Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře | Robert Mařík © 2007-2009 |
Poznámka 3.1 (k označení). Skutečnost, že nějaká proměnná je vektorem budeme zvýrazňovat šipkou nad označením této proměnné.
Poznámka 3.2. Skutečnosti, že operace sčítání nebo odčítání se provádí pro všechny složky vektoru odděleně se říká, že operace je definována po složkách. Protože takto provádíme sčítání jednotlivých složek vektoru navzájem, komutativita a asociativita sčítání reálných čísel se přenáší i na sčítání algebraických vektorů.
Příklad 3.1 (operace s vektory). Vektory \DS{\vec{a} = (1,2,3,4)} a \DS{\vec{b} = (-2,3,1,0)} jsou prvky vektorového prostoru \DS{\mathbb{R}^{4}}. Vektor \DS{\vec{c} = (0,1,3,4,-1)} je prvkem vektorového prostoru \DS{\mathbb{R}^{5}}. Platí \DS{5\vec{c} = (0,5,15,20,-5)} a \DS{\vec{a} +\vec{ b} = (-1,5,4,4)}. Součet \DS{\vec{a} +\vec{ c}} není definován.
Poznámka 3.3 (nulový vektor). Vektor \DS{(0,0,\mathop{\mathop{…}},0)}
nazýváme nulový vektor a označujeme \DS{\vec{o}}.
Ihned z definice operací sčítání a násobení plyne, že
\DS{t\vec{o} =\vec{ o}},
\DS{\vec{o} +\vec{ u} =\vec{ u}}
a \DS{0\vec{u} =\vec{ o}}
pro libovolný vektor \DS{\vec{u}}
a libovolné číslo \DS{t}.
Nulový vektor tedy při počítání s vektory hraje stejnou roli, jako
číslo \DS{0}
při počítání s reálnými čísly.
Poznámka 3.4 (sloupcový vektor). Stejně jako lze jednotlivé složky vektoru uspořádat do řádků, lze je uspořádat i do sloupců. Potom mluvíme o sloupcových vektorech, např. vektor
\vec{v} = \left (\array{
1\cr
2
\cr
-4} \right )
|
je \DS{3}-dimenzionální sloupcový vektor.
Poznámka 3.5. Všude, kde v následujícím textu mluvíme
o konečné posloupnosti vektorů, máme na mysli vektory, které jsou
prvky téhož vektorového prostoru (tj. jsou stejné dimenze). V tomto
případě je definována pravá strana rovnosti (3.3) a má smysl
mluvit o lineární kombinaci těchto vektorů.
Příklad 3.2 (lineární kombinace). Mějme vektory z vektorového prostoru
\DS{\mathbb{R}^{3}}:
\DS{\vec{a} = (1,4,2)},
\DS{\vec{b} = (-2,0,1)} a
\DS{\vec{c} = (1,-2,1)}. Vektor
\vec{d} = 2\vec{a} +\vec{ b} - 3\vec{c} = (-3,14,2)
|
je lineární kombinací vektorů \DS{\vec{a}}, \DS{\vec{b}} a \DS{\vec{c}}. Existují však i jiné lineární kombinace těchto vektorů. Je jich zřejmě nekonečně mnoho.
Poznámka 3.6 (triviální lineární kombinace). Jsou-li všechny
koeficienty lineární kombinace
rovny nule, obdržíme v (3.3) nulový vektor
. Tato lineární kombinace
se nazývá triviální lineární kombinace. Nulový vektor je
takto možné zapsat jako lineární kombinaci libovolných vektorů.
Nabízí se otázka, zda je tato možnost jediná, nebo je to pouze jedna
z více možností, jak tvořením lineárních kombinací
obdržet ze zadané skupiny vektorů vektor nulový. Odpověď na
tuto otázku je u některých skupin vektorů pozitivní a u jiných
negativní a ukazuje se, že je důležité oba případy rozlišovat.
K tomu slouží následující pojem.
Definice 3.3 (lineární závislost vektorů). Řekneme, že vektory
\DS{\vec{u}_{1}},
\DS{\vec{u}_{2}}, …,
\DS{\vec{u}_{k}}
jsou lineárně závislé
V opačném případě říkáme, že vektory jsou lineárně nezávislé. |
Poznámka 3.7 (slovní vyjádření předchozí definice).
Vektory jsou tedy lineárně závislé, jestliže pomocí jejich
lineární kombinace
lze nulový vektor
zapsat alespoň dvěma způsoby:
jednou jako triviální lineární kombinaci alespoň jednou ještě
nějak jinak. Podobná situace platí i pro ostatní vektory, jak je
obsaženo v následující větě.
Věta 3.1. Mějme konečnou posloupnost vektorů \DS{\vec{u}_{1}}, \DS{\vec{u}_{2}}, …, \DS{\vec{u}_{k}}. Následující výroky jsou ekvivalentní:
|
Poznámka 3.8 (k testování lineární závislosti).
V některých
případech je úkol rozhodnout o lineární (ne-)závislosti vektorů
snadný. Platí totiž následující:
V ostatních případech nelze na otázku o případné
lineární závislosti nebo nezávislosti
vektorů dát okamžitou
odpověď, ale je potřeba odpovídajícím způsobem rozhodnout,
např. pomocí pojmu hodnost
matice, který uvedeme později.
Příklad 3.3 (aplikace předchozí poznámky). Vektory \DS{\vec{a} = (1,2,5)},
\DS{\vec{b} = (0,1,0)}
a \DS{\vec{c} = (-2,-4,-10)}
jsou lineárně závislé.
Vektory
\DS{\vec{d} = (1,3)}
a
\DS{\vec{e} = (-1,3)}
jsou lineárně nezávislé.
O lineární (ne-)závislosti vektorů \DS{\vec{i} = (1,2,3,1)}, \DS{\vec{j} = (2,1,0,1)} a \DS{\vec{k} = (1,1,-3,2)} nelze podle předchozí poznámky rozhodnout, metodu na ověření lineární (ne-)závislosti si uvedeme později.
Poznámka 3.9.
Pokud k posloupnosti lineárně závislých vektorů přidáme libovolný
počet vektorů, vektory jistě zůstanou lineárně závislé. Naopak,
pokud z posloupnosti lineárně nezávislých
vektorů vynecháme libovolný
počet vektorů, obdržíme opět lineárně nezávislé vektory.
Pokud k posloupnosti lineárně nezávislých vektorů přidáním
jednoho vektoru lineární nezávislost porušíme, znamená to, že jsme
přidali vektor, který lze vyjádřit jako lineární kombinaci
původních
vektorů.
Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně | © 2007-2009 |