Vektorová pole

• Studujeme funkce \(\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) nebo \(\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\).
• Bodům v rovině jsou přiřazeny vektory. Můžeme interpretovat jako rychlostní pole nebo silové pole.
• 2D: \(\vec F:\mathbb {R}^2 \to \mathbb {R}^2\), ve složkách píšeme \[ \vec F = (P, Q) = P\vec \imath + Q\vec \jmath,\] kde \(P\) a \(Q\) jsou (skalární) funkce dvou proměnných.
• 3D: \(\vec F:\mathbb {R}^3 \to \mathbb {R}^3\), ve složkách píšeme \[ \vec F = (P, Q, R) = P\vec \imath + Q\vec \jmath + R\vec k,\] kde \(P\), \(Q\) a \(R\) jsou (skalární) funkce tří proměnných.

Příklady vektorových polí v rovině

• Homogenní pole \[\vec F_1=(0,-1)=-\vec \jmath.\] Každý vektor je stejný (směr i velikost).
• Radiální pole \[\vec F_2=(x,y)=x\vec \imath+y\vec \jmath.\] Každý vektor směřuje od počátku souřadnic.
• Rotující pole \[\vec F_3=(-y,x)=-y\vec \imath+x\vec \jmath.\] Je kolmé na radiální pole. Každý vektor je tečný ke kružnici se středem v počátku souřadnic. Nakreslit online.
• Radiální pole s konstantní velikostí vektorů \[\vec F_4=\frac{\vec F_2}{|\vec F_2|}=\frac{(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x\vec \imath +y\vec \jmath}{\sqrt{x^2+y^2}}.\] Každý vektor směřuje od počátku souřadnic a má jednotkovou délku.
• Radiální pole ubývající s kvadrátem vzdálenosti od počátku a mířící do středu \[\vec F_5=-\frac{\vec F_4}{x^2+y^2}=-\frac{x \vec \imath+y\vec \jmath}{(x^2+y^2)^{3/2}}.\] S druhou mocninou ve jmenovateli ubývá například 3D gravitační pole nebo elektrostatické pole generované hmotným bodem nebo koulí.
• Rychlost při proudění vazké tekutiny ubývá směrem ke stěnám. Tekutinu proudící doprava je možné pro \(y\in [0,1]\) modelovat vektorovým polem \[\vec F_6=(y(1-y),0)=y(1-y)\vec \imath.\]

Totální diferenciál

Definice (totální diferenciál).

Totálním diferenciálem funkce \(z=f(x,y)\) v bodě \((x_0, y_0)\) nazýváme výraz \[ \mathrm{d}f= \nabla f (x_0,y_0) \cdot (\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)=\frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial y}\mathrm{d}y. \]

V souvislosti s totálním diferenciálem často vyvstává otázka, zda pro zadané vektorové pole \[\vec F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)),\] existuje skalární funkce \(f\), jejímž gradientem je zadané vektorové pole \(\vec F\). Toto je důležitá otázka ve fyzice, protože umožňuje rozhodnout, ke kterému silovém poli je možno zavést potenciální energii. Funkce \(f\) se v tomto kontextu nazývá skalární potenciál vektorového pole \(\vec F\) nebo také kmenová funkce. Následující věta platí za předpokladu dostatečně hladkých funkcí na otevřené množině.

Věta (nutná a postačující podmínka pro existenci kmenové funkce ve 2D).

Vektor \[\vec F(x,y) = \left( P(x,y) , Q(x,y)\right)\] je gradientem nějaké funkce \(f(x,y)\) právě tehdy když platí \[ \frac{\partial }{\partial y}P(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}Q(x,y).\]

Jeden směr implikace v předchozí větě je snadný a plyne hned ze Schwarzovy věty.

Skalární a vektorový součin

Diferenciální operátor divergence jsme poznali v minulé přednášce v souvislosti s difuzní rovnicí. Formálně jde o skalární součin \(\nabla=\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right)\) a vektorového pole.

