Klasickým permutačním hlavolamem je Rubikova kostka. Na něm si můžeme vyzkoušet některé vlastnoti maticového součinu jako nekomutativita nebo nutnost změny pořadí při invertování maticového součinu. Zdroj: congerdesign, pixabay.com.
U reálných čísel máme doplňkové operace ke sčítání a násobení. Jsou to odečítání a dělení. Odečítání matic můžeme implementovat jako sčítání matice s maticí vynásobenou minus jedničkou: \(A-B=A+(-B)\). Oproti tomu operace dělení matic vůbec není implementována. U reálných čísel lze dělení nahradit násobením převrácenou hodnotou: \(\frac {a}{b}=ab^{-1}\). Tuto proceduru částečně rozšíříme pro matice. Připomeňme ještě, že roli neutrálního prvku při násobení matic hraje jednotková matice. Například pro matice \(3\times 3\) je jednotková matice \[ I= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} . \]
Definice (inverzní matice).
Buď \(A\in\mathbb R^{n\times n}\) čtvercová matice řádu \(n\). Jestliže existuje čtvercová matice \(A^{-1}\) řádu \(n\), splňující vztahy \[A^{-1}A=I=A A^{-1},\] nazýváme matici \(A^{-1}\) inverzní maticí k matici \(A\).
Poznámka. Předchozí definice nezaručuje existenci inverzní matice. K některým čtvercovým maticím inverzní matice existuje, k některým ne. Později uvidíme, že existuje jednoduchá charakterizace matic, ke kterým inverzní matice existuje, pomocí determinantu matice.
Věta (inverze maticového součinu).
Inverzní matice k součinu dvou matic je součinem jednotlivých inverzních matic, ale v opačném pořadí, tj. \[(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.\]
Klasickým permutačním hlavolamem je Rubikova kostka. Na něm si můžeme vyzkoušet některé vlastnoti maticového součinu jako nekomutativita nebo nutnost změny pořadí při invertování maticového součinu. Zdroj: congerdesign, pixabay.com.
Příklad. Pomocí matic a jejich součinu je možné zapsat libovolnou permutaci konečněprvkové množiny. Známým permutačním hlavolamem je Rubikova kostka. Na ní snadno vidíme, že pokud kostku zamícháme ze složeného stavu tahem v horní stěně a poté v pravé stěně, pro opětovné složení musíme vracet tahy v opačném pořadí, tj. nejdřív vrátit tah v pravé stěně a poté ve stěně horní. Pěkně to jde vidět na následující animaci, kterou můžete spustit nebo přehrávat po jednotlivých krocích.
Inverzní matice umožní zapsat elegantně řešení i neuvěřitelně komplexní a složité soustavy rovnic. Pro praktické počítání se však tato metoda moc nehodí a budeme ji muset ještě o něco vylepšit na iterační metodu. Zdroj: pixabay.com.
Z minulé přednášky víme, že pomocí maticového násobení je možné soustavu lineárních rovnic zapsat ve tvaru \[AX=B,\] kde \(A\) je matice soustavy, \(X\) je sloupcový vektor neznámých a \(B\) je vektor pravých stran. Pokud má matice \(A\) inverzní matici, můžeme pomocí této matice soustavu vyřešit. Po vynásobení rovnice inverzní maticí zleva dostáváme \[A^{-1}(AX)=A^{-1}B\] a po uplatnění asociativního zákona \[(A^{-1}A)X=A^{-1}B.\] Protože výraz v závorce je součinem matice s maticí inverzní, je tento součin roven jednotkové matici, která je neutrálním prvkem při násobení a proto okamžitě dostáváme řešení soustavy ve tvaru \[X=A^{-1}B.\] Jako přirozený důsledek vidíme, že řešení je určeno jednoznačně. Známe-li inverzní matici, můžeme řešení dokonce vypočítat pro libovolnou pravou stranu velmi pohodlně a rychle pomocí maticového násobení. Bohužel, výpočet inverzní matice je zpravidla velmi drahý (vyžaduje velké množství operací) a numericky málo stabilní. Proto je tento postup užitečným teoretickým nástrojem, ale v praxi postupujeme poněkud odlišně.
