Ocelové mozky z Braunschweigu

K. F. Gauss, geniální počtář pocházel ze stejného města jako kalkulátory Brunsviga

Ocelové mozky které se nikdy neunaví — to byl reklamní slogan kalkulátorů vyráběných v Německu na jihovýchodě spolkové země Dolní Sasko, v městečku Braunschweig. V putování historií mechanických kalkulátorů se pojďme podívat do tohoto městečka, které je trvale zapsáno v paměti matematiků jako rodiště Karla Friedricha Gausse, knížete matematiků, fenomenálního matematika, astronoma a počtáře, který žil a pracoval na přelomu 18. a 19. století. O Gaussovi a jeho počtářských schopnostech koluje mnoho legend o kterých se dnes již těžko dozvíme, do jaké míry jsou pravdivé a do jaké míry jsou smyšlené. Jistotou však je, že v roce 1801 Gasuss ohromil celý vědecký svět tím, že dokázal to co bylo považováno za nemožné: na základě tří pozorování planetky Ceres, která byla objevena v lednu 1801 a po pár dnech zmizela v záři slunečního kotouče, propočítal dráhu planetky a předpověděl, kde se planetka bude nacházet koncem roku. Na jím předpovězeném místě tato planetka byla skutečně objevena. Planetka Ceres nás zajímá i dnes: v roce 2015 k ní dorazila průzkumná sonda a můžeme se těšit na objevy, které vědci analýzou pozorování učiní, ale to je úplně jiná historie. Nás budou zajímat matematické výpočty. Těch musel kníže matematiků kvůli vypočítání dráhy planetky Ceres udělat opravdu hodně. Je velkou škodou, že si práci nemohl usnadnit použitím mechanických kalkulátorů, které se začaly vyrábět v Gaussově rodišti až patnáct let po jeho smrti.

Brunsviga, veleúspěšný klon Odhnerova kalkulátoru

Kalkulátor Brunsviga z 50. let

V roce 1892 zakoupila firma Grimme, Natalis & Co sídlící v Braunschweigu licenci k výrobě Odhnerova kalkulátoru a začala jej vyrábět a dále rozvíjet pod názvem Brunsviga. Tato větev kalkulátorů byla velice inovativní a úspěšná. Proto se firma ve dvacátých letech dvacátého století přejmenovala podle svého úspěšného výrobku na Brunsviga Maschinenwerke. Úspěch kalkulátorů Brunsviga je spojen především se jménem hlavního konstruktéra Franze Trinkse. Tento inženýr vedl vývoj kalkulátorů Brunsviga od prvních krůčků v roce 1892 až do svého odchodu do důchodu roku 1926. Během svého působení zavedl řadu vylepšení (získal 40 patentů a čestný doktorát):

1. Zúžil kalkulátor přesunutím počítadla otáček, které nenechal vyčnívat po straně, ale umístil ho napevno do horní části přístroje. (US Patent 975180 z roku 1907)
2. Přidal přenos přes desítku nejenom ve výsledkovém registru, ale i v počítadle otáček, což umožnilo zrychlit některé výpočty a další výpočty provádět bez nutnosti zapisovat mezivýsledky. Registr otáček obsahoval dvě sady cifer, mezi kterými se dle kontextu výpočtu přepínalo automaticky.
3. Osadil kalkulátor i systémem zpětného přenosu výsledku výpočtu do vstupního registru. Tato vlastnost byla neocenitelná pro uživatele, kteří násobili trojice čísel — například stavební inženýři při výpočtu objemů. Jejich práce se zjednodušila a eliminovalo se nebezpečí chyby.

Když v roce 1926 odcházel Franz Trinks do důchodu, zanechával po sobě vyspělý kalkulátor, který se vyráběl a úspěšně prodával i s minimem dalších inovací ještě v padesátých letech dvacátého století.

Slavné osobnosti vědeckého světa spojené s Brunsvigami

Reklama na kalkulátory Brunsviga

Ke svému rodákovi, Gaussovi, se firma znala a použila jeho podobiznu na plakátku s již zmíněným reklamním sloganem o ocelovému mozku, který se nikdy neunaví. Pokud jste na tomto plakátku knížete matematiků nepoznali, není to až taková ostuda — je to jedno z mála vyobrazení, kde Gaussovi chybí jeho typická pokrývka hlavy.