Vektorovým součinem \(\vec a \times \vec b\) vektorů \(\vec a=(a_1,a_2,a_3)\) a \(\vec b=(b_1,b_2,b_3)\) rozumíme vektor \[\vec a\times\vec b=\begin{vmatrix} \vec \imath & \vec \jmath &\vec k \\ a_1&a_2&a_3 \\ b_1& b_2& b_3\end{vmatrix}=(a_2b_3-a_3b_2)\vec\imath+(a_3b_1-a_1b_3)\vec\jmath+(a_1b_2-a_2b_1)\vec k.\]

Rotace

Definice (rotace vektorového pole).

Pro vektorovou funkci tří proměnných \[\vec F=P\vec \imath+Q\vec \jmath+R\vec k\] definujeme operátor rotace symbolicky vztahem \[ \mathop{\mathrm{rot}} \vec F=\nabla \times \vec F= \begin{vmatrix} \vec \imath & \vec \jmath &\vec k\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ P &Q &R \end{vmatrix}. \]

• Výsledkem rotace je tedy vektorové pole, jehož komponenty jsou \[\nabla \times \vec F=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\vec \imath +\left( \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\vec \jmath + \left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\vec k.\]

Tok kapaliny mezi dvěma rovnoběžnými stěnami jako pole s nenulovou rotací. Rychlost proudu klesá kvadraticky směrem ke břehům a díky tomu se loďka, která odrazí od břehu kolmo, stáčí po proudu.

• Ve dvourozměrném vektorovém poli doplníme třetí komponentu nulovou. Rotace má potom první dvě komponenty nulové (\(R=\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial P}{\partial z}=0\)) a třetí komponenta je nulová právě tehdy, když k vektorovému poli existuje skalární potenciál.
• Vektorové pole, jehož rotace je rovna nulovému vektoru se nazývá nevírové pole a ve fyzice má důležité postavení - je v něm možno zavést potenciál a potenciální energii.
• Představme si vektorové pole charakterizující rychlost proudící tekutiny. Rotace udává, zda má pole tendenci uvést do rotace objekt unášený tímto prouděním. Nejedná se tedy o to, zda se pole točí či netočí jako u víru při vypouštění umyvadla. Příkladem je přímý tok v řece, kdy rychlost u břehu klesá. V důsledku toho se loďka, která odrazí od břehu kolmo stočí po proudu. Mimo středovou osu má pole nenulovou rotaci, i když ve všech bodech míří stejným směrem. Online výpočet.
• Pozor: anglický výraz pro rotaci je “curl”.

Poznámka (linearita rotace).

Rotace zachovává součet a násobení konstantou, tj. pro libovolné vektorové funkce \(\vec F\) a \(\vec G\) a konstantu \(c\) platí \[\nabla \times (\vec F+\vec G)=\nabla \times \vec F +\nabla \times \vec G, \qquad \nabla \times (c\vec F)=c\nabla \cdot \vec F.\]

Rotace významných polí

• Dostředivé pole ubývající s libovolnou mocninou vzdálenosti má nulovou rotaci. Pro \[\vec F(x,y)=-\frac{x\vec \imath +y \vec \jmath}{(x^2+y^2)^n}\] platí \[\nabla\times \vec F(x,y)=0.\] Online výpočet.

• Rotace pole kolmého na dostředivé pole závisí na mocnině, se kterou toto pole ubývá. Pro \[\vec F(x,y)=\frac{-y\vec \imath +x\vec \jmath}{(x^2+y^2)^n}\] platí \[\nabla\times \vec F(x,y)=-\frac{2(n-1)}{(x^2+y^2)^n}\vec k.\] Všechna tato pole rotují (ve smyslu celkového pohybu) proti směru hodinových ručiček, rotace (ve smyslu operátoru rotace) je však jednou kladná a jednou záporná, podle znaménka výrazu \(n-1\). Pokud bychom takovým polem nechali unášet drobný míček, v jednom případě by jej pole otáčelo po směru a v jiném případě proti směru hodinových ručiček. Pro \(n=1\) by se míček neroztočil okolo vlastní osy vůbec. Online výpočet. Nakreslit online.

