Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře Robert Mařík © 2007-2009 

2.4 Obyčejné diferenciální rovnice (úvod)

Obyčejná diferenciální rovnice je matematický vztah mezi neznámou funkcí a jejími derivacemi

Definice 2.10 (obyčejná diferenciální rovnice). Obyčejnou diferenciální rovnicí prvního řádu rozřešenou vzhledem k derivaci (stručně - diferenciální rovnicí (ODR)) s neznámou \DS{y} rozumíme rovnici tvaru

\mathbf{y^{\, \prime } = f(x,y)}
(2.5)

kde \DS{f} je funkce dvou proměnných. Řešením (též integrálem) rovnice na intervalu \DS{I} rozumíme každou funkci \DS{y = y(x)}, která splňuje identicky (2.5) na \DS{I}.

Úloha najít řešení rovnice (2.5), které splňuje zadanou počáteční podmínku

\mathbf{y(x_{0}) = y_{0}}
(2.6)

se nazývá počáteční úloha nebo též Cauchyova úloha. Jejím řešením rozumíme funkci, která splňuje podmínku (2.6) a je na nějakém intervalu obsahujícím bod \DS{x_{0}} řešením rovnice (2.5).

Řešení Cauchyovy úlohy nazýváme též partikulárním řešením rovnice (2.5). Graf partikulárního řešení se nazývá integrální křivka.


V souvislosti s diferenciálními rovnicemi nás zajímá především otázka, zda daná rovnice (počáteční úloha) má řešení, na jakém intervalu je toto řešení definováno a zda je určeno jednoznačně. My se budeme navíc zabývat pouze rovnicemi, u nichž lze řešení nalézt analytickou cestou pomocí integrálního počtu.

2.4.1 Rovnice typu \DS{y^{\, \prime } = f(x)}

Nejjednodušším příkladem diferenciální rovnice je rovnice tvaru

y^{\, \prime } = f(x).
(2.7)

Z integrálního počtu víme, že tuto rovnici splňuje každá primitivní funkce k funkci \DS{f}, tj. že řešením rovnice (2.7) je funkce

y =\int f(x)\, \mathrm{d}x + C,

kde \DS{C} je libovolná konstanta. Takovéto řešení, které obsahuje konstantu, nazýváme obecné řešení rovnice. Toto řešení tedy reprezentuje všechny funkce, vyhovující dané rovnici (je jich zřejmě nekonečně mnoho) Libovolné partikulární řešení získáme z obecného řešení vhodnou volbou konstanty.

Poznámka 2.17 (obecné a partikulární řešení). Podobný princip platí i u dalších diferenciálních rovnic. Funkcí které vyhovují diferenciální rovnici prvního řádu je nekonečně mnoho, zapíšeme-li všechny jedním vzorcem, bude tento vzorec obsahovat jistou konstantu \DS{C}. Takový vzorec se nazývá obecné řešení diferenciální rovnice. Každé jednotlivé (partikulární) řešení lze z tohoto vzorce obdržet1 vhodnou volbou konstanty \DS{C}.

   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009