Derivace

Derivace je matematický prostředek, který umožňuje sledovat, měřit a porovnávat rychlosti změn fyzikálních veličin. Přirozeně se tak objevuje při formulaci a popisu téměř všech dynamicky probíhajících fyzikálních jevů. (Fyzikální popis světa tak je prezentovaný středoškolskou fyzikou je častou pouze jakousi aproximací ve které jevy probíhají konstantní rychlostí - například bez derivací umíme studovat pouze rovnoměrný nebo rovnoměrně zrychlený pohyb).

Poznámka. Všude v následujícím textu budeme předpokládat, že funkce a derivace které zde vystupují jsou dostatečně hladké a rovnosti platí na dostatečně pěkných množinách. V praktických aplikacích bývají tyto předpoklady zpravidla triviálně splněny, proto je pro úsporu místa nebudeme vypisovat. Zájemce najde poučení v odborné literatuře.

Obyčejná derivace

Derivace a tečna (lineární aproximace)

Derivace a tečna (lineární aproximace)

Motivace pro rozšíření pojmu derivace

Mnoho procesů se řídí zákony zachování. Pokud proudící látka může vznikat a zanikat nebo měnit hustotu, není situace tak jednoduchá, jak to známe z rovnice kontinuity ve středoškolské fyzice. Zdroj: pixabay.com

Mnoho procesů se řídí zákony zachování. Pokud proudící látka může vznikat a zanikat nebo měnit hustotu, není situace tak jednoduchá, jak to známe z rovnice kontinuity ve středoškolské fyzice. Zdroj: pixabay.com

Derivace je vhodná ke studiu fyzikálních procesů na makroskopické úrovni těles. Takovým fyzikálním zákonům říkáme zákony v integrálním tvaru. Ty jsou často odvozeny ze zákonů zachování.

Pro vyjadřování procesů jako jsou rychlost změny teploty tělesa nebo množství tekutiny v daném objemu jsou vhodné (obyčejné) derivace.

Někdy však požadujeme detailnější informace o celém procesu, abychom měli přesnější popis a dokázali odhalit vliv všech relevantních parametrů. U tepelné výměny bychom například sledovali, jak se teplo předává z jednoho místa tělesa do druhého místa a jak prostupuje tělesem. Takový pohled je nutný například při studiu procesu, který není stacionární v čase. Při tomto pohledu již musíme znát teplotu nejen jako funkci času, ale i jako funkci prostorových souřadnic. Výsledkem tohoto přístupu je formulace zákonů v diferenciálním tvaru. Tento tvar říká, co se děje v konkrétním místě a dává lepší náhled na fyzikální podstatu. Proto tomuto přístupu často dáváme přednost a používáme jej jako výchozí bod pro studium a popis konkrétních situací. Musíme tedy pracovat s funkcemi více proměnných a studovat, jak se mění vzhledem k jednotlivým proměnným. To je přesně úkol pro diferenciální počet funkcí více proměnných a parciální derivace.

Parciální derivace

Parciální derivace funkce f v bodě [2,-2] jsou derivace křivek vzniklých na řezech rovinami x=2 a y=-2.

Parciální derivace funkce \(f\) v bodě \([2,-2]\) jsou derivace křivek vzniklých na řezech rovinami \(x=2\) a \(y=-2\).

Aplikace parciálních derivací - základní myšlenky

Interpretace parciálních derivací - pohyb ještěrky

Energie potřebná pro překonání pevné vzdálenosti závisí na hmotnosti jedince a na rychlosti, kterou vyvíjí. Zdroj: pixabay.com

Energie potřebná pro překonání pevné vzdálenosti závisí na hmotnosti jedince a na rychlosti, kterou vyvíjí. Zdroj: pixabay.com

