Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře | Robert Mařík © 2007-2009 |
Motivace. Nyní budeme hledat vhodnou veličinu, která nám umožní popsat, jak rychle se mění jedna veličina při změnách veličiny druhé. U přímky je takovouto vhodnou veličinou směrnice (zpravidla označujeme symbolem \DS{k}): Je-li směrnice kladná, přímka roste, je-li záporná tak naopak. Je-li směrnice blízká k nule, přímka roste pozvolna, je-li mnohem větší něž jedna, přímka rychle roste, je-li mnohem menší než minus jedna, přímka rychle klesá.
Při studiu funkcí se ukazuje, že vhodnou mírou rychlosti růstu
funkce v daném bodě je směrnice tečny v tomto bodě (tato
směrnice se pochopitelně může měnit podlé křivky,
křivka může nejprve rychle růst, potom například růst zpomalit a
opět klesat). Jak ale najít směrnici tečny ke křivce v bodě
\DS{[x,f(x)]}? Použijeme
následující úvahu: Uvažujme sečnu na grafu funkce, která prochází
body \DS{[x,f(x)]} a
\DS{[x + h,f(x + h)]}.
Směrnice této sečny je
k_{\text{sečny}} ={ f(x + h) - f(x)
\over (x + h) - x} ={ f(x + h) - f(x)
\over h} .
|
Přiblížíme-li bod \DS{[x + h,f(x + h)]}
k bodu \DS{[x,f(x)]},
přiblíží se sečna k tečně a ze směrnice sečny dostaneme
směrnici tečny (sledujte na obrázku 1.1). Tímto procesem však veličina
\DS{h},
která je ve jmenovateli a udává vodorovnou vzálenost průsečíků na
sečně, klesne na nulu a nemůže se objevit ve jmenovateli (nulou nemůžeme
dělit). Proto je nutno podrobně prozkoumat, co se děje s funkčními
hodnotami funcí při změnách nezávislé proměnné
(\DS{x}). Budeme
se přitom nejvíce zajímat o případy, kdy se blížíme
k nějaké “problematické” hodnotě, např. k nule ve jmenovateli, k nule
uvnitř logaritmu, nebo “k nekonečnu” (viz dále).
Motivace. Definice v této podkapitole mají následující smysl: Budeme sledovat, jak souvisí funkční hodnota v daném bodě (pokud je definována) s funkčními hodnotami v nejbližších okolních bodech. Dále, pokud funkční hodnota v daném bodě není definována, budeme se zajímat o to, jestli funkční hodnoty v nejbližších okolních bodech jsou ustáleny okolo nějaké význačné hodnoty, či nikoliv. Nejprve je vhodné rozšířit si množinu reálných čísel o dva další body, plus a minus nekonečno.
Poznámka 1.17. Nejsou tedy definovány operace ”\DS{\infty -\infty }”, ”\DS{\pm \infty .0}” a ”\DS{{ \pm \infty \over \pm \infty } }”. Poznamenejme, že samozřejmě není definováno dělení nulou.