Pro matici rotace \[R_\theta=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin \theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\] z minulé přednášky platí \[(R_\theta)^{-1}=R_{-\theta} = \begin{pmatrix} \cos(-\theta) & -\sin (-\theta)\\ \sin(-\theta) & \cos(-\theta) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin \theta\\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\] což je přirozené pokud si uvědomíme, že inverzní operací k pootočení roviny o úhel \(\theta\) je pootočení roviny o úhel opačný.
Odsud mimo jiné vidíme, že platí \[(R_\theta)^{-1}=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin \theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin \theta\\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin \theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}^T=(R_\theta)^T,\] tj. že inverzní a transponovaná matice jsou v případě matice rotace stejné. To je velká náhoda, ale přesto matice s touto vlastností hrají tak důležitou roli, že si vysloužily vlastní název představený na dalším slidu.
Definice (ortogonální matice).
Ortogonální matice je matice, jejíž transponovaná matice je současně maticí inverzní.
Řádky ortogonální matice jsou tvořeny navzájem kolmými vektory jednotkové délky. Má-li například symetrická čtvercová matice \(A\) řádu \(n\) celkem \(n\) lineárně nezávislých jednotkových vlastních vektorů, potom matice vytvořená tak, že sloupce nebo řádky matice jsou tyto vektory, je ortogonální.
Diagonální matice (tj. matice, které mají nenulové prvky jenom na hlavní diagonále) se vzhledem k násobení chovají velice hezky: součinem je taková matice, která je diagonální a na hlavní diagonále má prvky vytvořené jako součin odpovídajících prvků násobených matic.
\[ \begin{pmatrix} 2&0&0 \\ 0&3&0 \\ 0&0&12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5&0&0 \\ 0&7&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10&0&0 \\ 0&21&0 \\ 0&0&12 \end{pmatrix} \]
Proto je snadné zařídit, aby v hlavní diagonále vyšly jedničky. Stačí uvažovat podobně jako v následujícím příkladě. \[ \begin{pmatrix} 2&0&0 \\ 0&3&0 \\ 0&0&12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac 12&0&0 \\ 0&\frac 13&0 \\ 0&0&\frac1{12} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix} \] a tedy \[ \begin{pmatrix} 2&0&0 \\ 0&3&0 \\ 0&0&12 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} \frac 12&0&0 \\ 0&\frac 13&0 \\ 0&0&\frac1{12} \end{pmatrix}. \]
Na předchozím slidu jsme viděli, že je jednoduché najít inverzní matici k matici diagonální. Toho využijeme pro řešení soustavy lineárních rovnic iterační metodou. Představíme si nejednodušší, přesto však velmi mocnou metodu, Jacobiho metodu.