Energie \(E\) (v kcal), kterou spotřebuje ještěrka o hmotnosti \(m\) (v gramech) na překonání vzdálenosti jednoho kilometru rychlostí \(v\) (v kilometrech za hodinu) se dá odhadnout vzorcem \[E(m,v)=2.65 m^{0.66} + \frac{3.5 m^{0.75}}{v}.\] Přímým výpočtem je možné určit \[\frac{\partial E}{\partial v}=-\frac{3.5 m^{0.75}}{v^2}.\] Pro \(m=400\,\mathrm{g}\) a \(v=8\,\mathrm{km}\,\mathrm{h}^{-1}\) dostáváme \[\frac{\partial E}{\partial v}(400,8)=-4.9\,\mathrm{kcal}\,\mathrm{km}^{-1}\mathrm{h}.\] Zvýšení rychlosti o kilometr za hodinu vede ke snížení energetického výdeje ještěrky o \(4.9\,\mathrm{kcal}\). Podobně, platí \[\frac{\partial E}{\partial m}= {2.65}\times 0.66 {m^{-0.34}} + \frac{3.5\times 0.75 m^{-0.25}}{v}= \frac{1.749}{m^{0.34}} + \frac{2.625}{m^{0.25} v} \] a pro výše uvažované hodnoty dostáváme \[\frac{\partial E}{\partial m}(400,8)= 0.30\,\mathrm{kcal}\,\mathrm{g}^{-1}. \] Každý gram, který má ještěrka navíc oproti hmotnosti \(400\) gramů, zvedne energetický výdej přibližně o \(0.30\,\mathrm{kcal}\).

Online výpočet.

(Zpracováno podle Stewart: Biocalculus)

Aplikace parciálních derivací - brzdná dráha

Brzdy v autě musí absorbovat kinetickou energii, která je lineární funkcí hmotnosti a kvadratickou funkcí rychlosti. Zdroj: pixabay.com

Brzdy v autě musí absorbovat kinetickou energii, která je lineární funkcí hmotnosti a kvadratickou funkcí rychlosti. Zdroj: pixabay.com

Příklad: Brzdná dráha \(L\) (v metrech) auta o hmotnosti \(m\) (v kilogramech) brzdícího z rychlosti \(v\) (v kilometrech za hodinu) je dána vzorcem \[L=k m v^2, \] kde \(k= 3.45 \times 10 ^{-6}\,(\mathrm{m}\,\mathrm{hod}^2)/(\mathrm{kg}\,\mathrm{km}^2)\). Pro \(m=1100\,\mathrm{kg}\) a \(v=100\,\mathrm{km}/\mathrm{hod}\) je brzdná dráha \(37.95\,\mathrm{m}\).

Online výpočet.

Zákon šíření chyb (chyba nepřímo měřené veličiny)

Každá chyba má své důsledky. Důsledky chyb ve vstupních datech kvantifikujeme pomocí zákona šíření chyb. Zdroj: pixabay.com

Každá chyba má své důsledky. Důsledky chyb ve vstupních datech kvantifikujeme pomocí zákona šíření chyb. Zdroj: pixabay.com

Zákon šíření chyb - příklad

Pocitová teplota v zimě závisí na skutečné teplotě a na síle větru. Zdroj: pixabay.com

Pocitová teplota v zimě závisí na skutečné teplotě a na síle větru. Zdroj: pixabay.com

Kanadský empirický vzorec pro pocitovou teplotu v zimě (wind-chill factor) je \[W(T,v) = 13.12+0.6215 T-11.37 v^{0.16}+0.3965 T v^{0.16},\] kde \(T\) je teplota (ve stupních Celsia) a \(v\) je rychlost větru (v km/hod). Teplota byla změřena \(-11.0\,{}^\circ\!\text{C}\) s chybou \(0.2\,{}^\circ\!\text{C}\) a rychlost \(26 \,\text{km/hod}\) s chybou \(5\,\text{km/hod}\). S využítím zákona šíření chyb určíme, jaký vliv mají nepřesnosti v měření na nepřesnost vypočítané veličiny.

