▶ ▶ ▶ Slidy

Funkce jedné proměnné

Strom je z mechanického hlediska také nosník. Svislý a velmi komplikovaný. Zdroj: pixabay.com
Strom je z mechanického hlediska také nosník. Svislý a velmi komplikovaný. Zdroj: pixabay.com

Příklad funkce jedné proměnné. Je dán vetknutý nosník na konci zatížený svislou silou \(F\). Deformace nosníku \(\delta\) na konci (skalární veličina) souvisí s velikostí zatěžující síly (skalární veličina). Pro studium problému je vhodné mít převodní pravidlo, které pro každé zatížení udává deformaci. Toto pravidlo bude z matematického úhlu pohledu funkce (funkce jedné proměnné). Může mít například formu \[\delta=\frac 1k F,\] kde \(k\) je konstanta pro daný nosník (tuhost).

Definice (funkce jedné proměnné).

Buďte \(A\) a \(B\) neprázdné podmnožiny množiny reálných čísel. Pravidlo \(f\), které každému prvku množiny \(A\) přiřadí jediný prvek množiny \(B\) se nazývá funkce (přesněji: reálná funkce jedné reálné proměnné). Zapisujeme \(f:A\to B\). Skutečnost, že prvku \(a\in A\) je přiřazen prvek \(b\in B\) zapisujeme \(f(a)=b\). Přitom říkáme, že \(b\) je obrazem prvku \(a\) při zobrazení \(f\), resp. že \(a\) je vzorem prvku \(b\) při zobrazení \(f\).

Poznámka (terminologie).

Množina \(A\) z definice funkce se nazývá definiční obor funkce \(f\). Označujeme \(\mathrm D(f)\) (resp. \(\mathrm{Dom}(f)\)). Je-li \(M\) podmnožina definičního oboru, definujeme množinu \(f(M)\) jako množinu všech obrazů bodů množiny \(M\). Množina \(f(\mathrm{Dom}(f))=b\) se nazývá obor hodnot funkce \(f\). Označujeme \(\mathrm H(f)\) (resp. \(\mathrm{Im}(f)\)).

Je-li \(y=f(x)\) nazýváme proměnnou \(x\) též nezávislou proměnnou a proměnnou \(y\) závislou proměnnou. Grafem funkce rozumíme množinu všech uspořádaných dvojic \([x,y]\in\mathbb R^2\) s vlastností \(y=f(x)\).

Přímá a nepřímá úměrnost

Výsadní postavení při popisu dějů a jevů v přírodě mají přímá a nepřímá úměrnost, známé ze střední školy.

Definice (přímá a nepřímá úměrnost).

Veličina \(y\) je přímo úměrná veličině \(x\) jestliže existuje konstanta \(k\) taková, že platí \[y=kx.\] Veličina \(y\) je nepřímo úměrná veličině \(x\) jestliže existuje konstanta \(k\) taková, že platí \[y=\frac kx.\]

Poznámka. Je-li veličina \(y\) úměrná veličině \(x\), píšeme \[y\sim x\text{ nebo }y\propto x.\] Je-li navíc konstanta úměrnosti blízká jedničce, tj. \(x\) a \(y\) jsou blízké, píšeme \[y\approx x.\] Pro nepřímou úměrnost píšeme podobně \(y\sim \frac 1x\), \(y\propto \frac 1x\) a \(y\approx \frac 1x.\)

Příklad.

Monotonie funkce

V následující definici jsou nejdůležitější pojmy rostoucí a klesající funkce. Názorně řečeno, jsou to funkce které zachovávají (rostoucí) nebo obracejí (klesající) směr nerovnosti při aplikaci funkce na obě strany nerovnice.

Definice (monotonie funkce).

Nechť \(f\) je funkce a \(M\subseteq \mathrm{Dom}(f)\) podmnožina definičního oboru funkce \(f\).

Nespecifikujeme-li množinu \(M\), máme na mysli, že uvedená vlastnost platí na celém definičním oboru funkce \(f\).

Poznámka (monotonie z hlediska řešitelnosti nerovnic).

Je-li funkce \(f\) rostoucí nebo klesající, je i prostá a nerovnice uvedené v předchozí definici jsou dokonce ekvivalentní. Můžeme tedy na obě strany nerovnice aplikovat tutéž rostoucí funkci, nebo rostoucí funkci z obou stran nerovnice vynechat.

