Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře | Robert Mařík © 2007-2009 |
Jak jsem viděli výše, spojitost není definována, tak, jak si spojitou funkci
běžně představujeme – jako funkci, kde nejsou skoky či nějaké
podobné drastické změny funkčních hodnot, ale jako funkci, kde
veškeré změny funkčních hodnot probíhají relativně
pozvolna. Přesná definice však byla zcela odlišná od této představy.
Je tedy definice spojitosti pomocí limity přesně to, co si “běžně” představujeme pod pojmem “spojitá čára v rovině” (funkce, kde nejsou žádné “dramatické změny”)?
Odpověď je poněkud překvapivá: Ne zcela. Český matematik B. Bolzano našel příklad funkce, která je spojitá na \DS{\mathbb{R}}, ale její graf se vůbec nedá nakreslit a proto se při studiu spojitých funkcí nelze v důkazech odvolávat na “zřejmé vlastnosti rovinných křivek”. Naštěstí, i když definujeme spojitost na první pohled složitě pomocí limity, ty nejpěknější vlastnosti zůstanou zachovány, jak ukazují následující důležité věty.
Poznámka 1.51. Předešlé věty mají jednoduchou grafickou interpretaci, jak je ukázáno na Obrázku 1.6.
Tvrzení vět jsou tedy zcela přirozená. Obrovskou zásluhou
výše uvedených matematiků je mimo jiné fakt, že si uvědomili,
že tyto věty nejsou žádnými snadnými důsledky definice
spojitosti a je potřeba podat jejich přesný důkaz.
Poznámka 1.52 (nelineární nerovnice). Bolzanova věta umožňuje řešit většinu nelineárních nerovnic. Podle Věty 1.21 totiž funkce může změnit znaménko jedině v bodě, kde je porušena její spojitost (= skokem), nebo v nulovém bodě (= graf protíná osu \DS{x}). Řešíme-li tedy nerovnici \DS{f(x) > 0}, nalezneme nejprve body nespojitosti funkce \DS{f} a nulové body této funkce, tj. řešení rovnice \DS{f(x) = 0}. Obě skupiny bodů vyneseme na reálnou osu a definiční obor se tímto rozpadne na několik podintervalů. Uvnitř každého z těchto intervalů platí buď \DS{f(x) > 0} nebo \DS{f(x) < 0}. Která z těchto variant platí ve kterém z intervalů lze zjistit například postupným dosazováním reprezentantů z jednotlivých intervalů.
Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně | © 2007-2009 |