Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře Robert Mařík © 2007-2009 

1.6 Lokální extrémy, průběh funkce

Definice 1.27 (lokální extrém). Buď \DS{f} funkce a \DS{x_{0}\in D(f)}.

  • Řekneme, že funkce má v bodě \DS{x_{0}} lokální maximum, jestliže existuje ryzí okolí \DS{\overline{O}(x_{0})}, takové, že \DS{f(x_{0})\geq f(x)} pro všechna \DS{x\in \overline{O}(x_{0})}. Je-li nerovnost ostrá, říkáme, že funkce \DS{f} má v bodě \DS{x_{0}} ostré lokální maximum.
  • Platí-li opačné nerovnosti, říkáme, že funkce má v bodě \DS{x_{0}} lokální minimum a ostré lokální minimum.
  • Lokální maximum a minimum nazýváme společným názvem lokální extrémy. Ostré lokální maximum a ostré lokální minimum nazýváme společným názvem ostré lokální extrémy.

Poznámka 1.53 (k předchozí definici). Funkce má v bodě \DS{x_{0}} ostré lokální maximum (minimum), jestliže v nějakém ryzím okolí bodu \DS{x_{0}} nabývá pouze nižších (vyšších) funkčních hodnot, než \DS{f(x_{0})}. Hodnota \DS{f(x_{0})} je tedy jediná nejvyšší (nejnižší) funkční hodnota v nějakém okolí bodu \DS{x_{0}}. Okolí bodu \DS{x_{0}} z předchozí definice musí nutně celé ležet v definičním oboru funkce \DS{f}. (V některé literatuře je tato podmínka poněkud oslabena. Např. u funkce \DS{y = \sqrt{x}} nemluvíme o lokálním minimum v bodě \DS{0}, protože nalevo od bodu \DS{0} vůbec není definována. Jiní autoři tento bod však za lokální extrém považují.)

Lokální extrémy úzce souvisí s monotonií, jak ukazuje následující věta.

Věta 1.23 (postačující podmínky pro existenci a neexistenci lokálních extrémů). Buď \DS{f} funkce definovaná a spojitá v nějakém okolí bodu \DS{x_{0}}.

  • Jestliže existuje levé okolí bodu \DS{x_{0}}, ve kterém je funkce rostoucí a pravé okolí bodu \DS{x_{0}}, ve kterém je funkce klesající, je bod \DS{x_{0}} bodem ostrého lokálního maxima funkce \DS{f}.
  • Jestliže existuje levé okolí bodu \DS{x_{0}}, ve kterém je funkce klesající a pravé okolí bodu \DS{x_{0}}, ve kterém je funkce rostoucí, je bod \DS{x_{0}} bodem ostrého lokálního minima funkce \DS{f}.
  • Jestliže existuje okolí bodu \DS{x_{0}} ve kterém je funkce ryze monotonní, lokální extrém v bodě \DS{x_{0}} nenastává.

Poznámka 1.54. Graficky můžeme předchozí větu ilustrovat následovně.

    MAX                 MAX
--↗---|-↘--min-↗---|--↗---|-↘----
      a     b      c     d

Poznámka 1.55 (absolutní extrémy funkce). !!!Uvažujme funkci, která je spojitá na uzavřeném intervalu \DS{[a,b]}. Podle Weierstrassovy věty tato funkce nabývá na intervalu \DS{[a,b]} své nejmenší a největší hodnoty. Tyto hodnoty nazýváme absolutní maximum a absolutní minimum funkce \DS{f} na intervalu \DS{[a,b]}. Je zřejmé (odkud?), že těchto extremálních hodnot může funkce nabývat pouze v bodech, ve kterých má lokální extrémy, nebo v některém z krajních bodů intervalu \DS{[a,b]}.