Tyto poučky použijeme vždy, když rozvažujeme, zda můžeme k oběma stranám nerovnice přičíst stejné číslo (můžeme), zda můžeme obě strany nerovnice vynásobit stejným nenulovým číslem (můžeme, ale pokud násobíme záporným číslem, obrací se směr nerovnosti), zda můžeme obě strany nerovnice logaritmovat logaritmem o stejném základě (můžeme, ale v případě logaritmu a základě menším než \(1\) se obrací směr nerovnosti), umocnit (nemůžeme, leda bychom měli dodatečnou informaci například o tom, že obě strany nerovnice jsou kladné nebo obě strany nerovnice jsou záporné) apod. Takových situací je mnoho a protože není v lidských silách si všechny pamatovat, stačí je míst spojeny s definicí rostoucí a klesající funkce.

Příklad. Funkce \(\ln x\) a \(\sqrt x\) jsou rostoucí a proto z nerovnic \[\ln x>\ln 6\] a \[\sqrt x>\sqrt 6\] plyne \[x>6.\] Zejména v druhém případě je nutné si uvědomit, že používáme definici rostoucí funkce a skutečnost, že nezápornost obou stran nerovnice uzajišťuje, že pracujeme na intervalu kladných hodnot \(x\), kde je druhé mocnina rostoucí funkce. Nestačí říct, že umocňujeme obě strany nerovnice, jak by někdo mohl tento krok dezinterpretovat. Umocněním obou stran nerovnice se obecně může změnit obor pravdivosti, proto tato operace u nerovnic není povolena. Na celém svém definičním oboru totiž druhá mocnina rostoucí není.

Příklad. Funkce \(\frac 1x\) a \(y=x^2\) nejsou ani rostoucí ani klesající a proto z žádné z nerovností \[\frac 1x \leq \frac 15\] a \[x^2 \leq 5^2\] neplyne ani \(x\leq 5\) ani \(x\geq 5\).

Příklad. Funkce \(\sqrt x\) nabývá nezáporných hodnot a funkce \(\frac 1x\) je klesající na \((0,\infty)\). Proto z nerovnosti \[\frac 1{\sqrt x} \leq \frac 15\] plyne \[\sqrt x\geq 5=\sqrt {25}.\] Druhá mocnina je na intervalu \((5,\infty)\) rostoucí a proto odsud plyne dále \[x\geq 25.\]

Koncept (různé pojetí rychlosti)

Rychlost chápeme v různých kontextech. Podle kontextu se mění i jednotky, ve kterých rychlost určujeme. Zdroj: pixabay.com
Rychlost chápeme v různých kontextech. Podle kontextu se mění i jednotky, ve kterých rychlost určujeme. Zdroj: pixabay.com

Budeme se zajímat o to, jak rychle se mění funkční hodnoty v čase nebo při změnách vstupních dat. V souvislosti s obrázkem nás může napadnout mnoho významů pojmu rychlost.

Koncept (průměrná rychlost a okamžitá)

Určování rychlosti na stále kratším intervalu je jako bychom se dívali na funkci stále lepším mikroskopem. Matematika se umí podívat dokonce “mikroskopem s nekonečně velkým rozlišením”. Zdroj: pixabay.com
Určování rychlosti na stále kratším intervalu je jako bychom se dívali na funkci stále lepším mikroskopem. Matematika se umí podívat dokonce “mikroskopem s nekonečně velkým rozlišením”. Zdroj: pixabay.com

Průměrnou rychlost určujeme tak, že změnu sledované veličiny přepočteme na jednotku času (u závislosti na čase), délky (u závislosti na poloze) nebo obecně na jednotku veličiny, na které sledovaná veličina závisí.

Průměrná rychlost s jakou se mění funkce \(f\) na intervalu \([x,x+h]\) je dána vztahem \[\frac{f(x+h)-f(x)}h.\]

Průměrná rychlost pracuje jenom s informací v koncových bodech intervalu a proto bohužel neobsahuje informaci, co přesně se děje uvnitř intervalu, přes který průměrujeme. Počítáme-li ale průměr přes stále kratší interval, nevýhoda průměrné rychlosti mizí. Cílem je počítat průměr přes interval prakticky nerozlišitelný od nuly. To by dalo okamžitou rychlost. Numerický experiment ukazuje, že u některých funkcí toto funguje pěkně, u některých bohužel ne.

