Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře Robert Mařík © 2007-2009 

1.1 Funkce, vlastnosti funkcí

Definice 1.1 (funkce). Buďte \DS{A} a \DS{B} neprázdné podmnožiny množiny reálných čísel.

Pravidlo \DS{f}, které každému prvku množiny \DS{A} přiřadí jediný prvek množiny \DS{B} se nazývá funkce (přesněji: reálná funkce jedné reálné proměnné). Zapisujeme \DS{\mathbf{f : A\to B}}. Skutečnost, že prvku \DS{a\in A} je přiřazen prvek \DS{b\in B} zapisujeme takto: \DS{\mathbf{f(a) = b}}. Přitom říkáme, že \DS{b} je obrazem prvku \DS{a} při zobrazení \DS{f}, resp. že \DS{a} je vzorem prvku \DS{b} při zobrazení \DS{f}.


Definice 1.2 (pojmy spojené s funkcemi). Množina \DS{A} z definice funkce se nazývá definiční obor funkce \DS{f}. Označujeme \DS{\mathbf{D(f)}} (resp. \DS{Dom(f)}). Množina všech \DS{b\in B}, pro které existuje \DS{a\in A} s vlastností \DS{f(a) = b} se nazývá obor hodnot funkce \DS{f}. Označujeme \DS{\mathbf{H(f)}} (resp. \DS{Im(f)}).

Je-li \DS{y = f(x)} nazýváme proměnnou \DS{x} též nezávislou proměnnou a proměnnou \DS{y} závislou proměnnou. Grafem funkce rozumíme množinu všech uspořádaných dvojic \DS{[x,y]\in \mathbb{R}^{2}} s vlastností \DS{y = f(x)}.


Poznámka 1.1. Funkce je tedy pravidlo, které jednomu reálnému číslu přiřadí jediné, přesně definované jiné reálné číslo. Je-li toto pravidlo tvaru ”\DS{y = \text{vzorec s proměnnou $x$}}”, nazýváme tento předpis explicitním tvarem funkce, např. \DS{y = x^{2} +\ln x}.

Je-li toto pravidlo ve tvaru ”\DS{\text{vzorec s proměnnými $x,y$} = 0}”, nazýváme tento předpis implicitním tvarem funkce., např. \DS{x - y -\ln y = 0}. Zjednodušeně řečeno se tedy jedná o pravidlo, které je buď ”efektivní” (explicitní tvar) nebo ”málo efektivní” (implicitní tvar) pro výpočet funkčních hodnot.

Definice 1.3 (periodičnost funkce). Řekneme, že funkce \DS{f} je periodická, existuje-li kladné číslo \DS{p} s vlastnostmi: je-li \DS{x\in D(f)}, je i \DS{x + p\in D(f)} a \DS{f(x) = f(x + p)}. Nejmenší číslo \DS{p} s touto vlastností nazýváme (nejmenší) periodou.


V následující definici se budeme zajímat o to, jestli existuje nějaký vztah mezi funkční hodnotou v bodě \DS{x} z definičního oboru a v bodě opačném.

Definice 1.4 (parita funkce). Nechť funkce \DS{f} splňuje následující podmínku: \DS{x\in D(x)\Rightarrow (-x)\in D(f)}.

(i)
Řekneme, že funkce \DS{f} je sudá pokud platí \DS{f(-x) = f(x)}.
(ii)
Řekneme, že funkce \DS{f} je lichá pokud platí \DS{f(-x) = -f(x)}.
(iii)
Řekneme, že funkce \DS{f}paritu, je-li sudá nebo lichá.

Poznámka 1.2 (graf funkce mající paritu). Graf sudé funkce je osově souměrný podle osy \DS{y}. Graf liché funkce je středově souměrný podle bodu \DS{[0,0]}.