Dosazením do vzorce dostáváme \(W(-11,26)=-20.212\,{}^\circ\!\text{C}\). Derivováním dostáváme \[\begin{aligned}\frac{\partial W}{\partial T}(T,v)&=0.6215+0.3965 v^{0.16},\\ \frac{\partial W}{\partial v}(T,v)&=-11.37\times 0.16 v^{-0.84}+0.3965 \times 0.16 Tv^{-0.84} \end{aligned} \] a po dosazení \[\begin{aligned}\frac{\partial W}{\partial T}(-11,26)&=1.289,\\ \frac{\partial W}{\partial v}(-11,26)&=-0.163 \,{}^\circ\!\text{C}\, \text{hod}/\mathrm{km}. \end{aligned} \] Za dané teploty a rychlosti větru způsobí nárůst teploty o jeden stupeň nárůst pocitové teploty přibližně o \(1.3\) stupně. Podobně, zesílení větru o jeden kilometr za hodinu způsobí snížení pocitové teploty přibližně o \(0.16\) stupně. Ze zákona šíření chyb dostáváme pro chybu pocitové teploty (dosazováno bez jednotek) \[\Delta W=\sqrt{\left(1.289\times 0.2\right)^2+\left(-0.163\times 5\right)^2}=0.85\,{}^\circ\!\text{C}.\] Pocitová teplota je tedy \(W=-20.2\,{}^\circ\!\text{C}\pm 0.9\,{}^\circ\!\text{C}\).

Online výpočet.

Rovnice vedení tepla v 1D

Studujme vedení tepla v jednorozměrné tyči. Teplota je funkcí dvou proměnných, polohy a času.

Poznámka. Potřebujeme fyzikální zákony řídící vedení tepla. Bez nich matematika model vedení tepla nemá jak naformulovat. Tyto zákony je potřeba matematice "dodat zvenku" a jsou následující.

V dalším už nastupuje matematický popis a ve vhodných chvílích vždy použijeme výše uvedené fyzikální zákony. Mluvíme o teple, ale jako mechanický model si můžeme představit proudění tekutiny (pro jednoduchou představu) nebo proudění vlhkosti (pro odvození rovnice difuze namísto rovnice vedení tepla).

Shrnutí. V odvození vidíme, že rovnice vedení tepla je vlastně bilance toku tepla. Rozdíl o kolik se v daném místě snižuje tok tepla udává, kolik tepla se v daném místě spotřebovalo. Tato spotřeba tepla se projeví zvýšením teploty v daném bodě.

Motivace pro zavedení diferenciálních operátorů

Při proudění tekutin nesledujeme jednotlivé molekuly, ale vektor rychlosti. Díky tomu můžeme stejným aparátem sledovat tok tekutiny, tok tepla nebo tok jiné veličiny. Zdroj: pixabay.com

Při proudění tekutin nesledujeme jednotlivé molekuly, ale vektor rychlosti. Díky tomu můžeme stejným aparátem sledovat tok tekutiny, tok tepla nebo tok jiné veličiny. Zdroj: pixabay.com

Parciální derivace se vyskytují ve většině důležitých rovnic popisujících fyzikální svět okolo nás.

Parciální derivace umožňují sledovat závislost stavových veličin v závislosti na souřadnicích nebo čase, a to pro každou souřadnici samostatně. Nicméně souřadný systém je něco, co do popisu vnášíme uměle a proto by fyzikální proce neměl být na tomto souřadném systému závislý. Proto často spojujeme parciální derivace do složitějších výrazů -- diferenciálních operátorů. Zde teprve vynikne síla parciálních derivací.

Jedno z uplatnění je v mechanice kontinua při popisu proudění tekutin. Pomocí Newtonova zákona můžeme napsat pohybovou rovnici pro každou molekulu tekutiny a ze znalosti počáteční rychlosti a polohy všech molekul zjistit, jak bude vypadat pohyb molekul v libovolném čase. V praxi však nedokážeme ani přesně určit počet molekul, ne tak jejich počáteční polohu a rychlost. Jedním z přístupů odstraňujících tyto problémy je statistický přístup používaný ve statistické fyzice. Jiný přístup je, že nesledujeme pohyb jednotlivých molekul, ale v jednotlivých místech prostoru sledujeme důležité charakteristiky, jako například rychlost proudění nebo tlak v kapalině. To je přesně úloha pro diferenciální operátory sestavené z parciálních derivací.

