Klikněte na linky dole pro 3D obrázky týkající se funkcí dvou a více proměnných. Můžete si je natáčet, abyste do nich lépe viděli, můžete dělat i mnohem více, protože kliknutím pravým tlačítkem do obrázku se otevřou další možnosti. Pokud vám v obrázku zavazí některé objekty a chcete je vymazat, držte stisknutou klávesu "del" a klikněte na objekt myší.

Povolte si zobrazování JAVY a ACTIVE X a mějte trpělivost, protože se musí natáhnout Java program, data obrázku a musí se to všechno vykreslit.

Graf funkce dvou proměnných a parciální derivace. Odkaz vede na dva obrázky:

Vrstevnice a lokální extrémy. Vrstevnice jsou křivky se stejnou funkční hodnotou a lokální extrémy jsou body, které mají extremální funkční hodnoty ve srovnání s nejbližším okolím. Parciální derivace v lokálních extrémech jsou nulové (pokud vůbec existují), protože řezy svislými rovinami v lokálním extrému jsou křivky, které mají taky lokální extrém. A funkce jedné proměnné má extrém buď v bodě, kde je derivace nula, nebo kde derivace neexistuje.

Spojitost. Na grafu je funkce, jejíž funkční hodnota bodě [1,1] je 2. K okolí bodu 2 na ose z, (oblast mezi žlutými rovinami) se podařilo najít okolí bodu [1,1] (zelený kruh v podstavě) takový, že obraz všech bodů z tohoto okolí (modrá ploška) je mezi žlutými rovinami. A něco podobného se podaří vždycky, ať jsou žluté roviny jakkoliv blízko k sobě. Funkce je tedy v bodě [1,1] spojitá.

Sedlový bod. Parciální derivace jsou obě nulové, přesto tam není lokální extrém. Řezy svislými rovinami, rovnoběžnými s rovinami xz a yz sice mají lokální extrémy, ale jednou se jedná o maximum a jednou o minimum.

Vázané lokální extrémy (body, kde jsou funkční hodnoty extremální ve srovnání s body v nejbližším okolím, které leží na červené křivce). V tomto případě je vazební podmínkou přímka. Pokud si obrázek správně natočíte, uvidíte ji shora bez zkreslení. Vázané extrémy silně závisí nejen na funkci, ale i na vazební podmínce. Na dalším obrázku je stejná (nebo možná skoro stejná) funkce, ale vazební podmínkou je parabola (rovnou ji vidíte zeshora). V tomto případě jsou vázané extrémy již tři.

Absolutní extrémy (z grafu vykousneme jenom to, co nás zajímá a hledáme extremální hodnoty, tady je "vykousnutý obrázek")

Implicitní funkce Vrstevnice na úrovni nula (tj. průsečík grafu s rovinou xy) je za určitých předpokladů grafem nějaké diferencovatelné funkce jedné proměnné. Tečna této funkce je průnikem tečné roviny a roviny xy (Vrstevnice na obrázku je složena ze dvou spojitých funkcí - z horní a dolní části elipsy. Abyste viděli graf původní funkce dvou proměnných, tak si obrázek otočte myškou, zpátky se vrátíte klávesou "r".)

Dolní součet a dvojný integrál na obdélníku Na stránce jsou tři obrázky: na prvních dvou je funkce a dva její dolní součty. Na druhém je supremum všech dolních součtů - dolní dvojný integrál.

Dolní součet na obecnější množině Na stránce jsou tři obrázky: na každém z nich je funkce a jeden z jejích dolních součtů. Obor integrace je znázorněn zelenou množinou v podstavě.