Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře Robert Mařík © 2007-2009 

4.2 Základní numerické metody pro řešení rovnic

Věta 4.7 (nutná podmínka pro celočíselné kořeny). Nechť všechny koeficienty polynomu (4.1) jsou celá čísla. Je-li \DS{c\in \mathbb{Z}} kořenem tohoto polynomu, pak je číslo \DS{a_{n}} dělitelné číslem \DS{c}, tj. \DS{c|a_{n}}.


Poznámka 4.7 (praktický význam předchozí věty). Předchozí věta se týká pouze polynomů s celočíselnými koeficienty a říká, že celočíselným kořenem takového polynomu může být pouze dělitel absolutního člene. Je tedy možné si všechny dělitele vypsat (je-li \DS{a_{n}\neq 0}, je jich konečně mnoho!) a po řadě je otestovat, např. Hornerovým schematem. Navíc, najdeme-li takový kořen, zjistíme opakovaným dělením současně i jeho násobnost. Je-li dále algebraická rovnice normovaná, tj. \DS{a_{0} = 1}, jsou její reálné kořeny pouze celočíselné nebo iracionální.

Kořeny, které nejsou celočíselné, neumíme obecně u polynomu nalézt. Proto si ukážeme některé přibližné metody pro jejich nalezení. Naším úkolem je zjistit (odhadnout) počet reálných kořenů, najít interval ve kterém tyto kořeny leží a kořeny odseparovat, tj. nalézt systém intervalů s takovou vlastností, že každý interval obsahuje právě jeden kořen polynomu.

Věta 4.8 (ohraničenost kořenů). Buďte \DS{x_{i}} (pro \DS{i = 1..n}) kořeny (i komplexní) polynomu (4.1) (algebraické rovnice (4.2)). Platí

|x_{i}| < 1 +{ A \over |a_{0}|} ,
(4.6)

kde \DS{A =\mathop{ max}\{|a_{i}|,i = 1..n\}}.


Příklad 4.3 (odhad velikosti kořenů). Pro kořeny \DS{x_{i}} polynomu \DS{P(x) = 2x^{6} - x^{3} + 4x^{2} + x - 6} platí \DS{|x_{i}| < 1 +{ 6 \over 2} = 4}.

Pro odhad počtu reálných kladných kořenů slouží následující věta.

Věta 4.9 (Descartova věta). Počet kladných kořenů polynomu (4.1) (algebraické rovnice (4.2)) je roven počtu znaménkových změn v posloupnosti koeficientů \DS{a_{0}}, \DS{a_{1}}, \DS{a_{2}}, \DS{\mathop{\mathop{…}}}, \DS{a_{n}}, nebo o sudé číslo menší. Případné koeficienty, které jsou rovny nule, přitom neuvažujeme.


Poznámka 4.8 (jeden z důsledků předchozí věty). Okamžitým důsledkem této věty je následující tvrzení: Polynom, jehož všechny koeficienty jsou nezáporná čísla nemůže mít kladné kořeny.

Příklad 4.4 (počet kladných kořenů). Polynom \DS{P(x) = x^{8} - x^{5} + x^{3} + x^{2} - x + 1} má buď \DS{4} nebo \DS{2} nebo žádný reálný kladný kořen.

Příklad 4.5 (počet kladných kořenů). Polynom \DS{P(x) = 2x^{6} - x^{3} + 4x^{2} + x - 6}\DS{3} nebo \DS{1} kladný reálný kořen. Tyto kořeny leží v intervalu \DS{(0,4)} — viz Příklad 4.3.

Pro odhad počtu záporných kořenů využijeme toho, že \DS{c} je záporným kořenem polynomu \DS{P(x)} právě tehdy, když \DS{ - c} je kladným kořenem polynomu \DS{P(-x)}.

Věta 4.10 (varianta Descartovy věty pro záporné kořeny). Uvažujme pomocný polynom \DS{\tilde{P}(x) = P(-x)}. Koeficienty tohoto polynomu označme \DS{\tilde{a}_{0}}, \DS{\tilde{a}_{1}}, …, \DS{\tilde{a}_{n}} Počet záporných kořenů polynomu (4.1) (algebraické rovnice (4.2)) je roven počtu znaménkových změn v posloupnosti koeficientů \DS{\tilde{a}_{0}}, \DS{\tilde{a}_{1}}, \DS{\tilde{a}_{2}}, \DS{\mathop{\mathop{…}}}, \DS{\tilde{a}_{n}}, nebo o sudé číslo menší. Případné koeficienty, které jsou rovny nule, přitom neuvažujeme.


