Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře Robert Mařík © 2007-2009 

2.1 Neurčitý integrál

Definice 2.1 (neurčitý integrál, primitivní funkce). Buď \DS{I} otevřený interval, \DS{f} a \DS{F} funkce definované na \DS{I}. Jestliže platí

F^{\, \prime }(x) = f(x)\text{ pro všechna $x\in I$,}
(2.1)

nazývá se funkce \DS{F} primitivní funkcí k funkci \DS{f}, nebo též neurčitý integrál funkce \DS{f} na intervalu \DS{I}. Zapisujeme

\mathbf{\int f(x)\, \mathrm{d}x = F(x)}.

Existuje-li k funkci \DS{f} neurčitý integrál na intervalu \DS{I}, nazývá se funkce \DS{f} integrovatelná na \DS{I}.


Poznámka 2.1 (spojitost primitivní funkce). Primitivní funkce \DS{F(x)} je vždy spojitá na \DS{I}, plyne to z existence derivace.

Věta 2.1 (postačující podmínka existence neurčitého integrálu). Ke každé spojité funkci existuje neurčitý integrál.


Věta 2.2 (jednoznačnost primitivní funkce). Primitivní funkce je na daném intervalu k dané funkci určena jednoznačně, až na libovolnou aditivní konstantu. Přesněji, platí následující:

(i)
Je-li \DS{F} primitivní funkcí k funkci \DS{f} na intervalu \DS{I}, platí totéž i pro funkci \DS{G(x) = F(x) + c}, kde \DS{c\in \mathbb{R}} je libovolná konstanta nezávislá na \DS{x}.
(ii)
Jsou-li \DS{F} a \DS{G} primitivní funkce k téže funkci \DS{f} na intervalu \DS{I}, liší se obě funkce na intervalu \DS{I} nejvýše o aditivní konstantu, tj. existuje \DS{c\in \mathbb{R}} takové, že
F(x) = G(x) + c\qquad \text{pro všechna $x\in I$.}

Poznámka 2.2 (filozofická). Bohužel, ne vždy neurčitý integrál dokážeme efektivně najít. Zatímco problém nalezení derivace funkce složené z funkcí, které umíme derivovat, spočívá pouze ve správné aplikaci vzorců pro derivování, problém nalézt neurčitý integrál i k funkci tak jednoduché, jako je například \DS{e^{-x^{2} }} je neřešitelný ve třídě elementárních funkcí.

Věta 2.3 (linearita neurčitého integrálu). !!!Nechť \DS{f}, \DS{g} jsou funkce integrovatelné na \DS{I}, \DS{c} nechť je reálné číslo. Pak na intervalu \DS{I} platí

\eqalignno{ \int f(x) + g(x)\, \mathrm{d}x & =\int f(x)\, \mathrm{d}x +\int g(x)\, \mathrm{d}x,\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr \int cf(x)\, \mathrm{d}x & = c\int f(x)\, \mathrm{d}x.\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em }

Poznámka 2.3 (technická). Vzhledem k součtu a násobení konstantou se tedy integrál chová ”pěkně”, tak jak jsme to viděli i u derivace. Bohužel však neexistují podobné vzorečky pro integrál složené funkce, podílu nebo součinu. Integrál ze složené funkce dokážeme vypočítat obecně pouze v případě, že vnitřní složka je lineární funkcí, jak ukazuje následující věta. Podobně integrál z podílu lze obecně vypočítat v případě že v čitateli zlomku je derivace jmenovatele.

Poznámka 2.4 (základní vzorce pro integrování). Následující vzorce jsou opakem (a v některých případech mírným zobecněním) vzorců pro derivaci základních elementárních funkcí.

