Monotonie a aditivia vzhledem k mezi pro určitý integrál.
Naučili jsme se integrovat pomocí neurčitého a určitého integrálu. Neurčitý integrál vyjadřuje funkční hodnotu vypočítanou z akumulace okamžitých změn. Z principiálních důvodů není možné, pokud je zadána pouze rychlost změny, určit celou veličinu, ale jenom její změnu. Proto je neurčitý integrál dán jednoznačně až na aditivní konstantu. Velikost změny na zadaném intervalu je dána určitým integrálem, ke kterému je možné dospět i geometricky a fyzikálně názorným způsobem představeným v definici Riemannova integrálu. Ten otevírá možnost rozšířit platnost mnoha fyzikálních vzorců na případ, kdy parametry úlohy nejsou konstantní. Dokážeme tak počítat dráhu pohybu proměnnou rychlostí, tlak vody na plochu ponořenou napříč různými hloubkami a podobně.
V následujícím textu rozvineme některé poznatky o integrálu, odvodíme si některé pokročilejší metody pro výpočet, ukážeme si, že každá spojitá funkce má primitivní funkci a také otevřeme cestu k definování funkcí, které nejsou elementární.
Monotonie a aditivia vzhledem k mezi pro určitý integrál.
Z minulé přednášky víme, že integrál (určitý i neurčitý) je lineární, tj. zachovává součet funkcí a násobení konstantou.
Následující dvě věty nejsou překvapivé. Vyjadřují dvě intuitivně zřejmá fakta.
Je však důležité vědět, že tyto myšlenky platí pro libovolné integrovatelné funkce a proto zformulujeme následující věty.
Věta (monotonie vzhledem k funkci).
Je-li \(f(x)\geq g(x)\) na intervalu \([a,b]\), platí \[\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\geq \int_a^b g(x)\,\mathrm dx.\]
Důsledek.
Integrál nezáporné funkce je nezáporný.
Věta (aditivita vzhledem k integračnímu oboru).
Platí \[\int_a^b f(x)\,\mathrm dx= \int_a^c f(x)\,\mathrm dx + \int_c^b f(x)\,\mathrm dx.\]
Věta o aditivitě vzhledem k integračnímu oboru je například pro Newtonovu definici integrálu důsledkem zřejmého vztahu \[[F(b)-F(c)]+[F(c)-F(a)]=F(b)-F(a)\] pro libovolnou primitivní funkci \(F\). Graficky i fyzikálně je názorný případ, kdy \(c\) leží v intervalu \([a,b]\). Vzorec však platí pro libovolné uspořádání mezí podle velikosti.
Když materiálová konstanta není konstantní a chceme ji zprůměrovat, použijeme integrální střední hodnotu. Zdroj: Cengel, Ghajar: Heat and Mass Transfer.
Určitou souvislost s monotonií vzhledem k funkci má otázka, zda je možné funkci definovanou na intervalu \([a,b]\) nahradit funkcí konstantní tak, aby obě funkce měly stejný integrál. V praxi to znamená, že bychom například při pohybu tělesa časový průběh rychlosti nahradili jednou hodnotou takovou, že dráha za daný čas bude stejná. To je přesně to, co známe z běžného života jako definici průměrné rychlosti. Je to současně i návod pro následující rozšíření pojmu průměrná rychlost na libovolné integrovatelné funkce. Jedná se vlastně o jakousi průměrnou hodnotu, při které ale nepočítáme průměr z konečného počtu hodnot, ale z hodnot rozložených spojitě na zadaném intervalu.
Definice střední hodnoty je snadným důsledkem toho, že hledáme hodnotu \(\mu\) s vlastností \[\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=\int_a^b \mu\,\mathrm dx=\mu \int_a^b \mathrm dx=\mu(b-a).\]
Definice (střední hodnota).
Nechť \(f\) je funkce definovaná a integrovatelná na uzavřeném intervalu \([a,b]\). Číslo \(\mu\) definované vztahem \[\mu=\frac 1{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\] se nazývá střední hodnota funkce \(f\) na intervalu \([a,b]\).