Brunsviga Enrica Fermiho

Firma Brunsviga velmi myslela na pohodlí a přání zákazníků. Není divu, že díky inovativnosti Brunsvigy si právě tuto značku oblíbily i největší autority tehdejšího vědeckého světa. Kalkulátor Brunsviga používal italský fyzik Enrico Fermi, průkopník atomového věku. Měl jej vždy po ruce i v Los Alamos kde během druhé světové války pracoval v projektu Manhatan na výrobě americké atomové bomby.

Jiným známým uživatelem byl Leslie Comrie, novozélandský astronom, průkopník numerické matematiky a průkopník použití strojů určených obchodníkům a ekonomům pro vědecké výpočty. Jeho počiny obsahovaly například první použití děrnoštítkového počítače pro vědecké výpočty, nebo série článků zaměřených na využití některých vyspělých kalkulátorů Brunsviga při matematických výpočtech.

Praktické příklady

Zanechejme povídání a podívejme se na konkrétní výpočty. Všechny bude podtrhovat stejná linie — lineární funkce.

Příklad 1. V tabulkách funkce sinus najdeme $\sin (0.704)=0.64727$ a $\sin (0.705)=0.64803$. Chceme nalézt $\sin (0.70432)$ lineární interpolací. Tedy chceme dvěma zadanými body proložit přímku a najít funkční hodnotu v bodě $0.70432$. K tomu je nutno vypočítat výraz $$\sin (0.70432)\approx (1-0.32)\cdot 0.64727+0.32\cdot 0.64803.$$ Budeme počítat $$\sin (0.70432)\approx 1.00\cdot 0.64727-0.32\cdot 0.64727+0.32\cdot 0.64803.$$

• 

  Vstupní registstr, nastavení před výpočtem. Počítadlo otáček a výsledkový registr jsou vynulovány.

• 

  První člen ve výsledkovém registru.

• 

  Vynulovaný registr otáček

• 

  Registr otáček po odečtení druhého člene (červené číslo 32)

• 

  Mezivýsledek po odečtení druhého člene

• 

  Přenastavení vstupního registru pro přičtení posledního členu

• 

  Vynulovaný registr otáček pro přičtení posledního členu

• 

  Registr otáček po přičtení posledního člene

• 

  Výsledek. Protože vstupní data byla na pět desetinných míst, další desetinná místa neuvažujeme.

Vychází $$\sin (0.70432)\approx 0.64751.$$ Kalkulátor sice ukazuje více desetinných míst, vzhledem k přesnosti vstupních údajů však nelze očekávat lepší přesnost než na pět desetinných míst. Přesnější hodnota na více desetinných míst je $0.64751578389$, jedná se tedy o velmi dobrou shodu.

Příklad 2. Při dvourozměrné analýze metodou nejmenších čtverců, kterou mimochodem zavedl již zmiňovaný kníže matematiků Karl Friedrich Gauss, často používáme lineární regresi. K tomu je (mimo jiné) nutné provést výpočet součtů $\sum x_i$, $\sum x_i{y}_i$, $\sum x_i^2$.

U souboru hodnot z tabulky vypočteme všechny tři součty současně. Ve vstupním registru vlevo nastavíme hodnotu $x$, vpravo $y$ a ani počítadlo otáček ani výstupní registr nebudeme nulovat. Postupně projdeme všechny body našeho souboru, nastavené hodnoty vždy vynásobíme právě zpracovávaným číslem $x$. Ve výstupním registru se automaticky vytvoří příslušné součty $\sum x_i^2=10.58$ a $\sum x_i{y}_i=205.3$. Součet $\sum x_i=7.2$ se akumuluje v počítadle otáček. Využíváme toho, že Brunsviga má v počítadle otáček přenos čísla do vyšších řádů, přes desítku. Mírnou nevýhodou je, že otáčky při jednotlivých operacích budeme musíme počítat sami v hlavě.

• 

  Před výpočtem (vynulované výsledkové registry a počítadla otáček, $x_1$ a $y_1$ jsou nastavena ve vstupním registru)

• 

  Po zpracování prvního bodu (vynásobení číslem $1.2$)

• 

  Po zpracování druhého bodu

• 

  Po zpracování třetího bodu

• 

  Po zpracování čtvrtého bodu

• 

  Po zpracování všech bodů

• 

  Po zpracování všech bodů, detail počítadla otáček

Podobně je možno záměnou rolí proměnných $x$ a $y$ vypočítat součty $\sum y_i$, $\sum y_i^2$ a ještě jednou pro kontrolu $\sum x_i{y}_i$. Po takových výpočtech jíž máme k dispozici všechna data pro proložení přímky datovým souborem pomocí metody nejmenších čtverců.