Výhodou použití univerzálního nástroje parciálních derivací je, že získáme podobné rovnice pro studium řady rozdílných problémů. Při popisu proudění vycházíme ze zákona zachování: přírůstek proudící veličiny v uvažovaném místě tělesa je dán součtem vydatnosti všech zdrojů v tomto místě sníženém o množství veličiny, které vyteče přes hranice. Přitom spotřebiče uvažujeme jako zdroje se zápornou vydatností a tok dovnitř jako záporný tok. Na fyzikálním charakteru proudící veličiny nezáleží. Podobnými rovnicemi proto popisujeme proudění vody v potrubí (proudění homogenním prostředím, které neklade odpor), proudění vody ve dřevě (tj. proudění ortotropním materiálem), proudění vody nebo ropy v půdě (proudění anizotropním materiálem), proudění tepla v tepelně vodivém prostředí (proudění veličiny, která není spojena přímo s látkou) nebo například difuzi.

Gradient

Gradient je kolmý na vrstevnice

Gradient v přírodě a přírodních zákonech

U teplokrevných živočichů vystavených chladu vzniká velký gradient teploty. Pro snížení tohoto gradientu a lepší ochranu před mrazem je výhodné mít silnou vrstvu chlupů. S rozdílem teplot teplokrevný živočich nic dělat nemůže, proto alespoň zvýší vzdálenost, podél které teplota klesá. Tlustá tuková tkáň je výhoda. Například ptáci se v zimě umí proměnit v načepýřené koule. Zdroj: pixabay.com

U teplokrevných živočichů vystavených chladu vzniká velký gradient teploty. Pro snížení tohoto gradientu a lepší ochranu před mrazem je výhodné mít silnou vrstvu chlupů. S rozdílem teplot teplokrevný živočich nic dělat nemůže, proto alespoň zvýší vzdálenost, podél které teplota klesá. Tlustá tuková tkáň je výhoda. Například ptáci se v zimě umí proměnit v načepýřené koule. Zdroj: pixabay.com

Lineární aproximace funkce

Lineární aproximace funkce - příklad

Kanadský empirický vzorec pro pocitovou teplotu v zimě (wind-chill factor) je \[W(T,v) = 13.12+0.6215 T-11.37 v^{0.16}+0.3965 T v^{0.16},\] kde \(T\) je teplota (ve stupních Celsia) a \(v\) je rychlost větru (v km/hod). Teplota byla změřena \(-11.0\,{}^\circ\!\text{C}\) s chybou \(0.2\,{}^\circ\!\text{C}\) a rychlost \(26 \,\text{km/hod}\) s chybou \(5\,\text{km/hod}\).

Lineární aproximace je minimalistická metoda, umožňující podchytit funkční závislosti. Často funguje velice dobře, obecně je však pouze lokální. Zdroj: pixabay.com

Lineární aproximace je minimalistická metoda, umožňující podchytit funkční závislosti. Často funguje velice dobře, obecně je však pouze lokální. Zdroj: pixabay.com

Na předchozích slidech jsme vypočítali \[\begin{aligned}W(-11,26)&=-20.212\,{}^\circ\!\text{C}\\\frac{\partial W}{\partial T}(-11,26)&=1.289,\\ \frac{\partial W}{\partial v}(-11,26)&=-0.163 \,{}^\circ\!\text{C}\, \text{hod}/\mathrm{km}. \end{aligned} \]

Přibližný vzorec pro pocitovou teplotu platný pro teploty blízké \(-11.0\,{}^\circ\!\text{C}\) a rychlosti větru blízké \(26 \,\text{km/hod}\) je \[W\approx -20.12 +1.289 (T+11) -0.163(v-26).\]

Tečna k vrstevnici

Pro \(z=0=z_0\) dostáváme z tečné roviny následující: Nechť \(f(x_0,y_0)=0\). Tečna k vrstevnici funkce \(f(x,y)\) na úrovni nula, tj. ke křivce \(0=f(x,y)\), vedená bodem \([x_0,y_0]\) má rovnici \[0=\nabla f(x_0,y_0)\cdot (x-x_0,y-y_0).\]

Nakreslit online

Tečna k vrstevnici

Implicitně definovaná funkce

Mějme funkci \(f(x,y)\) dvou proměnných a její vrstevnici na úrovni \(C\) \[f(x,y)=C. \tag{1}\] Tato rovnice za jistých okolností může definovat \(y\) jako funkci proměnné \(x\). Pokusíme se najít derivaci této funkce. K tomu uvažujme bod \((x_0,y_0)\) ležící na této vrstevnici, tj. \(f(x_0,y_0)=C\).

