Mysleli jsme to dobře, ale dopadlo to jako vždy (Viktor Čenomyrdin po nepovedené měnové reformě v roce 1993)

Uživatelské nástroje


am_hlavni_myslenky

====== Rozdíly ======

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

Odkaz na výstup diff

am_hlavni_myslenky [2020/03/21 23:38] (aktuální)
Řádek 1: Řádek 1:
 +<html>
 +<style>
 +.page p img {max-width:400px;float:right;}
 +body {
 +        counter-reset: h2counter;
 +    }
 +
 +h2:before {
 +        content: counter(h2counter) ".\0000a0\0000a0";
 +        counter-increment: h2counter;
 +    }
 +</style>
 +
 +</html>
 +
 +<markdown>
 +
 +# Aplikovaná matematika a "Co tím sledujeme"
 +
 +</markdown>
 +<html>
 +<div style="float:right;">
 +<a href="https://www.youtube.com/watch?v=wYk2jVUfShE"><img src="https://img.youtube.com/vi/wYk2jVUfShE/0.jpg"><br>(Klikněte pro přehrání videa.)</a>
 +</div>
 +
 +</html>
 +<markdown>
 +Zásadní úlohou ke které směřuje podstatná část aktivit v předmětu Aplikovaná matematika je schopnost umět vyjádřit a matematicky popsat transportní děje v materiálu. Jedná se zejména o
 +
 +* transport hmoty (například difuze vody ve dřevě),
 +* transport energie (například vnitřní energie dřeva, která je v běžných situacích aplikacích spjata s teplotou a proto se změny vnitřní energie vyjadřují pomocí teploty).
 +
 +Veličinu definující stav materiálu nazýváme stavovou veličinou. Stavovou veličinou pro úlohy spojené se zkoumáním vlastností dřeva tedy může být množství vody ve dřevě, nebo množství vnitřní energie ve dřevě. To může být měřeno jako celková hodnota pro dané těleso, nebo jako hustota v daném bodě tělesa (množství veličiny přepočtené na jednotkové množství materiálu).
 +
 +## Bilance stavové veličiny v daném místě materiálu (mikroskopicky)
 +
 +Východiska práci se stavovou veličinou jsou následující
 +
 +### Detekce nerovnoměrnosti v prostorovém rozložení stavové veličiny
 +
 +Příroda nemá ráda nerovnoměrnosti v prostorovém rozložení stavové veličiny, proto voda ve dřevě se difuzí přemísťuje z místa s vyšší koncentrací do místa s ni žší koncentrací. Proto teplo proudí z místa s vyšší hustotou vnitřní energie (s vyšší teplotou) do místa s nižší hustotou energie.
 +
 +*Zadání*: Identifikujme nerovnosti v prostorovém rozložení stavové veličiny $u$.
 +
 +*Řešení*: Gradient stavové veličiny $\nabla u$ udává směr, kterým stavová veličina $u$ roste a také, jak je tento růst prudký. Záporně vzatý gradient udává naopak pokles. To je přesně ten stav, kdy příroda spustí transport stavové veličiny tak, aby nerovnoměrnosti vyhladila. Stavová veličina proudí z místa s vyšší hustotou do místa s nižší hustotou.
 +
 +### Směr toku stavové veličiny
 +
 +Nerovnoměrnost v prostorovém rozložení stavové veličiny spustí transport stavové veličiny. Tento transport vyjadřujeme tokem, který je vektorovou veličinou a udává směr a intenzitu transportu. Mezi gradientem a tokem je funkční závislost, nazývaná zpravidla konstituční vztah. Je to jakási materiálová odezva na podnět. Protože bez podnětu není odezva, má tato funkční závislost podobu vektorové funkce, která nulovému vektoru přiřazuje opět nulový vektor. Po linearizaci pomocí Jacobiho matice je tato aproximována konstitučním vztahem v takovém tvaru, kdy tok je vyjádřen součinem matice materiálových konstant se záporně vzatým gradientem stavové veličiny.
 +
 +*Zadání*: Identifikujte, jak se nerovnoměrnost v prostorovém rozložení stavové veličiny projeví na toku stavové veličiny. Zohledněte možnou anizotropii, kdy materiál může díky své struktuře stáčet tok preferovaným směrem a tok tedy nemusí mít stejný směr jako podnět, který tento tok iniciuje.
 +
 +*Řešení*: Tok $\vec\jmath$ je iniciován gradientem stavové veličiny $\nabla u$ a po linearizaci obecného vztahu mezi vektorem toku a gradientem dostáváme konstituční vztah ve tvaru
 +$$\vec \jmath=-D\nabla u.$$
 +
 +*Poznámka:*
 +Veličina $D$ je maticová a je tedy schopna zachytit i anizotropní případ, kdy tok neteče přesně  ve směru gradientu. Tento vztah je aproximací obecné funkční závislosti $$\vec \jmath=\vec F (\nabla u)$$ a proto nemusí platit na celém rozsahu hodnot. Protože nechceme přijít o matematický aparát vhodný k popisu toku, uvažujeme v takových případech závislost materiálových konstant skrytých v matici $D$ na stavové veličině $u$. Jinými slovy, materiálové konstanty v matici $D$ mohou být veličiny závislé na $u$
 +
 +### Změny v toku stavové veličiny
 +
