Deska s nekonstantní plošnou hustotou, https://www.flickr.com/photos/svacher, licence CC BY-NC-ND 2.0
V praxi pracujeme s řadou veličin, které se počítají tak, že se parametr systému násobí obsahem.
Je však otázka, jak tento přístup použít v případě, že daný parametr není po celé ploše na které je rozložen konstantní. Deska může být nehomogenní, nádrž nemusí mít vodorovné dno a ponořená deska nemusí mít všechny své části ve stejné hloubce.
Řešení této nesnáze je použití dvojného integrálu, který si nyní představíme.
Deska s nekonstantní plošnou hustotou, https://www.flickr.com/photos/svacher, licence CC BY-NC-ND 2.0
Nádrž s proměnnou hloubkou, https://www.pixabay.com
Průtok potrubím je ovlivněn tím, že u stěny teče tekutina pomaleji než ve středu, potrubí na Aljašce, https://www.pixabay.com
Uvažujme plošný materiál (desku) s danou plošnou hustotou. Budeme se snažit vypočítat hmotnost.
V limitním přechodu kdy rozměry všech kousků na něž je deska dělena jde k nule dostáváme dvojný integrál \[ \iint_\Omega f(x,y)\mathrm{d}x \mathrm{d}y , \] kde \(\Omega\) je oblast v rovině \((x,y)\) definovaná uvažovanou deskou. V aplikacích je častý též zápis \[ \iint_\Omega f(x,y)\mathrm{d}A\] nebo \[ \iint_\Omega f(x,y)\mathrm{d}S.\]
Dvojný integrál je odvozen (tak jako všechny integrály) pro aditivní veličiny a proto se "dobře snáší" se sčítáním (ať už integrovaných funkcí, nebo integračních oborů) a s násobení integrované funkce konstantou. Přesněji, platí následující věty.
Věta (linearita dvojného integrálu).
Buď \(f_1\), \(f_2\) funkce integrovatelné v \(\Omega\) a \(c_1\), \(c_2\) libovolná reálná čísla. Platí \[ \iint_{\Omega} \bigl[c_1f_1(x,y)+c_2f_2(x,y)\bigr]\mathrm dx\mathrm dy = c_1\iint_{\Omega} f_1(x,y)\mathrm dx\mathrm dy+ c_2\iint_{\Omega} f_2(x,y)\mathrm dx\mathrm dy \]
Věta (aditivita vzhledem k oboru integrace).
Nechť je množina \(\Omega\) rozdělena na dvě oblasti \(\Omega_1\) a \(\Omega_2\), které mají společné nejvýše hraniční body. Platí \[ \iint_\Omega f(x,y)\mathrm dx\mathrm dy= \iint_{\Omega_1} f(x,y)\mathrm dx\mathrm dy+ \iint_{\Omega_2} f(x,y)\mathrm dx\mathrm dy. \]
V závislosti na tom, jakými nerovnostmi množinu \(\Omega\) definujeme, můžeme pro výpočet dvojného integrálu použít následující věty. Tyto věty udávají, jak je možno dvojný integrál přepsat jako dva iterované integrály funkce jedné proměnné, tzv. dvojnásobný integrál. Mají název Fubiniovy věty.
Věta (převod dvojného integrálu na dvojnásobný).
Nechť \(f\) je funkce spojitá v uzavřené oblasti \[ \Omega=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:{a\leq x\leq b}\text{ a } {\varphi (x)\leq y\leq \psi (x)}\}.\] Potom \[ \iint_{\Omega}f(x,y)\mathrm{d}x \mathrm{d}y ={\int_{a}^{b}} \Bigl[ \int_{\varphi (x)}^{\psi(x)} f(x,y){\mathrm{d}y }\Bigr]{\mathrm{d}x }. \]
Oblast mezi funkcemi proměnné \(x\).
Věta (převod dvojného integrálu na dvojnásobný).