Pokud průměrujeme za stále kratší čas, čitatel i jmenovatel se blíží k nule a jsou potíže s interpretací zlomku. Nulou totiž není možné dělit. Musíme vytvořit koncept, který umožní sledovat, co se děje s funkčními hodnotami funkce, pokud se vstupními daty jdeme “na krev” ke kraji definičního oboru. K tomu použijeme pojem limita. Budeme se (zatím) soustředit na tzv. vlastní limitu ve vlastním bodě. Tím se oproti obecnému postupu mnohé usnadní. Zejména pojem limity můžeme opřít o pojem spojitost, který je přece jenom intuitivnější.

Spojitost

Definice spojitosti zavádí jakousi třídu funkcí, které jsou v jistém smyslu pěkné a můžeme pro ně použít postupy, které pro obecné funkce nefungují. Jsou zde funkce, jejichž funkční hodnoty se mění plynule a nemůžou se změnit skokově. Malá změna ve vstupních datech vyvolá malou změnu ve funkčních hodnotách.

Buď \(f\colon \mathbb R\to\mathbb R\) funkce jedné proměnné.

Definice (okolí).

Okolím bodu \(x_0\) rozumíme libovolný otevřený interval obsahující bod \(x_0\).

Definice (spojitost).

Řekneme, že funkce \(f\) je spojitá v bodě \(x_0\) jestliže je v tomto bodě definovaná a pro libovolnou předem zadanou toleranci (i extrémně malou) existuje okolí bodu \(x_0\) takové, že všechny body z okolí bodu \(x_0\) mají funkční hodnotu v rámci uvažované tolerance nerozlišitelnou od \(f(x_0)\). Řekneme, že funkce \(f\) je spojitá na otevřeném intervalu, je-li spojitá v každém jeho bodě.

Definice spojitosti sice není zcela názorná, ale následující definice a věta velmi pomůže. Zhruba řečeno vysvětlují, proč si v naprosté většině prakticky využitelných případů můžeme spojitost ověřit jenom tím, že zjistíme, zda je funkce definována.

Definice (elementární funkce).

Všechny mnohočleny, goniometrické, cyklometrické, exponenciální a logaritmické funkce a obecná mocnina se nazývají základní elementární funkce Všechny funkce, které ze základních elementárních funkcí získáme konečným počtem operací sčítání, odečítání, násobení, dělení a skládání těchto funkcí navzájem se nazývají elementární funkce.

Věta (spojitost elementárních funkcí).

Všechny elementární funkce jsou spojité v každém vnitřním bodě svého definičního oboru.

Podobně jako spojitost funkce jedné proměnné je definována spojitost funkcí více proměnných. Zůstane dokonce v platnosti předchozí věta. V naprosté většině základních praktických aplikací vystačíme s popisem pomocí elementárních funkcí a proto jsou funkce, se kterými pracujeme, zpravidla automaticky spojité. Opatrnost je nutné pouze tam, kde bychom se od elementárních funkcí odchýlili, například při použití nekonečných řad.

Poznámka.

Body, v jejichž okolí je funkce ohraničená, ale je zde porušena spojitost, jsou například následující.

skok
Na jeho odhalení stačí zvolit toleranci v definici spojitosti menší, než je výška skoku. Například \(f(x)=\frac{|x|+x}{2x}\) je jednotkový skok v nule.
odstranitelná nespojitost
Tato nespojitost nás zajímá nejvíce. Je to nespojitost, která zmizí pokud vhodně dodefinujeme funkční hodnotu v bodě nespojitosti. Například funkce \[f(x)= \begin{cases} \frac {\sin x}{x}& x\neq 0\\ 1& x=0 \end{cases} \] je spojitá funkce. Vznikla doplněním jedné funkční hodnoty do definice funkce \(\frac{\sin x}x\), která má odstranitelnou nespojitost v bodě \(x=0\).

Grafy.

Limita

Definici limity opřeme o pojem spojitosti. V podstatě pod limitu skryjeme buď funkční hodnotu spojité funkce (pokud existuje), nebo hodnotu, která danou funkci učiní spojitou. Můžeme tedy limitu považovat za “nejlepší rozumnou náhradu” funkční hodnoty v tom smyslu, že po předefinování jedné funkční hodnoty se funkce stane spojitou, tj. relativně pěknou.