 +Tok může v daném místě zesilovat nebo zeslabovat. Potřebujeme veličinu, která nám umí toto detekovat a kvantifikovat. Teprve když tuto informaci budeme mít, můžeme tyto změny dát do souvislosti s tím, zda v daném místě množství stavové veličiny roste či klesá a jak rychle.
 +
 +*Zadání*: Najděte veličinu, která umí v daném místě toku detekovat, zda tok $\vec \jmath$ zesiluje či zeslabuje a umí kvantifikovat míru tohoto zesilování či zesilování.
 +
 +*Řešení*: Divergence $\nabla\cdot\vec\jmath$ toku $\vec\jmath$ udává, jak tento tok v daném místě roste. Je to bilance mezi odtokem a přítokem stavové veličiny do daného místa. Záporně vzatá divergence udává, jak v daném místě tok slábne. 
 +
 +
 +### Celková bilance stavové veličiny v daném místě materiálu
 +
 +Celková bilance již jenom vyjádří, že nárůst stavové veličiny v daném místě je  způsoben nárůstem díky produkci stavové veličiny ze zdrojů a příspěvkem díky zeslabení toku (zápornou bilancí mezi odtokem a přítokem). Nárůst stavové veličiny za jednotku času je $\frac{\partial u}{\partial t}$, příspěvek díky zeslabení toku je $-\nabla \vec \jmath$ resp. $\nabla \cdot(D\nabla u)$.
 +Celkovou vydatnost zdrojů veličiny v daném místě označíme $\sigma$. (Spotřebiče uvažujeme jako zdroje se zápornou vydatností, odtok uvažujeme jako záporný přítok a úbytek jako zápornou akumulaci.)
 +
 +Sumarizace:
 +
 +* Akumulace: $\frac{\partial u}{\partial t}$
 +* Přítok: $-\nabla\cdot \vec \jmath$ nebo $\nabla\cdot\Bigl(D\nabla u\Bigr)$
 +* Příspěvek zdrojů: $\sigma$
 +
 +Celkvou bilanci, slovně vyjádřenou tím, že akumulace je díky přítoku a zdrojům, nyní můžeme vyjádřit kvantitativně ve tvaru rovnice kontinuity
 +$$\frac{\partial u}{\partial t}=-\nabla\cdot \vec \jmath +\sigma$$
 +nebo (pokud použijeme i konstituční vztah) ve tvaru  difuzní rovnice
 +$$\frac{\partial u}{\partial t}=\nabla\cdot \Bigl(D\nabla u\Bigr) +\sigma.$$
 +
 +## Bilance stavové veličiny pro dané těleso (makroskopicky)
 +
 +V minulé části jsme se zabývali popisem stavové velčiny v daném bodě materiálu. Množství stavové veličiny popisovala její hustota a další veličiny byly od tohoto popisu odvozeny. Fyzikálně jsou však lépe měřitelné a interpretovatelné veličiny související s makroskopickým vzorkem materiálu, jako je celkové množství stavové veličiny v tělese, tok přes hranici tělesa nebo množství veličiny vyprodukované zdroji uvnitř tělesa. Tímto tělesem může být nejenom dřevěný výrobek, ale i myšlená část libovolného tvaru a v libovolném místě uvnitř většího kusu materiálu. Nejsme tedy omezeni fyzickým tvarem uvažovaného vzorku. I v tomto případě se fyzikální veličiny lépe interpretují .
 +
 +Máme před sebou následující výzvy, které budeme realizovat ve dvou dimenzích, tj. pro plošné materiály a dvourozměrné úlohy. Ve třech dimenzích je situace obdobná, avšak její zvládnutí je nad rámec tohoto kurzu.
 +
 +* Z rozložení stavové veličiny a z rozložení zdrojů v ploše chceme určit množství stavové veličiny ve dvourozměrné množině a celpové množství stavové veličiny, které vygenerují zdroje. Tuto úlohu vyřešíme zavedením **dvojného integrálu**.
 +* Z rovnice vektorového pole chceme určit celkový tok přes hranici dvourozměrné množiny. Tuto úlohu vyřešíme zavedením **křivkového integrálu druhého druhu**.
 +* V předchozích bodech získáme dva různé druhy integrálu. Pro zkombinování obou informací musíme být schopni převádět jeden na druhý. Tuto úlohu vyřešíme představením **Greenovy věty**. Tato věta využívá **diferenciální operátor rotace**.
 +* Celkovou bilanci sestavíme stejným způsobem jako při mikroskopickém pohledu. Dojdeme dokonce ke stejné difuzní rovnici. Ovšem postupem, který je fyzikálně lépe vyargumentovaný a má bližší vztah k makroskopicky měřitelným veličinám.
 +
 +Tyto výzvy sledujte při probírání jednotlivých pojmů. To, že pomocí dvojného integrálu dokážeme poprvé během školní docházky definovat obsah množiny nepravidelného tvaru je úžasné. To, že pomocí dvojného integrálu dokážeme i posoudit tuhost nosníků výpočtem kvadratického momentu průřezu je nesmírně užitečné. Skutečnost, že pomocí křivkového integrálu dokážeme vypočítat práci a tím zavést pro biology tak užitečné pojmy jako vodní potenciál má aplikace při studiu evapotranspirace, důležité pro kvalitu životního prostředí ve městech. Z hlediska materiálového inženýrství a studia dřeva to je příjemný bonus, který by nás však neměl svést z hlavní cesty.
 +
 +
 +</markdown>
  
am_hlavni_myslenky.txt · Poslední úprava: 2020/03/21 23:38 (upraveno mimo DokuWiki)

Nástroje pro stránku