Aplikace matematiky

Cílem tohoto dokumentu je ukázat některé praktické aplikace matematiky. Příklady se snažím volit tak, aby byly jednoduché a srozumitelné i pro neodborníky v dané oblasti. Proto zde například ekonomové nenajdou nějaké hluboké aplikace matematiky v ekonomii – snažím se o volbu příkladů, u kterých nejsou pro pochopení problému nutné žádné hluboké znalosti jiných oborů. Snad vám tyto příklady praktického použití pomohou při pochopení toho, co je z látky, kterou vás učím (nebo učíme) podstatné a co si máte odnést – ne vzorečky na derivování (i když ty také – minimálně pro úspěšné složení zkoušky), ale spíš hlavní smysl derivací, integrálů a dalších pojmů, s nimiž v matematice se setkáváme.

Dokument vzniká postupně. Pokud sem náhodou zasurfujete a napadne vás nějaká pěkná aplikace, která tu chybí, můžete mi o tom dát vědět například mailem.

Populárně naučné prezentace

Kromě detailnějších matematických modelů zde naleznete i populárně naučné prezentace o užitečnosti matematiky pro řešení zajímavých nebo praktických problémů

• k čemu všemu může být derivace
• k čemu všemu můžou být diferenciální rovnice

Lineární algebra

Většinu procesů v přírodě modelujeme pomocí diferenciálních rovnic, často lineárních. Někdy linearita přirozeně vyplyne z povahy problému, někdy lineárně aproximujeme nelineární jevy (viz níže), protože s nelineárními rovnicemi si zatím dost dobře neumíme poradit. Přitom při řešení diferenciálních rovnic často využíváme právě lineární algebru, ač se jedná o oblast matematiky, které je diferenciálnímu počtu poměrně vzdálená. Stačí však hledat stacionární řešení a úloha diferenciálního počtu se zcela přirozeně promění v úlohu lineární algebry. Protože lineární algebra obsahuje mocný aparát poměrně nenáročný na početní operace (nejsou zde žádné derivace, integrály, logaritmy a jiné zrůdnosti) snažíme se někdy pomocí aparátu lineární algebry aproximovat řešení nějaké diferenciální rovnice.

Derivace

Na derivaci pohlížíme dvojím způsobem - jednak “fyzikálně” jako na rychlost změny dané veličiny a jednak “geometricky”, jako na směrnici tečny ke grafu funkce. (Mimochodem – derivace je asi nejsilnějším argumentem pro užitečnost pojmu limita, protože je definována právě pomocí limity.)

Derivace je veličinou udávající rychlost změny jiné veličiny.

• Pokud kráčím v noci pod lampou, můj stín roste když se od lampy vzdaluji. Roste tento stín stále stejnou rychlostí, nebo roste zpočátku rychle a pak pomaleji? Derivace nám na tento problém dají odpověď.
• Stín míče který padá volným pádem vedle lampy se pohybuje. Čím je míč níže, tím je stín blíž k patě lampy a pohybuje se pomaleji, přestože rychlost samotného míče se vlivem volného pádu zvyšuje. Jak rychle se tedy tento stín pohybuje? Odpověď najdeme pomocí derivací.
• Derivaci je možno použít k řešení problému samočištění jezer (samovolné vyplavování nečistot z jezera tím, že přitéká čistá a odtéká znečištěná voda), či k modelování protékání nečistot soustavou jezer.
  • Jedná se o sestavení diferenciální rovnice, či soustavy diferenciálních rovnic – tyto rovnice je nutno vyřešit, chceme-li vědět, jak rychle bude proces probíhat a kdy se značištění dostane na nějakou přijetalnou hodnotu.
  • Hledáme-li však ustálené řešení, ke kterému proces konverguje, stačí nám vyřešit soustavu lineárních rovnic (bez derivací).

Derivaci je možno použít k hledání stavů systému, které jsou v určitém smyslu optimální.

• Snažíme-li se dostat proti proudu řeky z bodu A do bodu B, musíme plavat (či plout s plavidlem) dostatečně rychle, aby nás nestrhával proud, ale ne příliš rychle, abychom se brzo nevyčerpali (nespotřebovali mnoho paliva a nezavařili stroje). Je vhodné znát optimální rychlost, která umožní se do cíle dostat s vynaložením minimální energie.
• Chceme-li z kulatiny vyříznout nosník čtvercového průřezu, který se co nejméně prohýbá, nesmíme nosník vyřezat ani příliš nízký, ani příliš úzký. Měl by mít optimální rozměry.

