Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře | Robert Mařík © 2007-2009 |
Již při budování diferenciálního počtu si matematici
(a především přírodovědci) všimli, že definice spojitosti funkce
pomocí limity se ocitla velmi daleko od názorné představy spojité funkce jako
křivky, jejíž graf lze nakreslit jedním tahem. Nyní nám jde o to ujasnit
si, jaký je mezi těmito dvěma přístupy rozdíl a co mají
společného.
V technické praxi zpravidla studujeme tzv. po částech hladké funkce — funkce,
jejichž definičním oborem je interval a tyto funkce mají derivaci ve
všech bodech svého definičního oboru, s případnou výjimkou
konečného počtu bodů. Toto vyplývá z faktu, že většinu
přírodních zákonitostí popisujeme diferenciálními rovnicemi a
řešení těchto rovnic (tj. funkce které dále studujeme) zcela
přirozeně mají derivaci na intervalech, kde jsou definovány. Grafy takovýchto
funkcí mají v každém svém bodě tečnu (tudíž jsou
”hladké”) a lze je snadno nakreslit. Potom lze vyslovit následující
Jestliže si uvědomíme tyto souvislosti, lze body nespojitosti klasifikovat do několika
málo skupin
S výjimkou prvního typu, žádný z dalších vyjmenovaných typů nespojitosti nelze odstranit vhodným předefinováním \DS{f(a)}, proto se nazývají podstatné nespojitosti. Podobně u funkcí které jsou po částech hladké lze charakterizovat body kde neexistuje derivace do několika málo typů. Nejdříve však připomeňme, že má-li funkce v nějakém bodě derivaci, pak je v tomto bodě spojitá. V bodě kde funkce není spojitá tedy derivace být nemůže. Budeme si tedy všímat bodů, kde funkce nemá v některém bodě derivaci, ale je v tomto bodě spojitá. Funkce má v bodě \DS{x} derivaci, jestliže existuje konečná limita
\lim _{h\to 0}{ f(x + h) - f(x)
\over h} .
| (1.17) |
Případy, kdy tato derivace neexistuje jsou tedy následující:
Tímto je klasifikace jednotlivých možností ukončena. Z předchozích
příkladů vidíme, že body, kde funkce nemá buď limitu, nebo
není spojitá, nebo nemá derivaci, jsou body, kde je funkce jistým způsobem
”škaredá” — zřetelně se odchyluje od představy grafu hladké křivky
spojitě nakreslené jedním tahem.
Poznamenejme, že situace je mnohem komplikovanější v případech, kdy nestudujeme po částech hladké funkce, ale obecně libovolné funkce. V tomto případě lze podat příklady funkcí, které se zcela vymykají běžnému chápání spojitosti funkce, např je možné nalézt
U těchto typů funkcí jakákoliv geometrická představa selhává, jsou ”škaredé” ve všech bodech svého definičního oboru, grafy těchto funkcí nelze zachytit grafickými prostředky. Protože však tyto funkce zcela nezpochybnitelně také patří do matematické analýzy (některé z nich mají dokonce použití v některých speciálních aplikacích, např. tzv. ”bílý šum”), je zřejmé, že při studiu funkcí se nelze opírat pouze o představu studia spojitě nakreslených křivek, ale je nutno použít některý ze způsobů, který nezávisí na konkrétní představě funkce. Proto jsme použili definice založené na pojmech okolí a limita.
Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně | © 2007-2009 |