Vektorová analýza

Robert Mařík

2014–2019


Ovládání: Prezentaci je možno posouvat šipkami nebo mezerníkem. Klávesa "S" zmenšuje písmo, "B" zvětšuje (smaller/bigger). Klávesa "C" zobrazí obsah (content). Klávesou "A" se přepíná režim prezentace/html stránka.

Kliknutím na obrázek se obrázek zvětší na vertikální rozměr okna. Pro zavření zvětšeniny klikněte do zašedlého zbytku stránky nebo použijte klávesu "ESC".

Pokud se matematické výrazy nezobrazují korektně, nechejte znovunačíst stránku (Reload, Crtl+R, F5) nebo použijte alternativní verzi prezentace.



Slidy jsou doprovodným materiálem k předáškám. Některá tvrzení platí pouze za předpokladů dostatečné spojitosti funkcí nebo jejich derivací. V jednoduchých technických aplikacích bývají tyto předpoklady splněny a proto je nezmiňujeme. Přesná formulace vět je v učebním textu a v odborné literatuře.

Vektorová analýza

Příklady vektorových polí v rovině

Divergence

Rotace

Tok kapaliny mezi dvěma rovnoběžnými stěnami jako pole s nenulovou rotací. Rychlost proudu klesá kvadraticky směrem ke břehům a díky tomu se loďka stáčí po proudu.

Tok kapaliny mezi dvěma rovnoběžnými stěnami jako pole s nenulovou rotací. Rychlost proudu klesá kvadraticky směrem ke břehům a díky tomu se loďka stáčí po proudu.

Rotace významných polí

Rotace gradientu je nulový vektor

Buď \(\varphi(x,y,z):\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) skalární funkce a buď \(\vec F(x,y,z)=\nabla \varphi(x,y,z)\). Vypočtěte \(\mathop{\mathrm{rot}}\vec F\).

Řešení. \[\begin{aligned} \vec F &=\left( \frac{\partial\varphi}{\partial x},\frac{\partial\varphi}{\partial y},\frac{\partial\varphi}{\partial z}\right)\\ \mathop{\mathrm{rot}}\vec F &=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j &\vec k\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \frac{\partial\varphi}{\partial x} &\frac{\partial\varphi}{\partial y} &\frac{\partial\varphi}{\partial z} \end{vmatrix} \\&= \vec i \left( \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial\varphi}{\partial z} - \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial\varphi}{\partial y} \right) + \vec j \left( \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial\varphi}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial\varphi}{\partial z} \right) + \vec k \left( \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial\varphi}{\partial y} - \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial\varphi}{\partial x} \right) \end{aligned} \] Podle Schwarzovy věty (nezáleží na pořadí derivování) je každá závorka rovna nule. Proto platí \(\mathop{\mathrm{rot}}\vec F=0\).

Rotace gradientu je nulový vektor.

Později uvidíme, že platí do jisté míry i obrácená vlastnost: pokud je rotace vektorového pole nulová, je toto pole gradientem nějaké skalární veličiny. Pokud při proudění tekutiny má pole rychlosti nulovou rotaci (většinou platí pro relativně malé rychlosti), je možné pro toto pole zavést tzv. rychlostní potenciál (velocity potential). To je na rozdíl od rychlosti veličina, která není vektorová a proto se s ní lépe pracuje.

Divergence rotace je nula

Buď \(\vec F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) hladké vektorové pole. Vypočtěte \(\mathop{\mathrm{div}}(\mathop{\mathrm{rot}} \vec F)\)

Řešení. \[\vec F=P\vec i+Q\vec j + R\vec k\]

\[ \mathop{\mathrm{rot}} \vec F=\nabla \times \vec F= \begin{vmatrix} \vec i & \vec j &\vec k\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ P &Q &R \end{vmatrix} =\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\vec i +\left( \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\vec j + \left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\vec k.\]

Použijeme definici divergence, větu o derivaci součtu a přeskupíme sčítance. \[ \begin{aligned} \mathop{\mathrm{div}} (\mathop{\mathrm{rot}} \vec F )&= \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) + \frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) + \frac{\partial }{\partial z} \left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \\ &=\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial }{\partial x} \frac{\partial Q}{\partial z} +\frac{\partial }{\partial y} \frac{\partial P}{\partial z}- \frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial R}{\partial x} + \frac{\partial }{\partial z} \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial P}{\partial y} \\ &=\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial R}{\partial x} +\frac{\partial }{\partial y} \frac{\partial P}{\partial z} -\frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial P}{\partial y} + \frac{\partial }{\partial z} \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial }{\partial x} \frac{\partial Q}{\partial z} \end{aligned}\]

