Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře | Robert Mařík © 2007-2009 |
Jedna z nejvýznamnějších aplikací maticového počtu je řešení soustav lineárních rovnic. Historicky byl vznik maticové algebry motivován především pracemi týkajícími se řešení soustav lineárních rovnic.
Poznámka 3.32 (Různé formulace problému se soustavou dvou linárních rovnic o dvou neznámých.). Uvažujme následující tři problémy:
Všechny problémy jsou ekvivalentní a jedná se o jiný zápis
téhož. Jednou však používáme soustavu rovnic, vektory a jejich
lineární kombinaci a jednou matice a maticový součin
!
Protože pro řešení soustavy rovnic jsou podstatné pouze jednotlivé koeficienty1 , zavádíme následující definici.
Definice 3.14 (matice soustavy nazýváme maticí soustavy (3.13). Matici nazýváme rozšířenou maticí soustavy |
Poznámka 3.33 (vektorový zápis soustavy lineárních rovnic). Soustavu
(3.13) lze ekvivalentně přepsat do vektorového tvaru
Vidíme tedy, že se vlastně jedná o problém, vyjádřit vektor
složený z čísel na pravé straně soustavy rovnic jako lineární
kombinaci vektorů, které tvoří sloupce matice soustavy
. (Fakt, zda pracujeme
s řádkovými nebo se sloupcovými vektory evidentně není
podstatný.)
Poznámka 3.34 (maticový zápis soustavy lineárních rovnic). Soustavu (3.13) lze
ekvivalentně přepsat do maticového tvaru pomocí maticového součinu
\left (\array{
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}
\cr
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}
\cr
\mathop{\mathop{⋮}} & \mathop{\mathop{⋮}} & \mathrel{⋱}& \mathop{\mathop{⋮}}\cr
a_{
m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\cr
} \right )\left (\array{
x_{1}
\cr
x_{2}
\cr
\mathop{\mathop{⋮}}\cr
x_{
n}} \right ) = \left (\array{
b_{1}
\cr
b_{2}
\cr
\mathop{\mathop{⋮}}\cr
b_{
m}} \right ).
|
Tento tvar se používá často v inženýrských výpočtech pro úspornost. Symbolicky zpravidla píšeme soustavu lineárních rovnic ve tvaru
A\vec{x} =\vec{ b},
|
kde \DS{A} je matice
soustavy a \DS{\vec{b}}
je vektor pravých stran.
O řešitelnosti soustavy rovnic nám dává informaci následující věta.
Jedna z nejjednodušších metod pro nalezení řešení
soustavy lineárních rovnic je Gaussova metoda neúplné eliminace. Tato
metoda spočívá v tom, že soustavu rovnic nahrazujeme postupně
jinými soustavami, které mají stejnou množinu řešení. Toto
provádíme tak dlouho, dokud nedojdeme k soustavě, kterou umíme
vyřešit. V praxi veškeré operace provádíme přímo na
rozšířené matici soustavy
a to tak, že tuto matici převedeme na
schodovitý
tvar pomocí libovolných řádkových operací,
které jsme používali při zjišťování hodnosti
matice ve
Větě 3.5. Je třeba dbát na to, abychom používali důsledně pouze
řádkové operace a je třeba se vyvarovat manipulace se sloupci matice!
Je-li rozšířená matice soustavy
ve schodovitém tvaru, vidíme
okamžitě, zda je soustava řešitelná (viz. Frobeniova věta
) a pokud ano,
jsme schopni odspodu dopočítat jednotlivé neznámé. Přitom nastane
jeden z následujících případů:
Poznámka 3.35 (triviální řešení). Homogenní soustava lineárních
rovnic je vždy řešitelná. Vskutku — matice soustavy
a rozšířená
matice soustavy
se liší pouze sloupcem složeným ze samých nul a
mají tedy stejné hodnosti
. Navíc po dosazení okamžitě vidíme,
že \DS{n}-tice
\DS{x_{1} = 0},
\DS{x_{2} = 0},
…, \DS{x_{n} = 0}
je řešením. Toto řešení nazýváme triviální.
U homogenních soustav lineárních rovnic tedy buď existuje pouze triviální
řešení, nebo existuje nekonečně mnoho řešení.
Poznámka 3.36 (vektorový zápis homogenní soustavy lineárních rovnic).
Zapíšeme-li homogenní soustavu lineárních vektorově, vidíme,
že se vlastně jedná o problém nalézt lineární kombinaci
sloupců
matice soustavy
, která je rovna nulovému vektoru
. Taková lineární
kombinace vždy existuje – například triviální lineární kombinace.
Pokud má problém ještě jiné řešení, znamená to,
že sloupce matice soustavy jsou lineárně závislé
— viz. str. 145.
Všechny pojmy, které jsme si v souvislosti s lineární algebrou uváděli spolu úzce souvisí. Nejlépe je tato souvislost vidět u čtvercových matic, zformulujme si tedy následující větu, která rozšiřuje Větu 3.8.
Následující věta ukazuje jednu z aplikací inverzní matice.
Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně | © 2007-2009 |