Příklad 3. Zkusme hledat čísla $x$, $y$ vyhovující soustavě rovnic $$\begin{array}{rl}y& =2.3+1.6x\\ y& =3.1+0.9x.\end{array}$$ Geometricky tedy hledáme průnik dvou přímek definovaných těmito rovnicemi. Vlevo na kalkulátoru nastavíme ve výstupním registru $2.3$, vpravo $3.1$. K těmto číslům budeme přičítat násobky čísel $1.6$ a $0.9$, proto tato čísla nastavíme ve vstupním registru. Teď stačí vynulovat počítadlo otáček a posouvat registr a točit klikou tak dlouho, dokud nebudou v obou polovinách výsledkového registru co nejpodobnější čísla. Tato společná hodnota bude $y$-ová souřadnice průsečíku, na počítadle otáček uvidíme $x$-ovou souřadnici.

• 

  Začátek výpočtu s nastaveným vstupním a výsledkovým registrem a vynulovaným počítadlem otáček

• 

  Konec výpočtu. V levé i pravé části výsledkového registru se čísla liší až v poslední cifře ($4.12864$ a $4.12861$)

• 

  Detail počítadla otáček na konci výpočtu ($1.1429$).

Našli jsme řešení $x=1.1429$ a $y=4.1286$. Dnešní počítače ve zlomku vteřiny vypočtou $x\approx 1.14286$ a $y\approx 4.12857$.

Brunsviga Twin ve vojenství

Dvojitá Brunsviga

Dvojitý Marchant

Dvojitý Marchant v armádním výpočetním středisku

Dvojitá Brunsviga z 50. let

Poslední uvedený výpočet, výpočet průsečíku dvou přímek, našel důležité uplatnění v armádě. Nepřátelské stanoviště bylo pozorováno ze dvou míst o známých souřadnicích. Souřadnice těchto dvou míst a odpovídající směry k nepříteli definovaly dvě přímky. Nalezením průsečíku přímek byly vypočteny souřadnice nepřítele. Pouze velmi přesný výpočet však umožnil přesné nastavení palby. Proto bylo v praxi nutno provádět tak, abychom měli k dispozici co nejvíce desetinných míst. Při postupu podle Příkladu 3 nebylo možno požadované přesnosti dosáhnout. Díky tomu že výsledkový registr máme rozdělený na poloviny a navíc se posunuje, tak se po chvíli buď přestane dostávat počet desetinných míst, nebo výpočet z pravé poloviny začne kolidovat s výpočtem z poloviny levé. V našem příkladě jsme tuto kolizi oddálili tak, že jako vstupní data byla použita čísla s malým počtem cifer. Toto však nebylo reálné provádět v praktických aplikacích. Pro řešení úlohy přesného výpočtu souřadnic pro armádu byla zkonstruována dvojitá Brunsviga. Jednalo se o dva kalkulátory, které měly společnou kliku a počítadlo otáček. Kalkulátor obsahoval uprostřed přepínač, který umožnil volit, zda se mají obě poloviny otáčet ve stejném směru, nebo ve směru navzájem opačném.

Známá je historie dvojitých Brunsvig v britské armádě za druhé světové války. Ty byly bohužel ztraceny během nepříliš zdařilé evakuace Dunkerqu v roce 1940. Proto spojenci museli vyvinout vlastní dvojité počítače. Německá Brunsviga totiž byla továrna vyrábějící pro nepřítele. Úkol se podařilo vyřešit spojením dvou amerických kalkulátorů Marchant. Dvojitý Marchant zkonstruovaný z nouze spojením dvou jednoduchých kalkulátorů nad sebe se v britské armádě používal do začátku 60. let dvacátého století, kdy byl nahrazen modernějšími dvojitými Brunsvigami.

Odkazy

1. 1914 Brunsviga MA Midget German Pin-Wheel Calculating Machine by Kris obsahuje pěkný popis základních operací (pro odmocňování však existují lepší metody)
2. Inside a mechanical calculator by Joseph DiGiovanni obsahuje detailní ukázku a popis, jak to funguje uvnitř
3. John Wolf's Museum — Brunsviga
4. The "Twin Marchant" and its place in history, obsahuje informace o dvojitých Brunsvigách
5. Rechenmaschinen Illustrated

Robert Mařík, duben 2015