Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře Robert Mařík © 2007-2009 

2.3 Nevlastní integrál

Nevlastní integrál je rozšířením pojmu Riemannův integrálu. Riemannův integrál je definovaný pouze pro ohraničené funkce a konečné obory integrace.

Body, ve kterých funkce není ohraničená a nevlastní body \DS{\pm \infty } budeme souhrnně nazývat singulárními body.

Integrál \DS{\int _{a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x} nazýváme nevlastní, pokud alespoň jedno z čísel \DS{a}, \DS{b} je rovno \DS{\pm \infty }, nebo funkce \DS{f(x)} není ohraničená na uzavřeném intervalu \DS{[a,b]} (tj. alespoň v jednom bodě intervalu funkce má singulární bod - nemusí jít vždy o body \DS{a} nebo \DS{b}, ale singulární bod může být i uvnitř intervalu).

Následující definice je současně i návodem, jak nevlastní integrál vypočítat, je-li singulárním bodem horní mez:

Definice 2.8 (nevlastní integrál se singularitou v horní mezi). Nechť \DS{b\in \mathbb{R}\cup \{ +\infty \}} a nechť funkce \DS{f(x)} je integrovatelná na každém intervalu \DS{[a,c]}, kde \DS{a < c < b}. Dále nechť buď platí \DS{b =\infty } nebo nechť \DS{f(x)} není ohraničená v okolí bodu \DS{b}. Existuje-li vlastní limita \DS{\lim _{u\to b^{-}}\int _{a}^{u}f(x)\, \mathrm{d}x = B}, říkáme že nevlastní integrál konverguje a píšeme \DS{\int _{a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x = B}. Pokud limita neexistuje, nebo je nevlastní, říkáme, že integrál \DS{\int _{a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x} diverguje.



∫ ∞             ∫ u
    e-x2dx =  lim     e-x2dxy
 -1         u→ ∞ - 1





                                                       x
                - 1                   u

Obrázek 2.3: Nevlastní integrál \DS{\int _{-1}^{\infty }e^{-x^{2} }\, \mathrm{d}x}

Podobná situace nastává, je-li singulárním bodem dolní mez:

Definice 2.9 (nevlastní integrál se singularitou v dolní mezi). Nechť \DS{a\in \mathbb{R}\cup \{ -\infty \}} a nechť funkce \DS{f(x)} je integrovatelná na každém intervalu \DS{[c,b]}, kde \DS{a < c < b}. Dále nechť buď platí \DS{a = -\infty } nebo nechť \DS{f(x)} není ohraničená v okolí bodu \DS{a}. Existuje-li vlastní limita \DS{\lim _{u\to a^{+}}\int _{u}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x = A}, říkáme že nevlastní integrál konverguje a píšeme \DS{\int _{a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x = A}. Pokud limita neexistuje, nebo je nevlastní, říkáme, že integrál \DS{\int _{a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x} diverguje.


Poznámka 2.15. Pokud je v předchozích definicích \DS{b =\infty } nebo \DS{a = -\infty }, nahradíme odpovídající jednostrannou limitu obyčejnou limitou, tak jak jsme ji definovali v nevlastních bodech.

Poznámka 2.16. Pokud singulární bod leží uvnitř intervalu \DS{(a,b)}, \DS{a,b\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}}, nebo pokud jsou singulárními body obě meze, rozdělíme interval přes který integrujeme na několik podintervalů opakovaným využitím aditivity Riemannova integrálu vzhledem k mezím (Věta 2.11) a integrujeme na každém intervalu samostatně.

   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009