Definice (limita).

Nechť \(f\) je funkce definovaná v okolí bodu \(x_0\), s případnou výjimkou bodu \(x_0\). Řekneme, že funkce \(f\) má v bodě \(x_0\) limitu rovnu číslu \(L\), jestliže funkce \(g(x)\) definovaná vztahem \[ g(x)= \begin{cases} L& x=x_0\\ f(x)& \text{jinak,} \end{cases} \] je spojitá v bodě \(x_0\). Píšeme \[\lim_{x\to x_0}f(x)=L.\]

Velmi stručně řečeno: pokud se nedá nějaké číslo do funkce dosadit přímo, mohlo by to jít pomocí limity. Například funkce \[\frac{\sin x}{x}\] není definována v nule. V okolí nuly se však chová v jistém smyslu pěkně: má funkční hodnoty prakticky nerozlišitelné od jedničky, viz graf v odstavci věnovanému spojitosti. Proto platí \[\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.\]

Derivace

Teď jsme připraveni (alespoň teoreticky) počítat průměrnou rychlost na intervalu, jehož délka je nerozlišitelná od nuly. Vypočteme průměrnou rychlost na intervalu délky \(h\) a poté položíme \(h\) rovno nule. Ve smyslu limity, pokud je to nutné.

Buď \(y=f(x)\) funkce definovaná na nějakém otevřeném intervalu.

Definice (derivace).

Derivací funkce \(f\) v bodě \(x\) rozumíme limitu \[\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}:=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},\] pokud tato limita existuje a je konečná.

Derivaci funkce \(f\) v bodě \(x_0\) označujeme \(f'(x_0)\) nebo \(\frac{\mathrm df(x_0)}{\mathrm dx}\). Derivaci v libovolném bodě potom \(f'\), \(f'(x)\) nebo \(\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}\). Zápis \(\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}\) je Leibnizova notace, zápis \(f'\) je Lagrangeova notace.

Poznámka (slovní interpretace definice derivace).

Interpretace derivace v nematematických disciplínách je okamžitá rychlost s jakou veličina \(f\) reaguje na změny veličiny \(x\). Často studujeme veličiny závislé na čase s v tomto případě jde tedy o rychlost, s jakou se veličina mění v čase. Další možnosti slovní obraty používané pro slovní vyjádření derivace jsou zmíněny níže v podkapitole věnované derivaci podle času. Analogickou terminologii (rychlost růstu, rychlost změny) zpravidla přenášíme i na případy, kdy nezávislou proměnnou není čas. Rychlost potom chápeme v abstraktním slova smyslu.

Obecně, ať již je nezávislou proměnnou čas či jiná veličina, se derivace \(f'(x)\) často slovně interpretuje jako veličina, která udává, jak se mění veličina \(f\) při změnách veličiny \(x\). Tímto slovním obratem je myšlena změna veličiny \(f\), odpovídající změně veličiny \(x\) o jednotku. Je to podobné, jako údaj o rychlosti na tachometru v automobilu. Ten udává, kolik kilometrů ujedeme za hodinu. Od skutečně uražené dráhy se tento údaj může lišit, protože pohyb může trvat třeba jenom deset minut. A kdyby jízda opravdu trvala hodinu, mohlo vlivem jízdy v zácpě dojít k podstatnému nesouladu se skutečně uraženou dráhou. Přesto je okamžitá rychlost ukazovaná na tachometru při jízdě automobilem užitečná veličina a nemáme problémy s jejím chápáním. Stejně tak pohlížejme na derivaci.

Jednotka derivace je stejná, jako jednotka podílu \(\frac {f(x)}x\).

Věta (existence derivace implikuje spojitost).

Má-li funkce \(f\) derivaci na intervalu \(I\), je na tomto intervalu spojitá.

Věta (znaménko derivace implikuje monotonii).

Aplikace derivací 1: Jak rychle? (změna v čase)

Poznámka (slovní vyjádření derivace).