\DS{\int \, \mathrm{d}x = x + c}

\DS{\int x^{n}\, \mathrm{d}x ={ x^{n+1} \over n + 1} + c}

\DS{\int { 1 \over x} \, \mathrm{d}x =\ln |x| + c}

\DS{\int a^{x}\, \mathrm{d}x ={ a^{x} \over \ln a} + c}

\DS{\int e^{x}\, \mathrm{d}x = e^{x} + c}

\DS{\int \sin x\, \mathrm{d}x = -\cos x + c}

\DS{\int \cos x\, \mathrm{d}x =\sin x + c}

\DS{\int { 1 \over \cos ^{2}x} \, \mathrm{d}x =\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x + c}

\DS{\int { 1 \over \sin ^{2}x} \, \mathrm{d}x = -\mathop{\mathrm{cotg}}\nolimits x + c}

\DS{\int { 1 \over \sqrt{A^{2 } - x^{2}}} \, \mathrm{d}x =\arcsin { x \over A} + c}

\DS{\int { 1 \over \sqrt{x^{2 } \pm B}} \, \mathrm{d}x =\ln \left |x + \sqrt{x^{2 } \pm B}\right | + c}

\DS{\int { 1 \over A^{2} + x^{2}} \, \mathrm{d}x ={ 1 \over A} \mathop{\mathrm{arctg}} { x \over A} + c}

\DS{\int { 1 \over A^{2} - x^{2}} \, \mathrm{d}x ={ 1 \over 2A} \ln \left |{ A + x \over A - x} \right | + c}

Věta 2.4 (speciální případ složené funkce). Nechť \DS{f} je funkce integrovatelná na \DS{I}. Pak

\int f(ax + b)\, \mathrm{d}x ={ 1 \over a} F(ax + b),

kde \DS{F} je funkce primitivní k funkci \DS{f} na intervalu \DS{I}. Platí pro ta \DS{x}, pro která je \DS{ax + b\in I}.


Příklad 2.1 (aplikace předchozí věty).

\eqalignno{ \int { 1 \over 4x^{2} + 6x + 3} \, \mathrm{d}x & =\int { 1 \over {\Bigl (2x +{ 3 \over 2} \Bigr )}^{2} +{ 3 \over 4} } \, \mathrm{d}x\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr & ={ 1 \over 2} \, { 2 \over \sqrt{3}} \, \mathop{\mathrm{arctg}} { 2x +{ 3 \over 2} \over { \sqrt{3} \over 2} } + c\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr & ={ 1 \over \sqrt{3}} \, \mathop{\mathrm{arctg}} { 4x + 3 \over \sqrt{3}} + c\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em }

Věta 2.5 (speciální případ zlomku). Nechť funkce \DS{f} má derivaci a nemá nulový bod na intervalu \DS{I}. Potom na tomto intervalu platí

\int { f^{\, \prime }(x) \over f(x)} \, \mathrm{d}x =\ln |f(x)|.

Příklad 2.2 (aplikace předchozí věty).

\int { x + 2 \over x^{2} + 4x + 8} \, \mathrm{d}x ={ 1 \over 2} \int { 2x + 4 \over x^{2} + 4x + 8} \, \mathrm{d}x ={ 1 \over 2} \ln |x^{2} + 4x + 8| + c

Věta 2.6 (metoda per-partés, speciální případ součinu). !!!Nechť funkce \DS{u} a \DS{v} mají derivace na intervalu \DS{I}. Pak platí

\int u(x)v^{\, \prime }(x)\, \mathrm{d}x = u(x)v(x) -\int u^{\, \prime }(x)v(x)\, \mathrm{d}x,
(2.2)

pokud integrál na pravé straně existuje.


Poznámka 2.5 (integrály typické pro výpočet metodou per-partés). Buď \DS{P(x)} polynom. Metodou per-partés integrujeme například integrály následujících typů

\int P(x)e^{\alpha x}\, \mathrm{d}x,\int P(x)\sin (\alpha x)\, \mathrm{d}x,\int P(x)\cos (\alpha x)\, \mathrm{d}x,

a

\int P(x)\mathop{\mathrm{arctg}} x\, \mathrm{d}x,\int P(x)\ln ^{m}x\, \mathrm{d}x.

U první skupiny integrálů postupujeme tak, že polynom derivujeme, čímž snížíme jeho stupeň, a v případě potřeby tento postup opakujeme. U druhé skupiny integrálů naopak derivujeme funkce \DS{\mathop{\mathrm{arctg}} x} a \DS{\ln x}.

Příklad 2.3 (integrace per-partés).

