Mnoho nul je přesvědčených, že jsou elipsami, po kterých obíhá zem. (Stanislaw Jerzy Lec)

Uživatelské nástroje


Sidebar

aplikace_odr.md

Aplikace diferenciálních rovnic

Řešení některých příkladů z této stránky

Slovní popis děje, který lze modelovat pomocí diferenciálních rovnic

  1. V nádrži je počáteční množství nečistot. Do nádrže teče konstantní rychlostí čistá voda, mísí se se znečištěnou a odtéká. Průtok na odtoku je stejný jako průtok na přítoku. Sestavte diferenciální rovnici popisující vývoj množství nečistot v čase. $\frac{dy}{dt}=-ky$
  2. Modifikujte předchozí model tak, že budete předpokládat, že v přitékající vodě je přítomno konstantní množství nečistot. $\frac{dy}{dt}=-ky+p$, kde $p$ je množství nečistot, které přiteče za jednotku času
  3. V příkladu z předchozího bodu předpokládejte, že na počátku je voda v nádrži čistá. Je přirozené předpokládat, že znečištění vody bude růst, nikoliv však neomezeně. Na jaké hodnotě se ustálí množství nečistot v nádrži? Stanovte tuto hodnotu úvahou, bez řešení diferenciální rovnice. $\frac{dy}{dt}=0$, tj. $0=-ky+p$ tj. množství nečistot na přítoku i odtoku je stejné.
  4. V příkladu z předchozího bodu předpokládejte, že nádrží je jezero o objemu $1000\,\mathrm{m}^3$, průtok na přítoku a odtoku je $2\,\mathrm{m^3}/\mathrm{hod}$, koncentrace nečistot na přítoku je $3\,\mathrm{mg}/\mathrm{m}^3$. Vaším úkolem je zachránit život v jezeře tak, že udržíte koncentraci nečistot pod hodnotou $1\,\mathrm{mg}/\mathrm{m}^3$. Kolik máte času na zastavení přísunu nečistot? Za jak dlouho se z původně čisté vody stane voda s koncentrací znečištění dosahující $1\,\mathrm{mg}/\mathrm{m}^3$? Návod: Diferenciální rovnice $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=a+by$ má obecné řešení $y=-\frac ab+Ce^{bx}$.
  5. Do těla pacienta je konstantní rychlostí dodáván lék pomocí infuze, tělo pacienta odbourává lék rychlostí, která je úměrná koncentraci léku v krvi. Sestavte diferenciální rovnici popisující koncentraci léku v krvi pacienta. $\frac{dy}{dt}=-ky+p$, kde buď $y$ je množství léku v krvi a $p$ rychlost infúze, nebo $y$ je koncentrace a $p$ rychlost infúze dělená objemem krve.
  6. Podobně jako léky jsou v krvi odbourávány drogy nebo alkohol. Modifikujte předchozí případ pro situaci, kdy se nejedná o lék, ale o drogu. Pacient má v krvi určité počáteční množství drogy, ta již není dál dodávána a je pouze odbourávána rychlostí úměrnou koncentraci drogy v krvi. $\frac{dy}{dt}=-ky$, kde $y$ je množství drogy v krvi nebo koncentrace.
  7. Kapka vody kulovitého tvaru v atmosféře roste tak, že rychlost, s jakou se zvětšuje její objem je přímo úměrná velikosti povrchu. Sestavte diferenciální rovnici popisující změnu objemu kapky v čase. $\frac{dV}{dt}=k V^{2/3}$
  8. Rychlost (v jednotkách objemu za čas), s jakou vytéká voda z nádrže s vypouštěcím otvorem u dna je úměrná odmocnině výšky hladiny v nádrži. Sestavte diferenciální rovnici udávající, jak rychle klesá hladina v nádrži. Uvažujte nádrž ve tvaru válce a poté nádrž ve tvaru kužele otočeného špičkou dolů a s vypouštěcím ovtorem ve špičce (trychtýř). Souvislost objemu s výškou je $V=k h$ pro válec a $V=kh^3$ pro kužel, kde $k$ je vždy konstana charakterizující nádrž (je rovna povrchu dna u válce a souvisí s vrcholovým úhlem u kužele).
  9. Kruhová ropná skvrna na hladině se rozšiřuje tak, že poloměr roste rychlostí, která je nepřímo úměrná druhé mocnině poloměru. Sestavte diferenciální rovnici popisující tento proces a vyřešte ji. Jaká funkce popisuje proces zvětšování poloměru olejové skvrny v čase? $\frac{dr}{dt}=\frac{k}{r^2}$ tj. $r=\sqrt[3]{3kt+C}$
