Funkce

Robert Mařík

podzim 2019


Pokud se matematické výrazy nezobrazují korektně, nechejte znovunačíst stránku (Reload, Crtl+R, F5) nebo použijte alternativní verzi prezentace.

Ovládání: Prezentaci je možno posouvat šipkami nebo mezerníkem. Klávesa "S" zmenšuje písmo, "B" zvětšuje (smaller/bigger). Klávesa "C" zobrazí obsah (content). Klávesou "A" se přepíná režim prezentace/html stránka.

Kliknutím na obrázek se obrázek zvětší na vertikální rozměr okna. Pro zavření zvětšeniny klikněte do zašedlého zbytku stránky nebo použijte klávesu "ESC".



Slidy jsou doprovodným materiálem k předáškám. Některá tvrzení platí pouze za předpokladů dostatečné spojitosti funkcí nebo jejich derivací. V jednoduchých technických aplikacích bývají tyto předpoklady splněny a proto je nezmiňujeme. Přesná formulace vět je v učebním textu a v odborné literatuře.

Motivace pro pojem funkce

Funkce jedné proměnné

Je dán vetknutý nosník na konci zatížený svislou silou \(F\). Deformace nosníku \(\delta\) na konci souvisí (skalární veličina) s velikostí zatěžující síly (skalární veličina). Pro studium problému je vhodné mít převodní pravidlo, které pro každé zatížení udává deformaci. Toto pravidlo bude z matematického úhlu pohledu funkce (funkce jedné proměnné). Může mít například formu \[\delta=\frac 1k F,\] kde \(k\) je konstanta pro daný nosník (tuhost).

Funkce více proměnných

Tuhost nosníku závisí na jeho tvaru a fyzikálních charakteristikách. Například pro nosník obdélníkového průřezu délky \(L\), výšky \(h\) a šířky \(w\) může mít tvar \[k=\alpha\frac{w h^3}{L^3},\] kde \(\alpha\) je konstanta pro daný nosník (souvisí s použitým materiálem). Třem nezávislým hodnotám přiřazujeme jednu hodnotu. Toto je funkce tří proměnných.

Vektorová funkce jedné proměnné

Letecký radar https://www.flightradar24.com ukazuje aktuální polohu letadel. Každé letadlo, které je ve vzduchu, je v čase \(t\) v místě popsaném dvěma zeměpisnými souřadnicemi. Pro rekonstrukci pohybu můžeme let chápat jako pravidlo, které jedné hodnotě (čas \(t\)) přiřadí dvojici hodnot (souřadnice). Protože tuto dvojici můžeme chápat i jako polohový vektor, nazývá se taková funkce vektorová funkce jedné proměnné.

Vektorové pole

Meteoradar https://mapy.in-pocasi.cz/ má možnost zobrazit vítr. Každému místu v ČR (popsáno dvěma souřadnicemi, tj. dvourozměrným vektorem) je přidělen dvourozměrný vektor rychlosti větru. Toto je příklad dvourozměrné vektorové funkce dvou proměnných, zkráceně mluvíme o dvourozměrném vektorovém poli.

Funkce jedné proměnné

Definice (funkce jedné proměnné).

Buďte \(A\) a \(B\) neprázdné podmnožiny množiny reálných čísel. Pravidlo \(f\), které každému prvku množiny \(A\) přiřadí jediný prvek množiny \(B\) se nazývá funkce (přesněji: reálná funkce jedné reálné proměnné). Zapisujeme \(f:A\to B\). Skutečnost, že prvku \(a\in A\) je přiřazen prvek \(b\in B\) zapisujeme \(f(a)=b\). Přitom říkáme, že \(b\) je obrazem prvku \(a\) při zobrazení \(f\), resp. že \(a\) je vzorem prvku \(b\) při zobrazení \(f\).

Poznámka (terminologie).

Množina \(A\) z definice funkce se nazývá definiční obor funkce \(f\). Označujeme \(\mathrm D(f)\) (resp. \(\mathrm{Dom}(f)\)). Je-li \(M\) podmnožina definičního oboru, definujeme množinu \(f(M)\) jako množinu všech obrazů bodů množiny \(M\). Množina \(f(\mathrm{Dom}(f))=b\) se nazývá obor hodnot funkce \(f\). Označujeme \(\mathrm H(f)\) (resp. \(\mathrm{Im}(f)\)).

Je-li \(y=f(x)\) nazýváme proměnnou \(x\) též nezávislou proměnnou a proměnnou \(y\) závislou proměnnou. Grafem funkce rozumíme množinu všech uspořádaných dvojic \([x,y]\in\mathbb R^2\) s vlastností \(y=f(x)\).