Definice 1.28 (konvexnost, konkávnost). Buď \DS{f} funkce mající derivaci v bodě \DS{x_{0}}. Řekneme, že funkce \DS{f} je v bodě \DS{x_{0}} konvexní (konkávní), jestliže existuje ryzí okolí bodu \DS{x_{0}} takové, že pro všechna \DS{x\in \overline{O}(x_{0})} leží body grafu funkce nad tečnou (pod tečnou) ke grafu funkce \DS{f} sestrojenou v bodě \DS{x_{0}}, tj. platí

f(x) > f(x_{0}) + f^{\, \prime }(x_{0})(x - x_{0})\qquad {\Bigl (f(x) < f(x_{0}) + f^{\, \prime }(x_{0})(x - x_{0})\Bigr )}.
(1.16)

Řekneme, že funkce je konvexní (konkávní) na otevřeném intervalu I, má-li tuto vlastnost v každém bodě intervalu \DS{I}.


Definice 1.29 (inflexní bod). Bod ve kterém se mění charakter funkce z konvexní na konkávní nebo naopak nazýváme inflexním bodem funkce \DS{f}.


V následujících větách si ukážeme, že monotonie a lokální extrémy úzce souvisí s první derivací funkce, zatímco konvexnost/konkávnost a inflexní body souvisí s druhou derivací.

Definice 1.30 (stacionární bod). Řekneme, že bod \DS{x_{0}} je stacionárním bodem funkce \DS{f}, jestliže funkce \DS{f} má v bodě \DS{x_{0}} nulovou derivaci, tj. \DS{f^{\, \prime }(x_{0}) = 0}.


Poznámka 1.56 (geometrický význam). Geometricky jsou stacionární body body, ve kterých má graf funkce vodorovnou tečnu (proč?).

Věta 1.24 (souvislost derivace a lokálních extrémů). !!!Nechť má funkce v bodě \DS{x_{0}} lokální extrém. Pak funkce \DS{f} v bodě \DS{x_{0}} buď nemá derivaci, nebo je tato derivace nulová, tj. platí \DS{f^{\, \prime }(x_{0}) = 0} a \DS{x_{0}} je stacionárním bodem funkce \DS{f}.


Poznámka 1.57 (strategie hledání lokálních extrémů). Podle předchozí věty jsou body kde derivace neexistuje a stacionární body jedinými ”podezřelými” kandidáty na body, v nichž by funkce mohla nabývat lokálního extrému. Nikde jinde (a takových bodů bývá naprostá většina) lokální extrém nemůže nastat. Při hledání lokálních extrémů postupujeme tak, že nejprve nalezneme všechny tyto ”podezřelé” body (tj. funkci \DS{f} zderivujeme a zjistíme, kde je tato derivace nulová a kde není definovaná) a poté v každém bodě samostatně rozhodneme, je-li v něm lokální extrém a případně jaký. K tomu nám může posloužit Věta 1.23 ve spojení s následující větou.

Věta 1.25 (souvislost derivace a monotonie). Nechť funkce \DS{f} má derivaci na otevřeném intervalu \DS{I}.

  • Je-li \DS{f^{\, \prime }(x) > 0} na intervalu \DS{I}, je funkce \DS{f} rostoucí na \DS{I}.
  • Je-li \DS{f^{\, \prime }(x) < 0} na intervalu \DS{I}, je funkce \DS{f} klesající na \DS{I}.

Věta 1.26 (souvislost druhé derivace s konvexností a konkávností). Buď \DS{f} funkce mající druhou derivaci na otevřeném intervalu \DS{I}.

  • Je-li \DS{f^{\, \prime \prime }(x) > 0} na intervalu \DS{I}, je funkce \DS{f} konvexní na \DS{I}.
  • Je-li \DS{f^{\, \prime \prime }(x) < 0} na intervalu \DS{I}, je funkce \DS{f} konkávní na \DS{I}.

Definice 1.31 (kritický bod). Bod, ve kterém má funkce \DS{f} nulovou druhou derivaci nazýváme kritickým bodem funkce \DS{f}.


