Cílem tohoto dokumentu je ukázat některé praktické aplikace matematiky. Příklady se snažím volit tak, aby byly jednoduché a srozumitelné i pro neodborníky v dané oblasti. Proto zde například ekonomové nenajdou nějaké hluboké aplikace matematiky v ekonomii – snažím se o volbu příkladů, u kterých nejsou pro pochopení problému nutné žádné hluboké znalosti jiných oborů. Snad vám tyto příklady praktického použití pomohou při pochopení toho, co je z látky, kterou vás učím (nebo učíme) podstatné a co si máte odnést – ne vzorečky na derivování (i když ty také – minimálně pro úspěšné složení zkoušky), ale spíš hlavní smysl derivací, integrálů a dalších pojmů, s nimiž v matematice se setkáváme.
Dokument vzniká postupně. Pokud sem náhodou zasurfujete a napadne vás nějaká pěkná aplikace, která tu chybí, můžete mi o tom dát vědět například mailem.
Kromě detailnějších matematických modelů zde naleznete i populárně naučné prezentace o užitečnosti matematiky pro řešení zajímavých nebo praktických problémů
Většinu procesů v přírodě modelujeme pomocí diferenciálních rovnic, často lineárních. Někdy linearita přirozeně vyplyne z povahy problému, někdy lineárně aproximujeme nelineární jevy (viz níže), protože s nelineárními rovnicemi si zatím dost dobře neumíme poradit. Přitom při řešení diferenciálních rovnic často využíváme právě lineární algebru, ač se jedná o oblast matematiky, které je diferenciálnímu počtu poměrně vzdálená. Stačí však hledat stacionární řešení a úloha diferenciálního počtu se zcela přirozeně promění v úlohu lineární algebry. Protože lineární algebra obsahuje mocný aparát poměrně nenáročný na početní operace (nejsou zde žádné derivace, integrály, logaritmy a jiné zrůdnosti) snažíme se někdy pomocí aparátu lineární algebry aproximovat řešení nějaké diferenciální rovnice.
Na derivaci pohlížíme dvojím způsobem - jednak “fyzikálně” jako na rychlost změny dané veličiny a jednak “geometricky”, jako na směrnici tečny ke grafu funkce. (Mimochodem – derivace je asi nejsilnějším argumentem pro užitečnost pojmu limita, protože je definována právě pomocí limity.)
Derivace je veličinou udávající rychlost změny jiné veličiny.
Derivaci je možno použít k hledání stavů systému, které jsou v určitém smyslu optimální.
Derivace je prostředkem k popisu vlastností křivek (směrnice tečny).
Viz též prezentace zde.
Parciální derivace hrají stejnou úlohu jako derivace obyčejné, ale pro funkce více proměnných.