Podle Schwarzovy věty platí \[ \frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial R}{\partial y} = \frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial R}{\partial x} \] \[ \frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial Q}{\partial x} \] \[ \frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial P}{\partial y} \]

Odsud dostáváme \[ \mathop{\mathrm{div}} (\mathop{\mathrm{rot}} \vec F ) =0.\]

Divergence rotace je nula.

Dá se ukázat, že platí do jisté míry i opačná vlastnost a pro pole s nulovou divergencí se dá často toto pole psát jako rotace nějaké vektorové funkce. Této funkci se říká vektorový potenciál a je dobře známa například u magnetismu. U rovinného proudění tekutin má tento vektorový potenciál nenulovou jenom třetí složku, která se nazývá proudová funkce (stream function) a její vrstevnice jsou proudnice.

Na následujících obrázcích jsou modrou barvou vrstevnice proudové funkce a šedou barvou vrstevnice rychlostního potenciálu.

Radiální tok. Nestačí jenom směr. Rychlost musí ubývat přesnou mocninou, aby proudění mělo potenciál.

Radiální tok. Nestačí jenom směr. Rychlost musí ubývat přesnou mocninou, aby proudění mělo potenciál.

Tok po kružnicích. Nestačí jenom směr. Rychlost musí ubývat přesnou mocninou, aby proudění mělo potenciál.

Tok po kružnicích. Nestačí jenom směr. Rychlost musí ubývat přesnou mocninou, aby proudění mělo potenciál.

Homogenní tok

Homogenní tok

V případě, že toky můžeme charakterizovat rychlostním potenciálem (tj. bezvírové proudění nestlačitelné dokonale tekuté kapaliny), je snadné je sčítat. To se využívá například při studiu obtékání těles.

V případě, že toky můžeme charakterizovat rychlostním potenciálem (tj. bezvírové proudění nestlačitelné dokonale tekuté kapaliny), je snadné je sčítat. To se využívá například při studiu obtékání těles.

Mocnina se kterou ubývá nezřídlové vektorové pole (1/2)

Pro jaké \(n\) má vektorové pole \[\vec F=\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^n} (x,y,z)\] nulovou divergenci?

Řešení. Použijeme variantu vzorce pro derivaci součinu ve tvaru \[\nabla(f\vec G)=f\nabla\vec G +\vec G\nabla f.\]

Pro \(f=\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^n}\) dostáváme \[\frac{\partial f}{\partial x}=-n(x^2+y^2+z^2)^{-n-1}2x=-\frac {2nx}{(x^2+y^2+z^2)^{n+1}}\] a analogicky dostaneme derivace podle dalších proměnných, tj. \[\frac{\partial f}{\partial y}=-\frac {2ny}{(x^2+y^2+z^2)^{n+1}}\] a \[\frac{\partial f}{\partial z}=-\frac {2nz}{(x^2+y^2+z^2)^{n+1}}.\] Odsud dostáváme gradient \[\nabla f= -\frac {2n}{(x^2+y^2+z^2)^{n+1}} (x,y,z).\]

Mocnina se kterou ubývá nezřídlové vektorové pole (2/2)

Pro \(\vec G=(x,y,z)\) dostáváme snadno divergenci \(\nabla \vec G = 1+1+1=3\).

Odsud \[\begin{aligned}\nabla \vec F & = \nabla(f\vec G) \\&= \frac {1}{(x^2+y^2+z^2)^n} 3 - (x,y,z) \frac {2n}{(x^2+y^2+z^2)^{n+1}} (x,y,z) \\&= \frac {3}{(x^2+y^2+z^2)^n} - \frac {2n (x^2+y^2+z^2)}{(x^2+y^2+z^2)^{n+1}} \\&= \frac {3-2n}{(x^2+y^2+z^2)^n}. \end{aligned}\]

Divergence je nulová pro \(n=\frac 32.\) V tomto případě máme \[\vec F=\frac{1}{x^2+y^2+z^2} \cdot \frac{(x,y,z)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\] a velikost vektorového pole je nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti od počátku.