V minulé přednášce jsme modelovali rozložení teploty ve dvourozměrné desce pomocí soustavy rovnic \[ \begin{pmatrix} \phantom{-}4&-1& \phantom{-}0&-1\\ -1& \phantom{-}4&-1& \phantom{-}0\\ \phantom{-}0 &-1& \phantom{-}4&-1\\ -1& \phantom{-}0&-1& \phantom{-}4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 30\\60\\70\\40 \end{pmatrix}. \] Pro \[A=\begin{pmatrix} \phantom{-}4&-1& \phantom{-}0&-1\\ -1& \phantom{-}4&-1& \phantom{-}0\\ \phantom{-}0 &-1& \phantom{-}4&-1\\ -1& \phantom{-}0&-1& \phantom{-}4 \end{pmatrix}, \quad X=\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{pmatrix} ,\quad B=\begin{pmatrix} 30\\60\\70\\40 \end{pmatrix} \] tedy \[AX=B.\tag{1}\]
Rozdělíme matici \(A\) na součet diagonální matice a matice s nulami v hlavní diagonále, tj. na součet matic \[D= \begin{pmatrix} 4&0&0&0\\ 0& 4&0&0\\ 0 &0& 4&0\\ 0&0&0& 4 \end{pmatrix} \quad \text{a}\quad T= \begin{pmatrix} \phantom{-}0&-1& \phantom{-}0&-1\\ -1& \phantom{-}0&-1& \phantom{-}0\\ \phantom{-}0 &-1& \phantom{-}0&-1\\ -1& \phantom{-}0&-1& \phantom{-}0 \end{pmatrix} \] Potom můžeme psát rovnici ve tvaru \[(D+T)X=B\] a odsud \[\begin{aligned}DX+TX&=B\\ DX&=B-TX \end{aligned}\] a využitím inverzní matice \[X=D^{-1}(B-TX).\tag{2}\] Definujme nyní iterační vzorec \[X_{k+1}=D^{-1}(B-TX_k).\tag{3}\] Podobně jako u Markovových řetězců můžeme najít postupnými iteracemi z vhodného (nebo libovolného) počátečního stavu stacionární stav, kdy se \(X_k\) dalšími iteracemi nemění a tím dostaneme řešení rovnice (2), která je ekvivalentní rovnici (1). Protože inverzní matici počítáme pro matici diagonální, je tento výpočet velice rychlý a levný. Vlastně není vůbec nutné mít k dispozici maticový počet. Iterace dostaneme tak, že z první rovnice osamostatníme \(x_1\), z druhé rovnice \(x_2\) atd. Výchozí odhad dosadíme do pravých stran a obdržíme zpřesněný odhad. Postup opakujeme, dokud nejsou dvě následující iterae dostatečně blízké.
Poznámka. Předchozí postup je možné použít jenom v případě, že iterační proces (3) konverguje. Pokud by nekonvergoval, není možné o řešení rovnice nic říct, pouze to, že Jacobiho metoda nefunguje. Postačující podmínka, kdy Jacobiho metoda konverguje, je aby každý řádek měl v hlavní diagonále číslo, které je v absolutní hodnotě větší než je součet absolutních hodnot zbylých čísel v tomto řádku. Matice, která splňuje tuto podmínku se nazývá řádkově ostře diagonálně dominantní matice a pro takovou matici Jacobiho metoda konverguje. Podobně je možné uvažovat sloupcově ostře diagonálně dominantní matice porovnáním absolutních hodnot diagonálních prvků se součty absolutních hodnot ostatních prvků v daných sloupcích a i pro sloupcově ostře diagonální matice metoda konverguje. I přes jednoduchost tohoto kriteria se s diagonálně dominantními maticemi setkáváme v aplikacích poměrně často. Podíváme-li se, jak byla odvozena soustava popisující rozložení teploty na tepelně vodivé desce (poslední slajd minulé přednášky), není to až takové překvapení.
Podobnými iteračními metodami je možné efektivně řešit soustavy o tisících rovnic a neznámých. Výpočty probíhají rychle a nejsou náročné na paměť jako u přímých metod, známých například ze střední školy. Tímto způsobem se řeší soustavy rovnic při modelování namáhání konstrukcí, vedení tepla, proudění vody apod.
Definice (determinant).
Buď \(A\in\mathbb R^{n\times n}\) čtvercová matice řádu \(n\). Determinant matice \(A\) je reálné číslo \({\det A}\) přiřazené matici \(A\) následujícím způsobem:
- Je-li \(A\) matice řádu \(1\), tj. \(A=(a_{11})\), je \(\det A=a_{11}\).
- Máme-li definován determinant z matice řádu \((n-1)\) označme symbolem \(M_{ij}\) determinant matice řádu \((n-1)\), která vznikne z matice \(A\) vynecháním \(i\)-tého řádku a \(j\)-tého sloupce. Definujme algebraický doplněk \(A_{ij}\) prvku \(a_{ij}\) jako součin \(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\).