  10. Pokud bude ropná skvrna z předchozího příkladu vhodným způsobem chemicky ošetřena, bude se její poloměr rozšiřovat rychlostí úměrnou výrazu $\frac{1}{r^2(2+t)}$, kde $r$ je poloměr skvrny a $t$ je čas. Sestavte diferenciální rovnici popisující tento proces a vyřešte ji. Jaká funkce popisuje proces zvětšování poloměru olejové skvrny v čase? $\frac{dr}{dt}=\frac{k}{r^2(2+t)}$ tj. $r=\sqrt[3]{3\ln(t+2)+C}$
  11. Podle Newtonova zákona tepelné výměny je rychlost změny teploty při tepelné výměně úměrná rozdílu teplot. Uvažujme horký nápoj přinesený do chladné místnosti. Sestavte diferenciální rovnici popisující chladnutí nápoje. Extra challenge: Navrhněte, jak určit onu konstantu úměrnosti udávající vztah mezi rozdílem teplot a rychlostí změny teploty. Návod: konstanta se bude zřejmě lišit pro různé hrníčky. Kromě počáteční podmínky pomůže dodatečná informace, například teplota nápoje po uplynutí určité doby. $\frac{dT}{dt}=-k (T-T_0)$, kde $T_0$ je tepltota místnosti
  12. Při volném pádu v prostředí s odporem vzduchu je rychlost tělesa ovlivněna dvěma faktory: roste konstantní rychlostí vlivem tíhové síly a klesá přímo úměrně druhé mocnině rychlosti vlivem odporové síly vzduchu. Výsledná změna rychlosti je součtem obou faktorů (resp. rozdílem velikostí obou faktorů, které působí proti sobě) . Sestavte diferenciální rovnici pro rychlost takového volného pádu. $\frac{dv}{dt}=g-kv^2$
  13. Při nižších rychlostech je odporová síla úměrná ne druhé, ale první mocnině rychlosti. Modifikujte model z předchozího bodu pro nižší rychlosti. $\frac{dv}{dt}=g-kv$
  14. Mnoho živočichů roste tak, že mohou dorůstat jisté maximální délky a rychlost jejich růstu je úměrná délce, která jim do této maximální délky chybí (tj. kolik ještě musí do této maximální délky dorůst). Sestavte diferenciální rovnici popisující takovýto růst. $\frac{dL}{dt}=k (L_\infty-L)$, kde $L_\infty$ je maximální délka
  15. Rychlost učení (tj. časová změna objemu osvojené látky) je úměrná objemu dosud nenaučené látky. Sestavte diferenciální rovnici modelující proces učení probíhající podle těchto pravidel. $\frac{dL}{dt}=k (L_\infty-L)$, kde $L_\infty$ je celkový objem znalostí
  16. Plníme nádrž vodou. Voda přitéká konstantní rychlostí $k$ litrů/sec. Kvůli netěsnostem voda vytéká rychlostí úměrnou druhé mocnině objemu vody v nádrži. Na počátku nádrž obsahovala 100 litrů vody. Napište počáteční úlohu modelující tento proces. $V(0)=100$, $\frac{dV}{dt}=k-k_0V^2$
  17. Vika má na účtu 150 tisíc Kč. Každý měsíc se jí připíše úrok ve výši 0.22% a odešle 6200 Kč na poplatky. Napište počáteční úlohu modelující tento proces. rovnice je $\frac{du}{dt}=0.0022u-6200$, počáteční podmínka je $u(0)=150000$
  18. Populace jelenů v národním parku přibývá rychlostí 10% za rok. Správa parku každý rok odebere 50 jedinců. Napište matematický model pro velikost populace jelenů v oboře. $\frac{dy}{dt}=0.1 y-50$
  19. Dospělý člověk potřebuje na udržení své hmotnosti přibližně 40 kalorií na každý kilogram své váhy. Jakákoliv odchylka směrem nahoru od této ideální situace má za následek příbývání váhy rychlostí úměrnou rozdílu mezi skutečným přijmem a příjmem nutným pro udržení konstatní váhy. Modelujte tento proces matematicky. $\frac{dm}{dt}=k(C-40m)$, kde $m$ je hmotnost a $C$ kalorický příjem za den
  20. Chemikálii rozpouštíme v nádrži tak, že do nádrže pumpujeme vodu a směs odčerpáváme. Objem směsi roste podle vztahu $20+2t$. Množství chemikálie $z$ klesá rychlostí, která je úměrná $z$ a nepřímo úměrná objemu roztoku v nádrži. $\frac{dz}{dt}=-\frac{kz}{20+2t}$