Přímá a nepřímá úměrnost

Výsadní postavení při popisu dějů a jevů v přírodě mají přímá a nepřímá úměrnost, známé ze střední školy.

Definice (přímá a nepřímá úměrnost).

Veličina \(y\) je přímo úměrná veličině \(x\) jestliže existuje konstanta \(k\) taková, že platí \[y=kx.\] Veličina \(y\) je nepřímo úměrná veličině \(x\) jestliže existuje konstanta \(k\) taková, že platí \[y=\frac kx.\]

Příklad.

Poznámka (podobnost).

Dva útvary jsou podobné, jestli jeden vznikne z druhého zvětšením všech délek na jejich \(k\)-násobek. Pro \(k\)-krát zvětšený útvar platí, že všechny jeho rozměry jsou \(k\)-krát větší, všechny jeho plochy jsou \(k^2\)-krát větší a všechny jeho objemy jsou \(k^3\)-krát větší. Podobné útvary jsou vždy definovány jedním parametrem, například u kruhu a koule stačí zadat poloměr. U krychle stačí zadat délku jedné strany nebo délku stěnové uhlopříčky nebo délku tělesové uhlopříčky. U válce, který má stejnou výšku jako průměr podstavy stačí zadat výšku nebo poloměr podstavy. U kužele s vrcholovým úhlem \(45^\circ\) stačí zadat výšku nebo poloměr podstavy a je tím dán celý kužel. U takových těles platí pro jakýkoliv povrch (povrch koule, povrch kužele, povrch pláště kužele, povrch válce, povrch válcové plochy, ...) \[S=k_1r^2\] a pro jakýkoliv objem \[V=k_2r^3,\] kde \(k_1\) a \(k_2\) jsou konstanty a \(r\) vhodný délkový parametr. Tyto konstanty mají dokonce pěknou interpretaci - odpovídají obsahu nebo objemu pro \(r=1\) a ve většině případů je známe, protože například pro kouli nebo kužel máme přesný vzorec založený na poloměru. Díky tomuto je dokonce možné snadno najít vztahy mezi objemem a povrchem \[V=k_3 S^{2/3}\] a \[S=k_4 V^{3/2}.\] Tyto vztahy je snadné si pamatovat, stačí se řídit tím, že mocnina musí být taková, aby vycházely správné jednotky. Metodami středoškolské matematiky dokonce dokážeme dokonce konstanty \(k_1\)\(k_4\) najít pro jednotlivá tělesa jako je koule apod. Často nás však přesná hodnota konstanty nezajímá a jde nám jenom o charakter funkční závislosti, o přímou úměrnost mezi vhodnými mocninami. Vztahy stejného typu platí například i pro kužel s konstantním úhlem u vrcholu. To je možné využít při skladování sypkého materiálu (písek nasypaný na hromadu zaujme tvar kužele, úhel u vrcholu je daný vlastnostmi písku) nebo vyprazdňování nádrže ve tvaru trychtýře. Podobnost nacházíme i v živé přírodě, výrazná je například u ryb, kdy velká ryba je často tvarově blízká zvětšené malé rybě (viz S. Vogel, Comparative biomechanics, kap. 3). Formálně je podobné úvahy možno zobecnit pomocí Buckinghamova \(\Pi\) teorému.

Vlastnosti funkcí jedné proměnné (prostá funkce)

Někdy jsme v situaci, že známe výsledek po působení nějaké funkce a potřebujeme zrekonstruovat vstupní hodnotu. Řešíme tedy pro zadanou funkci \(f\) a hodnotu \(y_0\) rovnici \[f(x)=y_0.\] Řešení této rovnice, pokud existuje, nemusí být určeno jednoznačně. Pro funkce, pro které je určeno jednoznačně, zavádíme následující pojem.

Definice (prostá funkce).

Nechť \(f\) je funkce a \(M\subseteq \mathrm{Dom}(f)\) podmnožina definičního oboru funkce \(f\). Řekneme, že funkce \(f\) je prostá, jestliže každý obraz má jen jediný vzor, tj. pro každé \(y_0\in f(M)\) existuje jediné \(x\in M\) s vlastností \(f(x)=y_0\). Nespecifikujeme-li množinu \(M\), máme na mysli, že uvedená vlastnost platí na celém definičním oboru funkce \(f\).

Věta (rovnice s prostou funkcí).

Pokud je \(f\) prostá funkce a platí \[f(x)=f(a),\] potom platí \(x=a.\)

Příklad. Funkce \(\frac 1x\) je prostá a proto z rovnosti \(\frac 1x = \frac 15\) plyne \(x=5\).

Příklad. Funkce \(x^2\) není prostá a proto z rovnosti \(x^2 = 7^2\) neplyne \(x=7\).