Tečna k vrstevnici

Tečna k vrstevnici

Animace

Implicitně definovaná funkce (pokračování)

Tečna k vrstevnici

Tečna k vrstevnici

Implicitně definovaná funkce (závěr)

Věta o implicitní funkci: Uvažujme funkci \(f(x,y)\) dvou proměnných, splňující v nějakém bodě \((x_0, y_0)\) podmínku \(f(x_0, y_0)=0\) a mající v okolí bodu \((x_0, y_0)\) spojité parciální derivace. Rovnice \[f(x,y)=0\] vrstevnice na úrovni \(0\) popisuje křivku procházející bodem \((x_0, y_0)\).

Tečna k vrstevnici

Lokální extrémy funkce více proměnných

Podobně jako pro funkce jedné proměnné definujeme i pro funkce více proměnných lokální extrémy následovně: funkce má v daném bodě lokální minimum, pokud v nějakém okolí tohoto bodu neexistuje bod s menší funkční hodnotou a podobně, funkce má v bodě lokální maximum, pokud v okolí tohoto bodu neexistuje bod s vyšší funkční hodnotou.

Funkce jedné proměnné určitě nemá v bodě lokální extrém, pokud má v tomto bodě kladnou derivaci (protože potom funkce roste), nebo pokud má v tomto bodě zápornou derivaci (protože potom funkce klesá). Derivace v bodě kde nastává lokální extrém tedy musí být buď nulová nebo nesmí existovat. Stejná myšlenková úvaha se dá provést pro křivky vzniklé na řezech funkce dvou proměnných a proto platí následující věta.

Věta (Fermatova nutná podmínka pro lokální extrémy): Jestliže funkce více proměnných má v nějakém bodě svůj lokální extrém, pak každá parciální derivace, která v tomto bodě existuje, je nulová.

V bodě lokálního extrému hladké funkce je tedy nulový gradient.

Pokud je některá z parciálních derivací nenulová, extrém nenastává

Pokud je některá z parciálních derivací nenulová, extrém nenastává


Lokální extrémy funkce více proměnných (pokračování)

V bodě kde nastává extrém je každá parciální derivace která existuje nulová, tj. křivka na řezu má vodorovnou tečnu

V bodě kde nastává extrém je každá parciální derivace která existuje nulová, tj. křivka na řezu má vodorovnou tečnu

Nulovost parciálních derivací nemusí stačit k existenci lokálního extrému - funkce může mít sedlový bod

Nulovost parciálních derivací nemusí stačit k existenci lokálního extrému - funkce může mít sedlový bod

Složené funkce

Druhá derivace

Věta (Schwarzova). Jsou-li smíšené derivace hladké na otevřené množině, jsou zde stejné, tj. platí \[ \frac{\partial }{\partial x} \frac{\partial f}{\partial y}= \frac{\partial }{\partial y} \frac{\partial f}{\partial x}.\]

Vzhledem k této větě existují jenom tři druhé parciální derivace. Je tedy bezpečné psát \[ \frac{\partial^2}{\partial x^2}f,\quad \frac{\partial^2}{\partial x \partial y}f,\quad \frac{\partial^2}{\partial y^2}f, \] nebo \[f''_{xx},\quad f''_{xy},\quad f''_{yy}.\]

Separace proměnných

Některé funkce dvou proměnných je možno zapsat jako součin dvou funkcí jedné proměnné, například \(\varphi(x,y)=\sin(x^2+1)\frac{\ln y}{y}\). U některých funkcí toto možné není, například funkce \(\varphi(x,y)=x^2-y^2\). Pomocí parciálních derivací je možno podat jednoduchou charakterizaci všech funkcí, majících výše uvedenou vlastnost.