Derivace v bodě, pokud ji nahlížíme z hlediska časové změny veličiny, je okamžitá rychlost s jakou se mění tato veličina. Protože kladná změna je růst, nahrazujeme někdy slovo “změna” slovem “růst”. Protože rychlost je změna za jednotku času, nahrazujeme někdy slovo “rychlost” obratem “změna za jednotku času”. Derivaci podle času můžete tedy přečíst libovolým z následujících obratů. Všechny se běžně používají a všechny chápeme stejně – jako derivaci podle času.

Pokud potřebujeme pracovat s poklesem, násobíme derivaci faktorem \(-1\). Toto čteme též jako “záporně vzatá derivace.”

Rychlost ochlazování není konstantní, ale závisí na rozdílu teplot, který se během ochlazování stírá. Proces se v čase zpomaluje. Zdroj: Iva Balk, pixabay.com
Rychlost ochlazování není konstantní, ale závisí na rozdílu teplot, který se během ochlazování stírá. Proces se v čase zpomaluje. Zdroj: Iva Balk, pixabay.com

Zákon ochlazování

Horké těleso o teplotě \(T\) je v chladnější místnosti o teplotě \(T_0\). Z fyziky je známo (Newtonův zákon tepelné výměny), že rychlost s jakou klesá teplota tělesa je úměrná teplotnímu rozdílu. Tento rozdíl je \(T-T_0\) (od většího odečítáme menší).

Poznámka (smysl předchozího příkladu).

Předchozí příklad je často v různých obměnách používán na modelování ochlazování kávy, což je proces, který většina lidí důvěrně zná. Nemáme pochopitelně ambice se domnívat, že bychom dokázali z této rovnice odvodit nějaké zásadní výsledky aplikovatelné při pití ranní kávy nebo při konzumaci horké polévky. Učíme se na malých věcech, abychom později mohli dělat věci velké. Na známých věcech se učíme aparát, který bude naším jediným nástrojem tam, kde intuice začne selhávat. Z tohoto příkladu je nutné si odnést, že derivace, jako rychlost změny, hraje roli při kvantitativním popisu dějů a při studia procesů, kdy se mění veličiny. Ať už doopravdy (studium pohybu nebo dějů, probíhajících v čase) nebo virtuálně (problémy spojené s mechanikou, včetně statiky, stability a deformací, často pracují s virtuálními změnami, tj. se změnami, které jsou sice z hlediska úlohy přípustné, ale příroda je z nějakého důvodu nerealizuje). Tedy naprostá většina dějů a jevů, které studujeme a chceme jim rozumět. Jakmile se v popisu fyzikálního zákona objeví slovo rychlost, někdy nahrazené souslovím časová změna, znamená to, že kvantitativní popis se děje pomocí derivací.

Při datování pomocí radioaktivního uhlíku využíváme toho, že rychlost procesu souvisí s tím, jak dlouho proces probíhá. Podobně jako u ochlazování. Zdroj: http://geologylearn.blogspot.com/.
Při datování pomocí radioaktivního uhlíku využíváme toho, že rychlost procesu souvisí s tím, jak dlouho proces probíhá. Podobně jako u ochlazování. Zdroj: http://geologylearn.blogspot.com/.

Uhlík 14C a datování organických nálezů

V roce 1940 byl objeven uhlík \(^{14}C\). Jedná se o radioaktivní prvek s mnoha skvělými vlastnostmi. Jednou z nich je vhodná rychlost rozpadu, která jej činí vhodným pro datování archeologických nálezů pozůstatků živých organismů

Aplikace derivací 2: Jak strmě? (změna v prostoru)

Derivace v bodě můžeme nahlížet z hlediska prostorové změny veličiny. Tím zjistíme, jak nerovnoměrně je veličina rozložena v prostoru. Často se derivace podle prostorové proměnné nazývá gradient, zejména pokud nepracujeme v jednorozměrném případě, ale pokud popisujeme děj probíhající v rovině nebo v prostoru.

Vedení tepla (dřevařství, nábytek, dřevostavby)

Nerovnoměrnost rozložení teploty v tělese vede k vyrovnávání teplot přenosem tepla. Uvažujme teplotu \(T\) tyče jako funkci polohy \(x\) na tyči. Ke kvantitativnímu vyjádření vedení tepla je nutné vědět, jaký rozdíl teplot připadá na jednotku délky. V homogenním případě vydělíme teplotní rozdíl vzdáleností. V obecném případě rychlost s jakou se mění teplota podél tyče (gradient teploty) vyjadřujeme pomocí derivace \[\frac{\mathrm dT}{\mathrm dx}.\] Využívá se v posuzování izolačních vlastností a při sušení dřeva.

