Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře | Robert Mařík © 2007-2009 |
Matice řádu \DS{m\times n}
obsahuje celkem \DS{m.n}
čísel. Jedná se tedy o relativně komplikovaný objekt. V matematice se
často snažíme složitější objekty nějakým způsobem
charakterizovat pomocí objektů jednodušších — např. pomocí
čísel. Ukazuje se, že matici lze jistým způsobem přiřadit číslo
nesoucí část informace o matici. Jedním z těchto čísel je hodnost
matice, kterou si nadefinujeme nyní. Další používanou číselnou
charakteristikou matice je determinant, se kterým se seznámíme později.
Poznámka 3.15. Předchozí definice je korektní v tomto smyslu: jsou-li
řádky matice lineárně nezávislé, je hodnost
matice rovna počtu
jejich řádků. Jsou-li lineárně nezávislé, existuje číslo
\DS{h}
takové, že matice obsahuje \DS{h}
lineárně nezávislých řádků a libovolná skupina řádků,
jejichž počet je větší než \DS{h},
je lineárně závislá
. Číslo \DS{h}
je potom hodnost matice.
Poznámka 3.16 (lineární závislost a nezávislost
algebraických vektorů).
Buď \DS{A}
matice o \DS{m}
řádcích a \DS{n}
sloupcích. Ihned z definice plyne, že řádky matice jsou tvořeny \DS{m}
lineárně nezávislými vektory z prostoru \DS{\mathbb{R}^{n}}
právě tehdy, když \DS{h(A) = m}.
Podobně sloupce matice jsou tvořeny \DS{n}
lineárně nezávislými vektory z prostoru \DS{\mathbb{R}^{m}}
právě tehdy, když \DS{h(A) = n}.
Naučíme-li se tedy efektivně zjišťovat hodnost
matice, máme i nástroj
pro zjišťování lineární závislosti a nezávislosti vektorů.
Příklad 3.7. Matice \DS{A =
\left (\array{
2& 2& 2& 3 & -1& 5\cr
0& 0 & 1 & 0 & 0 & 3
\cr
0& 0& 0& -1& 2 & 1\cr
0& 0 & 0 & 0 & 0 & 0} \right )}
je ve schodovitém tvaru a \DS{h(A) = 3}.
Matice \DS{B =
\left (\array{
2& 2& 2& 3 & -1& 5\cr
0& 0 & 1 & 0 & 0 & 3
\cr
0& 0& 3& -1& 2 & 1} \right )}
není ve schodovitém tvaru a její hodnost
na první pohled nepoznáme.
Poznámka 3.17 (strategie výpočtu hodnosti matice).
Předchozí Věta
3.5 je míněna takto: matici \DS{A},
jejíž hodnost počítáme, nahradíme jinou maticí, \DS{B},
která vznikne z matice \DS{A}
provedením některé z výše uvedených operací. Skutečnost,
že matice \DS{A}
a \DS{B}
mají stejnou hodnost je potom zajištěna předchozí větou. Tuto
skutečnost budeme znázorňovat symbolem \DS{\sim },
tj. píšeme \DS{A\sim B}.
Dále má smysl při zjišťování hodnosti matice \DS{A}
pracovat s novou maticí \DS{B}.
Tuto matici lze opět nahradit jinou maticí, \DS{C},
která vznikne z předchozí provedením operace zachovávající
hodnost. Tento postup stále opakujeme. Toto má smysl provádět, pokud na
konci dospějeme k matici ve schodovitém
tvaru, jejíž hodnost umíme
určit.
Věta 3.6. Libovolnou matici lze konečným počtem úprav
z Věty 3.5 převést do schodovitého |
Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně | © 2007-2009 |