- Konečně, definujme determinant řádu \(n\) následovně: zvolíme libovolný index \(i\in\{1,2,\dots n\}\) a definujeme \[ \det A= a_{i1}A_{i1}+ a_{i2}A_{i2}+\cdots+ a_{in}A_{in}. \]
Uff. Zacházejme vyjímečně s touto definicí stejně jako s definicí limity: vezmeme na vědomí, že nějaká korektní definice existuje, ale učit se ji nebudeme. Není to totiž tak úplně potřeba. bude nám stačit naučit se několik málo speciálních případů.
Determinant matice \(A\) označujeme též \(|A|\). Je-li \(A=(a_{ij})\) píšeme zkráceně \(|a_{ij}|\) místo \(|(a_{ij})|\). K záměně s absolutní hodnotou může dojít jedině v případě, že matice \(A\) je řádu jedna. V praxi se však obvykle s maticemi řádu jedna nepracuje.
Definice (regulární a singulární matice).
Buď \(A\) čtvercová matice. Je-li \(\det A=0\), říkáme, že matice \(A\) je singulární, v opačném případě říkáme, že je regulární.
\[ \begin{vmatrix} a &b\\ c& d \end{vmatrix} =ad-bc \]
Tento determinant je roven nule právě tehdy, když je jeden řádek matice násobkem druhého a to bude právě tehdy když je jeden sloupec matice násobkem druhého.
\[ \begin{vmatrix} a&b&c\\ i&j&k\\ x&y&z \end{vmatrix} =ajz+bkx+ciy-(cjx+biz+aky) \]
Mnemotechnická pomůcka: opsat první dva řádky pod determinant, vynásobit hlavní diagonálu a dvě diagonály pod tím, potom vynásobit vedlejší diagonálu a dvě diagonály pod tím. Příspěvky od hlavní diagonály a dvou šikmých řad pod ní se sčítají, příspěvky od vedlejší diagonály a dvou šikmých řad pod ní se odečítají.
Definice (schodovitý tvar).
Řekneme, že matice \(A\) je ve schodovitém tvaru, jestliže případné nulové řádky jsou uspořádány na konci matice a nenulové jsou uspořádány tak, že každý následující řádek začíná větším počtem nul než řádek předchozí.
Příklad. Matice \[ \begin{pmatrix} 4& 7 &0\\ 0 & -2 & 1\\ 0& 0& 5 \end{pmatrix} \] je ve schodovitém tvaru.
Věta (determinant matice ve schodovitém tvaru).
Determinant matice, která je ve schodovitém tvaru je roven součinu prvků v hlavní diagonále.
Totéž platí zejména pro matice diagonální, které mají nenulové prvky jenom v hlavní diagonále a tedy jsou ve schodovitém tvaru.
Příklad. Platí \[ \begin{vmatrix} 4& 7 &0\\ 0 & -2 & 1\\ 0& 0& 5 \end{vmatrix}=4\cdot (-2)\cdot 5=-40. \]
Pojmy lineární algebry spolu krásně souvisí.
Věta.
Buď \(A\) čtvercová matice řádu \(n\). Následující výroky jsou ekvivalentní:
- K matici \(A\) existuje matice inverzní \(A^{-1}\).
- Matice \(A\) je regulární, tj. \(\det A\neq 0\).
- Soustava lineárních rovnic \[AX=B\] má pro libovolnou pravou stranu \(B\) jediné řešení.
- Homogenní soustava lineárních rovnic \[AX=0\] má pouze nulové řešení.
- Každý vektor z \(\mathbb R^n\) lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů tvořených řádky (sloupci) matice \(A\), a to jednoznačně, až na pořadí.
Například je-li \(\vec q\) vlastním vektorem matice \(A\) příslušným vlastní hodnotě \(\lambda\), platí \[A\vec q=\lambda \vec q.\] Odsud \[\begin{aligned}A\vec q-\lambda \vec q&=0\\ A\vec q-(\lambda I )\vec q &=0\\ (A-\lambda I )\vec q &=0\end{aligned}.\] Pokud chápeme poslední rovnost jako soustavu rovnic s koeficienty \((A-\lambda I)\), nulovou pravou stranou a nenulovým řešením \(\vec q\) (tj. bod 6 předchozí věty neplatí), musí být determinant matice \(A-\lambda I\) nulový (tj. bod 4 předchozí věty neplatí). Tím je motivována následující definice a dokázána následující věta.
