro udržení konstatní váhy. Modelujte tento proces matematicky.
 +**$\frac{dm}{dt}=k(C-40m)$, kde $m$ je hmotnost a $C$ kalorický příjem za den**
 +1. Chemikálii rozpouštíme v nádrži tak, že do nádrže pumpujeme vodu a směs odčerpáváme. Objem směsi roste podle vztahu $20+2t$. Množství chemikálie $z$ klesá rychlostí, která je úměrná $z$ a nepřímo úměrná objemu roztoku v nádrži.
 + **$\frac{dz}{dt}=-\frac{kz}{20+2t}$**
 +1. Velikost populace roste rozmnožováním a tento růst je brzděn lovem populace. Rychlost s jakou se populace rozmnožuje je přímo úměrná velikosti populace a procentu volné kapacity v prostředí s omezenou nosnou kapacitou (tj. jde o logistický růst). Rychlost lovu je buď konstantní, nebo úměrná velikosti populace. Modelujte obě strategie lovu.
 + **$\frac{dy}{dt}=ry\left(1-\frac yK\right)-h$ pro lov konstantní rychlostí a  $\frac{dy}{dt}=ry\left(1-\frac yK\right)-hy$ pro lov rychlostí úměrnou velikosti populace.**
 +1. Andrej si zapaluje jednu cigaretu od druhé. Za hodinu vykouří pět cigaret. Z každé cigarety do jeho krve přejde 0.4 mg nikotinu. Nikotin se v těle rozkládá rychlostí úměrnou množství nikotinu v krvi. Konstanta úměrnosti je 0.346 (množství nikotinu v krvi měříme v miligramech a čas v hodinách). Sestavte diferenciální rovnici popisující množství nikotinu v jeho krvi. Najděte rovnovážnou hodnotu kdy se rychlost odbourávání vyrovná rychlosti doplńování nikotinu v krvi. Určete jak poklesne množství nikotinu v krvi přes noc, pokud Andrej poslední cigaretu vykouří v jedenáct večer a první v šest hodin ráno.
 +**1. část: $ \frac{dy}{dt}=5\cdot 0.4-0.346 y$**
 +1. *Ebbinghausův model zapomínání.*
 + Německý psycholog Hermann Ebbinghaus (1850–1909) provedl v roce 1885 empirický 
 + výzkum zapomínání naučené látky. Předpokládejme, že se student
 + naučil jistou dávku učební látky a v čase $t = 0$ tuto látku ovládá. Postupem času však
 + některé naučené informace zapomíná. Označme $p(t)$ relativní množství látky, kterou v čase
 + $t$ měřeném od okamžiku plného zvládnutí látky ještě ovládá. Zřejmě $p(0) = 1$ a $p(t) \in [0, 1]$.
 + Optimisticky předpokládejme, že určitou část látky student nikdy nezapomene. Označme
 + relativní množství této látky $b\in  (0, 1)$. Předpokládejme dále, že množství zapomenuté
 + látky je přímo úměrné délce časového intervalu a množství látky, které je možné
 + ještě zapomenout. Sestavte příslušný matematický model. (Podle disertační práce Mgr. Pavla Pražáka na UK)
 + **$\frac{dp}{dt}=k(p-b)$, kde $b$ je množství látky, které zůstane v paměti natrvalo**
 +1. Parašutista o hmotnosti 70kg vyskočil z letadla. Předpokládejte nulovou počáteční rychlost a kladný směr rychlosti $v$ směrem dolů. Odporová síla je dána vztahem $0.8|v|$. Sestavte počáteční úlohu modelující pohyb parašutisty.
 + **$70\frac{dv}{dt}=70g-0.8 v$, kde $g$ je tíhové zrychlení. Počáteční podmínka: $v(0)=0$**
 1. Štěně roste tak, že hmotnost $w$ nabírá rychlostí nepřímo úměrnou stáří v měsících. Modelujte tento proces pomocí diferenciální rovnice. 1. Štěně roste tak, že hmotnost $w$ nabírá rychlostí nepřímo úměrnou stáří v měsících. Modelujte tento proces pomocí diferenciální rovnice.
