Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře | Robert Mařík © 2007-2009 |
Motivace. Podobně jako v případě Lagrangeova polynomu mějme \DS{n} prvkový soubor bodů \DS{[x_{i},y_{i}]} (\DS{i = 1..n}) v rovině zadaný tabulkou. Jde nám o to nalézt polynom (co nejjednodušší, zpravidla lineární polynom) \DS{y = f(x)} předem zadaného stupně, který co nejlépe vystihuje chování těchto bodů. Kriterium optimálnosti přitom volíme tak, aby byl součet kvadrátů odchylek \DS{y}-ových souřadnic bodů \DS{x_{i}} (tj. čísel \DS{y_{i}}) od funkční hodnoty \DS{f(x_{i})} byl co nejmenší, tj. \DS{\sum _{i=1}^{n}[y_{i} - f(x_{i})]^{2}\to \text{min}}.
Poznámka 4.14 (technická). Předchozí věta udává přímo i metodu, jak proložit přímku (tj. lineární funkci) souborem bodů. Tato metoda spočívá v tom, že sestavíme soustavu rovnic z předchozí věty a nalezneme její (jediné) řešení. Podobně, avšak s použitím většího počtu rovnic, lze proložit souborem bodů libovolnou polynomickou závislost.
Příklad 4.10. Proložte přímku následujícím souborem bodů.
\DS{x_{i}} | \DS{0} | \DS{1} | \DS{3} | \DS{5} | \DS{6} |
\DS{y_{i}} | \DS{5} | \DS{3} | \DS{3} | \DS{2} | \DS{1} |
Řešení: Body v souboru jsou \DS{[0,5]}, \DS{[1,3]}, \DS{[3,3]}, \DS{[5,2]} a \DS{[6,1]}. Celkem tedy máme pět bodů, tj. \DS{n = 5}.
Výpočty potřebné pro nalezení koeficientů v soustavě (4.10) provedeme v následující tabulce.
Podle (4.10) sestavíme soustavu lineárních rovnic
Řešením této soustavy je \DS{a = -{ 7 \over 13} \mathop{\mathop{≐}}\nolimits -0.538} a \DS{b ={ 287 \over 65} \mathop{\mathop{≐}}\nolimits 4.415}. Nejlepší lineární aproximace souboru bodů je tedy přímka
y = -0.538x + 4.415.
|
Graf souboru bodů a výsledná přímka jsou zachyceny na obrázku 4.3.
Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně | © 2007-2009 |