Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře Robert Mařík © 2007-2009 

3.2 Matice

Definice 3.4 (matice). Maticí řádu \DS{m\times n} rozumíme schema

A = \left (\array{ a_{11} & a_{12} & a_{13}& \cdots & a_{1n} \cr a_{21} & a_{22} & a_{23}& \cdots & a_{2n} \cr \mathop{\mathop{⋮}} & \mathop{\mathop{⋮}} & & \mathrel{⋱}& \mathop{\mathop{⋮}}\cr a_{ m1}& a_{m2}& \cdots & \cdots & a_{mn}} \right )

kde \DS{a_{ij}} pro \DS{i = 1..m} a \DS{j = 1..n} jsou reálná čísla. Množinu všech matic řádu \DS{m\times n} označujeme symbolem \DS{\mathbb{R}^{m\times n}}. Zkráceně zapisujeme též \DS{A = (a_{ij})_{i=1..n,\ j=1..n}} nebo pouze \DS{\mathbf{A = (a_{ij})}}. Je-li \DS{m = n} nazývá se matice \DS{A} čtvercová matice, jinak obdélníková matice. Je-li \DS{A} čtvercová matice, nazýváme prvky tvaru \DS{a_{ii}}, tj. prvky, jejichž řádkový a sloupcový index jsou stejné, prvky hlavní diagonály.


Definice 3.5 (matice transponovaná). Buď \DS{A = (a_{ij})\in \mathbb{R}^{m\times n}} matice. Matice, která vznikne záměnou řádků matice \DS{A} za sloupce se nazývá matice transponovaná k matici \DS{A}. Matici transponovanou označujeme symbolem \DS{\mathbf{A^{T}}}. Platí tedy \DS{A^{T}\in \mathbb{R}^{n\times m}} a

A^{T} = (a_{ ji}),

kde \DS{a_{ij}} jsou prvky matice \DS{A}.


Příklad 3.4 (transponovaná matice). Je-li

A = \left (\array{ 1& -2& 3\cr 0& 1 & 3 \cr 2& 1 & 9\cr 0& 1 & -2} \right )\text{, platí }A^{T} = \left (\array{ 1 & 0& 2& 0\cr -2 & 1 & 1 & 1 \cr 3 & 3& 9& -2} \right ).

Poznámka 3.10 (souvislost matice s vektory). Řádky matice můžeme chápat i jako vektory z prostoru \DS{\mathbb{R}^{n}}. Potom má smysl mluvit o násobení nebo sčítání řádků, o lineární kombinaci řádků a o lineární závislosti a nezávislosti řádků. Podobná situace platí i pro sloupce. Matici, která obsahuje jediný řádek, lze chápat současně i jako vektor. Podobně matici, která obsahuje jediný sloupec, lze chápat současně jako sloupcový vektor.

Definice 3.6 (operace s maticemi). Buďte \DS{A = (a_{ij})}, \DS{B = (b_{ij})} matice řádu \DS{m\times n}. Součtem matic \DS{A} a \DS{B} rozumíme matici \DS{C = (c_{ij})} řádu \DS{m\times n}, kde \DS{c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}} pro všechna \DS{i}, \DS{j}. Zapisujeme \DS{\mathbf{C = A + B}}.

Buď \DS{A = (a_{ij})} matice řádu \DS{m\times n} a \DS{t\in \mathbb{R}} reálné číslo. Součinem čísla \DS{t} a matice \DS{A} rozumíme matici \DS{D = (d_{ij})} řádu \DS{m\times n}, kde \DS{d_{ij} = t.a_{ij}} pro všechna \DS{i}, \DS{j}. Zapisujeme \DS{\mathbf{D = tA}}.

Buďte \DS{A = (a_{ij})} matice řádu \DS{m\times n} a \DS{B = (b_{ij})} matice řádu \DS{n\times p}. Součinem matic \DS{A} a \DS{B} (v tomto pořadí) rozumíme matici \DS{G = (g_{ij})} řádu \DS{m\times p}, kde

g_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} +\cdots +a_{in}b_{nj}

pro všechna \DS{i = 1..m}, \DS{j = 1..p}. Zapisujeme \DS{\mathbf{G = AB}} (v tomto pořadí).