Vlastnosti funkcí jedné proměnné (inverzní funkce)

Definice (inverzní funkce).

Nechť funkce \(f: A\to B\) je prostá. Pravidlo, které každému \(x\) z množiny \(f(A)\) přiřadí to (jediné) \(y\), pro které platí \(f(y)=x\) se nazývá inverzní funkce k funkci \(f\), označujeme \(\mathbf{f^{-1}}\).

Poznámka.

Symbol \(f^{-1}(x)\) lze tedy chápat buď jako hodnotu inverzní funkce k funkci \(f\) v bodě \(x\), nebo jako převrácenou hodnotu k číslu \(f(x)\), tj jako \([f(x)]^{-1}=\frac{1}{f(x)}\). Nebude-li z kontextu zřejmé, o kterou variantu se jedná, musíme toto upřesnit.

Příklad. Funkce \(y=x^2\) není prostá na \(\mathbb R\) a proto zde nemá inverzní funkci. Pokud definiční obor funkce \(y=x^2\) zúžíme na nezáporná čísla, tj. požadujeme \(x\geq 0\), je taková funkce prostá a má inverzní funkci. Protože tato úloha má praktický význam, vyplatí se pro tuto inverzní funkcí zavést speciální označení. Jak dobře víme, inverzní funkcí je druhá odmocnina, tj. funkce \(y=\sqrt x\).

Vlastnosti funkcí jedné proměnné (parita)

V následující definici se budeme zajímat o to, jestli existuje nějaký vztah mezi funkční hodnotou v bodě \(x\) z definičního oboru a v bodě opačném.

Definice (parita funkce).

Nechť funkce \(f\) splňuje následující podmínku: \(x\in\mathrm{Dom}(x)\implies (-x)\in\mathrm{Dom}(f)\).

Graf sudé funkce je osově souměrný podle osy \(y\). Graf liché funkce je středově souměrný podle bodu \([0,0]\).

Sudé a liché funkce jsou, díky svým vlastnostem, v jistém smyslu pěkné. V matematice se často snažíme zapsat nějaký objekt pomocí podobných pěkných objektů. Uvidíme toto například později při popisu deformace. Jako ukázku přístupu si můžeme už teď ukázat následující snadnou (a pravděpodobně málo užitečnou) větu.

Věta (o rozkladu funkce na součet sudé a liché funkce).

Platí \[f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}2 + \frac{f(x)-f(-x)}2.\] Každou funkci definovanou na \((-\infty,\infty)\) je možné takto rozložit na součet sudé a liché funkce.

Příklad. Pro funkci \(f(x)=e^x\) dostáváme \[e^x=\frac{e^x+e^{-x}}2-\frac{e^x-e^{-x}}2.\] Dvě funkce na pravé straně mají význam v aplikacích a nazývají se hypebolický kosinus, \(\cosh x\), a hyperbolický sinus, \(\sinh x\).

Příklad. Je-li funkce \(f(x)\) polynom, potom rozkladem na sudou a lichou část dostaneme polynomy, které jsou tvořeny členy původního polynomu tak, že sudá část obsahuje právě členy se sudým exponentem a lichá část právě členy s lichým exponentem.

Vlastnosti funkcí jedné proměnné (monotonie)

V následující definici jsou nejdůležitější pojmy rostoucí a klesající funkce. Názorně řečeno, jsou to funkce které zachovávají (rostoucí) nebo obracejí (klesající) směr nerovnosti při aplikaci funkce na obě strany nerovnice.

Definice (monotonie funkce).

Nechť \(f\) je funkce a \(M\subseteq \mathrm{Dom}(f)\) podmnožina definičního oboru funkce \(f\).

Nespecifikujeme-li množinu \(M\), máme na mysli, že uvedená vlastnost platí na celém definičním oboru funkce \(f\).

Poznámka (monotonie z hlediska řešitelnosti nerovnic).

Je-li funkce \(f\) rostoucí nebo klesající, je i prostá a nerovnice uvedené v předchozí definici jsou dokonce ekvivalentní. Můžeme tedy na obě strany nerovnice aplikovat tutéž rostoucí funkci, nebo rostoucí funkci z obou stran nerovnice vynechat.

Tyto poučky použijeme vždy, když rozvažujeme, zda můžeme k oběma stranám nerovnice přičíst stejné číslo (můžeme), zda můžeme obě strany nerovnice vynásobit stejným nenulovým číslem (můžeme, ale pokud násobíme záporným číslem, obrací se směr nerovnosti), zda můžeme obě strany nerovnice logaritmovat logaritmem o stejném základě (můžeme, ale v případě logaritmu a základě menším než \(1\) se obrací směr nerovnosti), umocnit (nemůžeme, leda bychom měli dodatečnou informaci například o tom, že obě strany nerovnice jsou kladné nebo obě strany nerovnice jsou záporné) apod. Takových situací je mnoho a protože není v lidských silách si všechny pamatovat, stačí je míst spojeny s definicí rostoucí a klesající funkce.

