Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře Robert Mařík © 2007-2012 

5 Věty o spojitých funkcích

Jak jsem viděli výše, spojitost není definována, tak, jak si spojitou funkci běžně představujeme – jako funkci, kde nejsou skoky či nějaké podobné drastické změny funkčních hodnot, ale jako funkci, kde veškeré změny funkčních hodnot probíhají relativně pozvolna. Přesná definice však byla zcela odlišná od této představy.

Je tedy definice spojitosti pomocí limity přesně to, co si “běžně představujeme pod pojmem “spojitá čára v rovině” (funkce, kde nejsou žádné “dramatické změny”)?

Odpověď je poněkud překvapivá: Ne zcela. Český matematik B. Bolzano našel příklad funkce, která je spojitá na \( \displaystyle \mathbb{R}\), ale její graf se vůbec nedá nakreslit a proto se při studiu spojitých funkcí nelze v důkazech odvolávat na “zřejmé vlastnosti rovinných křivek”. Naštěstí, i když definujeme spojitost na první pohled složitě pomocí limity, ty nejpěknější vlastnosti zůstanou zachovány, jak ukazují následující důležité věty.

Věta 5.1 (Weierstrassova věta). !!! Nechť funkce \( \displaystyle f(x)\) je spojitá na uzavřeném intervalu \( \displaystyle [a,b]\). Potom je na tomto intervalu ohraničená a nabývá zde své největší a nejmenší hodnoty, tj. existují čísla \( \displaystyle x_{1},x_{2}\in [a,b]\) s vlastností \( \displaystyle f(x_{1})\leq f(x)\leq f(x_{2})\) pro všechna \( \displaystyle x\in [a,b]\).

Věta 5.2 (první Bolzanova věta). !!! Nechť funkce \( \displaystyle f(x)\) je spojitá na uzavřeném intervalu \( \displaystyle [a,b]\) a platí \( \displaystyle f(a)\cdot f(b) < 0\) (tj. \( \displaystyle f(a)\) a \( \displaystyle f(b)\) mají opačná znaménka). Pak funkce \( \displaystyle f(x)\) má na intervalu \( \displaystyle (a,b)\) nulový bod, tj. existuje číslo \( \displaystyle c\in (a,b)\) s vlastností \( \displaystyle f(c) = 0\).

Věta 5.3 (druhá Bolzanova věta). !!! Nechť funkce \( \displaystyle f(x)\) je spojitá na uzavřeném intervalu \( \displaystyle [a,b]\). Potom nabývá všech hodnot mezi svou nejmenší a největší hodnotou.

Poznámka 5.1. Předešlé věty mají jednoduchou grafickou interpretaci, jak je ukázáno na Obrázku 1.6.

Tvrzení vět jsou tedy zcela přirozená. Obrovskou zásluhou výše uvedených matematiků je mimo jiné fakt, že si uvědomili, že tyto věty nejsou žádnými snadnými důsledky definice spojitosti a je potřeba podat jejich přesný důkaz.


PSfrag-replacements
                a
                b
                x
                y
               x0
               y0
                c
                x
                y
               M
             koˇren
      horn´i hranice
      doln´i hranice
 absolutn´i minimum
 absolutn´i maximum

Obrázek 1.6: Funkce spojitá na \( \displaystyle [a,b]\).

Poznámka 5.2 (nelineární nerovnice). Bolzanova věta umožňuje řešit většinu nelineárních nerovnic. Podle Věty 5.2 totiž funkce může změnit znaménko jedině v bodě, kde je porušena její spojitost (= skokem), nebo v nulovém bodě (= graf protíná osu \( \displaystyle x\)). Řešíme-li tedy nerovnici \( \displaystyle f(x) > 0\), nalezneme nejprve body nespojitosti funkce \( \displaystyle f\) a nulové body této funkce, tj. řešení rovnice \( \displaystyle f(x) = 0\). Obě skupiny bodů vyneseme na reálnou osu a definiční obor se tímto rozpadne na několik podintervalů. Uvnitř každého z těchto intervalů platí buď \( \displaystyle f(x) > 0\) nebo \( \displaystyle f(x) < 0\). Která z těchto variant platí ve kterém z intervalů lze zjistit například postupným dosazováním reprezentantů z jednotlivých intervalů.


Podpořeno grantem 99/2008 FRVŠ a projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky.