Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře | Robert Mařík © 2007-2009 |
Nevlastní integrál je rozšířením pojmu Riemannův integrálu.
Riemannův integrál je definovaný pouze pro ohraničené
funkce a konečné
obory integrace.
Body, ve kterých funkce není ohraničená a nevlastní body
\DS{\pm \infty }
budeme souhrnně nazývat singulárními body.
Integrál \DS{\int _{a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x} nazýváme nevlastní, pokud alespoň jedno z čísel \DS{a}, \DS{b} je rovno \DS{\pm \infty }, nebo funkce \DS{f(x)} není ohraničená na uzavřeném intervalu \DS{[a,b]} (tj. alespoň v jednom bodě intervalu funkce má singulární bod - nemusí jít vždy o body \DS{a} nebo \DS{b}, ale singulární bod může být i uvnitř intervalu).
Následující definice je současně i návodem, jak nevlastní
integrál vypočítat, je-li singulárním bodem horní mez:
Podobná situace nastává, je-li singulárním bodem dolní mez:
Poznámka 2.15. Pokud je v předchozích definicích \DS{b =\infty } nebo \DS{a = -\infty }, nahradíme odpovídající jednostrannou limitu obyčejnou limitou, tak jak jsme ji definovali v nevlastních bodech.
Poznámka 2.16. Pokud singulární bod leží uvnitř intervalu \DS{(a,b)},
\DS{a,b\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}},
nebo pokud jsou singulárními body obě meze, rozdělíme interval přes
který integrujeme na několik podintervalů opakovaným využitím aditivity
Riemannova integrálu
vzhledem k mezím (Věta 2.11) a integrujeme na každém
intervalu samostatně.
Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně | © 2007-2009 |