Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře | Robert Mařík © 2007-2009 |
Obyčejná diferenciální rovnice je matematický vztah mezi neznámou
funkcí a jejími derivacemi
Definice 2.10 (obyčejná diferenciální rovnice). Obyčejnou diferenciální rovnicí prvního řádu rozřešenou vzhledem k derivaci (stručně - diferenciální rovnicí (ODR)) s neznámou \DS{y} rozumíme rovnici tvaru
kde \DS{f} je funkce dvou proměnných. Řešením (též integrálem) rovnice na intervalu \DS{I} rozumíme každou funkci \DS{y = y(x)}, která splňuje identicky (2.5) na \DS{I}. Úloha najít řešení rovnice (2.5), které splňuje zadanou počáteční podmínku
se nazývá počáteční úloha nebo též Cauchyova úloha. Jejím řešením rozumíme funkci, která splňuje podmínku (2.6) a je na nějakém intervalu obsahujícím bod \DS{x_{0}} řešením rovnice (2.5). Řešení Cauchyovy úlohy nazýváme též partikulárním řešením rovnice (2.5). Graf partikulárního řešení se nazývá integrální křivka. |
V souvislosti s diferenciálními rovnicemi nás zajímá především otázka, zda daná rovnice (počáteční úloha) má řešení, na jakém intervalu je toto řešení definováno a zda je určeno jednoznačně. My se budeme navíc zabývat pouze rovnicemi, u nichž lze řešení nalézt analytickou cestou pomocí integrálního počtu.
Nejjednodušším příkladem diferenciální rovnice je rovnice tvaru
y^{\, \prime } = f(x).
| (2.7) |
Z integrálního počtu víme, že tuto rovnici splňuje každá primitivní
funkce k funkci \DS{f},
tj. že řešením rovnice (2.7) je funkce
y =\int f(x)\, \mathrm{d}x + C,
|
kde \DS{C} je libovolná konstanta. Takovéto řešení, které obsahuje konstantu, nazýváme obecné řešení rovnice. Toto řešení tedy reprezentuje všechny funkce, vyhovující dané rovnici (je jich zřejmě nekonečně mnoho) Libovolné partikulární řešení získáme z obecného řešení vhodnou volbou konstanty.
Poznámka 2.17 (obecné a partikulární řešení). Podobný princip platí i u dalších diferenciálních rovnic. Funkcí které vyhovují diferenciální rovnici prvního řádu je nekonečně mnoho, zapíšeme-li všechny jedním vzorcem, bude tento vzorec obsahovat jistou konstantu \DS{C}. Takový vzorec se nazývá obecné řešení diferenciální rovnice. Každé jednotlivé (partikulární) řešení lze z tohoto vzorce obdržet1 vhodnou volbou konstanty \DS{C}.
Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně | © 2007-2009 |