Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře Robert Mařík © 2007-2009 

1.4 Taylorův polynom

Motivace. Předpokládejme že je dána funkce \DS{f} s následujícími vlastnostmi:

Pro výpočet funkčních hodnot v bodech v okolí bodu \DS{x_{0}} se budeme snažit funkci aproximovat jednodušší funkcí, v našem případě polynomem stupně \DS{n}. Nejlepší polynom, který funkci \DS{f} v okolí bodu \DS{x_{0}} aproximuje je takový polynom, který má s danou funkcí totožné v bodě \DS{x_{0}} derivace až do řádu \DS{n}. Takový polynom se nazývá Taylorův polynom a nalezneme ho pomocí následující definice.

Definice 1.26 (Taylorův polynom). Nechť \DS{n\in \mathbb{N}} je přirozené číslo a \DS{f} funkce, která je definovaná v bodě \DS{x_{0}\in \mathbb{R}} a má zde všechny derivace do řádu \DS{n} včetně. Polynom

T_{n}(x) = f(x_{0}) +{ f^{\, \prime }(x_{0}) \over 1!} (x - x_{0}) +{ f^{\, \prime \prime }(x_{0}) \over 2!} (x - x_{0})^{2} +\cdots +{ f^{(n)}(x_{ 0} \over n!} (x - x_{0})^{n}

se nazývá Taylorův polynom stupně \DS{n} funkce \DS{f} v bodě \DS{x_{0}}. Bod \DS{x_{0}} se nazývá střed Taylorova polynomu.


Poznámka 1.48. Taylorův polynom je jediný polynom stupně \DS{n}, který má s funkcí \DS{f} v bodě \DS{x_{0}} společnou funkční hodnotu a hodnotu prvních \DS{n} derivací. V případě že středem polynomu je \DS{x_{0} = 0} používáme pro Taylorův polynom název Maclaurinův polynom.

Věta 1.19 (Taylorova věta). Nechť funkce \DS{f} má v bodě \DS{x_{0}} a nějakém jeho okolí \DS{O(x_{0})} spojité derivace do řádu \DS{n + 1}, včetně. Pak pro všechna \DS{x\in O(x_{0})} platí

f(x) = T_{n}(x) + R_{n+1}(x),

kde \DS{T_{n}(x)} je Taylorův polynom funkce \DS{f} stupně \DS{n} se středem v bodě \DS{x_{0}} a \DS{R_{n+1}(x)} je zbytek. Tento zbytek splňuje

R_{n+1}(x) ={ f^{(n+1)}(c) \over (n + 1)!} (x - x_{0})^{n+1},
(1.15)

kde \DS{c} je vhodné číslo ležící mezi \DS{x} a \DS{x_{0}}.


Poznámka 1.49 (aproximace a její přesnost). !!!Z vyjádření zbytku (1.15) plyne, že tento zbytek je malý, jestliže

Jsou-li tyto podmínky splněny, můžeme psát v okolí bodu \DS{x_{0}}

f(x)\approx T_{n}(x)

a chyba, které se při tom dopustíme bude malá. (Z (1.15) jsme schopni určit maximální hodnotu chyby, které se přitom dopustíme.)

Poznámka 1.50 (aplikační). Taylorův polynom tedy slouží k tomu, abychom jistou funkční závislost aproximovali závislostí polynomickou. Tím se závislost podstatně zjednoduší, protože polynomy jsou jedny z nejjednodušších funkcí. Mějme však na paměti, že polynomická aproximace může být

   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009