Poznámka 3.11 (k definici operací s maticemi). Sčítání matic a násobení reálným číslem je tedy (podobně jako pro vektory) definováno po složkách. Zachovává si proto běžné vlastnosti pro počítání s reálnými čísly – je komutativní a asociativní, také distributivní vzhledem k násobení reálným číslem. U součinu tomu tak není. Obratem ”v tomto pořadí” proto zdůrazňujeme, že pořadí matic v součinu nelze vyměnit, protože součin matic (na rozdíl od součtu) není komutativní operace.

Příklad 3.5. Pro matice \DS{A = \left (\array{ 2& -1& 2\cr 3& 1 & -2 \cr 2& 0 & 1} \right )}, \DS{B = \left (\array{ 1& -2& 1\cr 0& 1 & 3 \cr 2& 4 & 1} \right )} a \DS{C = \left (\array{ 2 & 4\cr -1 & 2 \cr 3 & 1} \right )} platí: \DS{A + B = \left (\array{ 3& -3& 3\cr 3& 2 & 1 \cr 4& 4 & 2} \right )}, zatímco např. součet \DS{A + C} není definován. Dále platí \DS{AC = \left (\array{ 11& 8\cr -1 & 12 \cr 7 & 9} \right )} zatímco maticový součin \DS{CA} není definován.

Poznámka 3.12. Maticový součin úzce souvisí s lineárními kombinacemi vektorů. Vskutku, porovnejte následující dva výpočty:

\left (\array{ 1 & 2& 0\cr -1 & 1 & 1 \cr 2 & 1& 3} \right )\cdot \left (\array{ 1& 1\cr 0& -2 \cr 1& 2} \right ) = \left (\array{ 1& -3\cr 0& -1 \cr 5& 6} \right )
1\cdot \left (\array{ 1\cr -1 \cr 2} \right )-2\cdot \left (\array{ 2\cr 1 \cr 1} \right )+2\cdot \left (\array{ 0\cr 1 \cr 3} \right ) = \left (\array{ -3\cr -1 \cr \ 6} \right )

Věta 3.2 (vlastnosti maticového součinu). Součin matic je asociativní a distributivní zprava i zleva vzhledem ke sčítání, tj. platí

\eqalignno{ A(BC) & = (AB)C\kern 0em & \text{(asociativita)} & \kern 0em & & \kern 0em \kern 0em & \cr A(B + C) & = AB + AC\qquad \kern 0em & \text{(levý distributivní zákon)} & \kern 0em & & \kern 0em \kern 0em & \cr (B + C)A & = BA + CA\kern 0em & \text{(pravý distributivní zákon)} & \kern 0em & & \kern 0em \kern 0em & }

vždy, když tyto operace mají smysl.


Definice 3.7 (jednotková matice). Jednotkovou maticí řádu \DS{n} rozumíme čtvercovou matici typu \DS{\mathbb{R}^{n\times n}}, která má v hlavní diagonále jedničky a mimo hlavní diagonálu nuly. Označujeme ji \DS{\mathbf{I_{n}}}.


Příklad 3.6. Jednotková matice řádu \DS{3} má tvar

I_{3} = \left (\array{ 1& 0& 0\cr 0& 1 & 0 \cr 0& 0& 1} \right ).

Poznámka 3.13. Jak ukáže následující věta, jednotková matice je při násobení matic neutrálním prvkem (hraje stejnou roli jako jednička při násobení reálných čísel). Navíc maticový součin \DS{AI_{n}} je definovaný jenom pro jediný index \DS{n}. Index u jednotkové matice proto můžeme vynechávat a symbolem \DS{I} budeme rozumět tu jedinou jednotkovou matici, pro kterou je tento součin definován. Podobně i pro součin \DS{I_{m}A}.

Věta 3.3 (vlastnost jednotkové matice). Buď \DS{A} matice. Pak platí \DS{IA = A} a \DS{AI = A}, vždy, když je tento maticový součin definovaný.


Poznámka 3.14 (k vytýkání u matic). Z toho, že operace součin matic není komutativní plyne např. že výraz \DS{AB - BA} nelze dále zjednodušit, nebo že z výrazu \DS{AB + CA} nelze vytknout (neodpovídá ani levému ani pravému distributivnímu zákonu). Z výrazu \DS{AB + A} lze vytknout použitím jednotkové matice následovně: \DS{AB + A = AB + AI = A(B + I)}. Podobně lze vytknout z výrazu \DS{AB + B = AB + IB = (A + I)B} .

   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009