Poznámka 1.3 (k paritě). Parita funkce nás informuje o tom, že funkční hodnoty \DS{f(x)} a \DS{f(-x)} u funkce nejsou nezávislé, ale jsou definované obě současně a jsou buď stejné, nebo se liší znaménkem. V obecném případě zkoumáme sudost či lichost funkce přímo z definice. Sudost či lichost polynomu a racionální funkce poznáme přímo ze zápisu této funkce použitím následující věty.

Věta 1.1. Paritu polynomů a racionálních funkcí lze určit následovně:

(i)
Polynom je sudá (lichá) funkce právě tehdy, když obsahuje právě členy se sudým (s lichým) exponentem.
(ii)
Racionální funkce je lichá právě tehdy, když je podílem sudého a lichého polynomu (v libovolném pořadí).
(iii)
Racionální funkce je sudá právě tehdy, když je podílem dvou sudých nebo dvou lichých polynomů.

Poznámka 1.4. Poznamenejme, že číslo nula je také sudé. Sudý polynom tedy může obsahovat i absolutní člen. To že polynom je sudý (lichý) právě tehdy, když obsahuje pouze mocniny se sudým (lichým) exponentem slouží jako ”vysvětlení” toho, proč se používá pojem sudá a lichá funkce.

Příklad 1.1 (parita). Následující funkce jsou sudé: \DS{f(x) = x^{4} - 6}, \DS{g(x) ={ x^{3} + x \over 2x^{5} - 3x} }, \DS{h(x) ={ x^{4} - 6 \over x^{2} + 1} }.

Následující funkce jsou liché: \DS{f(x) = x^{3} - 6x^{7}}, \DS{g(x) ={ x^{3} - x \over 2x^{4} - 3} }, \DS{h(x) ={ x^{6} - 3 \over x^{3} - x} }.

Následující funkce nejsou ani sudé ani liché: \DS{f(x) = x^{4} + x^{2} - x}, \DS{g(x) ={ x^{3} - x \over 2x^{4} - 3x} }, \DS{y = e^{x}}.

Definice 1.5 (ohraničenost). Nechť \DS{f} je funkce a \DS{M\subseteq D(f)} podmnožina definičního oboru funkce \DS{f}.

(i)
Řekneme, že funkce \DS{f} je na množině \DS{M} zdola ohraničená, existuje-li reálné číslo \DS{a} s vlastností \DS{a\leq f(x)} pro všechna \DS{x\in M}.
(ii)
Řekneme, že funkce \DS{f} je na množině \DS{M} shora ohraničená, existuje-li reálné číslo \DS{b} s vlastností \DS{f(x)\leq b} pro všechna \DS{x\in M}.
(iii)
Řekneme, že funkce \DS{f} je na množině \DS{M} ohraničená, je-li na \DS{M} ohraničená zdola i shora.

Nespecifikujeme-li množinu \DS{M}, máme na mysli, že uvedená vlastnost platí na celém definičním oboru funkce \DS{f}.


Poznámka 1.5 (grafický důsledek). Funkce je shora ohraničená, jestliže existuje vodorovná přímka, která leží celá nad grafem funkce. Podobně poznáváme na grafu ohraničenost zdola.

Motivace. Pro libovolnou dobře definovanou funkci \DS{f} platí implikace

x_{1} = x_{2}\Rightarrow f(x_{1}) = f(x_{2}).

nyní se budeme zajímat o to, za jakých podmínek lze tuto implikaci obrátit. Obrácení implikace by totiž mohlo být užitečné při řešení některých nelineárních rovnic.

Definice 1.6 (prostost ). Nechť \DS{f} je funkce a \DS{M\subseteq D(f)} podmnožina definičního oboru funkce \DS{f}.

Řekneme, že funkce \DS{f} je prostá, jestliže každý obraz má jen jediný vzor, tj. pro každé \DS{y\in f(M)} existuje jediné \DS{x\in M} s vlastností \DS{f(x) = y}.

Nespecifikujeme-li množinu \DS{M}, máme na mysli, že uvedená vlastnost platí na celém definičním oboru funkce \DS{f}.


Poznámka 1.6 (grafický důsledek). Funkce je prostá, jestliže každá vodorovná přímka protíná graf nejvýše jednou.