Definice (charakteristická rovnice, charakteristický polynom).
Rovnice \[\det (A-\lambda I)=0\] s neznámou \(\lambda\) se nazývá charakteristická rovnice matice \(A\). Výraz na levé straně této rovnice je polynom proměnné \(\lambda\) a nazývá se charakteristický polynom matice \(A\).
Důsledek (vlastní čísla).
Vlastní čísla matice \(A\) jsou právě řešení charakteristické rovnice.
Předpokládejme, že obě dvojice \(\mathcal E=[\vec e_1,\vec e_2]\) a \(\mathcal F=[\vec f_1,\vec f_2]\) jsou báze dvourozměrného vektorového prostoru. Tedy každý vektor můžeme zapsat jako jejich lineární kombinaci a to jednoznačně. Pokud platí \[X=a_1 \vec e_1 + a_2 \vec e_2 = b_1 \vec f_1 + b_2 \vec f_2 ,\] jsou \([X]_{\mathcal E}=\begin{bmatrix} a_1\\a_2 \end{bmatrix}\) souřadnice v bázi \(\mathcal E\) a \([X]_{\mathcal F}=\begin{bmatrix} b_1\\b_2 \end{bmatrix}\) souřadnice v bázi \(\mathcal F\). Pro dvojici bází existuje matice \(P\) typu \(2\times 2\) taková, že \[\begin{bmatrix} a_1\\a_2 \end{bmatrix} = P \begin{bmatrix} b_1\\b_2 \end{bmatrix} \] Tato matice se nazývá matice přechodu a umožňuje najít souřadnice vektoru v jedné bázi pomocí souřadnic vektoru v jiné bázi. Matice přechodu musí být regulární a proto evidentně můžeme mezi bázemi přecházet i v opačném směru směru pomocí inverzní matice \[P^{-1}\begin{bmatrix} a_1\\a_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1\\b_2 \end{bmatrix}. \]
Matice přechodu je vlastně vyjádření téhož jiným jazykem. Používáme tam, kde můžeme "přeložit" do jazyka jednoduššího. Zdroj: pixabay.com.
Ukážeme si důležité využití matice přechodu. Předpokládejme, že máme zobrazení \(f\colon X\to Y\), které je možno charakterizovat maticemi. Na vstupu i výstupu jsou tedy vektory a jejich směry si obecně nemusí odpovídat. Může se jednat třeba o zobrazení, které působícím silám přiřadí deformaci tělesa, což uvidíme v Hookově zákoně na dalším slidu. Může se jednat také o zobrazení, které vektoru charakterizujícímu změnu tlaku v podzemní vodě přiřadí směr proudění. (Oba směry si nemusí odpovídat, protože voda je poháněna rozdílem tlaků ve směru největšího poklesu tlaku, ale současně si v anizotropním prostředí hledá cestu nejmenšího odporu).
Nechť je naše zobrazení vyjádřeno v nějaké bázi \(\mathcal B\) maticí \(A\), tj. \[Y=AX,\] kde \(X\) a \(Y\) jsou souřadnice vzoru a obrazu v dané bázi. Budeme chtít zobrazení vyjádřit v jiné bázi. Například v bázi \(\mathcal b\) takové, že platí \(X=Px\) a \(Y=Py\), kde malá písmena jsou souřadnice v "malé" bázi \(b\). Dosazením získáme \[Py=APx\] a po vynásobení inverzní maticí \[P^{-1}(Py)=P^{-1}(APx),\] tj \[y=(P^{-1}AP)x.\] V bázi \(b\) je tedy zobrazení charakterizováno maticí \(P^{-1}AP\). Pro vhodně zvolenou matici \(P\) může být matice v nové bázi podstatně jednodušší než matice v bázi původní.
