Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře | Robert Mařík © 2007-2009 |
Definice 2.3 (integrální součet
se nazývá integrální součet funkce f příslušný dělení \DS{D} a výběru reprezentantů \DS{R}. |
Poznámka 2.10 (geometrický význam integrálního součtu).
Předpokládejme pro jednoduchost, že funkce
\DS{f}
je na intervalu
\DS{(a,b)}
nezáporná. Geometricky je integrální součet roven součtu
obsahů obdélníků, jejichž základny (vodorovné hrany) mají
délku rovnu délce jednotlivých podintervalů v dělení
a
výška je rovna funkční hodnotě v bodě, který je
reprezentantem příslušného podintervalu.
Definice 2.4 (Riemannův integrál). Buď
\DS{[a,b]} uzavřený interval
a \DS{f} funkce definovaná a
ohraničená
pro libovolnou posloupnost dělení \DS{D_{n}},
splňující \DS{\lim _{n\to \infty }\nu (D_{n}) = 0} při
libovolné volbě reprezentantů \DS{R_{n}},
kde \DS{\sigma (f,D_{n},R_{n})}
je odpovídající integrální součet
|
Poznámka 2.11 (slovní formulace předchozí definice). Předpokládejme pro jednoduchost
že funkce \DS{f} je
spojitá
na \DS{[a,b]}.
V definici Riemannova integrálu je obsaženo následující:
(Nezávislost na výběru reprezentantů a na posloupnosti dělení je v tomto případě zaručena spojitostí funkce. V případě nespojitých funkcí je potřeba tuto nezávislost dokázat, což značně převyšuje náplň tohoto předmětu.)
Věta 2.9 (postačující podmínky pro integrovatelnost funkce).
|
Věta 2.10 (linearita určitého integrálu vzhledem k funkci). Nechť \DS{f}, \DS{g} jsou funkce integrovatelné na \DS{[a,b]}, \DS{c} nechť je reálné číslo. Pak platí \eqalignno{
\int _{a}^{b}[f(x) + g(x)]\, \mathrm{d}x & =\int _{
a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x +\int _{
a}^{b}g(x)\, \mathrm{d}x,\kern 0em & & \kern 0em
\kern 0em \cr
\int _{a}^{b}cf(x)\, \mathrm{d}x & = c\int _{
a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x.\kern 0em & & \kern 0em
\kern 0em }
|
Věta 2.11 (aditivita určitého integrálu vzhledem k mezím). Nechť \DS{f} je funkce integrovatelná na \DS{[a,b]}. Buď \DS{c\in (a,b)} libovolné. Pak je \DS{f} integrovatelná na intervalech \DS{[a,c]} a \DS{[c,b]} a platí
|
Poznámka 2.12 (integrál z nezáporné funkce). Pro \DS{f\equiv 0} dostáváme z předchozí věty tvrzení, že integrál z funkce nezáporné na celém integračním oboru je nezáporný.
V praxi se určitý integrál počítá užitím následující věty.
Metoda per–partés a substituční metoda pro určitý integrál vypadají následovně.
na každém intervalu, na kterém jsou funkce a jejich derivace |
Všimněte si, že při substituci v určitém integrálu se mohou měnit meze. Je proto nutné si uvést ještě následující definici.
Poznámka 2.13 (geometrický význam určitého integrálu).
Jak je vidno z definice určitého integrálu, je-li funkce
\DS{f} nezáporná na
intervalu \DS{[a,b]}, udává
integrál \DS{\int _{a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x} obsah
obrazce \DS{\{[x,y]\in \mathbb{R}\times \mathbb{R} : a\leq x\leq b\text{ a }0\leq y\leq f(x)\}}, tj. obsah
obrazce pod křivkou \DS{y = f(x)}
na intervalu \DS{[a,b]}.
Je-li funkce \DS{f}
lineární, je obrazcem pod křivkou lichoběžník, v ostatních
případech nazýváme množinu pod křivkou křivočarým
lichoběžníkem. Další geometrické aplikace jsou následující.
S =\int _{ a}^{b}[f(x) - g(x)]\, \mathrm{d}x.
|
Zde nic nemusíme předpokládat o kladnosti funkcí \DS{f} nebo \DS{g}.
V =\pi \int _{ a}^{b}f^{2}(x)\, \mathrm{d}x
|
V =\pi \int _{ a}^{b}[f^{2}(x) - g^{2}(x)]\, \mathrm{d}x
|
V následující poznámce si uvedeme metodu, jak přibližně
určit hodnotu určitého integrálu v případě, že
není snadné použít Newtonovu–Leibnizovu větu, např. když
nedokážeme nalézt primitivní funkci.
Poznámka 2.14 (Lichoběžníkové pravidlo, přibližný výpočet určitého integrálu).
Nechť je funkce \DS{f}
spojitá
na intervalu \DS{[a,b]}.
Rozdělme interval \DS{[a,b]}
na \DS{n} intervalů
stejné délky \DS{h},
tj. platí \DS{h ={ b - a
\over n} }.
Krajní body těchto intervalů označme po řadě
\DS{x_{0}},
\DS{x_{1}}, …,
\DS{x_{n}}
a jim odpovídající funkční hodnoty
\DS{y_{0}},
\DS{y_{1}}, …,
\DS{y_{n}}.
Hlavní myšlenka aproximace integrálu funkce
\DS{f} na
intervalu \DS{[a,b]}
spočívá v tom, že na tomto intervalu nahradíme funkci
\DS{f(x)} lomenou čarou
s vrcholy v bodech \DS{[a = x_{0},y_{0}]},
\DS{[x_{1},y_{1}]},
…\DS{[x_{n} = b,y_{n}]}
a integrál z takto upravené funkce vypočteme jako součet
obsahů jednotlivých lichoběžníků, z nichž je obrazec
pod lomenou čárou sestaven. (Toto lze provést i když funkce
\DS{f} nezachovává
znaménko na intervalu \DS{[a,b]}.)
Potom platí:
\int _{a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x\approx { h
\over 2} {\Bigl (y_{0} + 2y_{1} + 2y_{2} +\cdots +2y_{n-1} + y_{n}\Bigr )}.
|
Přitom chyba v tomto vzorci je tím menší, čím je
Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně | © 2007-2009 |