Definice 1.10 (okolí). Okolím bodu \DS{a\in \mathbb{R}} nazýváme libovolný otevřený interval, který ve svém vnitřku obsahuje bod \DS{a}, značíme \DS{\mathbf{O(a)}}. Ryzím (též prstencovým) okolím bodu \DS{a} rozumíme množinu \DS{O(a)\setminus \{a\}}, značíme \DS{\mathbf{\overline{O}(a)}}. Okolím bodu \DS{\infty } rozumíme libovolný interval tvaru \DS{(A,\infty )}, kde \DS{A} je reálné číslo a okolím bodu \DS{-\infty } interval \DS{(-\infty ,A)}. Ryzím okolím nevlastních bodů rozumíme totéž, co okolím těchto bodů. |
Definice 1.11 (limita funkce). Nechť \DS{a,L\in \mathbb{R}^{*}} a \DS{f :\mathbb{R}\to \mathbb{R}}. Nechť je funkce \DS{f} definovaná v nějakém ryzím okolí bodu \DS{a}. Řekneme, že funkce \DS{f} má v bodě \DS{a} limitu rovnu číslu \DS{L}, jestliže ke každému okolí \DS{O(L)} bodu \DS{L} existuje ryzí okolí \DS{\overline{O}(a)} bodu \DS{a} takové, že pro libovolné \DS{x\in \overline{O}(a)} je \DS{f(x)\in O(L)}. Píšeme
nebo \DS{\mathbf{f(x)\to L}} pro \DS{\mathbf{x\to a}}. |
Vlastní limitu ve vlastním bodě je někdy vhodné ekvivalentně definovat následovně:
Definice 1.13 (\DS{\varepsilon \delta }-definice limity). Nechť \DS{a,L\in \mathbb{R}} a \DS{f :\mathbb{R}\to \mathbb{R}}. Řekneme, že funkce \DS{f} má v bodě \DS{a} limitu rovnu číslu \DS{L}, jestliže ke každému \DS{\varepsilon > 0} existuje \DS{\delta > 0} takové, že pro libovolné \DS{x\in (a-\delta ,a+\delta )}, \DS{x\neq a} platí \DS{f(x)\in (L-\varepsilon ,L+\varepsilon )}. |
Poznámka 1.18. Místo \DS{x\in (a-\delta ,a+\delta )}, \DS{x\neq a} lze ekvivalentně psát \DS{0 < |x - a| <\delta }. Podobně místo \DS{f(x)\in (L-\varepsilon ,L+\varepsilon )} lze psát \DS{|f(x) - L| <\varepsilon }
Poznámka 1.19. Definice limity je naprosto nevhodná pro výpočet. Jednodušší je ukázat pomocí definice, že číslo \DS{L} není limitou funkce v bodě \DS{a}.
Definice 1.14 (jednostranné okolí). Pravým (resp. levým) okolím bodu \DS{a\in \mathbb{R}} nazýváme libovolný interval tvaru \DS{[a,b)},(resp. tvaru \DS{(b,a]}, pro levé okolí), kde \DS{b} je reálné číslo splňující \DS{b > a} (resp. \DS{b < a}). Značíme \DS{O^{+}(a)} (\DS{O^{-}(a)}). Ryzím pravým (resp. levým) okolím bodu \DS{a} rozumíme odpovídající jednostranné okolí, ze kterého vyjmeme bod \DS{a}. Značíme \DS{\overline{O^{+}}(a)}, (\DS{\overline{O^{-}}(a)}). |
Definice 1.15 (jednostranná limita). Nechť \DS{a\in \mathbb{R}}, \DS{L\in \mathbb{R}^{*}} a \DS{f :\mathbb{R}\to \mathbb{R}}. Dále nechť je funkce \DS{f} definovaná v nějakém pravém (levém) ryzím okolí bodu \DS{a}. Řekneme, že funkce \DS{f} má v bodě \DS{a} limitu zprava (limitu zleva) rovnu číslu \DS{L}, jestliže ke každému okolí \DS{O(L)} bodu \DS{L} existuje pravé ryzí okolí \DS{\overline{O^{+}}(a)} (levé ryzí okolí \DS{\overline{O^{-}}(a)}) bodu \DS{a} takové, že pro libovolné \DS{x\in \overline{O^{+}}(a)} (\DS{x\in \overline{O^{-}}(a)}) platí \DS{f(x)\in O(L)}. Píšeme \DS{\lim _{x\to a^{+}}f(x) = L} (\DS{\lim _{x\to a^{-}}f(x) = L}). |
Poznámka 1.20 (zkrácená forma zápisu). Jiná forma zápisu jednostranné limity je \DS{f(a+) = L} pro limitu zprava a \DS{f(a-) = L} pro limitu zleva. Fakt, že za argumentem funkce je znaménko přitom signalizuje, že se nejedná o funkční hodnotu v bodě \DS{a} (tj. nejde o \DS{f(a)}), ale o limitu v bodě \DS{a} zprava nebo zleva. Pro oboustranné limity se symbolika tohoto typu používá zřídka, píšeme potom \DS{f(a\pm )}.
Poznámka 1.21. Vidíme, že nedefinujeme ani jednostranná okolí nevlastních bodů ani jednostranné limity v těchto bodech.
