Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře | Robert Mařík © 2007-2009 |
Motivace. Předpokládejme že je dána funkce \DS{f} s následujícími vlastnostmi:
Pro výpočet funkčních hodnot v bodech v okolí bodu
\DS{x_{0}} se budeme snažit
funkci aproximovat jednodušší funkcí, v našem případě polynomem stupně
\DS{n}. Nejlepší
polynom, který funkci \DS{f}
v okolí bodu \DS{x_{0}}
aproximuje je takový polynom, který má s danou funkcí totožné v bodě
\DS{x_{0}} derivace až
do řádu \DS{n}.
Takový polynom se nazývá Taylorův polynom a nalezneme ho pomocí
následující definice.
Poznámka 1.48. Taylorův polynom je jediný polynom stupně \DS{n}, který má s funkcí \DS{f} v bodě \DS{x_{0}} společnou funkční hodnotu a hodnotu prvních \DS{n} derivací. V případě že středem polynomu je \DS{x_{0} = 0} používáme pro Taylorův polynom název Maclaurinův polynom.
Věta 1.19 (Taylorova věta). Nechť funkce
\DS{f} má v bodě
\DS{x_{0}} a nějakém jeho
okolí \DS{O(x_{0})} spojité
kde \DS{T_{n}(x)} je Taylorův polynom funkce \DS{f} stupně \DS{n} se středem v bodě \DS{x_{0}} a \DS{R_{n+1}(x)} je zbytek. Tento zbytek splňuje
kde \DS{c} je vhodné číslo ležící mezi \DS{x} a \DS{x_{0}}. |
Poznámka 1.49 (aproximace a její přesnost). Z vyjádření zbytku
(1.15) plyne, že tento zbytek je malý, jestliže
Jsou-li tyto podmínky splněny, můžeme psát v okolí bodu \DS{x_{0}}
f(x)\approx T_{n}(x)
|
a chyba, které se při tom dopustíme bude malá. (Z (1.15) jsme schopni určit maximální hodnotu chyby, které se přitom dopustíme.)
Poznámka 1.50 (aplikační). Taylorův polynom tedy slouží k tomu, abychom jistou funkční závislost aproximovali závislostí polynomickou. Tím se závislost podstatně zjednoduší, protože polynomy jsou jedny z nejjednodušších funkcí. Mějme však na paměti, že polynomická aproximace může být
Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně | © 2007-2009 |