Řez korytem. Voda zaplňuje koryto odspodu, tj. změna v množství vody v korytě se projeví nahoře, kde je šířka koryta B. Zdroj: Wikipedia.
Řez korytem. Voda zaplňuje koryto odspodu, tj. změna v množství vody v korytě se projeví nahoře, kde je šířka koryta \(B\). Zdroj: Wikipedia.
Derivace hraje roli při odvození podmínky pro vznik hydraulického skoku. Zdroj: Jonathan Ball, https://www.flickr.com/photos/jball359
Derivace hraje roli při odvození podmínky pro vznik hydraulického skoku. Zdroj: Jonathan Ball, https://www.flickr.com/photos/jball359

Koryto řeky (krajinářství)

Uvažujme příčný řez korytem řeky, jak je na obrázku. Z tohoto obrázku je zřejmé, že při zvyšování obsahu průřezu roste hladina. Pokud by stěny byly svislé (tj. \(B\) nezávislé na \(h\)), byla by změna průřezu \(\Delta A\) (například v milimetrech čtverečních) vyvolaná změnou výšky \(\Delta h\) (například v milimetrech) rovna šířce řeky \(B\) v milimetrech, protože koryto by bylo obdélníkové a podíl obsahu obdélníka a jeho výšky je šířka. V případě nekonstantního \(B\) dostáváme místo podílu derivaci, tj. \[\frac{\mathrm d A}{\mathrm dh}=B.\] Derivace průřezu koryta podle výšky koryta hraje důležitou roli například při přechodu říčního proudění v bystřinné. Tato veličina vyjadřuje, jak rychle se mění obsah průřezu s rostoucí hladinou. V praxi je možné ji spočítat pro speciální tvary koryta, proto jsou vzorce pro vodní skok související s tímto přechodem k dispozici jenom ve speciálních případech, jako například koryto obdélníkového tvaru.

Výpočet derivace

Přece jenom jeden příklad

Matematické kyvadlo je hmotný bod na nehmotném závěsu. Aproximací je relativně těžký objekt relativně malého objemu na lehkém závěsu. Zdroj: pixabay.com, geralt.
Matematické kyvadlo je hmotný bod na nehmotném závěsu. Aproximací je relativně těžký objekt relativně malého objemu na lehkém závěsu. Zdroj: pixabay.com, geralt.

Perioda matematického kyvadla délky \(L\) je dána vzorcem \(T=2\pi \sqrt{\frac Lg}\). Tento vzorec je možno přepsat do tvaru \[T=\frac{2\pi}{\sqrt g} \sqrt L, \] který ukazuje, že perioda je úměrná odmocnině délky kyvadla.

Pro derivování použijeme vzorec pro derivaci konstantního násobku a mocniné funkce. \[\frac {\mathrm d T}{\mathrm dL}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dL}\left(\frac{2\pi}{\sqrt g} \sqrt L\right)=\frac{2\pi}{\sqrt g} \frac{\mathrm d}{\mathrm dL}\left (L^{\frac 12}\right)=\frac{2\pi}{\sqrt g}\frac 12 L^{-\frac 12}=\frac{\pi}{\sqrt{gL}}. \] Tento výraz udává v jednotkách sekunda na metr, jak rychle se prodlužuje perioda kyvadla při prodloužení délky kyvadla. Například pro \(L=2\,\mathrm m\) je derivace číselně rovna \(0.71\,\mathrm{s}\,\mathrm{m}^{-1}.\) Prodloužení dvoumetrového kyvadla o metr prodlouží periodu o \(0.71\) sekundy. Protože derivace je okamžitá rychlost změny a na delším intervalu se tato rychlost může změnit, je blíže realitě spíše formulace pro jednotky tisíckrát menší: “Prodloužení kyvadla o milimetr prodlouží periodu o \(0.71\) milisekundy.”