Poznámka 1.22. Aby existovala limita v bodě \DS{a\in \mathbb{R}},
nemusí být funkce \DS{f}
v bodě \DS{a}
definována, protože \DS{f(a)}
v definici limity nikde nevystupuje. Například limita funkce \DS{\lim _{x\to 0}{ \sin x
\over x} }
existuje, i když tato funkce není definována v bodě \DS{0}.
Funkce naopak musí být definována v nějakém ryzím okolí
(nebo ryzím jednostranném okolí, v případě jednostranné
limity) bodu \DS{a}.
Nedefinujeme tedy například \DS{\lim _{x\to 1}\sqrt{1 - 3x^{2}}},
nebo \DS{\lim _{x\to 0^{-}}\ln (x)}.
Poznámka 1.23 (”vulgární” vyjádření pojmu limita). Nepřesně řečeno, předpis \DS{\lim _{x\to a}f(x) = L} znamená, že je-li hodnota \DS{x} blízká k číslu \DS{a}, je funkční hodnota \DS{f(x)} blízká k číslu \DS{L}.
Poznámka 1.24 (technická – grafické nalezení limity). Existenci a hodnotu limity
poznáme pěkně z grafu funkce (umíme-li ho nakreslit). Představme si graf funkce
\DS{y = f(x)} a hledejme
hodnotu limity \DS{\lim _{x\to a^{+}}f(x)}
Obrázek 1.3 ilustruje tuto myšlenku. Funkce na obrázku má obě jednostranné limity v bodě \DS{a}, jsou však různé. Proces nalezení limity zprava je zachycen na obrázku, limita zleva se najde analogicky.
Poznámka 1.25 (”experimentální stanovení limity”). Chceme-li odhadnout, zda jistá limita existuje či nikoliv, lze použít následující postup: zvolíme nějakou posloupnost čísel, která se blíží k číslu \DS{a} a postupně počítáme funkční hodnoty funkce \DS{f} v těchto číslech. Měla by vycházet posloupnost čísel, které se přibližují k jistému číslu \DS{L}. Pokud toto skutečně vychází, je pravděpodobné, že toto číslo \DS{L} je limitou funkce \DS{f} v bodě \DS{a} ve smyslu výše uvedené definice. Toto přibližování může být porušeno v bodech, které jsou již ”značně blízko” bodu \DS{a}, což bývá způsobeno omezenou přesností počítacích strojů a následným selháním algoritmů, které jsou v těchto strojích zabudovány.
Příklad 1.6 (numerický experiment). Odhadneme hodnotu limity \DS{\lim _{x\to 0^{+}}{ \sin x \over x} } pomocí numerického experimentu. Budeme hledat hodnoty funkce \DS{{ \sin x \over x} } na posloupnosti hodnot \DS{x}, které konvergují k nule zprava. Dostáváme
\DS{x} | \DS{0.5} | \DS{0.2} | \DS{0.1} | \DS{0.01} | \DS{0.005} | \DS{0.00001} |
\DS{{ \sin x \over x} } | \DS{0.95885} | \DS{0.99334} | \DS{0.99833} | \DS{0.999983} | \DS{0.9999958} | \DS{1} |
Odsud se zdá být rozumné se domnívat, že
\lim _{x\to 0^{+}}{ \sin x
\over x} = 1.
|
Nicméně, tato domněnka může býti zavádějící.
Numerický experiment dává dobrou představu, jaká by mohla hodnota limity být, nemůže však být použit pro důkaz existence limity. Je nutno odvodit přesnou teorii pro výpočet limit, jak bude provedeno níže.
Následující vlastnost nám dává informaci o vztahu limity v bodě a
funkční hodnoty v tomto bodě. Tyto mohou být zcela nezávislé –
můžou existovat obě současně a být různé, nebo kterákoliv z nich
existovat nemusí. Pokud však obě existují a jsou stejné, je funkce
určitým způsobem ”pěkná” — spojitá.