Střední hodnota lineární a obecné funkce.
Geometricky je střední hodnota výška obdélníka, který má jednu stranu tvořenou intervalem \([a,b]\) a obsah je roven integrálu \(\int_a^b f(x)\,\mathrm dx.\) Pokud je funkce \(f(x)\) kladná a lineární, je tento integrál roven obsahu lichoběžníka o základnách \(f(a)\) a \(f(b)\) a výšce \(b-a\). Tedy \[\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=(b-a)\frac{f(a)+f(b)}2\] a střední hodnota lineární funkce je tedy průměrem hodnoty na začátku a na konci intervalu.
Poznámka (střední hodnota materiálové konstanty).
Tepelná vodivost materiálu podobeného analýze tepelně-izolačních vlastností nemusí být konstantní v celém rozsahu teplot, ale může se měnit s teplotou. Pokud je známa funkce \(k(T)\), je střední hodnota tepelné vodivosti v tepelném rozsahu od \(T_1\) do \(T_2\) dána vztahem (viz Cengel, Ghajar: Heat and Mass Transfer) \[k_{avg}=\frac 1{T_2-T_1} \int_{T_1}^{T_2} k(T)\,\mathrm dT\] V praxi nemáme analytický předpis pro funkci \(k(T)\), ale funkce je dána v několika bodech tabulkou. Takové funkce můžeme integrovat numericky, což bude ukázáno v další části této přednášky.
Příklad. Střední hodnota funkce \(y=2x^2-1\) na intervalu \([0,2]\) je \[\frac 12 \int_0^2 2x^2-1 \,\mathrm dx=\frac 12 \left[\frac 23 x^3-x\right]_0^2=\frac 12 \left[\frac 23 8-2 - 0\right]=\frac 53.\]
Visící řetěz. Při vytahování na střechu se zmenšuje síla, kterou je nutno překonávat. Zdroj: pixabay.com
Ze střechy budovy o výšce \(50\) metrů visí řetěz dlouhý \(30\) metrů. Jeden metr řetězu váží dva kilogramy. Vypočítáme práci potřebnou pro povytažení řetězu o deset metrů a poté práci potřebnou pro úplné vytažení řetězu.
Z fyziky víme, že na těleso o hmotnosti \(m\) působí síla \(F\) daný vztahem \[F=mg,\] kde \(g\) je tíhové zrychlení a že práce \(W\) konaná silou \(F\) po dráze \(s\) je rovna součinu \[W=Fs.\]
Pokud z budovy visí \(h\) metrů řetězu o lineární hustotě \(\tau=2\,\mathrm{kg}/\mathrm m\), je nutné při vytahování řetězu zvedat těleso o hmotnosti \(h\tau\), tj. vyvinout sílu \[F=h\tau g.\] Při vytahování řetězu se délka visící části zkracuje a změna délky \(\Delta h\) je záporná. Při povytažení řetězu o délku \(|\Delta h|=-\Delta h\) je nutné vykonat práci \[\Delta W=F|\Delta h|=-h\tau g \Delta h.\]
Při povytažení o 10 metrů řetěz vytahujeme spojitě od \(h_1=30\) po \(h_2=20\). Celková práce je \[\begin{aligned}W&=\int_{h_1}^{h_2}-h\tau g\,\mathrm dh=\tau g\int_{h_2}^{h_1}h\,\mathrm dh =\tau g\left[\frac 12 h^2\right]_{h_2}^{h_1}\\& =\tau g\left[\frac 12 h_1^2 - \frac 12 h_2^2\right]=\frac 12 \tau g (h_1^2-h_2^2) \\&=\frac 12 \tau g (h_1-h_2)(h_1+h_2). \end{aligned} \] Pro \(\tau =2\,\mathrm{kg}\,\mathrm m^{-1}\) a \(g=9.81\, \mathrm{kg}\,\mathrm{m}\,\mathrm {s}^{-2}\) dostáváme \(W=4905\,\mathrm J.\) Formálně je tento výsledek stejný, jako bychom hmotnost dolních \(h_1-h_2\) metrů řetězu soustředili do středu tohoto úseku (tedy do úrovně \(\frac 12 (h_1+h_2)\) metrů pod střechu) a poté tento hmotný bod přemístili konstantní silou po dráze \(\frac 12 (h_1+h_2)\) na střechu.
