Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře Robert Mařík © 2007-2009 

3.5 Determinant

Definice 3.11 (determinant). Buď \DS{A\in \mathbb{R}^{n\times n}} čtvercová matice řádu \DS{n}. Determinant matice \DS{A} je reálné číslo \DS{\mathbf{\det A}} přiřazené matici \DS{A} následujícím způsobem:

(i)
Je-li \DS{A} matice řádu \DS{1}, tj. \DS{A = (a_{11})}, je \DS{\det A = a_{11}}.
(ii)
Máme-li definován determinant z matice řádu \DS{(n - 1)} označme symbolem \DS{M_{ij}} determinant matice řádu \DS{(n - 1)}, která vznikne z matice \DS{A} vynecháním \DS{i}-tého řádku a \DS{j}-tého sloupce. Definujme algebraický doplněk \DS{A_{ij}} prvku \DS{a_{ij}} jako součin \DS{A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}}.
(iii)
Konečně, definujme determinant řádu \DS{n} následovně: zvolíme libovolný index \DS{i\in \{1,2,\mathop{\mathop{…}}n\}} a definujeme
\det A = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} +\cdots +a_{in}A_{in}.
(3.6)

Poznámka 3.23 (k označení). Determinant matice \DS{A} označujeme též \DS{|A|}. Je-li \DS{A = (a_{ij})} píšeme zkráceně \DS{|a_{ij}|} místo \DS{|(a_{ij})|}. K záměně s absolutní hodnotou může dojít jedině v případě, že matice \DS{A} je řádu jedna. V praxi se však obvykle s maticemi řádu jedna nepracuje.

Poznámka 3.24 (k definici determinantu). Vztah (3.6) se nazývá rozvoj podle podle \DS{i}-tého řádku a umožňuje zapsat determinant řádu \DS{n} jako součet determinantů řádu \DS{(n - 1)}. Determinant je výše uvedenou definicí dobře definován, lze ukázat, že nezáleží na výběru indexu \DS{i}. V literatuře se často determinant definuje poněkud odlišným (avšak ekvivalentním) způsobem a vztah (3.6) má poté postavení matematické věty — nazývá se Laplaceova věta, nebo Laplaceův rozvoj determinantu podle \DS{i}-tého řádku.

Poznámka 3.25. !!!Aplikací definice determinantu dostáváme pro determinanty druhého a třetího řádu následující (volíme vždy \DS{i = 1}):

\left \vert \array{ a& b\cr c& d} \right \vert = a|d|-b|c| = ad-bc

a

\left \vert \array{ a& b& c\cr i& j& k \cr x& y& z} \right \vert = a\left \vert \array{ j& k\cr y& z} \right \vert -b\left \vert \array{ i& k\cr x& z} \right \vert +c\left \vert \array{ i& j\cr x& y} \right \vert = ajz+bkx+ciy-(cjx+biz+aky)

Tyto vztahy je vhodné si zapamatovat. První z těchto vztahů se nazývá křížové pravidlo, druhý Sarusovo pravidlo. Pro determinanty vyšších řádů se počítání přímo z definice nehodí, protože je zdlouhavé a vyžaduje značné množství operací násobení. Proto si níže odvodíme jinou metodu pro výpočet determinantu.

Definice 3.12 (regulární a singulární matice). Buď \DS{A} čtvercová matice. Je-li \DS{\det A = 0}, říkáme, že matice \DS{A} je singulární, v opačném případě říkáme, že je regulární.


Poznámka 3.26. Místo o řádcích matice, ze které počítáme determinant, mluvíme někdy zkráceně o řádcích determinantu. Podobně mluvíme o sloupcích determinantu.

Věta 3.8 (souvislost determinantu s hodností a s existencí inverzní matice). Buď \DS{A} čtvercová matice řádu \DS{n} Následující výroky jsou ekvivalentní:

(i)
Řádky matice jsou lineárně nezávislé.
(ii)
\DS{h(A) = n}
(iii)
Existuje matice inverzní \DS{A^{-1}} k matici \DS{A}.
(iv)
Matice \DS{A} je regulární, tj. \DS{\det A\neq 0}.

Poznámka 3.27. Odsud plyne, že determinant matice \DS{A} je nulový právě tehdy, když matice \DS{A} má lineárně závislé řádky (sloupce). Zejména tedy determinant, jehož jeden řádek nebo sloupec je buď nulový, nebo násobkem jiného řádku (sloupce), je zcela jistě nulový.

Věta 3.9 (determinant matice ve schodovitém tvaru). Determinant matice, která je ve schodovitém tvaru je roven součinu prvků v hlavní diagonále.


Věta 3.10 (determinant maticového součinu, Cauchyova věta). Buďte \DS{A}, \DS{B} čtvercové matice řádu \DS{n}. Platí

\det (AB) = (\det A)(\det B)

Poznámka 3.28. !!!Následující věty o úpravách determinantu bereme ve smyslu poznámky za Větou 3.5. Tyto operace se liší od operací zachovávajících hodnost matice. Čtěte je proto pozorně a uvědomte si rozdíly mezi následujícími větami a Větou 3.5

Věta 3.11 (operace zachovávající hodnotou determinantu). Následující operace nemění hodnotu determinantu matice:

(i)
přičtení lineární kombinace ostatních řádků (sloupců) k jinému řádku (sloupci)
(ii)
ponechání jednoho řádku (sloupce) beze změny a opakované přičtení libovolných násobků tohoto řádku (sloupce) k ostatním řádkům (sloupcům) matice
(iii)
transponování matice

Věta 3.12 (další operace s determinantem). Následující operace mění hodnotu determinantu popsaným způsobem:

(i)
přehozením dvou řádků (sloupců) determinant mění znaménko
(ii)
vydělíme-li jeden řádek (sloupec) nenulovým číslem \DS{a}, zmenší se hodnota determinantu \DS{a}-krát

Poznámka 3.29 (vytýkání před determinant). Podle bodu (ii) předchozí věty, vydělíme-li jeden řádek determinantu nenulovým číslem, musíme tímto číslem determinant opět vynásobit, aby se hodnota determinantu nezměnila. Této operaci někdy říkáme vytýkání před determinant. Např.

\left \vert \array{ 2 & 4& 8\cr -1& 2& 4 \cr 0 & 1& 12} \right \vert = 2\left \vert \array{ 1 & 2& 4\cr -1 & 2 & 4 \cr 0 & 1& 12} \right \vert = 2.4.\left \vert \array{ 1 & 2& 1\cr -1 & 2 & 1 \cr 0 & 1& 3} \right \vert .

Poznámka 3.30 (Laplaceova věta pro sloupce). Protože transponováním matice se hodnota determinantu nemění, je možné vyslovit Laplaceovu větu i pro sloupce matice, tj. je-li \DS{j\in \{1,2,\mathop{\mathop{…}},n\}} index libovolného sloupce matice \DS{A}, platí

\det A = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} +\cdots +a_{nj}A_{nj},

kde \DS{A_{ij}} označuje algebraický doplněk prvku \DS{a_{ij}} v matici \DS{A}. Slovně lze rozvoj podle řádku nebo sloupce vyjádřit konstatováním, že hodnota determinantu je rovna součtu prvků v libovolném řádku nebo sloupci determinantu, vynásobených jejich algebraickými doplňky.

Poznámka 3.31 (technická). Řádek nebo sloupec, podle kterého provádíme rozvoj, je vhodné volit tak, aby obsahoval co nejvíce nulových prvků. V případě, že takový řádek ani sloupec v determinantu není, můžeme jej vytvořit pomocí úprav z Věty 3.11.

   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009