Řetězovka (catenary)

Robert Mařík

jaro 2014


Ovládání: Prezentaci je možno posouvat šipkami nebo mezerníkem. Klávesa "M" zobrazí všechny slidy.

Kliknutím na obrázek se obrázek zvětší na vertikální rozměr okna. Pro zavření zvětšeniny klikněte do zašedlého zbytku stránky nebo použijte klávesu "ESC".

Slidy jsou doprovodným materiálem k předáškám. Některá tvrzení platí pouze za předpokladů dostatečné spojitosti funkcí nebo jejich derivací. V jednoduchých technických aplikacích bývají tyto předpoklady splněny a proto je nezmiňujeme. Přesná formulace vět je v učebním textu a v odborné literatuře.

Řetězovka - křivka lan a řetězů prověšených vlastní vahou

Budeme se zajímat o to, jaký tvar vlivem gravitace zaujmou volně visící ohebná lana a řetězy. Tento tvar vidíme často kolem sebe, například tento tvar zaujmou elektrické dráty (zejména když jsou sloupy daleko od sebe a na drátech je námraza). Stejný tvar zaujmou mosty, které mají hmotnost rozloženu podél délky. Lano na němž visí kotě zaujme tvar řetězovky až se kotě pustí. Teprve potom bude splněna podmínka, že lano nese pouze svou vlastní hmotnost.

Zavěšený most (tohle není řetězovka)

Jednodušším úkolem je zkoumat nejprve most zavěšený na laně. Nejedná se o řetězovku, protože lano nese další zátěž.

  • Hmotnost nosného lana a svislých lan je zanedbatelná vzhledem k hmotnosti vozovky.
  • Délka svislých lan, na kterých je vozovka zavěšena, je zvolena tak, aby namáhání bylo rovnoměrně rozloženo.
  • Je potřeba zvolit délku svislých nosných lan aby hlavní nosné lano mělo (při rovné vozovce) tvar, který je pro ně "přirozený". Potom nebude vozovka zbytečně namáhána ve vertikálním směru.

Proč je dobré znát řešení problému zavěšeného mostu?

Problém špatně navrženého mostu v malém měřítku a malém rozsahu škod: Na napnutém laně visí težký gumový pás sloužící pro děti jako skluzavka nebo opora při šplhání nahoru.

  • Nosné lano má tendenci se prohnout, dírky na uchycení tuto tendenci nerespektují a jsou vyvrtané všechny v jedné řadě.
  • Krajní dírky jsou tedy nejvíc namáhané a v tomto místě dojde k poruše materiálu.
  • Podél jaké křivky se měly udělat otvory pro uchycení?

Zjednodušená formulace problému zavěšeného mostu

Jaký tvar zaujme lano zanedbatelné hmotnosti, které nese zátěž rovnoměrně rozloženou ve vodorovném směru?

Fyzikální podstata: Osu \(x\) volíme vodorovně, počátek je volen v nejnižším bodě lana. Na část lana mezi tímto nejnižším bodem a obecným bodem \(x\) působí tyto síly:

  • Tahová síla \(T\) v bodě \(x=0\). Tato síla má směr tečný k lanu, tj. vodorovný.
  • Tahová síla \(F\) v obecném bodě \(x\). Tato síla má také tečný směr k lanu. Směrnice přímky, ve které síla působí, je tedy rovna derivaci funkce, kterou hledáme.
  • Tíhová síla, způsobená gravitací. Tato síla je součinem hmotnosti \(m\) a tíhového zrychlení \(\vec g\). Podle předpokladu je hmotnost rozložena konstantně. Definujeme-li tedy lineární hustotu \(\tau\) mostu jako hmotnost jedné délkové jednotky, je hmotnost mostu délky \(x\) dána vztahem \(m=\tau x\).