  21. Velikost populace roste rozmnožováním a tento růst je brzděn lovem populace. Rychlost s jakou se populace rozmnožuje je přímo úměrná velikosti populace a procentu volné kapacity v prostředí s omezenou nosnou kapacitou (tj. jde o logistický růst). Rychlost lovu je buď konstantní, nebo úměrná velikosti populace. Modelujte obě strategie lovu. $\frac{dy}{dt}=ry\left(1-\frac yK\right)-h$ pro lov konstantní rychlostí a $\frac{dy}{dt}=ry\left(1-\frac yK\right)-hy$ pro lov rychlostí úměrnou velikosti populace.
  22. Andrej si zapaluje jednu cigaretu od druhé. Za hodinu vykouří pět cigaret. Z každé cigarety do jeho krve přejde 0.4 mg nikotinu. Nikotin se v těle rozkládá rychlostí úměrnou množství nikotinu v krvi. Konstanta úměrnosti je 0.346 (množství nikotinu v krvi měříme v miligramech a čas v hodinách). Sestavte diferenciální rovnici popisující množství nikotinu v jeho krvi. Najděte rovnovážnou hodnotu kdy se rychlost odbourávání vyrovná rychlosti doplńování nikotinu v krvi. Určete jak poklesne množství nikotinu v krvi přes noc, pokud Andrej poslední cigaretu vykouří v jedenáct večer a první v šest hodin ráno. 1. část: $ \frac{dy}{dt}=5\cdot 0.4-0.346 y$
  23. Ebbinghausův model zapomínání. Německý psycholog Hermann Ebbinghaus (1850–1909) provedl v roce 1885 empirický výzkum zapomínání naučené látky. Předpokládejme, že se student naučil jistou dávku učební látky a v čase $t = 0$ tuto látku ovládá. Postupem času však některé naučené informace zapomíná. Označme $p(t)$ relativní množství látky, kterou v čase $t$ měřeném od okamžiku plného zvládnutí látky ještě ovládá. Zřejmě $p(0) = 1$ a $p(t) \in [0, 1]$. Optimisticky předpokládejme, že určitou část látky student nikdy nezapomene. Označme relativní množství této látky $b\in (0, 1)$. Předpokládejme dále, že množství zapomenuté látky je přímo úměrné délce časového intervalu a množství látky, které je možné ještě zapomenout. Sestavte příslušný matematický model. (Podle disertační práce Mgr. Pavla Pražáka na UK) $\frac{dp}{dt}=k(p-b)$, kde $b$ je množství látky, které zůstane v paměti natrvalo
  24. Parašutista o hmotnosti 70kg vyskočil z letadla. Předpokládejte nulovou počáteční rychlost a kladný směr rychlosti $v$ směrem dolů. Odporová síla je dána vztahem $0.8|v|$. Sestavte počáteční úlohu modelující pohyb parašutisty. $70\frac{dv}{dt}=70g-0.8 v$, kde $g$ je tíhové zrychlení. Počáteční podmínka: $v(0)=0$
  25. Štěně roste tak, že hmotnost $w$ nabírá rychlostí nepřímo úměrnou stáří v měsících. Modelujte tento proces pomocí diferenciální rovnice. $\frac {dw}{dt}=\frac{k}{t}$
  26. Po západu slunce přestali námořníci veslovat. Loď byla bržděna pouze třením úměrným rychlosti, nefouká vítr. Za 10 sekund doplula 30 metrů, za dalších 10 sekund doplula ještě 15 metrů. Kde se zastaví? výpočet nedělat (jaro 2018)
  27. Sestavte dif. rovnici pro výpočet dráhy letu pro šikmý vrh vzhůru s úhlem hodu 45° a počáteční rychlostí 14,1 m/s bez odporových sil prostředí. nedělat (jaro 2018)

Překladový slovníček

Slovní popis Matematické vyjádření
Veličina $y$ je (přímo) úměrná veličině $x$. $$y=kx,$$ kde $k$ je konstanta (tj. veličina $k$ je nezávislá na $x$)
Veličina $y$ je nepřímo úměrná veličině $x$. $$y=\frac kx,$$ kde $k$ je konstanta (tj. veličina $k$ je nezávislá na $x$)
Veličina $y$ je přímo úměrná veličinám $x_1$ a $x_2$. $$y=k x_1 x_2,$$ kde $k$ je konstanta (tj. veličina $k$ je nezávislá na $x_1$ a $x_2$)
Veličina $y$ je přímo úměrná veličině $x_1$ a nepřímo úměrná veličině $x_2$. $$y=\frac{kx_1}{x_2},$$ kde $k$ je konstanta (tj. veličina $k$ je nezávislá na $x_1$ a $x_2$)
Veličina $y$ je nepřímo úměrná třetí mocnině veličiny $x$. $$y=\frac k{x^3},$$ kde $k$ je konstanta (tj. veličina $k$ je nezávislá na $x$)

aplikace_odr.md.txt · Poslední úprava: 2020/03/06 10:47 (upraveno mimo DokuWiki)