Definice 1.16 (spojitost v bodě Řekneme, že funkce \DS{f :\mathbb{R}\to \mathbb{R}} je spojitá zprava (spojitá zleva) v bodě \DS{a}, jestliže \DS{a} je v definičním oboru funkce \DS{f} a \DS{\lim _{x\to a^{+}}f(x) = f(a)} (\DS{\lim _{x\to a^{-}}f(x) = f(a)}). |
Definice 1.17 (spojitost na intervalu). Řekneme, že funkce je spojitá na otevřeném intervalu \DS{(a,b)}, je-li spojitá v každém jeho vnitřním bodě. Řekneme, že funkce je spojitá na uzavřeném intervalu \DS{[a,b]}, je-li spojitá v každém jeho vnitřním bodě, v bodě \DS{a} je spojitá zprava a v bodě \DS{b} je spojitá zleva. |
Označení. Množinu všech funkcí spojitých 1 na intervalu \DS{I} označujeme \DS{C(I)}. Je-li \DS{I = (a,b)} nebo \DS{I = [a,b]}, píšeme \DS{C((a,b))}, nebo \DS{C([a,b])}.
Poznámka 1.26 (filozofická). Všimněte si, že definice spojitosti je zcela odlišná od ”běžné” představy spojité funkce jakožto funkce, jejíž graf lze nakreslit jedním tahem. Tato skutečnost je však přirozená, protože nedokonalost, která nutně provází jakoukoliv vizualizaci grafu funkce, nám nedovoluje zavést přesně jakýkoliv pojem, tedy ani spojitost, pokud se odvoláváme pouze na geometrický názor. Definice vlastně vyjadřuje fakt, že na intervalu, na kterém je funkce spojitá, se její funkční hodnoty mění ”pozvolna” – malá změna proměnné \DS{x} vyvolá relativně malou změnu proměnné \DS{y}.
Následující definice se týká naprosté většiny funkcí, se kterými budeme pracovat.
Poznámka 1.27. Elementární funkce jsou tedy všechny funkce, které umíme v konečném tvaru vyjádřit explicitním vzorcem za použití funkcí známých ze střední školy a cyklometrických funkcí.
Poznámka 1.28 (technická). Předchozí věta nám říká, že u elementárních funkcí je limita a funkční hodnota v bodech patřících do definičního oboru totéž. Limitu v bodě \DS{a} proto zkusíme počítat tak, že nejprve dosadíme \DS{x = a}. Pouze pokud ”nelze dosadit”, tj. pokud \DS{a\not \in D(f)}, musíme limitu počítat jinak. Díky této větě je pro nás pojem limita u elementárních funkcí zajímavý již jen v bodech, které nepatří do definičního oboru funkce.
Příklad 1.7 (výpočet limity dosazením). Funkce
\DS{y ={ e^{x}\ln (x)
\over x^{2} - 1} } je spojitá
na intervalech \DS{(0,1)}
a \DS{(1,\infty )}.
Proto např.
\lim _{x\to 2}{ e^{x}\ln (x)
\over x^{2} - 1} ={ e^{2}\ln 2
\over 3} .
|
Čtenář má ze střední školy pravděpodobně intuitivní představu o asymptotách ke grafu funkce. Následující definice včleňují asymptoty do konceptu limit.
Definice 1.20 (asymptota bez směrnice, svislá asymptota). Buď \DS{f} funkce a \DS{x_{0}\in \mathbb{R}} vlastní bod. Řekneme, že přímka \DS{x = x_{0}} je asymptotou bez směrnice (též svislá nebo vertikální asymptota) ke grafu funkce \DS{f}, jestliže alespoň jedna z jednostranných limit funkce \DS{f} v bodě \DS{x_{0}} existuje a je nevlastní. |
Poznámka 1.29 (souvislost mezi limitou a vodorovnou asymptotou). Předchozí věta a definice říkají, že vodorovná (horizontální) asymptota v nevlastním bodě je totéž, co limita v tomto bodě. Vskutku, blíží-li se graf funkce \DS{y = f(x)} k přímce \DS{y = q} (přímka je asymptotou), znamená to, že funkční hodnoty \DS{f(x)} se blíží k číslu \DS{q} (číslo \DS{q} je limitou), a naopak.