Uvažovaný úsek je v klidu, celková síla, která na něj působí je tedy nulová. To znamená, že vektorový součet všech tří sil je nulový vektor a po přesunutí tedy vektory tvoří strany pravoúhlého trojúhelníka. Z tohoto trojúhelníka plyne \(\tan\alpha=\frac{G}{T}=\frac{\tau x g}{T}=\mu x\), kde \(\mu =\frac{\tau g}{T}\) je konstanta.

Matematické formulace: Najděte rovnici křivky splňující rovnici \(y'=\mu x\).

Řešení: Známe-li derivaci funkce, původní funkci najdeme integrováním. \[y(x)=\int y'(x)\mathrm dx=\int \mu x\mathrm dx=\mu \frac12 x^2+C.\] Nosné lano musí mít parabolický tvar.

Konečně k řetězovce (sestavení diferenciální rovnice)

Uvažujme stejnou situaci jako na předhozím slidu, ale hmota je rozložena rovnoměrně podél délky lana. Jediné, co se na předchozí úloze mění, je vztah pro tíhu. Hmotnost uvažovaného úseku lana je součinem lineární hustoty \(\tau\) a délky tohoto úseku, dané vztahem \(\int_0^x\sqrt{1+[y'(t)]^2}\mathrm dt\). Platí tedy \[ y'=\alpha\int_0^x\sqrt{1+[y'(t)]^2}\mathrm dt. \]

Matematická formulace: Nalezněte funkci splňující \[ y'=\alpha\int_0^x\sqrt{1+[y'(t)]^2}\mathrm dt. \]

Řešení: Derivováním dostáváme \[ y''=\alpha\sqrt{1+[y'(x)]^2}. \] Vskutku, je-li funkce \(\mathcal F(x)\) primitivní funkcí k funkci \(\sqrt{1+y'^2(x)}\), je podle Newtonovy--Leibnizovy věty integrál napravo roven rozdílu \(\mathcal F(x)-\mathcal F(0)\). Derivováním podle \(x\) obdržíme \(F'(x)\), což není nic jiného než \(\sqrt{1+y'^2(x)}\), protože \(\mathcal F\) je podle předpokladu primitivní funkcí. Úkolem je tedy najít funkci, která splňuje rovnici \[ y''=\alpha\sqrt{1+y'^2} \] Substituce \(z(x)=y'(x)\), \(z'(x)=y''(x)\) převádí tuto rovnici na rovnici \[ z'=\alpha\sqrt{1+z^2}. \] Toto je rovnice, kde neznámou je funkce \(z(x)\) a v rovnici vystupuje i derivace \(z'(x)\). Takové rovnice nazýváme diferenciální rovnice

Rozřešení diferenciální rovnice

Separací proměnných obdržíme \[ \frac{dz}{\sqrt{1+z^2}}=\alpha dx \] a po integraci \[ \ln\left(z+\sqrt{1+z^2}\right)=\alpha x+C. \] Odsud \[ \begin{aligned}z+\sqrt{1+z^2}&=e^{\alpha x+C}\\ \sqrt{1+z^2}&=e^{\alpha x+C}-z\\ {1+z^2}&=e^{2(\alpha x+C)}-2ze^{\alpha x+C}+z^2\\ 2ze^{\alpha x+C}&=e^{2(\alpha x+C)}-1\\ z&=\frac 12\left[e^{\alpha x+C}-e^{-(\alpha x+C)}\right]\end{aligned} \]

Platí tedy \[ y'=\frac 12\left[e^{\alpha x+C}-e^{-(\alpha x+C)}\right]\] a integrací obdržíme \[ y=\frac 1{2\alpha}\left[e^{\alpha x+C}+e^{-(\alpha x+C)}\right]=\frac1{\alpha}\cosh(\alpha x+C) \] Lano zaujme tvar hyperbolického kosinu.

Další řetězovky okolo nás

  • Pavučina
  • Gateway Arch St. Louis - 192 metrů, odkaz

  • Nádraží Keletti v Budapešti
  • Pro kolo s hranatými koly jsou řetězovky ideálním povrchem Video na Youtube

/