Derivace je prostředkem k popisu vlastností křivek (směrnice tečny).

• Tečna je nejlepší lineární aproximace pro nelineární funkci. Je tak možno složitější formule nahradit za určitých okolností formulemi jednoduššími.
  • Počítání ideální váhy pomocí BMI není zrovna jednoduché pro výpočty zpaměti. Pokusíme se vzorec využívající BMI aproximovat tak, abychom si mohli svoji ideální váhu vypočítat zpaměti.
  • Kinetická energie tělesa je rozdíl celkové energie $E=mc^2$ a klidové energie $E=m_0c^2$.
    • Podle tohoto vzorce však kinetickou energii počítá jen šílenec nebo fyzik zabývající se relativistickou fyzikou. Většina populace použije vzorec $E=\frac 12 mv^2$ , který je lineárním přiblížením relativistického vzorce.
    • Anglická verze tohoto dokumentu je obohacena o využití vyšších derivací a Taylorova polynomu pro nalezení prvních opravných členů, sloužících v případě, kdy klasický vzorec pro kinetickou energii začíná selhávat (objekt se pohybuje relativně vysokou rychlostí), ale ještě nechceme či necítíme potřebu využít plně relativistického vzorce.
• Křivka táhnutí je křivka popisující trajektorii objektu taženého jiným objektem.
  • Soubor obsahuje animace v Javě. Aby fungovaly, otevřete soubor v Adobe Readeru a nepoužívejte alternativní prohlížeče PDF.
  • Na podobné myšlence je založena i křivka pronásledování, kde jeden pohybující se objekt (zajíc) je sledován jiným objektem (psem) tak, že pes běží z boku rychlostí větší než zajíc a v každém okamžiku směřuje k zajíci. Uplatnění - samonaváděcí střely.
  • V textu odvodíme rovnici křivky tak, že najdeme její derivaci a křivku pak najdeme integrováním.
• Zavěšené mosty jsou lehké a elegantní konstrukce, je potřeba je však postavit tak, aby síla, která napíná nosné lano, přirozeně směřovala vždy ve směru tohoto lana. Přitom záleží, jestli lano nese pevnou vodorovnou vozovku, nebo jestli se jedná o lanový most, jaký známe z filmů o Indiana Jonesovi.
  • U prvního typu mostu sestavíme rovnici pro derivaci křivky popisující tvar nosného lana a křivku najdeme integrováním.
  • U druhého typu mostu sestavíme pro hledanou křivku diferenciální rovnici, kterou je nutno vyřešit.
  • Zajímavost : Pomocí těchto výsledků lze postavit oblouk, který je elegantně štíhlý a přesto dostatečně pevný – oblouk v Saint Louis.

Viz též prezentace zde.

Parciální derivace hrají stejnou úlohu jako derivace obyčejné, ale pro funkce více proměnných.

• Nepřímo měřenou veličinou rozumíme veličinu, jejíž velikost stanovím tak, že změřím jiné veličiny (např. $M$, $l$, $r$, $\varphi$), a hledanou veličinu vypočtu pomocí nějakého vzorce (např. $G=2\frac{Ml}{\pi r^4\phi}$). Přitom mě zajímá, jaký mají nepřesnosti při měření vliv na celkovou nepřesnost, se kterou stanovuji hledanou veličinu $G$ – zejména se zajímám o to, která chyba se projeví nevýrazněji. Chceme tedy vědět, na které z veličin výsledek závisí silněji.
• Předpovídáme-li z teorie lineární závislost $y=ax+b$ mezi veličinami $x$ a $y$ a naměříme-li konkrétní hodnoty $x$ a $y$, zpravidla se nestane, aby všechny body $[x,y]$ ležely na stejné přímce. Metoda nejmenších čtverců umožňuje minimalizovat chyby měření a proložit co nejlépe přímku souborem bodů v rovině. Odvození vzorců pro tuto metodu je vlastně hledání extrémů funkce dvou proměnných a používáme přitom parciální derivace.