Věta 1.27 (souvislost inflexních bodů a druhé derivace). !!!Nechť má funkce v bodě \DS{x_{0}} inflexní bod. Pak funkce \DS{f} v bodě \DS{x_{0}} buď nemá druhou derivaci, nebo je tato druhá derivace nulová, tj. platí \DS{f^{\, \prime \prime }(x_{0}) = 0} a \DS{x_{0}} je kritickým bodem funkce \DS{f}.


Věta 1.28 (souvislost druhé derivace s lokálními extrémy). Buď \DS{f} funkce a \DS{x_{0}} stacionární bod funkce \DS{f}. Je-li \DS{f^{\, \prime \prime }(x_{0}) > 0}, nabývá funkce v bodě \DS{x_{0}} lokálního minima, je-li \DS{f^{\, \prime \prime }(x_{0}) < 0}, nabývá funkce v bodě \DS{x_{0}} lokálního maxima.


Poznámka 1.58 (technická). Předchozí věta nedává odpověď na otázku zda a jaký lokální extrém nastává ve stacionárním bodě, který je současně i kritickým bodem. V tomto případě totiž nelze o existenci a kvalitě lokálního extrému pomocí druhé derivace rozhodnout. Proto je lepší při hledání lokálních extrémů využívat Věty 1.23 a 1.25.

Jak je patrné z předchozího, pomocí první a druhé derivace dokážeme získat určité informace o chování funkce v bodech, patřících do definičního oboru. Naopak o chování funkce v okolí bodů, které nepatří do definičního oboru funkce nás informují asymptoty.

1.6.1 Sestrojení grafu funkce

Diferenciální počet můžeme použít pro sestrojování grafu funkce pomocí charakteristických bodů. Mezi tyto charakteristické body počítáme především průsečíky s osami, lokální extrémy a inflexní body. Dále vyšetřujeme asymptoty ke grafu funkce. Postup může být například následující. !!!

(i)
Nalezneme definiční obor funkce, zjistíme paritu funkce a její průsečíky s osami. Pomocí průsečíků s osou \DS{x} a pomocí definičního oboru určíme intervaly, kde je funkce kladná a kde záporná.
(ii)
Podle toho jak vypadá definiční obor zjistíme, jaké by funkce mohla mít asymptoty. Tyto asymptoty určíme. Má-li funkce body nespojitosti, vyšetříme chování funkce v okolí těchto bodů.
(iii)
Pomocí první derivace určíme stacionární body, intervaly růstu a klesání a lokální extrémy. Přitom kontrolujeme, jestli výpočty souhlasí s tím co už známe — z asymptot bez směrnice nebo z průsečíků s osou \DS{x} a ze znaménka napravo a nalevo od těchto průsečíků známe charakter monotonie v okolí bodů nespojitosti a v průsečících s osou \DS{x}.
(iv)
Pomocí druhé derivace určíme kritické body, intervaly konvexnosti a konkávnosti a inflexní body. Přitom kontrolujeme, zda výpočty souhlasí s tím, co již známe — všímáme si okolí bodů nespojitosti a lokálních extrémů (v lok. minimu je funkce konvexní a v lok. maximu konkávní).
(v)
Vyneseme asymptoty a charakteristické body (extrémy a inflexní body) do kartézské soustavy souřadnic a načrtneme graf. Aby byly z grafu patrné všechny ”charakteristické body”, nemusíme přitom vždy trvat na stejném měřítku na obou osách.

V některých případech je provedení některé z popsaných částí obtížné, případně analyticky neřešitelné. V těchto případech se snažíme graf načrtnout jenom podle těch informací, které dokážeme získat. Vždy se snažíme alespoň o nalezení intervalů růstu a klesání funkce a o vyšetření limit v bodech nespojitosti a v nevlastních bodech.

   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009