Práci pro vytažení celého řetězu dostaneme volbou \(h_2=0\). Tedy \[W=\frac 12 \tau g h_1^2\] a numericky \(W=8829\,\mathrm J.\) Protože vytáhnout první třetinu nejtěžší, očekáváme, že práce potřebná pro vytažení celého řetězu bude menší než trojnásobek práce nutné pro povytažení o třetinu. Toto se přirozeně potvrzuje porovnáním numerických hodnot.
Poznámka (práce konaná silou proměnné velikosti).
Práce vykonaná silou \(F(x)\) při přemístění tělesa z polohy \(x=a\) do polohy \(x=b\) je \[W=\int_a^b F(x)\,\mathrm dx.\] Jako speciální případ dostáváme pro konstantní sélu \(F\) středoškolský vzorec \[W=Fs,\] kde \(s=b-a\) je posunutí.
Mojžíšův most je z obou stran chráněný přehradou umožňující regulací výšky vody v okolí mostu, vzhledem k charakteru krajiny v Holandsku však není překvapení, že může být i zatopený. Zdroj: http://veryhungryexplorer.com/the-day-i-nearly-walked-on-water/
Pokud potřebujeme vyčerpat vodu z rezervoáru, nádrže, rybníka nebo jezera, musíme ji dopravit za stěnu (za hráz, dostat na břeh, ...). Představme si, že po opadnutí vody v okolí Mojžíšova mostu, se kterým jsme se seznámili na minulé přednášce, zůstane uvnitř voda. Tu je potřeba vyčerpat. Tím se most proměnil v nádrž o hloubce \(H\). Povrch hladiny ve chvíli, kdy je voda \(x\) jednotek délky pod okrajem mostu označme \(S\). (Pro nádrž ve tvaru kvádru by \(S\) bylo konstantní a rovno obsahu dna.)
Následující myšlenka se si týká výlučně určitého integrálu, ale dále v dnešní přednášce si představíme nástroj, který umožní ji použít i pro integrál neurčitý.
Někdy se stane, že neumíme nebo nepotřebujeme určitý integrál vypočítat přesně. Nebo že ani nemáme dostatek informací pro přesný výpočet, například funkce může být známa jenom v několika bodech, které jsou výsledkem měření a mimo tyto body nejsou žádné informace o funkčních hodnotách. To je přesně situace pro numerickou aproximaci určitého integrálu. Mechanický model základních myšlenek aproximace je shrnut v několika následujících bodech.
Příklad. Zahradnická firma vytáhla pařez a malotraktorem jej odtáhla o 20 metrů bokem. Vzhledem k nepravidelnému tvaru a tažení po různých druzích povrchu po cestě se síla měnila. Pracovníkovi se podařilo odhadnout sílu během pohybu. Závislost síly na dráze zachycuje následující tabulka.
| \(s\)[m] | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(F\)[kN] | 2.3 | 1.5 | 2.1 | 3.1 | 2.0 |
Odhadneme celkovou vykonanou práci. \[W=5 \frac{2.3+1.5}2 +5 \frac{1.5+2.1}2 +5 \frac{2.1+3.1}2 +5 \frac{3.1+2.0}2=44.25 \,\mathrm{kN}\,\mathrm {m} = 44.25\,\mathrm{kJ}\]
Poznámka. V předchozím příkladě byla funkce dána v pravidelných intervalech. Proto se ve všech členech objevuje faktor \(\frac 52\), který je možné vytknout. Po vytknutí zůstane v závorce součet, kde se hodnoty funkce v dolní a horní mezi objeví jednou a ostatní dvakrát. To v obecném případě vede k následujícímu vzorci.
Věta (lichoběžníkové pravidlo).