Nechť \(f\) je funkce spojitá v uzavřené oblasti \[ \Omega=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:{a\leq y\leq b}\text{ a } {\varphi (y)\leq x\leq \psi (y)}\}. \] Potom \[ \iint_{\Omega}f(x,y)\mathrm{d}x \mathrm{d}y ={\int_a^b}\Bigl[ {\int_{\varphi (y)}^{\psi(y)}} f(x,y){\mathrm{d}x }\Bigr]{\mathrm{d}y }. \]
Oblast mezi funkcemi proměnné \(y\).
Často je možné oblast integrace zapsat pomocí obou možností uvedených na předchozích slidech. Například oblast na obrázku je možno zapsat buď jako \[\begin{gathered} 0\leq x \leq 2\\ 0\leq y\leq x^2 \end{gathered}\] nebo \[\begin{gathered} 0\leq y \leq 4\\ \sqrt{y}\leq x\leq 2. \end{gathered}\]
Pro integrál funkce \(f(x,y)\) přes takovou množinu tedy máme dvě alternativy: \[\int_0^2 \int _0^{x^2} f(x,y)\;\mathrm{d}y\;\mathrm{d}x\] a \[\int_0^4 \int _{\sqrt y}^{2} f(x,y)\;\mathrm{d}x\;\mathrm{d}y.\]
Všimněte si, že nestačí prosté prohození integrálů. Je nutno přepočítávat meze a hraniční křivky je nutno vyjádřit jednou jako funkce proměnné \(x\) a jednou jako funkce proměnné \(y\). V důsledku tohoto dochází v průběhu výpočtu dvěma různými způsoby k tomu, že pracujeme se dvěma různými integrály. Výsledky jsou stejné, nemusí však být dosažitelné srovnatelnou námahou, jedna z cest může být snazší.
Oblast, pro kterou jsou možná obě pořadí integrace.
Výše uvedené problémy se stanovením a případným přepočítáváním mezí při záměně pořadí integrace se nevyskytují při integrování přes obdélníkovou oblast.
Věta (dvojný integrál na obdélníkové množině).
Nechť \(R=[a,b]\times[c,d]\) je uzavřený obdélník v \(\mathbb{R}^2\) a \(f\) funkce definovaná a spojitá na \(R\). Pak platí \[ \begin{aligned}\iint_R f(x,y)\mathrm{d}x \mathrm{d}y &= \int_a^b\Bigl[\int_c^d f(x,y)\mathrm{d}y \Bigr]\mathrm{d}x \\&= \int_c^d\Bigl[\int_a^b f(x,y)\mathrm{d}x \Bigr]\mathrm{d}y .\end{aligned} \]
Platí-li dokonce rovnost \(f(x,y)=g(x)h(y)\), pak \[ \iint_R f(x,y)\mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int_a^b g(x) \mathrm{d}x \int_c^d h(y)\mathrm{d}y . \]
Integrál přes obdélník.
Posvátná hora Japonska. Objem se dá určit pomocí obsahů vrstevnic.