Věta: Nechť funkce dvou proměnných \(\varphi(x,y)\) je nenulová na konvexní oblasti \(G\) a má zde spojité všechny parciální derivace do řádu dva, včetně. Funkci \(\varphi(x,y)\) je možno zapsat ve tvaru \(\varphi(x,y)=f(x)g(y)\), kde \(f\) a \(g\) jsou vhodné funkce jedné proměnné právě tehdy, když je na množině \(G\) nulový výraz \[ \varphi(x,y)\frac{\partial^2 \varphi (x,y)}{\partial y\partial x}-\frac{\partial \varphi (x,y)}{\partial x\vphantom{y}}\frac{\partial \varphi (x,y)}{\partial y} \] tj. pokud na množině \(G\) platí \[\begin{vmatrix}\varphi & \frac {\partial \varphi}{\partial x}\\ \frac {\partial \varphi}{\partial y} & \frac {\partial^2 \varphi}{\partial x\partial y}\end{vmatrix}=0\]

Naznačíme část důkazu. Pokud platí \[\varphi(x,y)=f(x)g(y),\] je \[\ln \varphi(x,y)=\ln(f(x))+\ln(g(y)).\] Derivací podle \(x\) dostáváme \[ \frac {\frac{\partial }{\partial x}\varphi(x,y)}{\varphi (x,y)}= \frac{f'(x)}{f(x)}. \] Protože pravá strana nezávisí na \(y\), dostáváme derivováním podle \(y\) \[ \frac {\left(\frac{\partial^2 \varphi (x,y)}{\partial y\partial x}\right)\varphi(x,y)-\left(\frac{\partial \varphi (x,y)}{\partial x\vphantom{y}}\right)\left(\frac{\partial \varphi (x,y)}{\partial y}\right)}{\varphi^2(x,y)}= 0 \] Výraz v čitateli je uveden v tvrzení věty.

Totální diferenciál

Věta (platí za předpokladu dostatečně hladkých funkcí na otevřené množině): Vektor \[\vec F(x,y) = \left( M(x,y) , N(x,y)\right)\] je gradientem nějaké funkce \(f(x,y)\) právě tehdy když platí \[ \frac{\partial }{\partial y}M(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}N(x,y).\]

Darcyho zákon a skalární potenciál

Tok vody v půdě je jedním ze základních předpokladů existence života. Zdroj: pixabay.com

Tok vody v půdě je jedním ze základních předpokladů existence života. Zdroj: pixabay.com

Darcyho zákon experimentálně prokázal, že při proudění tekutiny pórovitým prostředím je pro mnoho látek za běžných situací tok úměrný rozdílu tlaků. Proto se tento zákon používá například při studiu proudění podzemní vody propustnými vrstvami půdy, vody dřevem, vzduchu půdou, vody rostlinou a jejími částmi, ropy půdou a podobně. Rozdíl tlaků může mít různý původ (jiná výška, jiný tlak vrstev z nadloží, osmóza, kapilarita, koncentrace rozpuštěných látek apod) a tyto faktory se sčítají. Pro pohodlí je někdy rozdíl tlaků přepočítáván v některých oborech na ekvivalentní výškový rozdíl, což však činí tuto veličinu poměrně těžko představitelnou, protože není spojena s jedním konkrétním fyzikálním jevem. My se budeme držet tlaku.

Je-li \(p\) tlak, je změna tlaku na jednotku délky ve směru osy \(x\) rovna \(\frac{\partial p}{\partial x}\) a tento rozdíl tlaků vyvolá proudění ve směru osy \(x\) o velikosti \[q_{xx}=-K_{xx}\frac{\partial p}{\partial x},\] kde \(K_{xx}\) je konstanta úměrnosti z Darcyho zákona a znaménko vyjadřuje, že tekutina teče z místa s vyšším tlakem do místa s nižším tlakem.

Změna tlaku ve směru osy \(x\) může v obecném anizotropním prostředí vyvolat proudění i ve směru osy \(y\) nebo \(z\), opět existují konstanty \(K_{xy}\) a \(K_{xz}\) takové, že \[q_{yx}=-K_{yx}\frac{\partial p}{\partial x},\qquad q_{zx}=-K_{zx}\frac{\partial p}{\partial x}.\]