Nechť je funkce \(f\) spojitá na intervalu \([a,b]\). Rozdělme interval \([a,b]\) na \(n\) intervalů stejné délky \(h\), tj. platí \(h=\frac{b-a}n\). Krajní body těchto intervalů označme po řadě \(x_0\), \(x_1\), ..., \(x_n\) a jim odpovídající funkční hodnoty funkce \(f\) po řadě \(y_0\), \(y_1\), ..., \(y_n\). Platí \[ \int_a^bf(x)\,\mathrm dx\approx \frac h2\Bigl( {y_0}+2y_1+2y_2+\cdots+2y_{n-1}+{y_n}\Bigr). \]
Substituční metoda je metoda odvozená z derivace složené funkce \[[u(v(x))]'=u'(v(x))v'(x),\] což dává \[u(v(x))=\int u'(v(x))v'(x)\,\mathrm dx.\tag{1}\]
Označme \(u'(x)=f(x)\), tj. \(u(x)=\int f(x)\,\mathrm dx\). Označíme-li dále \(v(x)=t\), platí \[u(v(x))=u(t)=\int f(t)\,\mathrm dt.\] Přeznačme ještě \(v(x)\) na \(\varphi(x)\). Potom má (1) po záměně levé a pravé strany tvar uvedený v následující větě.
Věta (substituční metoda pro neurčitý integrál).
Platí \[\int f(\varphi (x))\varphi'(x)\,\mathrm dx=\int f(t)\,\mathrm dt,\tag{2}\] kde po výpočtu integrálu napravo dosazujeme \(t=\varphi (x).\)
Formálně výraz napravo ve (2) přejde ve výraz nalevo a naopak dosazením rovností \[\varphi(x)=t,\qquad \varphi'(x)\,\mathrm dx=\mathrm dt.\] Toto je současně i návod, jak substituční metodu použít prakticky.
Příklad. Substituce \(x^2=t\) vede na vztah mezi diferenciály ve tvaru \(2x\,\mathrm dx=\mathrm dt\). Odsud \[\int x e^{x^2}\,\mathrm dx=\frac 12 \int e^t\,\mathrm dt=\frac 12e^t=\frac 12 e^{x^2}+c.\]
Příklad. Substituce \(f(x)=t\) vede na vztah mezi diferenciály ve tvaru \(f'(x)\,\mathrm dx=\mathrm dt\). Odsud \[\int \frac {f'(x)}{f(x)}\,\mathrm dx=\int \frac 1t\,\mathrm dt=\ln |t|=\ln|f(x)|+c.\] Například \[\int \frac{x}{x^2+1}\,\mathrm dx=\frac 12\int \frac{2x}{x^2+1}\,\mathrm dx= \frac 12\int \frac{(x^2+1)'}{x^2+1}\,\mathrm dx=\frac 12 \ln|x^2+1|+c.\]
Příklad. Substituce \(ax+b=t\) vede na vztah mezi diferenciály ve tvaru \(a\,\mathrm dx=\mathrm dt\). Odsud je možné odvodit vzorec, který již známe pro integrál funkce s lineární vnitřní složkou. Vskutku, platí \[\int f(ax+b)\,\mathrm dx= \int \frac 1af(t)\,\mathrm dt= \frac 1a F(t)= \frac 1a F(ax+b)+C,\] kde \(F(x)=\int f(x)\,\mathrm dx.\)
Vztah (2) je základní vztah pro substituci v neurčitém integrálu. Používáme jej ve vhodných případech zprava doleva i zleva doprava. Variantu pro určitý integrál jsme viděli ve speciálním případě ve cvičení, kdy vnitřní funkce reprezentovala konstantní násobek. Viděli jsme přirozeným způsobem, že při substituci (vyjádření v jiných jednotkách) se s integrovanou funkcí se mění i meze. Obecný vzorec pro integrování určitého integrálu substituční metodou je v následující větě.
Věta (substituční metoda pro určitý integrál).