Poznámka 1.7 (k prostým funkcím). Ekvivalentně lze říci, že funkce \DS{f} je prostá na množině \DS{M}, jestliže stejné obrazy mají nutně i stejný vzor, neboli různým vzorům jsou přiřazeny různé obrazy. Matematicky formulováno: platí implikace

f(x_{1}) = f(x_{2})\Rightarrow x_{1} = x_{2},
(1.1)

tj. je-li funkce \DS{f} prostá, můžeme tuto funkci ”odstranit” z obou stran rovnice a místo \DS{f(x_{1}) = f(x_{2})} psát ekvivalentně \DS{x_{1} = x_{2}}.

Definice 1.7 (inverzní funkce ). Nechť funkce \DS{f : A\to B} je prostá. Pravidlo, které každému \DS{x} z množiny \DS{f(A)} přiřadí to (jediné) \DS{y}, pro které platí \DS{f(y) = x} se nazývá inverzní funkce k funkci \DS{f}, označujeme \DS{\mathbf{f^{-1}}}.


Poznámka 1.8. Symbol \DS{f^{-1}(x)} lze tedy chápat buď jako hodnotu inverzní funkce k funkci \DS{f} v bodě \DS{x}, nebo jako převrácenou hodnotu k číslu \DS{f(x)}, tj jako \DS{[f(x)]^{-1} ={ 1 \over f(x)} }. Nebude-li z kontextu zřejmé, o kterou variantu se jedná, musíme toto upřesnit.

Poznámka 1.9 (geometrický význam inverzní funkce). Ihned z definice plyne, že graf funkce \DS{f} a graf funkce k ní inverzní \DS{f^{-1}} jsou souměrné podle přímky \DS{y = x}, tj. podle osy prvního a třetího kvadrantu.

Poznámka 1.10 (výpočet inverzní funkce). Inverzní funkci k funkci \DS{y = f(x)} určíme takto: zaměníme formálně v zadání funkce proměnné \DS{x} a \DS{y}, máme tedy \DS{x = f(y)}. Tato rovnice definuje implicitně inverzní funkci \DS{y = f^{-1}(x)}. Z této rovnice vyjádříme proměnnou \DS{y} (pokud toto nelze provést, ponecháme inverzní funkci v implicitním tvaru). Toto vyjádření je jednoznačné (jinak by to znamenalo, že funkce \DS{f} není prostá a inverzní funkce neexistuje) a definuje explicitně inverzní funkci \DS{f^{-1}}. U základních elementárních funkcí (viz dále) je zpravidla inverzní funkce jednoduše jiná základní elementární funkce, například inverzní funkce k logaritmické funkci je exponenciální funkce a podobně (viz Tabulka 1.1). Protože vlastnost ”být inverzní funkcí” je vlastnost vzájemná, je také logaritmická funkce inverzní k funkci exponenciální.




Funkce \DS{y = f(x)} Funkce inverzní \DS{y = f^{-1}(x)}




\DS{y = \sqrt{x}} \DS{y = x^{2}}, \DS{x\geq 0}


\DS{y = x^{2}}, \DS{x\geq 0}\DS{y = \sqrt{x}}


\DS{y = e^{x}} \DS{y =\ln x}


\DS{y =\ln x} \DS{y = e^{x}}


\DS{y = a^{x}} \DS{y =\log _{a}x}


\DS{y =\sin x}, \DS{x\in [-\pi ∕2,\pi ∕2]}\DS{y =\arcsin x}


\DS{y =\cos x}, \DS{x\in [0,\pi ]}\DS{y =\arccos x}


\DS{y =\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x}, \DS{x\in [-\pi ∕2,\pi ∕2]}\DS{y =\mathop{\mathrm{arctg}} x}



Tabulka 1.1: Inverzní funkce k základním elementárním funkcím.

