2.5 Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
V tomto odstavci si uvedeme postup řešení jedné z nejjednodušších
diferenciálních rovnic.
Definice 2.11 (ODR se separovanými proměnnými). ODR tvaru
\mathbf{y^{\, \prime } = f(x)g(y)},
| (2.8) |
kde \DS{f} a
\DS{g} jsou
spojité funkce na otevřených intervalech nazýváme obyčejnou
diferenciální rovnicí se separovanými proměnnými.
|
Počáteční úloha pro rovnici se separovanými proměnnými
nemusí mít vždy jediné řešení. Existují dokonce
řešení, které mají porušenu jednoznačnost v každém
bodě svého definičního oboru. Tato řešení se nazývají
singulární.
Tuto rovnici řešíme separací proměnných následovně:
-
(i)
- Má-li rovnice \DS{g(y) = 0}
řešení \DS{k_{1}},
\DS{k_{2}},
…, \DS{k_{n}},
jsou konstantní funkce \DS{y = k_{1}},
\DS{y = k_{2}},
…, \DS{y = k_{n}}
řešeními rovnice. Ostatní řešení jsou nekonstantní
a nalezneme je v dalších krocích.
-
(ii)
- Dále pracujme jenom na intervalech, kde
\DS{g(y)\neq 0}. Formálně
nahradíme derivaci \DS{y^{\, \prime }}
podílem diferenciálů \DS{{ \, \mathrm{d}y
\over \, \mathrm{d}x} }:
{
\, \mathrm{d}y
\over \, \mathrm{d}x} = f(x)g(y)
|
-
(iii)
- Se zlomkem \DS{{ \, \mathrm{d}y
\over \, \mathrm{d}x} }
pracujeme ”normálně” jako s podílem dvou výrazů. Násobením
a dělením převedeme rovnici na tvar, který obsahuje na každé
straně pouze jednu proměnnou:
{
\, \mathrm{d}y
\over g(y)} = f(x)\, \mathrm{d}x.
|
-
(iv)
- Získanou rovnost zintegrujeme:
\int { \, \mathrm{d}y
\over g(y)} =\int f(x)\, \mathrm{d}x + C
|
Vlevo je tedy integrál v proměnné
\DS{y}, vpravo integrál
v proměnné \DS{x}
a na jednu ze stran rovnice přidáme integrační konstantu. Tím
obdržíme rovnici, která implicitně zadává obecné
řešení rovnice.
-
(v)
- Pokud je zadána počáteční podmínka, dosadíme
ji do obecného řešení a určíme hodnotu konstanty
\DS{C}.
Tuto dosadíme do obecného řešení a obdržíme
řešení partikulární.
-
(vi)
- Pokud je to možné, převedeme řešení (obecné nebo
partikulární) do explicitního tvaru (”vyjádříme” odsud
\DS{y}).
-
(vii)
- Pokud je možné některé z konstantních řešení
obdržet vhodnou volbou konstanty ve vzorci pro obecné řešení, zahrneme
toto konstantní řešení do obecného. Řešení, která
není takto možno zahrnout do obecného řešení jsou často
singulárními.
Příklad 2.5 (aplikace diferenciálních rovnic v praxi – růst populace). Udává-li
funkce \DS{y(x)} velikost jisté
populace v čase \DS{x},
udává derivace
\DS{y^{\, \prime }(x)}
rychlost změny velikosti této populace v čase
\DS{x}.
-
(i)
- Uvažujme populaci \DS{y}
částic znečišťujících jezero. Do jezera o objemu
\DS{V }, ve
kterém je \DS{y_{0}}
znečišťujících částic, přitéká čistá voda
rychlostí \DS{r}
a stejnou rychlostí z jezera odtéká voda znečištěná.
Úbytek znečišťujících částic souvisí
s koncentrací znečištění a je popisován diferenciální
rovnicí
y^{\, \prime } = -{ r
\over V} y.
|
Tato rovnice se nazývá rovnice samočištění jezer. Vzhledem k tomu,
že je známa velikost počátečního znečištění,
řešíme tuto rovnici spolu s počáteční podmínkou
Po vyřešení rovnice obdržíme funkci, která umožní
přímo vypočítat množství znečištění
v jezeře v libovolném čase.
-
(ii)
Uvažujme populaci živočichů nebo rostlin určitého druhu
v určité lokalitě. Předpokládejme, že díky vzájemné
konkurenci mezi jednotlivci může daná lokalita uživit pouze omezený
počet živočichů. Maximální počet těchto
živočichů se nazývá nosná kapacita prostředí, označme ji
\DS{M}.
Výraz \DS{(M - y)}
poté udává volnou kapacitu prostředí, tj. kolik se
v prostředí ještě může uchytit jedinců. Derivace
\DS{y^{\, \prime }}
udává rychlost, s jakou se mění počet jedinců v populaci. Je
přirozené předpokládat, že tato rychlost je úměrná počtu
jedinců \DS{y}
a že klesá, je-li velikost populace blízká hodnotě
\DS{M}.
Zpravidla používáme pro modelování vývoje takové populace
logistickou rovnici
y^{\, \prime } = ky(M - y).
|
I tuto rovnici lze řešit separací proměnných, její řešení
je však již obtížnější.
-
(iii)
- Uvažujme, že z populace v předchozím bodě
odebíráme jednotlivce konstantní rychlostí
\DS{r}
(například vlivem lovu nebo těžby). Potom se růst populace
řídí diferenciální rovnicí
y^{\, \prime } = ky(M - y) - r.
|
Studium této rovnice (a rovnic, které jsou jejími modifikacemi) je užitečné
při vytváření ekologicky akceptovatelných modelů těžby a
využívání některých obnovitelných přírodních
zdrojů (jako jsou živočichové nebo biomasa, nikoli však ropa nebo uhlí).
-
(iv)
- Uvažujme, populaci, řídící se logistickou rovnicí,
z níž jsou odebíráni jedinci působením predátorů.
Rychlost, s jakou predátoři odebírají jedince označme
\DS{p(y)} (závisí
na \DS{y}, protože
např. je-li populace malá, predátoři vyhledávají dostupnější potravu
a \DS{p(y)} je malá; pro
větší \DS{y}
roste, nikoliv však do nekonečna, pouze do hladiny, kdy jsou predátoři
nasyceni). Potom se růst populace řídí diferenciální rovnicí
y^{\, \prime } = ky(M - y) - p(y).
|