Platí \[\int_a^b f(\varphi (x))\varphi'(x)\,\mathrm dx=\int_{\varphi (a)}^{\varphi(b)} f(t)\,\mathrm dt.\]
Meze tedy podléhají stejné transformaci, jako integrovaná proměnná. Pokud používáme substituci \(t=\varphi(x)\), potom v dolní mezi pro \(x=a\) platí \(t=\varphi(a).\) Podobná situace je i v mezi horní.
Integrál může být součástí definice funkce. Tím se můžeme dostat mimo množinu elementárních funkcí a značně tak rozšířit třídu funkcí, se kterými umíme pracovat.
Věta (integrál jako funkce horní meze).
Buď \(f\) spojitá funkce na intervalu \(I\) a \(a\in I\). Funkce \(F(x)\) definovaná vztahem \[ F(x):=\int_a^x f(t)\,\mathrm dt \] má na intervalu \(I\) derivaci a platí \(F'(x)=f(x)\), tj. \(F(x)\) je primitivní funkcí k funkci \(f(x)\).
Příklad. Pro funkci \(f(x)=x^2\) platí \[\int_0^x t^2\,\mathrm dt=\left[\frac {t^3}{3}\right]_0^{x}=\frac{x^3}{3}\] což je skutečně jedna z primitivních funkcí k funkci \(x^2\), jak již víme z přednášky o neurčitém integrálu.
Věta o integrálu jako funkci horní meze dokonce udává tvar primitivní funkce pro libovolnou spojitou funkci. Tím dostáváme okamžitě následující tvrzení.
Důsledek (postačující podmínka existence primitivní funkce).
Ke každé spojité funkci existuje neurčitý integrál.
Bohužel, ne vždy neurčitý integrál dokážeme efektivně najít. Zatímco problém nalezení derivace funkce složené z funkcí, které umíme derivovat, spočívá pouze ve správné aplikaci vzorců pro derivování, problém nalézt neurčitý integrál i k funkci tak jednoduché, jako je například \(e^{-x^2}\) je neřešitelný ve třídě elementárních funkcí. Totéž platí pro další "nevinně vyhlížející" funkce jako \(\int \sin (x^2)\,\mathrm dx\) nebo \(\int \frac{\sin x}{x}\,\mathrm dx\). Věta o integrálu jako funkci horní meze nabízí možnost zapsat primitivní funkci vztahem \[\int e^{-x^2}\,\mathrm dx=c+\int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt.\] Funkční hodnoty takové funkce můžeme určovat například tak, že integrál aproximujeme numericky.
Následující ukázka demonstruje, že i s funkcí definovanou pomocí integrálu je možné jistým způsobem pracovat, aniž bychom měli k dispozici analytické vyjádření této funkce.
Součin se na součet mění například u logaritmického pravítka. Zdroj: pixabay.com
Uvažujme funkci definovanou vztahem \[f(x)=\int_1^x\frac 1t\,\mathrm dt.\tag{*}\] Ukážeme si, že tento tvar umožňuje odvodit některé vlastnosti funkce \(f\). Dokážeme například, že funkce \(f\) mění násobení na sčítání, tj. že platí \[f(ab)=f(a)+f(b).\] Podle definice je \[f(ab)=\int_1^{ab}\frac 1t \,\mathrm dt.\] Podle aditivity vzhledem k integračnímu oboru platí \[f(ab)=\int_1^{a}\frac 1t \,\mathrm dt+\int_a^{ab}\frac 1t \,\mathrm dt =f(a)+\int_a^{ab}\frac 1t \,\mathrm dt.\tag{**}\] Ve druhém integrálu bychom potřebovali dostat jedničku v dolní mezi, abychom dostali integrál stejný jako v definici funkce \(f\). Proto zavedeme substituci \(\frac ta=s\), \(t=sa\), \(\mathrm dt=a\mathrm ds\). S použitím této substituce se (**) transformuje na \[f(ab) =f(a)+\int_1^{b}\frac 1{sa} a\,\mathrm ds =f(a)+\int_1^{b}\frac 1{s} \,\mathrm ds =f(a)+f(b).\]
