Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře Robert Mařík © 2007-2009 

4.1 Algebraické rovnice

Definice 4.1 (algebraická rovnice). Buď \DS{n} přirozené číslo a

P_{n}(x) = a_{0}x^{n} + a_{ 1}x^{n-1} + a_{ 2}x^{n-2} +\cdots +a_{ n-2}x^{2} + a_{ n-1}x + a_{n}
(4.1)

polynom stupně \DS{n} s reálnými koeficienty \DS{a_{0}}, \DS{a_{1}}, …\DS{a_{n}}, kde \DS{a_{0}\neq 0}. Koeficient \DS{a_{0}} se nazýváme vedoucí koeficient polynomu \DS{P_{n}(x)} a koeficient \DS{a_{n}} absolutní člen polynomu \DS{P_{n}(x)}. Člen \DS{a_{0}x^{n}} nazýváme vedoucí člen polynomu \DS{P_{n}(x)}. Algebraickou rovnicí stupně \DS{n} rozumíme rovnici tvaru \DS{P_{n}(x) = 0}, tj.

\mathbf{a_{0}x^{n} + a_{ 1}x^{n-1} + a_{ 2}x^{n-2} +\cdots +a_{ n-2}x^{2} + a_{ n-1}x + a_{n} = 0}
(4.2)

Poznámka 4.1 (nejjednodušší polynomy). Polynom nultého stupně je konstantní funkce. Polynom prvního stupně nazýváme lineární polynom a jeho grafem je přímka (k sestrojení grafu nám tedy stačí znát dva body, které na grafu leží). Polynom druhého stupně nazýváme kvadratický polynom, jeho grafem je parabola. Polynom třetího stupně nazýváme kubický polynom, jeho grafem je kubická parabola.

Definice 4.2 (kořen polynomu, řešení algebraické rovnice). Řešením (kořenem) algebraické rovnice (4.2) (kořenem polynomu (4.1)) rozumíme číslo \DS{c}, splňující \DS{P_{n}(c) = 0}, tj. splňující po dosazení za \DS{x} rovnost (4.2).


Příklad 4.1. Čísla \DS{x = 1} a \DS{x = -2} jsou kořeny polynomu

P(x) = x^{3} + 2x^{2} - x - 2.
(4.3)

Vskutku, přímým výpočtem lze ověřit, že \DS{P(1) = 0} a \DS{P(-2) = 0}. Číslo \DS{x = 3} naopak není kořenem tohoto polynomu, protože \DS{P(3) = 40\neq 0}.

O řešitelnosti algebraických rovnic vypovídá následující věta.

Věta 4.1 (základní věta algebry). V oboru komplexních čísel má každý nekonstantní polynom kořen.


Následující věta udává jednu z ekvivalentních formulací definice kořene polynomu.

Věta 4.2 (Bezoutova věta). !!!Číslo \DS{c} je kořenem polynomu (4.1) právě tehdy, když existuje polynom \DS{Q_{n-1}(x)} stupně \DS{(n - 1)} s vlastností

P_{n}(x) = (x - c)Q_{n-1}(x).
(4.4)

Definice 4.3 (kořenový činitel). Je-li \DS{c} kořenem polynomu (4.1), pak lineární polynom \DS{(x - c)} s proměnnou \DS{x} nazýváme kořenový činitel příslušný ke kořeni \DS{c}.


Příklad 4.2. Polynom (4.3) může být zapsán v následujících ekvivalentních tvarech

\begin{array}{cl} y = (x - 1)(x^{2} + 3x + 2),\quad y = (x + 2)(x^{2} - 1),\quad y = (x - 1)(x + 1)(x + 2).& \end{array}

Čtenář může snadno zkontrolovat ekvivalentnost těchto vyjádření roznásobením závorek a sečtením odpovídajících mocnin.

Poznámka 4.2 (dělení kořenovým činitelem). Bezoutova věta tedy říká, že polynom lze beze zbytku vydělit kořenovým činitelem. Toto dělení polynomu je vhodné provádět pomocí Hornerova schematu. Toto schema nám poslouží současně i při výpočtu funkčních hodnot polynomu, protože vyžaduje menší počet operací násobení, než jaký bychom museli provádět, kdybychom počítali funkční hodnoty přímo z vyjádření (4.1).

Je-li číslo \DS{c} kořenem polynomu (4.2), může být i kořenem polynomu \DS{Q_{n-1}(x)} z Bezoutovy věty. Proto má smysl následující definice.

