Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře Robert Mařík © 2007-2012 

2 Riemannův integrál

Definice 2.1 (dělení intervalu). Buď \( \displaystyle [a,b]\) uzavřený interval \( \displaystyle -\infty < a < b <\infty \). Dělením intervalu \( \displaystyle [a,b]\) rozumíme konečnou posloupnost \( \displaystyle D = \{x_{0},x_{1},\mathop{\mathop{…}},x_{n}\}\) bodů z intervalu \( \displaystyle [a,b]\) s vlastností

\[ a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < x_{3} <\cdots < x_{n-1} < x_{n} = b. \]

Čísla \( \displaystyle x_{i}\) nazýváme dělící body. Normou dělení \( \displaystyle D\) rozumíme maximální číslo, které udává vzdálenost sousedních dělících bodů. Normu dělení \( \displaystyle D\) označujeme \( \displaystyle \mathbf{\nu (D)}\). Je tedy \( \displaystyle \nu (D) =\mathop{ max}\{x_{i} - x_{i-1},1\leq i\leq n\}\).

Definice 2.2 (integrální součet). Buď \( \displaystyle [a,b]\) uzavřený interval a \( \displaystyle f\) funkce definovaná a ohraničená na \( \displaystyle [a,b]\). Buď \( \displaystyle D\) dělení intervalu \( \displaystyle [a,b]\). Buď \( \displaystyle R = \{\xi _{1},\mathop{\mathop{…}},\xi _{n}\}\) posloupnost čísel z intervalu \( \displaystyle [a,b]\) splňující \( \displaystyle x_{i-1}\leq \xi _{i}\leq x_{i}\) pro \( \displaystyle i = 1..n\). Potom součet

\[ \mathbf{\sigma (f,D,R) =\sum _{ i=1}^{n}f(\xi _{ i})(x_{i} - x_{i-1})} \]

se nazývá integrální součet funkce f příslušný dělení \( \displaystyle D\) a výběru reprezentantů \( \displaystyle R\).

Poznámka 2.1 (geometrický význam integrálního součtu). Předpokládejme pro jednoduchost, že funkce \( \displaystyle f\) je na intervalu \( \displaystyle (a,b)\) nezáporná. Geometricky je integrální součet roven součtu obsahů obdélníků, jejichž základny (vodorovné hrany) mají délku rovnu délce jednotlivých podintervalů v dělení a výška je rovna funkční hodnotě v bodě, který je reprezentantem příslušného podintervalu – viz Obrázek 2.1.


    ξ     ξ           ξ         ξ      ξ        ξ
     1     2           3         4      5        6
x0       x1        x2       x3       x4   x5      x6

Obrázek 2.1: Grafické znázornění integrálního součtu

Definice 2.3 (Riemannův integrál). Buď \( \displaystyle [a,b]\) uzavřený interval a \( \displaystyle f\) funkce definovaná a ohraničená na \( \displaystyle [a,b]\). Buď \( \displaystyle D_{n}\) posloupnost dělení intervalu \( \displaystyle [a,b]\) a \( \displaystyle R_{n}\) posloupnost reprezentantů. Řekneme, že funkce \( \displaystyle f\) je Riemannovsky integrovatelná na intervalu \( \displaystyle [a,b]\), jestliže existuje číslo \( \displaystyle I\in \mathbb{R}\) s vlastností

\[ \lim _{n\to \infty }\sigma (f,D_{n},R_{n}) = I \]

pro libovolnou posloupnost dělení \( \displaystyle D_{n}\), splňující \( \displaystyle \lim _{n\to \infty }\nu (D_{n}) = 0\) při libovolné volbě reprezentantů \( \displaystyle R_{n}\), kde \( \displaystyle \sigma (f,D_{n},R_{n})\) je odpovídající integrální součet funkce \( \displaystyle f\). Číslo \( \displaystyle I\) nazýváme Riemannův integrál funkce \( \displaystyle f\) na intervalu \( \displaystyle [a,b]\) a označujeme

\[ \mathbf{\int _{a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x}. \]