Dřevostavba realizovaná pomocí I-nosníků. I-nosníky mají vysoký kvadratický moment při nízké spotřebě materiálu. Proto jsou tuhé a silné i při nízké hmotnosti. Ve strojařině se používají odedávna, první dřevostavba z nosníků tohoto typu byla v ČR realizována 2011. Zdroj: https://www.taus.eu
Tuhost a nosnost nosníků nebo podpěr souvisí s kvadratickým momentem průřezu. Zdroj: pixabay.com
Poloviční poloměr znamená u homogenního materiálu šestnáctkrát menší tuhost. Tedy jenom šest procent původní tuhosti! U stromu je tento poměr ještě horší díky různým druhům dřeva uprostřed a na kraji. Vánoční strom pro Prahu na Vánoce 2019. Zdroj: Taiko, Pražský deník
Tuhost (odolnost vůči deformaci) pro nosník obdélníkového průřezu o výšce \(b\) a šířce \(a\) je dána kvadratickým momentem obdélníkového průřezu vzhledem k vodorovné ose procházející těžištěm. \[\begin{aligned}I_x&= \iint_{\left[-\frac a2,\frac a2\right]\times \left[-\frac b2,\frac b2\right]} y^2\,\mathrm dx\mathrm dy\\ &= \int_{-\frac a2}^{\frac a2} \,\mathrm dx\int_{-\frac b2}^{\frac b2} y^2 \,\mathrm dy= a\left[\frac 13 y^3\right]_{-\frac b2}^{\frac b2} =\frac 1{12}ab^3 \end{aligned} \] Odsud máme okamžitě několik pozorování
Uvažujme množinu \(M\) s jednotkovou plošnou hustotou, rozdělenou na dvě disjunktní části \(M_1\) a \(M_2\). Tyto množiny mají \(x\)-ovou polohu těžiště v bodě \[x_{0i}=\frac1{S_i}{\iint_{M_i}x\,\mathrm dx\mathrm dy}, \qquad S_i=\iint_{M_i}\,\mathrm dx\mathrm dy,\qquad i=1,2.\] Poloha těžiště není aditivní veličinou. Dvojný integrál však aditivní veličinou je. Platí \[ \begin{aligned} \iint _{M} x\,\mathrm dx\mathrm dy&=\iint _{M_1} x\,\mathrm dx\mathrm dy + \iint _{M_2} x\,\mathrm dx\mathrm dy\\ &=S_1 x_{01} + S_2 x_{02} \end{aligned} \] a těžiště množiny \(M\) je \[ \begin{aligned} x_0&=\frac 1{S_1+S_2}\iint _{M} x\,\mathrm dx\mathrm dy\\ &=\frac 1{S_1+S_2}(S_1 x_{01} + S_2 x_{02})\\ &=\frac {S_1 x_{01} + S_2 x_{02}}{S_1+S_2}. \end{aligned} \] Totéž je možné provést pro \(y\)-ovou souřadnici, nebo pro libovolný konečný počet částí. Podobně je možné odvodit vzorec s obecnou nekonstantní plošnou hustotou. Poloha těžiště složeného obrazce je tedy váženým průměrem těžišť jednotlivých složek, kde váha každé složky je určena její hmotností. Protože se jedná o vážený průměr, tj. vlastně o lineární kombinaci bodů, kdy součet koeficientů je roven jedné, okamžitě vidíme, že těžiště složeného obrazce je na úsečce mezi těžišťmi jednotlivých částí.
Zobecnění výše uvedených myšlenek na množinu rozdělenou na více částí je již snadné.
Nechť je dána množina \(M\) s plošnou hustotou \(\sigma(x,y)\). Ukážeme, že vzhledem k ose procházející těžištěm je nejmenší moment setrvačnosti. Ukážeme si dále, že pomocí momentu setrvačnosti vzhledem k ose procházející těžištěm je možné vyjádřit momenty setrvačnosti i k libovolným rovnoběžným osám. Pro jednotkovou plošnou hustotu dostáváme jako speciální případ vzorce pro kvadratický moment, důležité ve statice.
Nechť \(m=\iint \sigma(x,y)\,\mathrm dx\mathrm dy\), \(y_0=\frac 1{m}\iint_M y\sigma(x,y)\,\mathrm dx\mathrm dy\) a \(I_{xT}=\iint_M (y-y_0)^2\sigma(x,y)\,\mathrm dx\mathrm dy\) jsou hmotnost, \(y\)-ová poloha těžiště a moment setrvačnosti vzhledem k ose jdoucí těžištěm rovnoběžně s osou \(x\). Moment setrvačnosti vhledem k ose \(x\) je \[I_{x0}=\iint y^2\sigma(x,y)\,\mathrm dx\mathrm dy.\] Platí (píšeme zkráceně \(\sigma\) místo \(\sigma(x,y)\)) \[\begin{aligned} I_{xT}&=\iint_M (y-y_0)^2\sigma\,\mathrm dx\mathrm dy\\ &=\iint_M (y^2-2yy_0+y_0^2)\sigma\,\mathrm dx\mathrm dy\\ &=\iint_M y^2\sigma\,\mathrm dx\mathrm dy -2y_0 \iint_M y\sigma\,\mathrm dx\mathrm dy +y_0^2 \iint_M \sigma\,\mathrm dx\mathrm dy\\ &=I_{x0} -2y_0 m y_0 + y_0^2 m \\ &=I_{x0} -m y_0^2. \end{aligned} \] Odsud dostáváme \[I_{x0}=I_{xT}+my_0^2,\] což lze interpretovat tak, že moment setrvačnosti vhledem k ose \(o\) je součtem momentu setrvačnosti vzhledem k ose procházející těžištěm rovnoběžně s \(o\) a momentu setrvačnosti hmotného bodu ležícího v těžišti množiny a o stejné hmotnosti jako je hmotnost množiny vzhledem k ose \(o\).
Bobři v ZOO v Brně jsou za skleněnou stěnou obdélníkového tvaru.
Vzorec pro tlakovou sílu \(F=pS\) není možné použít například pro výpočet celkové síly působící na svislou stěnu nebo hráz, protože tlak \(p\) se mění s hloubkou a není tedy konstantní na celém průřezu o obsahu \(S\). Pro obdélníkovou stěnu jsme úlohu vyřešili (viz Mojžíšův most) pomocí integrálu, pro stěnu obecného tvaru použijeme integrál dvojný.
Uvažujme svislou rovinnou hráz \(M\). Hrází je přitom myšlena rovinná množina s jednotkovou plošnou hustotou, ne postavený trojrozměrný objekt. Počátek kartézské soustavy souřadnic volíme u hladiny, osa \(y\) směřuje dolů, osa \(x\) vodorovně. Tlak v hloubce \(y\) je roven \(p=y\rho g\), kde \(\rho\) je hustota vody a \(g\) tíhové zrychlení. Na plochu o rozměrech \(\Delta S\) v hloubce \(y\) působí tlaková síla \[\Delta F=y\rho g \Delta S.\] Tato tlaková síla má ve všech bodech hráze stejný směr a celkovou sílu na hráz je možno zjistit sečtením sil v jednotlivých bodech. Podobná myšlenková úvaha jako v úvodu pro hmotnost desky, nebo přesný matematický popis, nás dovedou k tomu, že celková síla na hráz je dána integrálem \[F=\iint _M y\rho g \,\mathrm d x\mathrm dy.\] Protože \(g\) a \(\rho\) jsou konstanty, je možno psát \[F=\rho g\iint _M y \,\mathrm d x\mathrm dy.\] Využijeme-li vzorec pro \(y\)-ovou souřadnici těžiště, má výsledný vztah tvar \[F=\rho g y_0 S,\] kde \(S\) je obsah hráze. Formálně tento vztah odpovídá vzorci \[F=p_0 S,\tag{H1}\label{H1}\] kde \(p_0=\rho g y_0\) je tlak v těžišti. Proto v praxi stačí znát těžiště hráze a pro výpočet síly na hráz použít celkovou plochu hráze a tlak v těžišti. Protože jsme pracovali s obecnou množinou \(M\), není tento poznatek nijak vázán na konkrétní tvar hráze. Musí být však splněna podmínka, že všechny body hráze leží v jedné rovině.
Ve výpočtu výše jsme uvažovali svislou rovinu, ale zobecnění na šikmou rovinu je snadné. Stačí opravit vztah pro hloubku, protože když svislou množinu i s kartézskými souřadnicemi pootočíme okolo osy procházející hladinou, hloubka všech bodů se sníží faktorem \(\sin \alpha\), kde \(\alpha\) je úhel mezi vodorovnou hladinou a rovinou hráze. Formálně tato operace dopadne stejně, jako kdybychom tekutinu nahradili tekutinou s hustotou \(\sin\alpha\)-krát nižší. Protože však vztah \(\eqref{H1}\) nezávisí na hustotě, nic se na něm nezmění. Také zobecnění na několik rovin je snadné. Zobecnění na zakřivenou plochu je náročnější a vyžaduje jiný typ integrálu.