Pokud si všimneme, že integrál (*) v definici funkce \(f\) je možné vypočítat a že funkce \(f\) je vlastně funkce \(\ln x\), není vlastnost, že funkce mění násobení na sčítání nijak překvapivá. Pro nás však bylo důležité, že v důkaze jsme použili jenom definici funkce \(f\) pomocí integrálu a pravidla pro práci s integrály. Nemuseli jsme nijak používat ani vlastnosti logaritmu, ani vlastnosti funkce k logaritmu inverzní, což bývá základem středoškolského odvození tohoto vzorce. Vidíme, že integrál je možné použít k definici funkce a s touto funkcí je možné dále pracovat. Substituce \(t^{\frac 1r}=s\), \(t=s^r\), \(\mathrm dt=rs^{r-1}\,\mathrm ds\) například ukáže, že platí \[f(a^r)=\int_1^{a^r}\frac 1t\,\mathrm dt= \int _1^a \frac 1{s^r}rs^{r-1}\,\mathrm ds= r\int _1^a\frac 1s\,\mathrm ds=rf(a).\]
Vypočítáme příklad z prací při vytahování řetězu tak, že určíme změnu potenciální energie řetězu. Práci \(W\) vykonanou při vyzvednutí tělesa o hmotnosti \(m\) o výšku \(h\) vypočteme jako změnu potenciální energie v tíhovém poli Země, tj. \[W=mgh.\] Komplikace v tomto případě je, že každou část řetězu vytahujeme z jiné hloubky. Část řetězu délky \(\Delta h\) váží \(m=\tau\Delta h\) kilogramů a při vytažení z hloubky \(h\) na úroveň střechy je změna potenciální energie (a vykonaná práce) \[\Delta W=mgh=\tau\Delta h g h.\] Součet těchto příspěvků pro dolní třetinu řetězu, od \(h_2=20\,\mathrm m\) po \(h_1=30\,\mathrm m\) je \[W=\int_{h_2}^{h_1}\tau g h\,\mathrm dh=\tau g\int_{h_2}^{h_1} h\,\mathrm dh.\] Tím výpočet přechází ve stejný integrál jako v předchozím přístupu a výsledky jsou tedy stejné. Práci pro celý řetěz získáme opět volbou \(h_2=0.\)
Že práce vykonaná při vytažení celého řetězu je stejná jako změna potenciální energie celého řetězu je zřejmé. Za zmínku ještě stojí úvaha, proč je povytažení řetězu o 10 metrů ekvivalentní změně potenciální energie dolních 10 metrů při vytažení této části řetězu na střechu. Stačí uvážit, že bychom řetěz přetočili vzhůru nohama, povytáhli o 10 metrů, rozpojili a visící část znovu otočili vzhůru nohama. Otočení vzhůru nohama není spojeno s konáním práce, stejně tak rozpojení a případné opětovné napojení. Práce se tedy koná jenom tak, že řetěz vytahujeme o 10 metrů. Výsledek však je stejný, jako kdybychom řetěz nepřetáčeli, jenom odpojili dolních 10 metrů a tuto část zvedli nahoru.
Lodní výtah Falkrik Wheel. Zdroj: Wikipedie.
Ještě možná stojí za rozvážení fakt, že při otočení řetězu okolo středu se nekoná práce. Tato skutečnost se dá opět dokázat myšlenkovým rozdělením řetězu na kousky a sečtením práce nutné pro přemístění těchto kousků. Ta bude kladná pro kousky pod těžištěm, záporná pro kousky nad těžištěm a výsledný součet bude nulový. Na podobném principu pracuje lodní výtah Falkrik Wheel. Práce potřebná pro otočení výtahu a vytažení lodě nahoru (nebo spuštění dolů nebo obojí současně) je překvapivě malá -- jedna loď potenciální energii získává, druhá loď stejně velkou potenciální energii ztrácí (pokud není loď, použije se místo lodi voda) a stačí jenom vykompenzovat třecí síly v mechanismu. V minulosti zde byla soustava 11 zdymadel a lodě touto soustavou proplouvaly celý den.
A jaká je hlavní message? Zdroj: pixabay.com