Definice 4.4 (násobnost kořene). Nechť \DS{c} je kořenem polynomu (4.1). Řekneme že tento kořen je \DS{k}-násobný, jestliže existuje polynom \DS{Q_{n-k}(x)} stupně \DS{n - k} takový, že platí

\mathbf{P_{n}(x) = (x - c)^{k}Q_{ n-k}(x)}\qquad \text{ a }\qquad \mathbf{Q_{n-k}(c)\neq 0}
(4.5)

Věta 4.3. Polynomy \DS{P_{n}(x)} a \DS{Q_{n-k}(x)} z předchozí definice mají stejné kořeny včetně násobnosti, s výjimkou kořene \DS{c}.


Poznámka 4.3 (technická). !!!Z předchozí věty plyne, že hledáme-li kořeny polynomu \DS{P_{n}(x)}, je vhodné po nalezení jednoho z nich vydělit polynom \DS{P_{n}(x)} kořenovým činitelem příslušným tomuto kořeni ”maximálně-možně-krát”. Tím zjistíme násobnost kořene (je to číslo, udávající, kolikrát se nám podařilo provést dělení beze zbytku) a obdržíme polynom \DS{Q_{n-k}(x)} z předchozí definice (je to poslední podíl, který vyšel beze zbytku). Dále budeme hledat kořeny polynomu \DS{Q_{n-k}(x)}. Ten je totiž nižšího stupně a tedy jednodušší.

Pojem násobnosti kořene lze ekvivalentně zavést pomocí derivací polynomu \DS{P(x)}. Tuto ekvivalentní formulaci si uvedeme v následující větě.

Věta 4.4 (souvislost násobnosti kořene s derivací). Číslo \DS{c} je \DS{k}-násobným kořenem polynomu (4.1) (rovnice (4.2)) právě tedy, když platí

\begin{array}{cl} P_{n}(c) = P_{n}^{\, \prime }(c) = P_{ n}^{\, \prime \prime }(c) =\cdots = P_{ n}^{(k-1)}(c) = 0& \end{array}

a

\begin{array}{cl} P_{n}^{(k)}(c)\neq 0,& \end{array}

tj. číslo \DS{c} je kořenem polynomu \DS{P_{n}(x)} a všech jeho derivací do řádu \DS{(k - 1)} včetně a není kořenem derivace řádu \DS{k}.


Poznámka 4.4 (souvislost násobnosti kořene se změnou znaménka). V bodě, který je kořenem násobnosti alespoň \DS{2} má polynom vždy vodorovnou tečnu. Další vlastnosti se řídí tím, jedná-li se o kořen sudé nebo liché násobnosti.

Opakovaným aplikováním Bezoutovy věty a základní věty algebry dostáváme následující tvrzení.

Věta 4.5 (počet komplexních kořenů). V oboru komplexních čísel má každý polynom (každá algebraická rovnice) stupně \DS{n} právě \DS{n} kořenů. Přitom každý kořen počítáme i s jeho násobností.


V praxi nás často zajímají pouze reálné kořeny. Modifikace předchozí věty pro reálné kořeny je následující.

Věta 4.6 (počet reálných kořenů). !!!V oboru reálných čísel má každý polynom (každá algebraická rovnice) stupně \DS{n} celkem buď \DS{n} kořenů, nebo o sudý počet méně. Přitom každý kořen počítáme i s jeho násobností.


Poznámka 4.5 (filozofická). Umíme vyřešit libovolnou lineární a kvadratickou rovnici. Lze vyřešit i libovolnou algebraickou rovnici řádu \DS{3} a \DS{4}. Není však možné sestrojit algoritmus pro nalezení kořenů rovnice řádu \DS{5} a více! Rovnice vyšších řádů umíme vyřešit jenom v některých speciálních případech. Jsou-li například všechny koeficienty v rovnici celá čísla, umíme (jak si uvedeme níže) nalézt alespoň všechny celočíselné kořeny.

Poznámka 4.6 (technická). Pro řadu úloh v matematice je vhodné umět rozložit polynom na součin polynomů jednodušších. Lze ukázat, že každý polynom lze rozložit na součin, kde jsou jenom kořenové činitele (tj. lineární polynomy tvaru \DS{(x - c)} u jednoduchých kořenů a tvaru \DS{(x - c)^{k}} u \DS{k}-násobných kořenů) a případně kvadratické výrazy, které nemají reálné kořeny, nebo mocniny těchto kvadratických výrazů — toto však není možné provést bez znalosti kořenů tohoto polynomu. V praxi tedy dokážeme zpravidla rozložit na součin pouze kvadratické polynomy, polynomy které mají celočíselné kořeny, případně polynomy, kde rozklad na součin lze provést postupným vytýkáním.

   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009