Pokud se kyvadlo délky \(L=2\,\mathrm m\) prodlužuje (po přenesení ze zimy do vytopené místnosti se závěs se prodlužuje teplotní roztažností), je rychlost prodlužování \(\frac{\mathrm dL}{\mathrm dt}\) a rychlost, s jakou roste perioda je (s použitím pravidla pro derivaci složené funkce) \[ \frac{\mathrm dT}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm dT}{\mathrm dL} \frac{\mathrm dL}{\mathrm dt} = \frac{\pi}{\sqrt {gL}}\frac{\mathrm dL}{\mathrm dt}\] Pokud se kyvadlo prodlužuje rychlostí \(0.5\) milimetru za sekundu, je \[\frac{\mathrm dL}{\mathrm dt}=0.000\,5\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}\] a \[\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt} =\frac {\pi}{\sqrt{2\cdot 9.81}} 0.000\,5=0.00035\] Derivace vychází bez jednotky (sekunda lomeno sekundou se zkrátí) a je možné ji přepsat do tvaru \[\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt} =0.35 \frac{\mathrm{ms}}{\mathrm{s}}.\] Perioda kyvadla se prodlužuje rychlostí \(0.35\) milisekundy za sekundu.

Rychlost nabíjení kondenzátoru

Napětí na kondenzátoru při měření elektrického odporu RC členem se mění exponenciální rychlostí. Úloha najít vývoj napětí v čase má několik fází. První z nich je ze znalosti vztahu mezi napětím a nábojem najít souvislost mezi změnami těchto veličin. Zdroj: https://www.handymantips.org/
Napětí na kondenzátoru při měření elektrického odporu RC členem se mění exponenciální rychlostí. Úloha najít vývoj napětí v čase má několik fází. První z nich je ze znalosti vztahu mezi napětím a nábojem najít souvislost mezi změnami těchto veličin. Zdroj: https://www.handymantips.org/

Elektrický odpor dřeva a mnoha dalších stavebních materiálů souvisí s vlhkostí a tato souvislost je umožňuje sestrojení vlhkoměru. Protože elektrický odpor těchto materiálů je velký, není vhodné pro určení elektrického odporu použít Ohmův zákon a změřený proud a napětí. Jedna z možností je měření času nutného k nabití nebo vybití kondenzátoru přes odpor. Napětí \(U\) na kondenzátoru o kapacitě \(C\) souvisí s nábojem na kondenzátoru vztahem \[U=\frac 1C Q.\] Derivováním tohoto vztahu podle času dostaneme vztah mezi rychlostmi změn těchto veličin ve tvaru \[\frac{\mathrm dU}{\mathrm dt}=\frac 1C \frac{\mathrm dQ}{\mathrm dt}.\] Veličina \(\frac{\mathrm dQ}{\mathrm dt}\) je nabíjecí proud. Ten dokážeme určit analýzou elektrického obvodu, jak si ukážeme v přednášce o diferenciálních rovnicích. Tím budeme znát derivaci \(\frac{\mathrm dU}{\mathrm dt}\) a najít napětí jako funkci času z derivace se naučíme v přednášce o integrálech. Důležitým prvním krokem při analýze uvažoivaného elektrického zapojení je však souvislost časové změny napětí a časové změny náboje, tj. derivace dvou souvisejících veličin.

Funkce více proměnných

Funkce má na vstupu více proměnných, na výstupu reálné číslo. Některé pojmy, jako například monotonie, ztrácejí ve světě funkcí více proměnných smysl, například monotonie nebo inverzní funkce. Proměnné značíme pomocí jejich fyzikálního označení. Bez fyzikálního kontextu zpravidla používáme funkce dvou, tří, nebo \(n\) proměnných v následujícím tvaru.

Koncept (parciální derivace)

Teplotní modifikace dřeva ve VCJR v Útěchově. Jak rychle uvnitř roste teplota? Jak dlouho musíme tepelně opracovávat, aby se teplota dostatečně zvýšila v celém objemu? Zdroj: J. Dömény.
Teplotní modifikace dřeva ve VCJR v Útěchově. Jak rychle uvnitř roste teplota? Jak dlouho musíme tepelně opracovávat, aby se teplota dostatečně zvýšila v celém objemu? Zdroj: J. Dömény.

Derivace je vhodná ke studiu fyzikálních procesů na makroskopické úrovni těles. Pro vyjadřování procesů jako jsou rychlost změny teploty tělesa nebo množství tekutiny v daném objemu jsou vhodné (obyčejné) derivace.

