Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře Robert Mařík © 2007-2009 

2.6 Diferenciální rovnice \DS{n}-tého řádu

V aplikacích se lze setkat i s rovnicemi, které obsahují i vyšší derivace — s diferenciálními rovnicemi vyšších řádů. Řádem takovéto rovnice máme přitom na mysli řád nejvyšší z derivací. V technické praxi se setkáváme zejména s diferenciálními rovnicemi druhého řádu a v některých aplikacích i s rovnicemi čtvrtého řádu.

Definice 2.12 (diferenciální rovnice \DS{n}-tého řádu). Diferenciální rovnicí \DS{n}-tého řádu rozřešenou vzhledem k nejvyšší derivaci rozumíme rovnici tvaru

y^{(n)} = f(x,y,y^{\, \prime },\mathop{\mathop{…}},y^{(n-1)}).

2.6.1 Rovnice typu \DS{y^{(n)} = f(x)}

Budeme se zabývat pouze nejjednodušším možným tvarem diferenciální rovnice \DS{n}-tého řádu, kdy proměnná \DS{y} vystupuje v rovnici pouze v \DS{n}-té derivaci, tj. rovnicí tvaru

y^{(n)} = f(x).
(2.9)

Některé poznatky je možné rozšířit i na další typy diferenciálních rovnice vyššího řádu.

Je-li funkce \DS{f} integrovatelná, lze rovnici zintegrovat a obdržíme

y^{(n-1)} =\int f(x)\, \mathrm{d}x + C_{ 1},

kde \DS{C_{1}} je integrační konstanta. Opakovaným integrováním dostáváme

y^{(n-2)} =\int {\Bigl (\int f(x)\, \mathrm{d}x\Bigr )}\, \mathrm{d}x + C_{ 1}x + C_{2},

kde \DS{C_{2}} je další integrační konstanta, obecně různá od \DS{C_{1}}. \DS{n}-násobným opakováním tohoto postupu dospějeme k vyjádření řešení \DS{y} pomocí \DS{n} integračních konstant \DS{C_{1}}, \DS{C_{2}}, …, \DS{C_{n}} — toto řešení nazýváme obecné řešení rovnice (2.9). Máme-li za úkol najít řešení partikulární, je třeba určit hodnoty celkem \DS{n} integračních konstant. Proto pro korektní formulaci Cauchyovy úlohy zadáváme ne jednu ale \DS{n} počátečních podmínek

y(x_{0}) = y_{0},\quad y^{\, \prime }(x_{0}) = y_{0}^{\, \prime },\quad \mathop{\mathop{…}},\quad y^{(n-1)}(x_{ 0}) = y_{0}^{(n-1)},
(2.10)

kde \DS{x_{0}}, \DS{y_{0}}, \DS{y_{0}^{\, \prime }}, …, \DS{y_{0}^{(n-1)}} jsou reálná čísla. Je-li funkce funkce \DS{f} spojitá na intervalu \DS{I}, obsahujícím bod \DS{x_{0}}, má každá počáteční úloha (2.9) – (2.10) jediné řešení, definované na intervalu \DS{I}.

   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009