Příklad 1.2 (výpočet inverzní funkce). Nalezneme inverzní funkci k funkci \DS{y ={ 2x - 1 \over x} }. Záměnnou proměnných získáváme implicitní tvar inverzní funkce

\eqalignno{ x & ={ 2y - 1 \over y} \kern 0em & \quad \text{odsud} & \kern 0em & & \kern 0em \kern 0em & \cr xy & = 2y - 1\kern 0em & & \kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr 1 & = (2 - x)y\kern 0em & \quad \text{a inverzní funkce má předpis} & \kern 0em & & \kern 0em \kern 0em & \cr y & ={ 1 \over 2 - x} \kern 0em & & \kern 0em & & \kern 0em \kern 0em }

Příklad 1.3 (výpočet inverzní funkce). Nalezneme inverzní funkci k funkci \DS{y = x + e^{x}}. Tato funkce je zřejmě prostá, protože je rostoucí. Záměnnou proměnných obdržíme implicitní tvar inverzní funkce

x = y + e^{y}.

Odsud již proměnnou \DS{y} neumíme vyjádřit. Ponecháme proto inverzní funkci v implicitním tvaru.

Poznámka 1.11 (zápis čísla jako výsledku předem zadané operace). Je zřejmé, že \DS{f(f^{-1}(x)) = x} a \DS{f^{-1}(f(x)) = x} pro všechna, pro která má tento zápis smysl. Toto nám umožňuje zapsat dané číslo jako výsledek nějaké operace. Např. číslo \DS{1} lze zapsat libovolnou z následujících možností

1 =\ln e^{1} =\log _{ 5}5^{1} = 6^{\log _{6}1} =\sin (\arcsin 1) =\mathop{\mathrm{arctg}} (\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits 1) = (\sqrt{1})^{2}

Poznámka 1.12 (nelineární rovnice). !!! Má-li funkce \DS{f} inverzní funkci \DS{f^{-1}} a je-li tato inverzní funkce definována v bodě \DS{x}, potom má nelineární rovnice s neznámou \DS{y}

f(y) = x

právě jedno řešení dané vzorcem

y = f^{-1}(x).

Příklad 1.4 (nelineární rovnice). Řešme rovnici

e^{{ 2 \over x-1} } = 2.

Protože k exponenciální funkci je inverzní logaritmická funkce, plyne odsud

{ 2 \over x - 1} =\ln 2,

odkud již snadno vyjádříme

x ={ 2 \over \ln 2} + 1.

Jinou možností je přepsat rovnici do tvaru, který obsahuje exponenciální funkci na obou stranách rovnice

e^{{ 2 \over x-1} } = e^{\ln 2}

a odstranit tuto exponenciální funkci z obou stran rovnice (exponenciální funkce je totiž prostá a lze použít (1.1) a připojenou poznámku). Obdržíme samozřejmě stejný výsledek.

Motivace. V následující definici jsou nejdůležitější pojmy rostoucí a klesající funkce. Názorně řečeno, jsou to funkce které zachovávají (rostoucí) nebo obracejí (klesající) směr nerovnosti při aplikaci funkce na obě strany nerovnice.

Definice 1.8 (monotonie funkce ). Nechť \DS{f} je funkce a \DS{M\subseteq D(f)} podmnožina definičního oboru funkce \DS{f}.

(i)
Řekneme, že funkce \DS{f} je na množině \DS{M} rostoucí jestliže pro každé \DS{x_{1},x_{2}\in M} s vlastností \DS{x_{1} < x_{2}}, platí \DS{f(x_{1}) < f(x_{2})}.
(ii)
Řekneme, že funkce \DS{f} je na množině \DS{M} klesající jestliže pro každé \DS{x_{1},x_{2}\in M} s vlastností \DS{x_{1} < x_{2}}, platí \DS{f(x_{1}) > f(x_{2})}.
(iii)
Řekneme, že funkce \DS{f} je na množině \DS{M} (ryze) monotonní je-li buď rostoucí, nebo klesající na \DS{M}.

