Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře Robert Mařík © 2007-2009 

2.5 Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými

V tomto odstavci si uvedeme postup řešení jedné z nejjednodušších diferenciálních rovnic.

Definice 2.11 (ODR se separovanými proměnnými). ODR tvaru

\mathbf{y^{\, \prime } = f(x)g(y)},
(2.8)

kde \DS{f} a \DS{g} jsou spojité funkce na otevřených intervalech nazýváme obyčejnou diferenciální rovnicí se separovanými proměnnými.


Počáteční úloha pro rovnici se separovanými proměnnými nemusí mít vždy jediné řešení. Existují dokonce řešení, které mají porušenu jednoznačnost v každém bodě svého definičního oboru. Tato řešení se nazývají singulární.

Tuto rovnici řešíme separací proměnných následovně:

(i)
Má-li rovnice \DS{g(y) = 0} řešení \DS{k_{1}}, \DS{k_{2}}, …, \DS{k_{n}}, jsou konstantní funkce \DS{y = k_{1}}, \DS{y = k_{2}}, …, \DS{y = k_{n}} řešeními rovnice. Ostatní řešení jsou nekonstantní a nalezneme je v dalších krocích.
(ii)
Dále pracujme jenom na intervalech, kde \DS{g(y)\neq 0}. Formálně nahradíme derivaci \DS{y^{\, \prime }} podílem diferenciálů \DS{{ \, \mathrm{d}y \over \, \mathrm{d}x} }:
{ \, \mathrm{d}y \over \, \mathrm{d}x} = f(x)g(y)
(iii)
Se zlomkem \DS{{ \, \mathrm{d}y \over \, \mathrm{d}x} } pracujeme ”normálně” jako s podílem dvou výrazů. Násobením a dělením převedeme rovnici na tvar, který obsahuje na každé straně pouze jednu proměnnou:
{ \, \mathrm{d}y \over g(y)} = f(x)\, \mathrm{d}x.
(iv)
Získanou rovnost zintegrujeme:
\int { \, \mathrm{d}y \over g(y)} =\int f(x)\, \mathrm{d}x + C

Vlevo je tedy integrál v proměnné \DS{y}, vpravo integrál v proměnné \DS{x} a na jednu ze stran rovnice přidáme integrační konstantu. Tím obdržíme rovnici, která implicitně zadává obecné řešení rovnice.

(v)
Pokud je zadána počáteční podmínka, dosadíme ji do obecného řešení a určíme hodnotu konstanty \DS{C}. Tuto dosadíme do obecného řešení a obdržíme řešení partikulární.
(vi)
Pokud je to možné, převedeme řešení (obecné nebo partikulární) do explicitního tvaru (”vyjádříme” odsud \DS{y}).
(vii)
Pokud je možné některé z konstantních řešení obdržet vhodnou volbou konstanty ve vzorci pro obecné řešení, zahrneme toto konstantní řešení do obecného. Řešení, která není takto možno zahrnout do obecného řešení jsou často singulárními.

Příklad 2.5 (aplikace diferenciálních rovnic v praxi – růst populace). Udává-li funkce \DS{y(x)} velikost jisté populace v čase \DS{x}, udává derivace \DS{y^{\, \prime }(x)} rychlost změny velikosti této populace v čase \DS{x}.

(i)
Uvažujme populaci \DS{y} částic znečišťujících jezero. Do jezera o objemu \DS{V }, ve kterém je \DS{y_{0}} znečišťujících částic, přitéká čistá voda rychlostí \DS{r} a stejnou rychlostí z jezera odtéká voda znečištěná. Úbytek znečišťujících částic souvisí s koncentrací znečištění a je popisován diferenciální rovnicí
y^{\, \prime } = -{ r \over V} y.

Tato rovnice se nazývá rovnice samočištění jezer. Vzhledem k tomu, že je známa velikost počátečního znečištění, řešíme tuto rovnici spolu s počáteční podmínkou

y(0) = y_{0}.

Po vyřešení rovnice obdržíme funkci, která umožní přímo vypočítat množství znečištění v jezeře v libovolném čase.

(ii)
!!!Uvažujme populaci živočichů nebo rostlin určitého druhu v určité lokalitě. Předpokládejme, že díky vzájemné konkurenci mezi jednotlivci může daná lokalita uživit pouze omezený počet živočichů. Maximální počet těchto živočichů se nazývá nosná kapacita prostředí, označme ji \DS{M}. Výraz \DS{(M - y)} poté udává volnou kapacitu prostředí, tj. kolik se v prostředí ještě může uchytit jedinců. Derivace \DS{y^{\, \prime }} udává rychlost, s jakou se mění počet jedinců v populaci. Je přirozené předpokládat, že tato rychlost je úměrná počtu jedinců \DS{y} a že klesá, je-li velikost populace blízká hodnotě \DS{M}. Zpravidla používáme pro modelování vývoje takové populace logistickou rovnici
y^{\, \prime } = ky(M - y).

I tuto rovnici lze řešit separací proměnných, její řešení je však již obtížnější.

(iii)
Uvažujme, že z populace v předchozím bodě odebíráme jednotlivce konstantní rychlostí \DS{r} (například vlivem lovu nebo těžby). Potom se růst populace řídí diferenciální rovnicí
y^{\, \prime } = ky(M - y) - r.

Studium této rovnice (a rovnic, které jsou jejími modifikacemi) je užitečné při vytváření ekologicky akceptovatelných modelů těžby a využívání některých obnovitelných přírodních zdrojů (jako jsou živočichové nebo biomasa, nikoli však ropa nebo uhlí).

(iv)
Uvažujme, populaci, řídící se logistickou rovnicí, z níž jsou odebíráni jedinci působením predátorů. Rychlost, s jakou predátoři odebírají jedince označme \DS{p(y)} (závisí na \DS{y}, protože např. je-li populace malá, predátoři vyhledávají dostupnější potravu a \DS{p(y)} je malá; pro větší \DS{y} roste, nikoliv však do nekonečna, pouze do hladiny, kdy jsou predátoři nasyceni). Potom se růst populace řídí diferenciální rovnicí
y^{\, \prime } = ky(M - y) - p(y).

   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009