Poznámka 2.2 (slovní formulace předchozí definice). !!!Předpokládejme pro jednoduchost že funkce \( \displaystyle f\) je spojitá na \( \displaystyle [a,b]\). V definici Riemannova integrálu je obsaženo následující:

(i)
Rozdělíme interval \( \displaystyle (a,b)\) na podintervaly pomocí dělení, zvolíme libovolně reprezentanta v každém podintervalu a sestrojíme integrální součet.
(ii)
Dělení zjemníme (tj. uvažujeme nové dělení, jehož norma je menší) a postup opakujeme — integrální součet se obecně může měnit.
(iii)
Postupně uvažujeme jemnější a jemnější dělení intervalu \( \displaystyle (a,b)\) a pokud se integrální součty postupně ”ustálí” na nějaké hodnotě, je tato hodnota Riemannovým integrálem funkce \( \displaystyle f\) na intervalu \( \displaystyle (a,b)\).

(Nezávislost na výběru reprezentantů a na posloupnosti dělení je v tomto případě zaručena spojitostí funkce. V případě nespojitých funkcí je potřeba tuto nezávislost dokázat, což značně převyšuje náplň tohoto předmětu.)

Definice 2.4 (horní a dolní mez). Číslo \( \displaystyle a\) v definici Riemannova integrálu se nazývá dolní mez a číslo \( \displaystyle b\) horní mez Riemannova integrálu.

Následující definice doplňuje definici Riemannova integrálu v případě, že dolní mez není menší než mez horní.

Definice 2.5 (výměna mezí v určitém integrálu). Pro \( \displaystyle a > b\) definujeme \( \displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x = -\int _{b}^{a}f(x)\, \mathrm{d}x\). Dále definujeme \( \displaystyle \int _{a}^{a}f(x)\, \mathrm{d}x = 0\).

Věta 2.1 (postačující podmínky pro integrovatelnost funkce).

(i)
Funkce spojitá na intervalu \( \displaystyle [a,b]\) je na tomto intervalu Riemannovsky integrovatelná.
(ii)
Funkce ohraničená na \( \displaystyle [a,b]\), která má na tomto intervalu konečný počet bodů nespojitosti je Riemannovsky integrovatelná.
(iii)
Funkce monotonní na \( \displaystyle [a,b]\) je na tomto intervalu Riemannovsky integrovatelná.

Věta 2.2 (linearita určitého integrálu vzhledem k funkci). Nechť \( \displaystyle f\), \( \displaystyle g\) jsou funkce integrovatelné na \( \displaystyle [a,b]\), \( \displaystyle c\) nechť je reálné číslo. Pak platí

\[ \begin{align*} \int _{a}^{b}[f(x) + g(x)]\, \mathrm{d}x & =\int _{ a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x +\int _{ a}^{b}g(x)\, \mathrm{d}x, & & \\\int _{a}^{b}cf(x)\, \mathrm{d}x & = c\int _{ a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x. & & \\\end{align*}\]

Věta 2.3 (aditivita určitého integrálu vzhledem k mezím). Nechť \( \displaystyle f\) je funkce integrovatelná na \( \displaystyle [a,b]\). Buď \( \displaystyle c\in (a,b)\) libovolné. Pak je \( \displaystyle f\) integrovatelná na intervalech \( \displaystyle [a,c]\) a \( \displaystyle [c,b]\) a platí

\[ \int _{a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x =\int _{ a}^{c}f(x)\, \mathrm{d}x +\int _{ c}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x. \]

Věta 2.4 (monotonie vzhledem k funkci). Buďte \( \displaystyle f\) a \( \displaystyle g\) funkce integrovatelné na \( \displaystyle [a,b]\) takové, že \( \displaystyle f(x)\leq g(x)\) pro \( \displaystyle x\in (a,b)\). Pak platí \( \displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x\leq \int _{a}^{b}g(x)\, \mathrm{d}x.\)

Poznámka 2.3 (integrál z nezáporné funkce). Pro \( \displaystyle f\equiv 0\) dostáváme z předchozí věty tvrzení, že integrál z funkce nezáporné na celém integračním oboru je nezáporný.