Definice 1.22 (asymptota se směrnicí). Buď
\DS{f}
funkce definovaná v nějakém okolí
Podobně, zaměníme-li bod \DS{\infty } za bod \DS{-\infty }, obdržíme definici asymptoty se směrnicí ke grafu funkce \DS{f} v bodě \DS{-\infty }. |
Poznámka 1.30 (geometrický význam předchozí definice). Asymptota se směrnicí je tedy přímka, ke které se graf přibližuje v některém z nevlastních bodů. Všimněte si, že definice nevylučuje případ, kdy \DS{kx + q - f(x) = 0}, tj. kdy je funkce \DS{f} lineární. V tomto případě je grafem funkce přímka, která je sama svojí asymptotou.
Dále podotkněme, že vodorovná asymptota je pouze speciální případ asymptoty se směrnicí, jejíž směrnice je nulová.
Věta 1.7 (asymptota se směrnicí). Buď
\DS{f}
funkce definovaná v nějakém okolí
Podobně, zaměníme-li bod \DS{\infty } za bod \DS{-\infty }, obdržíme asymptotu se směrnicí ke grafu funkce \DS{f} v bodě \DS{-\infty }. |
Poznámka 1.31. Graf funkce může ale nemusí mít asymptotu. U asymptot se směrnicí mohou, ale i nemusí, být obě asymptoty v nevlastních bodech \DS{\pm \infty } stejné. Dokonce může existovat pouze jedna (viz např funkce \DS{y = e^{x}}). U asymptot ke grafům racionálních funkcí je situace jednodušší (viz následující věta).
V následujícím textu si ukážeme některé techniky umožňující praktický výpočet limit.
Věta 1.9 (pravidla pro počítání s limitami). \eqalignno{
\lim _{x\to a}(f(x)\pm g(x)) & =\lim _{x\to a}f(x)\pm \lim _{x\to a}g(x)\kern 0em & \text{(1.4)}
\cr
\lim _{x\to a}(f(x)\cdot g(x)) & =\lim _{x\to a}f(x)\cdot \lim _{x\to a}g(x)\kern 0em & \text{(1.5)}
\cr
\lim _{x\to a}{ f(x)
\over g(x)} & ={ \lim _{x\to a}f(x)
\over \lim _{x\to a}g(x)} \kern 0em & \text{(1.6)}
\cr
\lim _{x\to a}|f(x)| & = |\lim _{x\to a}f(x)|,\kern 0em & \text{(1.7)}
}
kde limita vlevo existuje, jestliže existují limity vpravo (vlastní nebo nevlastní) a výraz vpravo je definován. Totéž platí i pro jednotlivé jednostranné limity. |
Příklad 1.8 (aplikace předchozí věty). S využitím věty lze počítat následující limity
Příklad 1.9 (selhání předchozí věty). Větu nelze použít pro výpočet limity \DS{\lim _{x\to 0^{+}}({ 1 \over x} +\ln x)}, protože bychom obdrželi nedefinovaný výraz ”\DS{\infty -\infty }”. Stejně tak větu nelze použít např. pro výpočet limit \DS{\lim _{x\to \infty }(\sin ^{2}x +\cos ^{2}x)} nebo \DS{\lim _{x\to \infty }{ 1 \over x} \cos ^{2}x}, protože limity \DS{\lim _{x\to \infty }\sin ^{2}x} a \DS{\lim _{x\to \infty }\cos ^{2}x} neexistují. Toto však nic nevypovídá o tom, zda původní limita existuje nebo neexistuje!
Následující věta je aplikovatelná v případech, kdy hledáme limitu součinu dvou funkcí, z nichž jedna limitu nemá a druhá má limitu nulovou.
Příklad 1.10 (aplikace předchozí věty). S pomocí této
věty již lze vypočítat limitu z předchozí poznámky:
\DS{\lim _{x\to \infty }{ 1
\over x} \cos ^{2}x = ”0.(ohraničená funkce)” = 0}
Následující věta má použití například při výpočtu limity racionální funkce v bodech, ve kterých tato funkce není definována, tj. v bodech, pro které po dosazení vychází nula ve jmenovateli a nenulové číslo v čitateli (vychází-li nula i v čitateli, lze ve zlomku provést krácení, čímž se situace převede na některý z ostatních případů).
Věta 1.11 (limita typu ”\DS{{ L
\over 0} }”).
