Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře | Robert Mařík © 2007-2009 |
Poznámka 4.1 (nejjednodušší polynomy). Polynom nultého
stupně je konstantní funkce. Polynom prvního stupně nazýváme
lineární polynom a jeho grafem je přímka (k sestrojení grafu
nám tedy stačí znát dva body, které na grafu leží).
Polynom druhého stupně nazýváme kvadratický polynom, jeho grafem
je parabola. Polynom třetího stupně nazýváme kubický polynom,
jeho grafem je kubická parabola.
Příklad 4.1. Čísla \DS{x = 1}
a \DS{x = -2} jsou
kořeny polynomu
P(x) = x^{3} + 2x^{2} - x - 2.
| (4.3) |
Vskutku, přímým výpočtem lze ověřit, že \DS{P(1) = 0} a \DS{P(-2) = 0}. Číslo \DS{x = 3} naopak není kořenem tohoto polynomu, protože \DS{P(3) = 40\neq 0}.
O řešitelnosti algebraických rovnic vypovídá následující věta.
Následující věta udává jednu z ekvivalentních formulací definice kořene polynomu.
Věta 4.2 (Bezoutova věta).
|
Definice 4.3 (kořenový |
Příklad 4.2. Polynom (4.3) může být zapsán v následujících ekvivalentních tvarech
Čtenář může snadno zkontrolovat ekvivalentnost těchto vyjádření roznásobením závorek a sečtením odpovídajících mocnin.
Poznámka 4.2 (dělení kořenovým činitelem).
Bezoutova
věta tedy říká, že polynom
lze
beze zbytku vydělit kořenovým činitelem. Toto dělení polynomu
je vhodné provádět pomocí Hornerova schematu
. Toto schema nám
poslouží současně i při výpočtu funkčních
hodnot polynomu, protože vyžaduje menší počet operací
násobení, než jaký bychom museli provádět, kdybychom
počítali funkční hodnoty přímo z vyjádření
(4.1).
Je-li číslo \DS{c} kořenem polynomu (4.2), může být i kořenem polynomu \DS{Q_{n-1}(x)} z Bezoutovy věty. Proto má smysl následující definice.
Definice 4.4 (násobnost
|
Poznámka 4.3 (technická). Z předchozí věty plyne, že hledáme-li
kořeny polynomu \DS{P_{n}(x)},
je vhodné po nalezení jednoho z nich vydělit polynom \DS{P_{n}(x)}
kořenovým činitelem
příslušným tomuto kořeni ”maximálně-možně-krát”.
Tím zjistíme násobnost
kořene (je to číslo, udávající,
kolikrát se nám podařilo provést dělení beze zbytku) a obdržíme
polynom \DS{Q_{n-k}(x)}
z předchozí definice (je to poslední podíl, který vyšel beze zbytku).
Dále budeme hledat kořeny polynomu \DS{Q_{n-k}(x)}.
Ten je totiž nižšího stupně a tedy jednodušší.
Pojem násobnosti kořene lze ekvivalentně zavést pomocí derivací polynomu \DS{P(x)}. Tuto ekvivalentní formulaci si uvedeme v následující větě.
Věta 4.4 (souvislost násobnosti
\begin{array}{cl}
P_{n}(c) = P_{n}^{\, \prime }(c) = P_{
n}^{\, \prime \prime }(c) =\cdots = P_{
n}^{(k-1)}(c) = 0& \end{array}
a
\begin{array}{cl}
P_{n}^{(k)}(c)\neq 0,& \end{array}
tj. číslo \DS{c} je kořenem polynomu \DS{P_{n}(x)} a všech jeho derivací do řádu \DS{(k - 1)} včetně a není kořenem derivace řádu \DS{k}. |
Poznámka 4.4 (souvislost násobnosti kořene
se změnou znaménka).
V bodě, který je kořenem násobnosti alespoň
\DS{2}
má polynom vždy vodorovnou tečnu. Další vlastnosti se řídí
tím, jedná-li se o kořen sudé nebo liché násobnosti.
Opakovaným aplikováním Bezoutovy věty a základní věty algebry
dostáváme následující tvrzení.
V praxi nás často zajímají pouze reálné kořeny. Modifikace předchozí věty pro reálné kořeny je následující.
Poznámka 4.5 (filozofická). Umíme vyřešit libovolnou lineární a kvadratickou rovnici. Lze vyřešit i libovolnou algebraickou rovnici řádu \DS{3} a \DS{4}. Není však možné sestrojit algoritmus pro nalezení kořenů rovnice řádu \DS{5} a více! Rovnice vyšších řádů umíme vyřešit jenom v některých speciálních případech. Jsou-li například všechny koeficienty v rovnici celá čísla, umíme (jak si uvedeme níže) nalézt alespoň všechny celočíselné kořeny.
Poznámka 4.6 (technická). Pro řadu úloh v matematice je vhodné umět
rozložit polynom na součin polynomů jednodušších. Lze ukázat, že
každý polynom lze rozložit na součin, kde jsou jenom kořenové činitele
(tj. lineární polynomy tvaru \DS{(x - c)}
u jednoduchých kořenů a tvaru \DS{(x - c)^{k}}
u \DS{k}-násobných
kořenů) a případně kvadratické výrazy, které nemají reálné
kořeny, nebo mocniny těchto kvadratických výrazů — toto však není
možné provést bez znalosti kořenů tohoto polynomu. V praxi tedy dokážeme
zpravidla rozložit na součin pouze kvadratické polynomy, polynomy které mají
celočíselné kořeny, případně polynomy, kde rozklad na součin
lze provést postupným vytýkáním.
Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně | © 2007-2009 |