Analogické vztahy platí i pro další směry a celkový tok ve směru osy \(x\) je dán součtem příspěvků, které vznikly tlakovým gradientem ve směru jednotlivých os, tj. \[q_x=-K_{xx}\frac{\partial p}{\partial x}-K_{xy}\frac{\partial p}{\partial y}-K_{xz}\frac{\partial p}{\partial z}.\] Proudění ve všech třech směrech je možné zapsat pomocí maticové rovnice \[\begin{pmatrix} q_x\\q_y\\q_z \end{pmatrix} =-\begin{pmatrix} K_{xx} & K_{xy} & K_{xz}\\ K_{yx} & K_{yy} & K_{yz}\\ K_{zx} & K_{zy} & K_{zz} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\partial p}{\partial x}\\ \frac{\partial p}{\partial y}\\ \frac{\partial p}{\partial z} \end{pmatrix}. \] Matice \((K_{ij})\) má kladná vlastní čísla a je symetrická. To není zcela snadné vidět, ale symetrie plyne z termodynamiky a z předpokladu vratnosti procesů, pozitivní definitnost plyne z toho, že kapalina teče do míst s nižším tlakem. Díky těmto vlastnostem je možné pro vhodně zvolenou soustavu souřadnic dosáhnout toho, že matice \((K_{ij})\) je diagonální, tj. \[\begin{pmatrix} q_x\\q_y\\q_z \end{pmatrix} =-\begin{pmatrix} K_{xx} & 0 & 0\\ 0 & K_{yy} & 0\\ 0 & 0 & K_{zz} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\partial p}{\partial x}\\ \frac{\partial p}{\partial y}\\ \frac{\partial p}{\partial z} \end{pmatrix}. \] V některých případech jsou vhodné souřadnice dány geometrií, například díky vláknům dřeva můžeme psát Darcyho zákon ve tvaru s diagonální maticí. Je-li prostředí dokonce izotropní (stejné vlastnosti ve všech směrech), platí \(K_{xx}=K_{yy}=K_{zz}=K\) a rovnice má tvar \[\begin{pmatrix} q_x\\q_y\\q_z \end{pmatrix} =-K \begin{pmatrix} \frac{\partial p}{\partial x}\\ \frac{\partial p}{\partial y}\\ \frac{\partial p}{\partial z} \end{pmatrix}. \] Je-li prostředí kromě izotropie i homogenní a \(K\) nezávisí na prostorových souřadnicích, má Darcyho zákon tvar ještě o něco jednodušší \[\begin{pmatrix} q_x\\q_y\\q_z \end{pmatrix} =- \begin{pmatrix} \frac{\partial Kp}{\partial x}\\ \frac{\partial Kp}{\partial y}\\ \frac{\partial Kp}{\partial z} \end{pmatrix}. \] Vidíme, že tok je záporně vzatým gradientem jisté fyzikální veličiny, která se v anglické literatuře nazývá specific discharge potential. Matematicky je veličina \(-Kp\) kmenovou funkcí toku \(\vec q\).

Laplaceův operátor

Shrnutí vzorců pro výpočty

Úloha Postup
Najdi směr kolmý na vrstevnice funkce \(f(x,y)\) v bodě \((x_0,y_0)\). \(\nabla f(x_0,y_0)\)
Najdi tečnu k vrstevnici funkce \(f(x,y)\) v bodě \((x_0,y_0)\). \(\nabla f(x_0,y_0)\cdot(x-x_0,y-y_0)=0\)
(Přímka v rovině \(z=f(x_0,y_0)\).)
Najdi tečnu k funkci dané implicitně rovnicí \(f(x,y)=0\) v bodě \((x_0,y_0)\). Totéž co předchozí případ. Musí navíc platit \(f(x_0,y_0)=0\).
Najdi tečnou rovinu ke grafu funkce \(f(x,y)\) v bodě \((x_0,y_0)\). \(z=f(x_0,y_0)+\nabla f(x_0,y_0)\cdot(x-x_0,y-y_0)\)
Najdi lineární aproximaci funkce \(f(x,y)\) v okolí bodu \((x_0,y_0)\). \(f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+\nabla f(x_0,y_0)\cdot(x-x_0,y-y_0)\)
Je \(M\mathrm{d}x+N\mathrm{d}y\) totální diferenciál?
Existuje funkce \(\varphi\) taková, že \(\nabla\varphi=(M,N)\)?
Platí následujíci vztah? \(\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\)
Je možno psát funkci \(\varphi(x,y)\) ve tvaru \(f(x)g(y)\) pro vhodné funkce \(f\) a \(g\)? Platí následujíci vztah? \(\varphi \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x \partial y}-\frac{\partial \varphi}{\partial x}\frac{\partial \varphi}{\partial y}=0\)

Použité označení: