Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře Robert Mařík © 2007-2009 

1.7 Závěrečné poznámky

Již při budování diferenciálního počtu si matematici (a především přírodovědci) všimli, že definice spojitosti funkce pomocí limity se ocitla velmi daleko od názorné představy spojité funkce jako křivky, jejíž graf lze nakreslit jedním tahem. Nyní nám jde o to ujasnit si, jaký je mezi těmito dvěma přístupy rozdíl a co mají společného.

V technické praxi zpravidla studujeme tzv. po částech hladké funkce — funkce, jejichž definičním oborem je interval a tyto funkce mají derivaci ve všech bodech svého definičního oboru, s případnou výjimkou konečného počtu bodů. Toto vyplývá z faktu, že většinu přírodních zákonitostí popisujeme diferenciálními rovnicemi a řešení těchto rovnic (tj. funkce které dále studujeme) zcela přirozeně mají derivaci na intervalech, kde jsou definovány. Grafy takovýchto funkcí mají v každém svém bodě tečnu (tudíž jsou ”hladké”) a lze je snadno nakreslit. Potom lze vyslovit následující

Jestliže si uvědomíme tyto souvislosti, lze body nespojitosti klasifikovat do několika málo skupin!!!

(i)
Funkce má v bodě \DS{a} konečnou limitu \DS{\lim _{x\to a}f(x) = L}, není však v bodě \DS{a} definována, nebo je funkční hodnota \DS{f(a)} různá od \DS{L}. Tento typ nespojitosti je nejméně nepříjemný. Často jej nazýváme odstranitelná nespojitost, protože malou změnou funkce \DS{f} (pouze předefinováním jediné funkční hodnoty \DS{f(a)}) lze z funkce \DS{f} učinit funkci spojitou.
(ii)
Funkce \DS{f} má v bodě \DS{a} limitu, ta je však nevlastní.
(iii)
Funkce nemá v bodě \DS{a} limitu, má zde však alespoň obě jednostranné limity (vlastní nebo nevlastní). V tomto případě má funkce v bodě \DS{a} tzv. skok (konečný nebo nekonečný). V případě, že některá z jednostranných limit je vlastní, může být funkce v tomto bodě nanejvýš jednostranně spojitá (zleva nebo zprava).
(iv)
Funkce nemá v bodě \DS{a} ani některou z jednostranných limit. Znamená to, že pohybujeme-li se s bodem po grafu funkce \DS{f} tak, aby se \DS{x}-ová souřadnice bodu blížila k hodnotě \DS{a}, hodnoty \DS{y}-ových souřadnic se žádným způsobem neustálí. Znamená to, že funkce má v okolí bodu \DS{a} velice komplikovaný průběh, zpravidla je velice rozkmitaná.

S výjimkou prvního typu, žádný z dalších vyjmenovaných typů nespojitosti nelze odstranit vhodným předefinováním \DS{f(a)}, proto se nazývají podstatné nespojitosti. Podobně u funkcí které jsou po částech hladké lze charakterizovat body kde neexistuje derivace do několika málo typů. Nejdříve však připomeňme, že má-li funkce v nějakém bodě derivaci, pak je v tomto bodě spojitá. V bodě kde funkce není spojitá tedy derivace být nemůže. Budeme si tedy všímat bodů, kde funkce nemá v některém bodě derivaci, ale je v tomto bodě spojitá. Funkce má v bodě \DS{x} derivaci, jestliže existuje konečná limita

\lim _{h\to 0}{ f(x + h) - f(x) \over h} .
(1.17)

Případy, kdy tato derivace neexistuje jsou tedy následující:!!!

(i)
limita (1.17) je nevlastní, graf má tedy v tomto bodě svislou tečnu
(ii)
limita (1.17) neexistuje, existují však jednostranné limity. Graf má tečnu zleva a tečnu zprava, tyto jsou však různé — graf má hrot.
(iii)
limita (1.17) neexistuje, neexistuje ani jednostranná limita, graf nemá ani jednostrannou tečnu. Podobně jako v případě neexistence jednostranné limity to znamená že graf je v okolí bodu \DS{a} rozkmitaný a velice komplikovaný.

Tímto je klasifikace jednotlivých možností ukončena. Z předchozích příkladů vidíme, že body, kde funkce nemá buď limitu, nebo není spojitá, nebo nemá derivaci, jsou body, kde je funkce jistým způsobem ”škaredá” — zřetelně se odchyluje od představy grafu hladké křivky spojitě nakreslené jedním tahem.


    PSfrag replacements
odstraniteln´a nespojitost
        nevlastn´i limita
                 skok
                 hrot
           svisl´a teˇcna

Obrázek 1.7: Typy bodů nespojitosti a bodů bez derivace.

Poznamenejme, že situace je mnohem komplikovanější v případech, kdy nestudujeme po částech hladké funkce, ale obecně libovolné funkce. V tomto případě lze podat příklady funkcí, které se zcela vymykají běžnému chápání spojitosti funkce, např je možné nalézt

(i)
funkci \DS{f} definovanou na \DS{\mathbb{R}}, která nemá limitu v žádném bodě, dokonce ani jednostrannou (Dirichletova funkce)
(ii)
funkci \DS{f} definovanou na \DS{\mathbb{R}}, která je spojitá v bodech s iracionální hodnotou \DS{x} a nespojitá v bodech s racionální hodnotou \DS{x} (Riemannova funkce)
(iii)
funkci \DS{f} definovanou na \DS{\mathbb{R}}, která však má jediný bod, ve kterém je spojitá (případně konečně mnoho bodů kde je spojitá), nebo jediný bod, kde má derivaci.
(iv)
funkci \DS{f} definovanou a spojitou na \DS{\mathbb{R}}, která však nemá derivaci v žádném bodě, tj. v každém bodě má hrot (Weierstrassova funkce \DS{y =\sum _{ i=0}^{\infty }{\Bigl ({ 3 \over 4} \Bigr )}^{n}|\sin (4^{n}x)|}, Bolzanova funkce)
(v)
funkci \DS{f} definovanou a spojitou na \DS{\mathbb{R}}, která však nemá derivaci v žádném bodě, a to ani jednostrannou. Má tedy v každém bodě rozkmitanou tečnu (podobně jako např. funkce \DS{y = x\sin { 1 \over x} } v bodě \DS{x = 0}).

U těchto typů funkcí jakákoliv geometrická představa selhává, jsou ”škaredé” ve všech bodech svého definičního oboru, grafy těchto funkcí nelze zachytit grafickými prostředky. Protože však tyto funkce zcela nezpochybnitelně také patří do matematické analýzy (některé z nich mají dokonce použití v některých speciálních aplikacích, např. tzv. ”bílý šum”), je zřejmé, že při studiu funkcí se nelze opírat pouze o představu studia spojitě nakreslených křivek, ale je nutno použít některý ze způsobů, který nezávisí na konkrétní představě funkce. Proto jsme použili definice založené na pojmech okolí a limita.

   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009