Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře Robert Mařík © 2007-2009 

1.8 Shrnutí

Funkce jsou matematickým vyjádřením vztahů mezi veličinami. Při studiu funkcí se opíráme

Abychom mohli výše uvedené informace z funkce najít a použít, ukázali jsme si, které jednotlivé pojmy spolu souvisí a jak, např. z existence derivace plyne spojitost, nikoliv však naopak.

Podstatné v aplikacích jsou zejména spojité funkce. Při studiu spojitých funkcí mají velký význam Bolzanovy a Weierstsrassovy věty, které jsou geometricky velice názorné a ukazují, že i když je spojitost funkcí definována podstatně méně názorně, než jako funkce nakreslitelná jedním tahem, zachovávají se pro tyto funkce vlastnosti ”běžné” pro hladké rovinné křivky.

Z teoretického hlediska jsou nejdůležitější pojmy této kapitoly limita, spojitost a derivace. Spojitost je vlastnost těch funkcí, u nichž malá změna nezávislé proměnné vyvolá relativně malou změnu proměnné závislé. Derivace je (poněkud jemněji) veličina, která se vyjadřuje poměr těchto změn – udává kolikrát rychleji se mění hodnoty \DS{y} ve srovnání s hodnotami \DS{x}. Nejdůležitější aplikací je vyšetřování průběhu funkce, zejména pak nalezení lokálních extrémů funkce.

Někdy mají studenti potíže rozpoznat, kterou metodu je třeba použít pro výpočet limit. Následující rozhodovací strom umožňuje vybrat tu správnou metodu či tu spávnou větou, kterou je nejvhodnější použít. Tento diagram pokrývá pouze typy limit, které jsme probírali na přednášce. Setkáte-li se s limitou, kterou nelze do tohoto schematu zařadit, můžete se pokusit odhadnout hodnotu limity numerickým experimentem, výpočtem funkčních hodnot v okolí zkoumaného bodu.


.

              Vypoˇctˇete limx→a f(x).

             Dosad’te x = a do f(x).
           Je hodnota f(a) definovan´a?                 M´ate v´ysledek.

                                                   Pouˇzijte V ˇetu 1.14.
          Je a = ±∞ a je f bud’ polynom,      Poˇc´itejte tedy jen s vedouc´imi
              nebo racion´aln´i funkce?                       ˇcleny.

                                              Pouˇzijte l’Hospitalovo pravidlo
               Substitutce d´av´a ....              a s novou limitou pracujte od
          (vyberte si spr´avnou cestiˇcku).               zaˇc´atku.


           Studujte nejdˇr´ive jednostrann´e                   ’
           limity, pomoc ´i Vˇety 1.11. Ze             Pˇrevedte, pouˇzit´im0
            vztahu jednostrann´ych limit          algebraick´ych ´uprav, na 0, nebo
   nenulo0v´a v∞hyoˇcdtnˇeotetapˇr´ipadnou existenci a                      ∞-.
   -----00ANAN,nene⋅0hoo∞∞odnotu limity oboustrann´e.                      ∞
                                                                                .

Obrázek 1.8: Limity elementárních funkcí.

   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009