Shrnutí diferenciálních operátorů

Operátor Výpočet
Gradient \(\mathop{\mathrm{grad}} f=\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} , \frac{\partial f}{\partial z} \right)\)
Totální diferenciál \(\mathrm{d}f =\nabla f\cdot(\mathrm{d}x, \mathrm{d}y, \mathrm{d}z) =\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y+ \frac{\partial f}{\partial z} \mathrm{d}z\)
Laplaceův operátor \(\nabla^2 f=\nabla \cdot(\nabla f)=\frac{\partial^2 f}{(\partial x)^2} + \frac{\partial^2 f}{(\partial y)^2}+ \frac{\partial^2 f}{(\partial z)^2}\)
Lin. aproximace \(f(x,y,z)\approx f(x_0,y_0,z_0)+\nabla f(x_0,y_0,z_0)\cdot(x-x_0, y-y_0, z-z_0)\)
Operátor Výpočet
Divergence \(\mathop{\mathrm{div}}\vec F=\nabla\cdot\vec F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\)
Rotace \({ \mathop{\mathrm{rot}} \vec F=\nabla \times \vec F= \begin{vmatrix} \vec i & \vec j &\vec k\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ P &Q &R \end{vmatrix}}\)

Popis pole

Následující popis je pro jednoduchost a konkrétnost proveden pro gravitační pole. Je však plně obecný, pokud odpovídajícím způsobem nahradíme příslušné veličiny a charakteristiky objektů.

Ukázky použití - rovnice matematické fyziky 1/2

Rovnice kontinuity

Zákon zachování veličiny která může vznikat, zanikat a téct, veličina \(\rho\) vyjadřuje prostorovou hustotu a \(\vec j\) tok a \(s\) intenzita zdrojů a spotřebičů. Jejími některými makroskopickými důsledky jsou první Kirchhofův zákon nebo rovnice spojitosti v hydrodynamice.

\[ \frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla \vec j=s \]

Rovnice difuze, rovnice vedení tepla

Tato rovnice rovněž vystihuje chování difundující látky v trojrozměrné oblasti. Jedná se vlastně o rovnici kontinuity doplněnou o předpoklad, že intenzita toku je úměrná gradientu. Nejjednodušší tvar má tato rovnice v homogenním izotropním prostředí.

\[ \frac{\partial u}{\partial t}-D\nabla^2 u=\sigma \]

Rovnice difuze se může týkat i popisu jiné veličiny, než veličiny bezprostředně spojené s pohybem látkového prostředí. Například takto můžeme sledovat vedení tepla, nebo při zpracování fotografí změny v jasu sousedních bodů.

Všimli jste si, že sice existují zvířata, jejichž srst má skvrny na těle a pruhy na ocase, ale žádné zvíře nemá kresbu srsti naopak? Pokud má srst zvíře pruhy na těle, je pruhovaný i ocas. I toto plyne z rovnice difuze.

Rovnice popisující proudění viskozní Newtonovské tekutiny. Jeden z Millennium Prize Problems.

\[ \frac{\partial \vec v}{\partial t}+(\vec v\cdot \nabla) \vec v =g-\frac{\nabla p}{\rho}+\mu\nabla^2\vec v \]

Ukázky použití - rovnice matematické fyziky 2/2

Maxwellovy rovnice

Úplně popisují elektromagnetické vlnění. Jejich důsledkem jsou (přidáme-li materiálové vztahy) například zákon odrazu a lomu světla, polarizace světla.

\[ \begin{aligned} \mathop{\mathrm{div}}\vec E&=\frac{\rho}{\epsilon_0}&&& \mathop{\mathrm{div}} \vec B&=0\\ \mathop{\mathrm{rot}}\vec E&=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}&&& \mathop{\mathrm{rot}}\vec B&=\mu_0\vec j+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t} \end{aligned} \]

Vlnová rovnice

Popisuje vlnění, stojaté i postupné vlny. Pro elektromagnetickou vlnu jde rovnice odvodit z Maxwellových rovnic.

\[ \frac 1{c^2}\frac{\partial^2 z}{\partial t^2}=\nabla^2 z \]

Schrödingerova rovnice

Základní rovnice kvantové mechaniky, popisuje chování částice v potenciálovém poli \(V\), řešením je vlnová funkce částice \(\psi\).

\[ i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} = -\frac{\hbar}{2m}\nabla^2 \psi +V\psi \]