Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře | Robert Mařík © 2007-2009 |
Poznámka 3.19 (motivační). U reálných čísel máme doplňkové operace ke sčítání a násobení — jsou to odečítání a dělení. Odečítání matic můžeme implementovat jako sčítání matice s maticí vynásobenou minus jedničkou: \DS{A - B = A + (-B)}. Oproti tomu operace dělení matic vůbec není implementována. U reálných čísel lze dělení nahradit násobením převrácenou hodnotou: \DS{{ a \over b} = ab^{-1}}. Tuto proceduru částečně rozšíříme pro matice.
Poznámka 3.20 (k existenci inverzní matice). Předchozí definice
nezaručuje existenci inverzní matice. K některým čtvercovým
maticím inverzní matice existuje, k některým ne. Později (ve
Větě 3.8) uvidíme, že existuje jednoduchá charakterizace matic, ke
kterým inverzní matice existuje, pomocí determinantu
.
Poznámka 3.21. Buďte \DS{A}
a \DS{B}
čtvercové matice řádu \DS{n}.
I když násobení matic není obecně komutativní, lze ukázat, že
pro ověření toho, zda matice \DS{B}
je inverzní matice k matici \DS{A}
stačí ověřit pouze jeden z maticových součinů
\DS{AB}
nebo \DS{BA},
protože je-li jeden roven jednotkové
matici, platí totéž i pro součin druhý.
Poznámka 3.22 (metoda výpočtu inverzní matice).
Metoda výpočtu
inverzní matice spočívá v následujícím: každou čtvercovou
matici \DS{A}
řádu \DS{n},
ke které existuje inverzní matice, lze konečným počtem
následujících řádkových úprav převést na jednotkovou
matici, jsou to:
Provedeme-li stejné úpravy ve stejném pořadí na jednotkové matici řádu \DS{n}, obdržíme matici inverzní k matici \DS{A}, tj. matici \DS{A^{-1}}.
Povšimněte si, že neprovádíme vůbec žádné sloupcové
operace! Také nemá smysl uvažovat nulové nebo lineárně závislé
řádky, protože tyto se ve výpočtu neobjeví (proč, to se
dozvíme z následujícího článku o determinantech
a z Věty 3.8).
Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně | © 2007-2009 |