Příklad 4.6 (počet záporných kořenů). Pro polynom \DS{P(x) = 2x^{6} - x^{3} + 4x^{2} + x - 6} platí \DS{\tilde{P}(x) = P(-x) = 2x^{6} + x^{3} + 4x^{2} - x - 6} a polynom \DS{P(x)} má tedy jediný záporný reálný kořen, tj. má jeden kořen na intervalu \DS{(-4,0)} — viz Příklad 4.3.

Poznámka 4.9 (technická). Pomocný polynom \DS{\tilde{P}(x)} rychle obdržíme z polynomu \DS{P(x)} uvědomíme-li si, že stačí změnit znaménka u koeficientů polynomu \DS{P(x)}, které přísluší mocninám lichého stupně.

Příklad 4.7 (hledání celočíselných kořenů a rozklad na součin). Nalezněme v oboru celých čísel všechna řešení rovnice

x^{5} + x^{4} - 5x^{3} - 9x^{2} - 24x - 36 = 0.

Celočíselnými kořeny mohou být pouze čísla, která dělí číslo \DS{36}, tj. \DS{\pm 1}, \DS{\pm 2}, \DS{\pm 3}, \DS{\pm 4}, \DS{\pm 6}, \DS{\pm 9}, \DS{\pm 12}, \DS{\pm 18} a \DS{\pm 36}. Tato čísla postupně vyzkoušíme (i jejich násobností, pokud se bude jednat o kořeny) Hornerovým schematem.

    | 1    1 - 5    - 9   - 24  - 36
----|-------------------------------
 1  | 1    2 - 3   - 12   - 36  - 72
- 1 | 1    0 - 5    - 4   - 20  - 16
 2  | 1    3   1    - 7   - 38     01
- 2-|-1----1---3------3---- 182-||-0-
- 2-|-1----3---3------93-||-0--------
- 2 | 1  - 5  13  - 354
-3--|-1----0---3--||--0--------------
- 3   1  - 3  12

Poznámky:

\DS{^{1)}} \DS{x = -2} je kořenem násobnosti alespoň jedna. Musíme ověřit násobnost tohoto kořene. Navíc má dále smysl testovat pouze dělitele čísla \DS{18}.

\DS{^{2)}} \DS{x = -2} je kořenem násobnost alespoň dva. Zkusíme ověřit, zda se nejedná o kořen násobnosti tři nebo více.

\DS{^{3)}} \DS{x = -2} tedy je kořen násobnosti pouze dva. Pilnější čtenáři si jistě všimli, že tento řádek nebylo nutné psát. Dvojka totiž není dělitelem čísla \DS{ - 9}, které je absolutním členem polynomu, který odpovídá poslednímu podtrženému řádku.

\DS{^{4)}} \DS{x = 3} je kořenem násobnosti alespoň jedna. navíc má smysl testovat dále jenom dělitele čísla \DS{3} a jenom záporná čísla, protože dále uvažujeme polynom, který má pouze kladné koeficienty. Z tohoto důvodu nemůže být číslo \DS{x = 3} násobným kořenem a zbývá pouze číslo \DS{ - 3}.

Výsledky: Našli jsme tři celočíselné kořeny \DS{x_{1,2} = -2} a \DS{x_{3} = 3}. Rozklad levé strany rovnice na součin je

(x + 2)^{2}(x - 3)(x^{2} + 3) = 0.

Odsud lze vidět, že zbylé dva kořeny nejsou reálná čísla, tj. \DS{x_{4,5}\not \in \mathbb{R}} (rovnice \DS{x^{2} + 3 = 0} nemá v oboru reálných čísel řešení).

Poznámka 4.10 (separace kořenů). Další úlohou spojenou s hledáním kořenů algebraické rovnice (polynomu) je separace kořenů – tj. nalezení systému intervalů, které obsahují právě jeden kořen. Separaci kořenů provádíme zpravidla takto:

V jednoduchých případech (například u rovnic třetího řádu) dokážeme nalézt lokální extrémy polynomu, vyšetřit průběh pomocí první derivace a odtud usuzovat na přesnější odhady počtu a lokalizace kořenů.

V některých případech, obzvláště tehdy, když polynom neobsahuje mnoho členů, lze kořeny odseparovat graficky. Převedeme vhodné členy z levé strany algebraické rovnice na pravou, tak abychom dostali rovnici tvaru \DS{p(x) = q(x)}, kde \DS{p(x)} a \DS{q(x)} jsou polynomy, jejichž grafy umíme zakreslit. Po nakreslení obrázku vidíme ihned, kolik mají grafy těchto křivek průsečíků a v kterých intervalech leží. Tyto průsečíky jsou kořeny původního polynomu (řešeními původní algebraické rovnice).

Podaří-li se kořeny polynomu odseparovat, následující metody umožní nalezení tohoto kořene s libovolnou (předem zvolenou) přesností.

   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009