Nespecifikujeme-li množinu \DS{M}, máme na mysli, že uvedená vlastnost platí na celém definičním oboru funkce \DS{f}.


Poznámka 1.13 (k monotonnosti). U vlastností monotonie nás zajímá nejčastěji případ, kdy množinou \DS{M} je interval. Potom má monotonie a ryzí monotonie názornou geometrickou interpretaci na grafu funkce (obrázek!). Pozor: funkce \DS{y = 1∕x} není klesající na celém svém definičním oboru, ale pouze na každém z intervalů \DS{(-\infty ,0)} a \DS{(0,\infty )}.

Poznámka 1.14 (nelineární nerovnice). !!!To, že je funkce rostoucí názorně znamená, že jsou-li vzory funkce (hodnoty \DS{x}) uspořádány podle velikosti, platí pro jejich obrazy (hodnoty \DS{f(x)}) stejné uspořádání. Je-li \DS{f(x)} tedy rostoucí funkce, jsou nerovnosti \DS{a < b} a \DS{f(a) < f(b)} ekvivalentní. Totéž platí i pro neostré nerovnice.

Můžeme tedy libovolnou (ostrou nebo neostrou) nerovnici např. ”logaritmovat”, nebo ”odlogaritmovat” logaritmem o základu větším než \DS{1}. Pozor! Je-li funkce \DS{f(x)} klesající, obrací se při aplikaci funkce (nebo při vynechání funkce) na obě strany nerovnice znaménko nerovnosti.

Příklad 1.5 (nelineární nerovnice). Nerovnici

\ln (x^{2} - 4x - 4) > 0

lze řešit například tak, že ji přepíšeme do tvaru s logaritmy na obou stranách nerovnice

\ln (x^{2} - 4x - 4) >\ln 1

a odlogaritmujeme:

x^{2} - 4x - 4 > 1

Odsud poté dostáváme postupně:

\eqalignno{ x^{2} - 4x - 5 & > 0\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr (x - 5)(x + 1) & > 0\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr x & \in (-\infty ,-1)\cup (5,\infty ),\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em }

přičemž kvadratickou nerovnici vyřešíme například graficky.

Okamžitě z definice vyplývá následující věta.

Věta 1.2. Je-li funkce \DS{f} na množině \DS{M} ryze monotonní, je na této množině i prostá.


Následující věta ukazuje, že při přechodu k inverzní funkci se zachovává ryzí monotonie a lichost.

Věta 1.3. Je-li funkce \DS{f(x)} rostoucí (klesající, lichá), má tutéž vlastnost i funkce inverzní \DS{f^{-1}(x)}.


Poznámka 1.15. Sudá funkce není prostá, nemá proto inverzní funkci.

Poznámka 1.16 (shrnující poznámka). !!!Shrňme si, jak nám znalost vlastností funkcí umožňuje pracovat s rovnicemi a nerovnostmi.

\eqalignno{ a = b\ \mathop{\Longleftrightarrow }\limits^{\text{$f$ je prostá}}\ f(a) = f(b) & \kern 0em & & \kern 0em & \cr a < b\ \mathop{\Longleftrightarrow }\limits^{\text{$f$ je rostoucí}}\ f(a) < f(b) & \kern 0em & a\leq b\ \mathop{\Longleftrightarrow }\limits^{\text{$f$ je rostoucí}}\ f(a)\leq f(b) & \kern 0em & & \kern 0em \kern 0em & \cr a < b\ \mathop{\Longleftrightarrow }\limits^{\text{$f$ je klesající}}\ f(a) > f(b) & \kern 0em & a\leq b\ \mathop{\Longleftrightarrow }\limits^{\text{$f$ je klesající}}\ f(a)\geq f(b) & \kern 0em & & \kern 0em \kern 0em & }

Je-li funkce \DS{f} prostá, pak pro každé \DS{y\in H(f)} má rovnice

f(x) = y

s neznámou \DS{x} právě jedno řešení a toto řešení je možno vyjádřit vztahem \DS{x = f^{-1}(y)}.

   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009