Příklad. Funkce \(\ln x\) a \(\sqrt x\) jsou rostoucí a proto z nerovnic \[\ln x>\ln 6\] a \[\sqrt x>\sqrt 6\] plyne \[x>6.\] Zejména v druhém případě je nutné si uvědomit, že používáme definici rostoucí funkce a poznámku připojenou za tuto definici. Nestačí říct, že umocňujeme obě strany nerovnice, jak by někdo mohl tento krok dezinterpretovat. Umocněním obou stran nerovnice se obecně může změnit obor pravdivosti, proto tato operace u nerovnic není povolena. My máme speciální případ nerovnice s nezápornými stranami.

Příklad. Funkce \(\frac 1x\) a \(y=x^2\) nejsou ani rostoucí ani klesající a proto z žádné z nerovností \[\frac 1x \leq \frac 15\] a \[x^2 \leq 5^2\] neplyne ani \(x\leq 5\) ani \(x\geq 5\).

Příklad. Funkce \(\sqrt x\) nabývá nezáporných hodnot a funkce \(\frac 1x\) je klesající na \((0,\infty)\). Proto z nerovnosti \[\frac 1{\sqrt x} \leq \frac 15\] plyne \[\sqrt x\geq 5=\sqrt {25}.\] Druhá mocnina je na intervalu \((5,\infty)\) rostoucí a proto odsud plyne dále \[x\geq 25.\]

Funkce více proměnných

Funkce má na vstupu více proměnných, na výstupu reálné číslo. Některé pojmy, jako například monotonie, ztrácejí ve světě funkcí více proměnných smysl, například monotonie nebo inverzní funkce. Proměnné značíme pomocí jejich fyzikálního označení. Bez fyzikálního kontextu zpravidla používáme funkce dvou, tří, nebo \(n\) proměnných v následujícím tvaru.

Vektorové funkce

Výstupem funkce je vektor. Vstupem je buď reálné číslo (funkce jedné proměnné), nebo vektor. V prvním případě se jedná o parametrickou křivku v rovině nebo v prostoru, ve druhém případě bývá zpravidla na vstupu stejný počet veličin jako na výstupu a jedná se o vektorové pole (každému bodu v rovině je přiřazen rovinný vektor, každému bodu v prostoru je přiřazen prostorový vektor). Vektory zapisujeme pomocí jejich komponent následovně. \[\vec F=(P,Q,R)=P\vec i+Q\vec j+R\vec k = P\vec e_1+Q\vec e_2+R\vec e_3\]

Koncept (různé pojetí rychlosti)

Rychlost chápeme v různých kontextech. Podle kontextu se mění i jednotky, ve kterých rychlost určujeme. Zdroj: pixabay.com

Rychlost chápeme v různých kontextech. Podle kontextu se mění i jednotky, ve kterých rychlost určujeme. Zdroj: pixabay.com

Koncept (průměrná rychlost a okamžitá)

Průměr za kratší interval dává podrobnější informaci. Zdroj: pixabay.com

Průměr za kratší interval dává podrobnější informaci. Zdroj: pixabay.com

Průměrnou rychlost určujeme tak, že změnu sledované veličiny přepočteme na jednotku času (u závislosti na čase), délky (u závislosti na poloze) nebo obecně na jednotku veličiny, na které sledovaná veličina závisí.

Průměrná rychlost s jakou se mění funkce \(f\) na intervalu \([x,x+h]\) je dána vztahem \[\frac{f(x+h)-f(x)}h.\]

Průměrná rychlost pracuje jenom s informací v koncových bodech intervalu a proto bohužel neobsahuje informaci, co přesně se děje uvnitř intervalu, přes který průměrujeme. Počítáme-li ale průměr přes stále kratší interval, nevýhoda průměrné rychlosti mizí. Cílem je počítat průměr přes interval prakticky nerozlišitelný od nuly. To by dalo okamžitou rychlost. Numerický experiment ukazuje, že u některých funkcí toto funguje pěkně, u některých bohužel ne.

Pokud průměrujeme za stále kratší čas, čitatel i jmenovatel se blíží k nule a jsou potíže s interpretací zlomku. Nulou totiž není možné dělit. Musíme vytvořit koncept, který umožní sledovat, co se děje s funkčními hodnotami funkce, pokud se vstupními daty jdeme "na krev" ke kraji definičního oboru.

K vyřešení problému použijeme pojem limita na další přednášce. Výsledkem je pojem derivace představený ve cvičení v tomto týdnu.