Zákon šíření chyb (chyba nepřímo měřené veličiny)

Každé měření je zatíženo chybou a pokud tato data vstupují do výpočtu, musíme mít nástroj pro posouzení, jak se chyby měření projeví na chybě vypočítané veličiny. Zdroj: pixabay.com

Nepřímo měřená veličina je taková, kterou neměříme přímo ale vypočítáváme příslušným vzorcem z jiných naměřených veličin.

• V praxi často měříme nepřímo veličinu \(f\) tak, že měříme veličiny \(x_1\), \(x_2\), \(\dots\), \(x_n\) a hodnotu veličiny \(f\) určíme pomocí vzorce \(f(x_1, x_2, \dots, x_n)\).
• Měření každé z veličin je zatíženo chybou. Je-li chyba veličiny \(x_i\) rovna \(\Delta x_i\), způsobí tato odchylka to, že chyba veličiny \(f\) bude (v souladu se vzorcem pro lineární aproximaci) přibližně \[ \Delta f\approx \left|\frac{\partial f}{\partial x_i}\Delta x_i\right| \]
• Celkovou chybu veličiny \(f\) můžeme určit sečtením chyb způsobených jednotlivými veličinami \(x_i\). Častěji se však používá následující vzorec \[ \Delta f(x_1,x_2,\dots x_n)\approx\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}\Delta x_1\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial x_2}\Delta x_2\right)^2+\cdots+\left(\frac{\partial f}{\partial x_n}\Delta x_n\right)^2}\] označovaný zákon šíření chyb.

Zákon šíření chyb - příklad

Pocitová teplota v zimě závisí na skutečné teplotě a na síle větru. Zdroj: pixabay.com

Kanadský empirický vzorec pro pocitovou teplotu v zimě (wind-chill factor) je \[W(T,v) = 13.12+0.6215 T-11.37 v^{0.16}+0.3965 T v^{0.16},\] kde \(T\) je teplota (ve stupních Celsia) a \(v\) je rychlost větru (v km/hod). Teplota byla změřena \(-11.0\,{}^\circ\!\text{C}\) s chybou \(0.2\,{}^\circ\!\text{C}\) a rychlost \(26 \,\text{km/hod}\) s chybou \(5\,\text{km/hod}\). S využítím zákona šíření chyb určíme, jaký vliv mají nepřesnosti v měření na nepřesnost vypočítané veličiny.

Dosazením do vzorce dostáváme \(W(-11,26)=-20.212\,{}^\circ\!\text{C}\). Derivováním dostáváme \[\begin{aligned}\frac{\partial W}{\partial T}(T,v)&=0.6215+0.3965 v^{0.16},\\ \frac{\partial W}{\partial v}(T,v)&=-11.37\times 0.16 v^{-0.84}+0.3965 \times 0.16 Tv^{-0.84} \end{aligned} \] a po dosazení \[\begin{aligned}\frac{\partial W}{\partial T}(-11,26)&=1.289,\\ \frac{\partial W}{\partial v}(-11,26)&=-0.163 \,{}^\circ\!\text{C}\, \text{hod}/\mathrm{km}. \end{aligned} \] Za dané teploty a rychlosti větru způsobí nárůst teploty o jeden stupeň nárůst pocitové teploty přibližně o \(1.3\) stupně. Podobně, zesílení větru o jeden kilometr za hodinu způsobí snížení pocitové teploty přibližně o \(0.16\) stupně. Ze zákona šíření chyb dostáváme pro chybu pocitové teploty (dosazováno bez jednotek) \[\Delta W=\sqrt{\left(1.289\times 0.2\right)^2+\left(-0.163\times 5\right)^2}=0.85\,{}^\circ\!\text{C}.\] Pocitová teplota je tedy \(W=-20.2\,{}^\circ\!\text{C}\pm 0.9\,{}^\circ\!\text{C}\).

Online výpočet.