\eqalignno{ \int x\mathop{\mathrm{arctg}} x\, \mathrm{d}x & \left [\text{per-partés: }\left \{\begin{array}{rlrlrl}u& =\mathop{\mathrm{arctg}} x& & u^{\, \prime } ={ 1 \over x + 2 + 1} & & \cr v& = x& & v^{\, \prime } ={ x^{2} \over 2} & \cr \end{array}\right .\right ]\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr & ={ x^{2} \over 2} \mathop{\mathrm{arctg}} x -{ 1 \over 2} \int { x^{2} \over 1 + x^{2}} \, \mathrm{d}x =\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr & ={ x^{2} \over 2} \mathop{\mathrm{arctg}} x -{ 1 \over 2} \int 1 -{ 1 \over 1 + x^{2}} \, \mathrm{d}x ={ x^{2} \over 2} \mathop{\mathrm{arctg}} x -{ 1 \over 2} x +{ 1 \over 2} \mathop{\mathrm{arctg}} x + c\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em }

Věta 2.7 (první substituční metoda, speciální případ složené funkce). !!!Nechť \DS{f(t)} je funkce spojitá na intervalu \DS{I}, nechť funkce \DS{\varphi (x)} má derivaci na intervalu \DS{J} a platí \DS{\varphi (J) = I}. Potom na intervalu \DS{J} platí

\int f(\varphi (x))\varphi ^{\, \prime }(x)\, \mathrm{d}x =\int f(t)\, \mathrm{d}t,
(2.3)

dosadíme-li napravo \DS{t =\varphi (x)}


Poznámka 2.6 (technická). Formálně substituci provádíme tak, že píšeme v integrálu vpravo \DS{t} místo \DS{\varphi (x)} a \DS{\, \mathrm{d}t} místo \DS{\varphi ^{\, \prime }(x)\, \mathrm{d}x}.

Příklad 2.4 (substituční metoda).

\eqalignno{ \int \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits ^{3}x\, \mathrm{d}x & =\int { \sin ^{3}x \over \cos ^{3}x} \, \mathrm{d}x =\int { \sin ^{2}x \over \cos ^{3}x} \sin x\, \mathrm{d}x =\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr & =\int { 1 -\cos ^{2}x \over \cos ^{3}x} \sin x\, \mathrm{d}x\left [\text{substituce: }\left \{\begin{array}{rlrlrl}\cos x& = t& & \cr -\sin x\, \mathrm{d}x& =\, \mathrm{d}t& \cr \sin x\, \mathrm{d}x& = -\, \mathrm{d}t& \cr \end{array}\right .\right ]\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr & =\int -{ 1 - t^{2} \over t^{3}} \, \mathrm{d}t =\int { 1 \over t} - t^{-3}\, \mathrm{d}t =\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr & =\ln |t| +{ 1 \over 2} t^{-2} =\ln |\cos x| +{ 1 \over 2\cos ^{2}x} + c\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em }

V jistém smyslu opačným postupem je druhá substituční metoda.

Věta 2.8 (druhá substituční metoda). !!!Nechť \DS{f(x)} je funkce spojitá na intervalu \DS{I}, nechť funkce \DS{\varphi (t)} má nenulovou derivaci na intervalu \DS{J} a platí \DS{\varphi (J) = I}. Potom na intervalu \DS{I} platí

\int f(x)\, \mathrm{d}x =\int f(\varphi (t))\varphi ^{\, \prime }(t)\, \mathrm{d}t,
(2.4)

dosadíme-li napravo \DS{t =\varphi ^{-1}(x)}, kde \DS{\varphi ^{-1}(x)} je funkce inverzní k funkci \DS{\varphi (x)}.


Poznámka 2.7. Existence inverzní funkce \DS{\varphi ^{-1}} plyne z nenulovosti derivace funkce \DS{\varphi }. Výraz napravo v (2.4) sice vypadá komplikovaněji, v praxi však substituci volíme vždy tak, aby po úpravě vpravo vyšel integrál jednodušší, který umíme vypočítat.

Poznámka 2.8 (technická). Formálně substituci provádíme tak, že píšeme v integrálu vpravo \DS{\varphi (t)} místo \DS{x} a \DS{\varphi ^{\, \prime }(t)\, \mathrm{d}t} místo \DS{\, \mathrm{d}x}.

Poznámka 2.9. Vidíme, že u druhé substituční metody se vlastně jedná o použití vzorce (2.3) zprava doleva.

   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009