V následujícím příkladě si ukážeme, že vhodně zvolenou maticí \(P\) můžeme dosáhnout toho, že \(P^{-1}AP\) je diagonální matice. Na dalším slidu již rovnou zvolíme vhodnou bázi a matice, která bude sice impozantních rozměrů \(6\times 6\), bude plná nul a proto relativně pěkná.
Příklad. Pro matice \(A= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 &2 \end{pmatrix}\) a \(P= \begin{pmatrix} 0& -1 \\ 1 &1 \end{pmatrix}\) platí (po chvilce počítání) \[ P^{-1}AP= \begin{pmatrix} 2& 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \] Odsud vidíme, že v souřadnicích ke kterým bychom přešli pomocí matice \(P\) je vyjádření zobrazení matice \(A\) mnohem jednodušší, protože matice \(P^{-1}AP\) je diagonální.
Častým úkolem je zapsat vztahy mezi veličinami tak, aby byly co nejjednodušší a proto jeden z častých úkolů v lineární algebře bývá takovou šikovnou bázi nalézt. Nastíníme neoptimističtější variantu postupu, případné detaily a řešení zádrhelů je možné najít v odborné literatuře. Zpravidla vyjadřujeme zobrazení v bázi tvořené ortonormálními vlastními vektory matice \(A\). Sloupce matice \(P\) jsou vlastní vektory matice \(A\). Pokud je matice \(A\) symetrická, je matice \(P\) navíc ortogonální, její inverze je tedy matice transponovaná. Tomuto procesu se říká diagonalizace matice, protože \(P^{-1}AP\) vychází diagonální a v diagonále vychází právě vlastní čísla matice.
V minulé přednášce jsme odvodili tvar tenzoru malých deformací pro popis deformace tuhého tělesa ve tvaru \[\begin{pmatrix} \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}} & \frac 12\left(\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}}\right)\\ \frac 12\left(\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}}\right)& \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{2}} \end{pmatrix}\]
Složky tenzoru napětí charakterizují sílu způsobující deformaci. Zdroj: Wikiepdie.
Toto můžeme zapsat symbolicky \[\varepsilon_{ij}=\frac 12\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}\right).\tag{*}\] Pro deformaci v prostoru máme nikoliv dvě, ale tři souřadnice a tenzor deformací je tedy \(3\times 3\) symetrická matice, tj. matice, která má šest nezávislých komponent. (Zbylé tři komponenty dostaneme ze symetrie.) Tyto komponenty dostaneme postupnou volbou indexů ve vzorci (*) a můžeme je sestavit do sloupcového vektoru \[(\varepsilon_{11},\varepsilon_{22},\varepsilon_{33},\varepsilon_{23},\varepsilon_{13},\varepsilon_{12})^T\] Podobně, působící sílu můžeme rozdělit podle působení v jednotlivých směrech a tím dostaneme tenzor napětí, šest veličin charakterizujících napětí. (Zbylé tři jsou dány podmínkou, že se deformované těleso nepohybuje.) Pro další úvahy složky tenzoru napětí uspořádáme do sloupcového vektoru \[(\sigma_{11},\sigma_{22},\sigma_{33},\sigma_{23},\sigma_{13},\sigma_{12})^T.\]
Následující poučka je fyzikálně ověřený fakt, že vztah mezi složkami tenzoru napětí a tenzoru deformace je lineární. To nás nepřekvapí, protože z přednášek o derivacích na začátku semestru víme, že jakákoliv funkční závislost se dá linearizovat. Podstatné zde však je, že interval, na kterém má linearizace smysl, není příliš malý, tj. že tato linearizace platí pro prakticky významné případy.
Hookův zákon deformace (volná slovní formulace). Do určité hranice zatížení je libovolná složka tenzoru deformace úměrná libovolné složce tenzoru napětí.