Věta 2.5 (věta o střední hodnotě). Nechť \( \displaystyle f\) je funkce spojitá na uzavřeném intervalu \( \displaystyle [a,b]\). Existuje číslo \( \displaystyle \mu \in [a,b]\) s vlastností \( \displaystyle f(\mu )(b - a) =\int _{ a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x\).

Definice 2.6 (střední hodnota). Číslo \( \displaystyle f(\mu )\) z předchozí věty se nazývá střední hodnota funkce \( \displaystyle f\) na intervalu \( \displaystyle [a,b]\).


         Funkce                           Stˇredn´i hodnota



                                stˇr. hodnota



a                 b                       a                 b

Obrázek 2.2: Určitý integrál a integrální střední hodnota funkce

V praxi se určitý integrál počítá užitím následující věty.

Věta 2.6 (Newtonova–Leibnizova věta). !!!Nechť funkce \( \displaystyle f(x)\) je Riemannovsky integrovatelná na \( \displaystyle [a,b]\). Nechť \( \displaystyle F(x)\) je funkce spojitá na \( \displaystyle [a,b]\), která je intervalu \( \displaystyle (a,b)\) primitivní k funkci \( \displaystyle f(x)\). Pak platí

\[ \int _{a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x = [F(x)]_{ a}^{b} = F(b) - F(a). \]

Příklad 2.1 (použití Newtonovy–Leibnizovy věty). Protože primitivní funkcí k funkci \( \displaystyle x^{3}\) je funkce \( \displaystyle { x^{4} \over 4} \), platí

\[ \int _{0}^{1}x^{3}\, \mathrm{d}x = \left [{ x^{4} \over 4} \right ]_{0}^{1} ={ 1^{4} \over 4} -{ 0^{4} \over 4} ={ 1 \over 4} . \]

Poznámka 2.4 (geometrický význam určitého integrálu). !!!Jak je vidno z definice určitého integrálu, je-li funkce \( \displaystyle f\) nezáporná na intervalu \( \displaystyle [a,b]\), udává integrál \( \displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x\) obsah obrazce \( \displaystyle \{[x,y]\in \mathbb{R}\times \mathbb{R} : a\leq x\leq b\text{ a }0\leq y\leq f(x)\}\), tj. obsah obrazce pod křivkou \( \displaystyle y = f(x)\) na intervalu \( \displaystyle [a,b]\). Je-li funkce \( \displaystyle f\) lineární, je obrazcem pod křivkou lichoběžník, v ostatních případech nazýváme množinu pod křivkou křivočarým lichoběžníkem. Další geometrické aplikace jsou následující.

V následující poznámce si uvedeme metodu, jak přibližně určit hodnotu určitého integrálu v případě, že není snadné použít Newtonovu–Leibnizovu větu, např. když nedokážeme nalézt primitivní funkci.

Poznámka 2.5 (lichoběžníkové pravidlo, přibližný výpočet určitého integrálu). !!!Nechť je funkce \( \displaystyle f\) spojitá na intervalu \( \displaystyle [a,b]\). Rozdělme interval \( \displaystyle [a,b]\) na \( \displaystyle n\) intervalů stejné délky \( \displaystyle h\), tj. platí \( \displaystyle h ={ b - a \over n} \). Krajní body těchto intervalů označme po řadě \( \displaystyle x_{0}\), \( \displaystyle x_{1}\), …, \( \displaystyle x_{n}\) a jim odpovídající funkční hodnoty \( \displaystyle y_{0}\), \( \displaystyle y_{1}\), …, \( \displaystyle y_{n}\). Hlavní myšlenka aproximace integrálu funkce \( \displaystyle f\) na intervalu \( \displaystyle [a,b]\) spočívá v tom, že na tomto intervalu nahradíme funkci \( \displaystyle f(x)\) lomenou čarou s vrcholy v bodech \( \displaystyle [a = x_{0},y_{0}]\), \( \displaystyle [x_{1},y_{1}]\), …\( \displaystyle [x_{n} = b,y_{n}]\) a integrál z takto upravené funkce vypočteme jako součet obsahů jednotlivých lichoběžníků, z nichž je obrazec pod lomenou čárou sestaven. (Toto lze provést i když funkce \( \displaystyle f\) nezachovává znaménko na intervalu \( \displaystyle [a,b]\).) Potom platí:

\[ \int _{a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x\approx { h \over 2} {\Bigl (y_{0} + 2y_{1} + 2y_{2} +\cdots +2y_{n-1} + y_{n}\Bigr )}. \]