Nechť \DS{a\in \mathbb{R}^{*}},
\DS{\lim _{x\to a}g(x) = 0} a
\DS{\lim _{x\to a}f(x) = L\in \mathbb{R}^{*}\setminus \{0\}}. Nechť existuje
ryzí okolí
Totéž platí i pro jednostranná okolí a příslušné jednostranné limity. |
Poznámka 1.33 (symboly ”\DS{ + 0}”, ”\DS{ - 0}”).
Limita typu ”\DS{{ L
\over 0} }”,
pokud existuje, je vždy nevlastní. Znaménko určíme pomocí
běžných pravidel pro určení znaménka podílu – podíl
dvou kladných nebo dvou záporných čísel je kladný, podíl
kladného a záporného čísla (v libovolném pořadí) je
záporný. Vyjádříme-li tedy symbolem ”\DS{ + 0}”
skutečnost, že funkce ve jmenovateli má limitu (jedno- nebo oboustrannou) rovnu
nule, v nějakém ryzím okolí (jedno- nebo oboustranném) je však
nenulová a kladná, lze podle předchozí věty počítat např.
takto: \DS{{ 2
\over +0} =\infty },
\DS{{ -\infty
\over +0} = -\infty }.
Podobně symbolem ”\DS{ - 0}”
vyjádříme skutečnost, že funkce ve jmenovateli má nulovou limitu
a v nějakém ryzím okolí je nenulová a záporná a lze psát
např. \DS{{ -2
\over -0} =\infty }.
Poznámka 1.34 (technická). V praxi je při aplikaci předchozí věty obvyklé vyšetřovat nejprve jednostranné limity a z jejich vzájemného vztahu poté usoudit na existenci nebo neexistenci oboustranné limity.
Příklad 1.11 (limita lomené funkce ve vlastním bodě nepatřícím do definičního oboru).
Následující věta ukazuje, že při výpočtu limity složené funkce lze postupovat tak, že určíme nejprve limitu vnitřní složky a poté na výsledek aplikujeme složku vnější.
Příklad 1.12 (limita složené funkce se spojitou vnější složkou).
Předchozí větu nelze aplikovat v případě, že limita vnitřní složky je nevlastní, nebo pokud uvedeným postupem obdržíme nedefinovaný výraz, např. ”\DS{\ln 0}”. V tomto případě lze využít následující větu.
Poznámka 1.35 (substituce v limitě). Věta je vlastně větou o substituci v limitě. Např. v limitě \DS{L =\lim _{x\to 0^{+}}\ln { 1 \over x} } substituce \DS{y ={ 1 \over x} } vede na limitu \DS{L =\lim _{y\to \infty }\ln y} (protože \DS{\lim _{x\to 0^{+}}{ 1 \over x} =\infty }) a odsud dostáváme \DS{L =\infty }
Příklad 1.13 (limita složené funkce).
Následující věta umožní snadné počítání limity polynomu a racionální funkce v nevlastních bodech.
Věta 1.14 (limita polynomu a racionální funkce v nevlastních bodech). Platí \eqalignno{
\lim _{x\to \pm \infty }(a_{0}x^{n} + a_{
1}x^{n-1} +\cdots +a_{
n-1}x + a_{n}) & =\lim _{x\to \pm \infty }a_{0}x^{n}\kern 0em & & \kern 0em
\kern 0em \cr
\lim _{x\to \pm \infty }{ a_{0}x^{n} + a_{1}x^{n-1} +\cdots +a_{n-1}x + a_{n}
\over b_{0}x^{m} + b_{1}x^{m-1} +\cdots +b_{m-1}x + b_{m}} & =\lim _{x\to \pm \infty }{ a_{0}
\over b_{0}} x^{n-m}\kern 0em & & \kern 0em
\kern 0em }
|
Poznámka 1.36 (technická). Limita polynomu stupně alespoň jedna v nevlastních bodech je tedy vždy nevlastní, přičemž o jejím znaménku rozhoduje pouze vedoucí člen. O hodnotě limity podílu dvou polynomů rozhoduje pouze podíl vedoucího člene čitatele a vedoucího člene jmenovatele.
Příklad 1.14 (limita polynomu a lomené funkce v nevlastních bodech).
Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně | © 2007-2009 |