K tomu si přidejme, že příspěvky k deformaci, způsobené různými složkami tenzoru napětí, se přirozeně sčítají. Matematicky vyjádřeno proto platí \[ \begin{pmatrix}\varepsilon_{11}\\\varepsilon_{22}\\\varepsilon_{33}\\\varepsilon_{23}\\\varepsilon_{13}\\\varepsilon_{12}\end{pmatrix} = C \begin{pmatrix}\sigma_{11}\\\sigma_{22}\\\sigma_{33}\\\sigma_{23}\\\sigma_{13}\\\sigma_{12}\end{pmatrix}, \] kde \(C\) je čtvercová \(6\times 6\) matice.
Ortotropie dřeva. Zdroj: researchgate.net, Mathew Legg.
Fyzikální úvahy ukazují, že matice \(C\) je určitě symetrická a obsahuje celkem ne 36, ale jenom 21 nezávislých veličin. Nazývá se matice tuhosti. V obecném případě tedy musíme pro popis deformace mít celkem 21 materiálových konstant. Tento počet se však výrazně redukuje, pokud je materiál například izotropní nebo ortotropní. Například ortotropní materiál jakým je dřevo, můžeme umístit do soustavy souřadnic tak, aby byl invariantní vůči symetrii podle jednotlivých průměten. Poté je možné odvodit, že nejobecnější možný tvar matice \(C\) je \[ C= \begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} & 0 & 0 & 0 \\ C_{12} & C_{22} & C_{23} & 0 & 0 & 0 \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & C_{55} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_{66} \end{pmatrix},\] tj. tvar, obsahující jenom devět materiálových konstant. Odsud vidíme, že v takovém materiálu se smykové napětí projeví jenom na jedné komponentě tenzoru deformace, protože poslední tři sloupce, které udávají složky jednotlivých deformací způsobených napětími \(\sigma_{23}\), \(\sigma_{13}\) a \(\sigma_{12}\) mají jenom jednu nenulovou složku.
Pokud bychom použili k popisu obecnou soustavu souřadnic, nebylo by možné se na symetrii odvolávat. Matice \(C\) by obsahovala všechny prvky a bylo by nutné hledat bázi, v níž je její vyjádření nejjednodušší. U dřeva je však snadné rozpoznat význačné směry. Když soustavu souřadnic zvolíme tak, aby byla v souladu s těmito význačnými směry, docílíme tohot, že obdržíme matici \(C\) již přímo ve tvaru s co nejvíce nulami.
Někdy je vhodné umět určit napětí pomocí deformací. K tomu stačí Hookův zákon vynásobit maticí \(C^{-1}\) a obdržíme \[ \begin{pmatrix}\sigma_{11}\\\sigma_{22}\\\sigma_{33}\\\sigma_{23}\\\sigma_{13}\\\sigma_{12}\end{pmatrix}= C^{-1} \begin{pmatrix}\varepsilon_{11}\\\varepsilon_{22}\\\varepsilon_{33}\\\varepsilon_{23}\\\varepsilon_{13}\\\varepsilon_{12}\end{pmatrix}. \] Matice \(C^{-1}\) se nazývá matice poddajnosti a označuje \(S\).
Souvislostí vlastních vektorů matice tuhosti a matice poddajnosti (nebo obecněji souvislostí vlastních vektorů matice a matice inverzní) se budeme zabývat na následujícím slidu.
Fyzikální úvaha snadno vede k závěru, že matice a matice inverzní mají stejné vlastní vektory. To proto, že pokud v některém směru je materiálová odezva násobkem podnětu, je i opačně podnět násobkem materiálové odezvy. To, že matice \(A\) a \(A^{-1}\) mají stejné vlastní vektory plyne i z toho, že pokud definiční vztah pro vlastní vektor matice \(A\), tj. vztah \[A\vec u=\lambda\vec u,\] vynásobíme zleva maticí \(\frac 1\lambda A^{-1}\), dostaneme vzhledem k identitě \(\frac 1\lambda A^{-1}A \vec u=\frac 1\lambda I \vec u =\frac 1\lambda \vec u\) rovnici \[\frac 1\lambda \vec u=A^{-1}\vec u,\] která vyjadřuje, že \(\vec u\) je vlastním vektorem matice \(A^{-1}\) s vlastním číslem \(\frac 1\lambda.\)