Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře | Robert Mařík © 2007-2009 |
Poznámka 1.53 (k předchozí definici). Funkce má v bodě \DS{x_{0}}
ostré lokální maximum
(minimum
), jestliže v nějakém ryzím
okolí
bodu \DS{x_{0}}
nabývá pouze nižších (vyšších) funkčních
hodnot, než \DS{f(x_{0})}.
Hodnota \DS{f(x_{0})}
je tedy jediná nejvyšší (nejnižší) funkční hodnota
v nějakém okolí bodu \DS{x_{0}}.
Okolí bodu \DS{x_{0}}
z předchozí definice musí nutně celé ležet v definičním
oboru funkce \DS{f}.
(V některé literatuře je tato podmínka poněkud oslabena. Např.
u funkce \DS{y = \sqrt{x}}
nemluvíme o lokálním minimum v bodě \DS{0},
protože nalevo od bodu \DS{0}
vůbec není definována. Jiní autoři tento bod však za lokální
extrém
považují.)
Lokální extrémy úzce souvisí s monotonií, jak ukazuje
následující věta.
Poznámka 1.55 (absolutní extrémy funkce). Uvažujme funkci, která
je spojitá
na uzavřeném intervalu \DS{[a,b]}.
Podle Weierstrassovy věty
tato funkce nabývá na intervalu \DS{[a,b]}
své nejmenší a největší hodnoty. Tyto hodnoty nazýváme
absolutní maximum a absolutní minimum funkce \DS{f}
na intervalu \DS{[a,b]}.
Je zřejmé (odkud?), že těchto extremálních hodnot může
funkce nabývat pouze v bodech, ve kterých má lokální extrémy
,
nebo v některém z krajních bodů intervalu \DS{[a,b]}.
V následujících větách si ukážeme, že monotonie a
lokální extrémy úzce souvisí s první derivací funkce,
zatímco konvexnost/konkávnost a inflexní body souvisí s druhou
derivací.
Poznámka 1.56 (geometrický význam). Geometricky jsou
stacionární body body, ve kterých má graf funkce vodorovnou tečnu
(proč?).
Poznámka 1.57 (strategie hledání lokálních extrémů).
Podle předchozí věty jsou body kde derivace
neexistuje a stacionární
body jedinými ”podezřelými” kandidáty na body, v nichž by funkce
mohla nabývat lokálního extrému
. Nikde jinde (a takových bodů
bývá naprostá většina) lokální extrém nemůže
nastat. Při hledání lokálních extrémů postupujeme tak, že
nejprve nalezneme všechny tyto ”podezřelé” body (tj. funkci
\DS{f}
zderivujeme a zjistíme, kde je tato derivace nulová a kde není definovaná)
a poté v každém bodě samostatně rozhodneme, je-li v něm
lokální extrém a případně jaký. K tomu nám
může posloužit Věta 1.23 ve spojení s následující
větou.
Věta 1.28 (souvislost druhé derivace s lokálními extrémy |
Poznámka 1.58 (technická). Předchozí
věta nedává odpověď na otázku zda a jaký lokální
extrém nastává
ve stacionárním bodě, který je současně i kritickým bodem.
V tomto případě totiž nelze o existenci a kvalitě lokálního
extrému pomocí druhé derivace rozhodnout. Proto je lepší při
hledání lokálních extrémů využívat Věty 1.23 a 1.25.
Jak je patrné z předchozího, pomocí první a druhé derivace dokážeme získat určité informace o chování funkce v bodech, patřících do definičního oboru. Naopak o chování funkce v okolí bodů, které nepatří do definičního oboru funkce nás informují asymptoty.
Diferenciální počet můžeme použít pro sestrojování
grafu funkce pomocí charakteristických bodů. Mezi tyto charakteristické
body počítáme především průsečíky s osami,
lokální extrémy a inflexní body. Dále vyšetřujeme asymptoty ke
grafu funkce. Postup může být například následující.
V některých případech je provedení některé z popsaných částí obtížné, případně analyticky neřešitelné. V těchto případech se snažíme graf načrtnout jenom podle těch informací, které dokážeme získat. Vždy se snažíme alespoň o nalezení intervalů růstu a klesání funkce a o vyšetření limit v bodech nespojitosti a v nevlastních bodech.
Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně | © 2007-2009 |