V předchozím textu jsme proměnnou veličinu popisující tlak na hráz jako funkci hloubky nahradili konstantní veličinou, udávající tlak v těžišti. Výsledný účinek na hráz se nezměnil. To je přesně smysl střední hodnoty. V matematických pojmech je možno říci, že střední hodnota tlaku na svislou hráz je rovna tlaku v těžišti hráze. (Protože hrází myslíme spíše rovinnou plochu, tak by přesnější terminologie měla používat raději pojem geometrický střed. Budeme se však držet ustálené terminologie.)
Nikde ve výpočtu jsme nepoužili konkrétní meze pro integraci. Výsledek tedy platí nejenom pro hráz dosahující k hladině, ale například i pro poklop výpusti, který je celý pod vodou.
Budeme pokračovat v předchozím příkladě a hledat působiště výsledné tlakové síly.
Tlaková síla působící na svislou hráz má celkový nulový moment vzhledem k ose proházející působištěm. Je-li hráz definována množinou \(M\) a je-li \(y_c\) působiště výsledné tlakové síly, je v hloubce \(y\) tlak na plošku o velikosti \(\Delta S\) roven \(y\rho g \Delta S\) a součin \((y_c-y)y\rho g\Delta S\) je příspěvek k otáčivému momentu vzhledem k ose, procházející vodorovně působištěm tlakové síly. Součet všech těchto příspěvků se nuluje, tedy musí platit \[\iint_M (y_c-y)y\rho g\,\mathrm dx\mathrm dy=0.\] Odsud po vydělení konstantami \(\rho g\) dostáváme \[\iint_M (y_c-y)y\,\mathrm dx\mathrm dy=0\] a po roznásobení závorky, rozdělení integrálu na dva a vytknutí konstanty \[y_c\iint_M y\,\mathrm dx\mathrm dy = \iint_M y^2\,\mathrm dx\mathrm dy.\] Nyní již snadno dostaneme výsledný vztah \[y_c=\frac{\iint_M y^2\,\mathrm dx\mathrm dy}{\iint_M y\,\mathrm dx\mathrm dy}.\tag{H2}\label{H2}\] Pokud je množina \(M\) obdélník, je možné ji (po vhodné změně jednotek) brát jako jednotkový čtverec. Protože platí \[\iint_{[0,1]\times [0,1]}y\,\mathrm dx\mathrm dy=\frac 12, \quad \iint_{[0,1]\times [0,1]}y^2\,\mathrm dx\mathrm dy=\frac 13, \] dostáváme \(y_c=\frac{\frac 13}{\frac 12}=\frac 23\) a působiště na obdélníkovou hráz je v hloubce odpovídající dvěma třetinám celkové hloubky.
Formálně vztah pro \(y_c\) odpovídá vztahu pro těžiště množiny s plošnou hustotou \(y\). Na tomto pozorování a na skutečnosti, že u pravidelných množin umíme těžiště najít geometricky, je založena metoda nalezení působiště tlakové síly pomocí zatěžovacího obrazce.
Kvadratický moment v čitateli zlomku \(\eqref{H2}\) vyjadřujícího \(y_c\) je často výhodnější rozepsat pomocí Steinerovy věty. Ve jmenovateli je součin obsahu \(S\) a \(y\)-ové souřadnice těžiště \(y_0\). Tím dostaneme \[y_c=\frac{I_{x0}+Sy_0^2}{Sy_0}=\frac{I_{x0}}{Sy_0}+y_0,\] kde \(I_{x0}\) je kvadratický moment vzhledem k ose procházející vodorovně těžištěm. Působiště tlakové síly \(y_c\) je tedy posunuto směrem dolů od těžiště \(y_0\) o hodnotu odpovídající kvadratickému momentu vzhledem k vodorovné ose těžištěm \(I_{x0}\) vyděleném součinem obsahu hráze \(S\) a \(y\)-ové polohy těžiště \(y_0\).