-1. Sestavte dif. rovnici pro výpočet dráhy letu pro šikmý vrh vzhůru s úhlem hodu 45° a počáteční rychlostí 14,1 m/s bez odporových sil prostředí.+ **$\frac {dw}{dt}=\frac{k}{t}$**
 1. Po západu slunce přestali námořníci veslovat. Loď byla bržděna pouze třením úměrným rychlosti, nefouká vítr. Za 10 sekund doplula 30 metrů, za dalších 10 sekund doplula ještě 15 metrů. Kde se zastaví? [výpočet](https://sagecell.sagemath.org/?z=eJx9kc9uwyAMxu-V-g6WdghMacf-HXmSqaoQIQuD4AocpvTpZ6LusEnbCWOb7_fZVJNFRxCgqk7udxU0jEuy5DGJrnZSkASAOxjc6JO3Dipn9jvu1IMrGKsTgx9HUXuSWh_Cfe3hjS8nPlRf1Um219kVlzxc0BpylqMl4rTud0X7RO49c5YVBPWKZWTDZTMZ-HBwq0e4Ql7tFLGQb_gy4acom5OghSiC9KOSD-18UlIei58v0Y_reVxiFPLwrB5eXuWRhxjOGZGE6rl_mwyLuf5wZyeOh9knF8BAIZOwbg0mm9lRXnhdl-yhrhEX2ypV8UKUvtnogw6N-Bun5P-4sP6Ba_K3kSH62ZOAIhjC-9VVyR6Ivw1RQgNsDQYqsH1MDFg2s4NJvD-YcEhIpjG_5b8AmUCkWA==&lang=sage 1. Po západu slunce přestali námořníci veslovat. Loď byla bržděna pouze třením úměrným rychlosti, nefouká vítr. Za 10 sekund doplula 30 metrů, za dalších 10 sekund doplula ještě 15 metrů. Kde se zastaví? [výpočet](https://sagecell.sagemath.org/?z=eJx9kc9uwyAMxu-V-g6WdghMacf-HXmSqaoQIQuD4AocpvTpZ6LusEnbCWOb7_fZVJNFRxCgqk7udxU0jEuy5DGJrnZSkASAOxjc6JO3Dipn9jvu1IMrGKsTgx9HUXuSWh_Cfe3hjS8nPlRf1Um219kVlzxc0BpylqMl4rTud0X7RO49c5YVBPWKZWTDZTMZ-HBwq0e4Ql7tFLGQb_gy4acom5OghSiC9KOSD-18UlIei58v0Y_reVxiFPLwrB5eXuWRhxjOGZGE6rl_mwyLuf5wZyeOh9knF8BAIZOwbg0mm9lRXnhdl-yhrhEX2ypV8UKUvtnogw6N-Bun5P-4sP6Ba_K3kSH62ZOAIhjC-9VVyR6Ivw1RQgNsDQYqsH1MDFg2s4NJvD-YcEhIpjG_5b8AmUCkWA==&lang=sage
 ) )
-1. Chemikálii rozpouštíme v nádrži tak, že do nádrže pumpujeme vodu a směodčerpávámeObjem směsi roste podle vztahu $20+2t$. Množství chemikálie $zklesá rychlostíkterá je úměrná $znepřímo úměrná objemu roztoku v nádrži +**nedělat (jaro 2018)** 
-1Parašutista o hmotnosti 70kg vyskočil z letadla. Předpokládejte nulovou počáteční rychlost kladný směr rychlosti $vsměrem dolů. Odporová síla je dána vztahem $0.8|v|$. Sestavte počáteční úlohu modelující pohyb parašutisty+1. Sestavte dif. rovnici pro výpočet dráhy letu pro šikmý vrh vzhůru úhlem hodu 45° a počáteční rychlostí 14,1 m/s bez odporových sil prostředí. 
 +**nedělat (jaro 2018)** 
 + 
 + 
 + 
 +## Překladový slovníček 
 + 
 +| Slovní popis  | Matematické vyjádření  | 
 +|---|---| 
 +| Veličina $y$ je (přímo) úměrná veličině $x$.  | $$y=kx,$$ kde $k$ je konstanta (tj. veličina $kje nezávislá na $x$)  | 
 +| Veličina $y$ je nepřímo úměrná veličině $x$ | $$y=\frac kx,$$ kde $k$ je konstanta (tjveličina $k$ je nezávislá na $x$)  | 
 +| Veličina $y$ je přímo úměrná veličinám $x_1$ a  $x_2$.  | $$y=k x_1 x_2,$$ kde $k$ je konstanta (tj. veličina $k$ je nezávislá na $x_1$ $x_2$)  | 
 +| Veličina $y$ je přímo úměrná veličině $x_1a nepřímo úměrná veličině $x_2$ | $$y=\frac{kx_1}{x_2},$$ kde $k$ je konstanta (tjveličina $k$ je nezávislá na $x_1$ a $x_2$)  | 
 +| Veličina $y$ je nepřímo úměrná třetí mocnině veličiny $x$ | $$y=\frac k{x^3},$$ kde $k$ je konstanta (tj. veličina $k$ je nezávislá na $x$)  | 
 + 
 </markdown> </markdown>
 <html> <html>
aplikace_odr.md.1511390359.txt.gz · Poslední úprava: 2017/11/22 23:39 autor: marik

Nástroje pro stránku