Někdy výše uvedený přístup není možný. Například při studiu tepelného pole v materiálech rozlišujeme (pomocí takzvaného Biotova čísla) na jednu stranu případy, kdy vedení tepla není podstatné a těleso lze uvažovat jako celek mající ve všech částech stejnou teplotu, a na druhou stranu případy, kdy je nutné pracovat s prostorovým rozložením tepla v tělese. Druhá varianta typicky nastává například u úloh na tepelnou modifikaci dřeva, kdy teplo prostupuje do vzorku a musíme být schopni modelovat tento proces. Teplota se mění s časem i s polohou. Skutečně, v jeden okamžik mohou mít různé body různou teplotu a proto teplota závisí na poloze. Podobně, v daném místě se teplota může zvyšovat i snižovat a proto teplota závisí i na čase. Při modelování takového procesu již musíme znát teplotu nejen jako funkci času, ale i jako funkci prostorových souřadnic. Musíme tedy být schopni pracovat modelem, kdy teplota, nebo obecně nějaká stavová veličina, závisí na více faktorech. To si vynucuje práci s funkcemi více proměnných a studium toho, jak se mění vzhledem k jednotlivým proměnným. To je přesně úkol pro diferenciální počet funkcí více proměnných a parciální derivace.

Výsledkem tohoto přístupu je formulace zákonů v diferenciálním tvaru. Tento tvar říká, co se děje v konkrétním místě a dává lepší náhled na fyzikální podstatu. Tento přístup používáme, pokud není možný makroskopický pohled na těleso jako na jeden celek.

Parciální derivace

Definice (parciální derivace).

Buď \(f\colon \mathbb R^2\to\mathbb R\) funkce dvou proměnných, \(x\) a \(y\), tj. \(f(x,y)\). Výraz \[\frac{\partial f}{\partial x}:=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}h\] se nazývá parciální derivace funkce \(f\) podle \(x\). Podobně, \[\frac{\partial f}{\partial y}:=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}h\] je parciální derivace funkce \(f\) podle \(y\).

Podobně můžeme definovat parciální derivaci pro funkce libovolného konečného počtu proměnných. V těchto parciálních derivacích vlastně sledujeme, jak reaguje veličina \(f\) na změny jenom v jedné proměnné. Proměnná, přes kterou se nederivuje, má vlastně roli parametru, nijak se nemění.

Rovnice vedení tepla v 1D

Studujme vedení tepla v jednorozměrné tyči. Teplota je funkcí dvou proměnných, polohy a času.

Poznámka.

Potřebujeme fyzikální zákony řídící vedení tepla. Bez nich matematika model vedení tepla nemá jak naformulovat. Tyto zákony je potřeba matematice dodat “z venku”, z aplikované vědy. Tou je v tomto případě fyzika, jindy může být biologie nebo geologie. Jakmile jsou potřebné zákony a případně materiálové vztahy k dispozici, stavé se problém čistě matematickým a fyzika přijde ke slovu při závěrečné interpretaci. Použijeme následující fyzikální fakta.

Jednorozměrná je například úloha, kde tok v jednom směru je dominantní a toky jiným směrem zanedbatelné. Například okno nebo stěna domu. Zdroj: Cengel, Ghajar: Heat and Mass Transfer.
Jednorozměrná je například úloha, kde tok v jednom směru je dominantní a toky jiným směrem zanedbatelné. Například okno nebo stěna domu. Zdroj: Cengel, Ghajar: Heat and Mass Transfer.

V dalším už nastupuje matematický popis a ve vhodných chvílích vždy použijeme výše uvedené fyzikální zákony. Mluvíme o teple, ale jako mechanický model si můžeme představit proudění tekutiny (pro jednoduchou představu) nebo proudění vlhkosti (pro odvození rovnice difuze namísto rovnice vedení tepla).

Shrnutí. V odvození vidíme, že rovnice vedení tepla je vlastně bilance toku tepla. Rozdíl o kolik se v daném místě snižuje tok tepla udává, kolik tepla se v daném místě spotřebovalo. Tato spotřeba tepla se projeví zvýšením teploty v daném bodě.

Shrnutí, hlavní myšlenky

A jaká je hlavní message? Zdroj: pixabay.com
A jaká je hlavní message? Zdroj: pixabay.com