Přitom chyba v tomto vzorci je tím menší, čím je

Příklad 2.2 (lichoběžníkové pravidlo). Pokusíme se pomocí lichoběžníkového pravidla aproximovat integrál \( \displaystyle \int _{0}^{1}x^{3}\, \mathrm{d}x\) z Příkladu 2.1. Rozdělíme interval \( \displaystyle [0,1]\) na 4 dílky o délce \( \displaystyle 0.25\) a pro pohodlný výpočet použijeme Tabulku 2.1. Výsledná aproximace tedy je \( \displaystyle \int _{0}^{1}x^{3}\, \mathrm{d}x\approx { 0.25 \over 2} 2.125000 = 0.265526\). Porovnáme-li tuto hodnotu s přesným výsledkem z Příkladu 2.1 vidíme, že přes poměrně primitivní aproximaci, je chyba menší než 7%. Jemnějším dělením získáme hodnotu ještě přesněji.


|--|-----|--------|---|---------|
|i-|-xi--|---yi---|m--|--myi----|
|1 |0.00 |0.000000 | 1 |0.000000 |
|2 |0.25 |0.015625 | 2 |0.031250 |
|3 |0.50 |0.125000 | 2 |0.250000 |
|4 |0.75 |0.421875 | 2 |0.843750 |
-5--1.00--1.000000---1--1.000000-
               Souˇcet: 2.125000
Tabulka 2.1: Lichoběžníkové pravidlo

Pomocí integrálu můžeme definovat užitečné neelementární funkce – například primitivní funkce k funkcím, které jsme doposud neuměli integrovat. Umožní nám to následující věta.

Věta 2.7 (integrál jako funkce horní meze). Nechť funkce \( \displaystyle f(x)\) je spojitá na intervalu \( \displaystyle I\) a nechť \( \displaystyle a\in I\). Potom funkce \( \displaystyle F(x)\) definovaná na \( \displaystyle I\) vztahem

\[ F(x) =\int _{ a}^{x}f(t)\, \mathrm{d}t \]

má na intervalu \( \displaystyle I\) derivaci a platí \( \displaystyle F'(x) = f(x)\).

Příklad 2.3. Pro funkci \( \displaystyle f(x) = x^{2}\) platí \( \displaystyle \int _{0}^{x}t^{2}\, \mathrm{d}t = \left [{ t^{3} \over 3} \right ]_{0}^{x} ={ x^{3} \over 3} \) což je skutečně jedna z primitivních funkcí k funkci \( \displaystyle x^{2}\), jak již víme z kapitoly o neurčitém integrálu (viz též vzorce na konci tohoto textu).

Poznámka 2.6. Již dříve jsme uvedli, že k funkci \( \displaystyle e^{-x^{2} }\) existuje primitivní funkce, ale tuto funkci neumíme najít. Nyní vidíme, že tuto primitivní funkci lze zapsat například ve tvaru \( \displaystyle \int _{0}^{x}e^{-t^{2} }\, \mathrm{d}t\). Pokud nás zajímá například funkční hodnota v bodě \( \displaystyle x = 1\), stačí určit hodnotu integrálu \( \displaystyle \int _{0}^{1}e^{-x^{2} }\, \mathrm{d}x\). Tuto hodnotu sice neumíme vypočítat přesně, můžeme ji však přibližně vypočítat pomocí lichoběžníkového pravidla.


Podpořeno grantem 99/2008 FRVŠ a projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky.