Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře Robert Mařík © 2007-2009 

3.1 Algebraický vektorový prostor

Definice 3.1 (algebraický vektorový prostor). Množinu \DS{\mathbb{R}^{n}} uspořádaných \DS{n}-tic reálných čísel \DS{(a_{1},a_{2},\mathop{\mathop{…}},a_{n})} s operacemi sčítání a násobení reálným číslem definovanými

\begin{array}{cl} (a_{1},a_{2},\mathop{\mathop{…}},a_{n}) + (b_{1},b_{2},\mathop{\mathop{…}},b_{n}) = (a_{1} + b_{1},a_{2} + b_{2},\mathop{\mathop{…}},a_{n} + b_{n})& \text{(3.1)} \\ c\cdot (a_{1},a_{2},\mathop{\mathop{…}},a_{n}) = (c\cdot a_{1},c\cdot a_{2},\mathop{\mathop{…}},c\cdot a_{n}) & \text{(3.2)} \end{array}

pro všechna \DS{c\in \mathbb{R}} a \DS{(a_{1},a_{2},\mathop{\mathop{…}},a_{n}),(b_{1},b_{2},\mathop{\mathop{…}},b_{n})\in \mathbb{R}^{n}} nazýváme reálným algebraickým vektorovým prostorem. Prvky tohoto prostoru, tj. uspořádané \DS{n}-tice reálných čísel nazýváme algebraickými vektory. Čísla \DS{a_{1},\mathop{\mathop{…}},a_{n}} nazýváme složky vektoru \DS{(a_{1},a_{2},\mathop{\mathop{…}},a_{n})}. Číslo \DS{n} nazýváme dimenze prostoru \DS{\mathbb{R}^{n}}.


Poznámka 3.1 (k označení). Skutečnost, že nějaká proměnná je vektorem budeme zvýrazňovat šipkou nad označením této proměnné.

Poznámka 3.2. Skutečnosti, že operace sčítání nebo odčítání se provádí pro všechny složky vektoru odděleně se říká, že operace je definována po složkách. Protože takto provádíme sčítání jednotlivých složek vektoru navzájem, komutativita a asociativita sčítání reálných čísel se přenáší i na sčítání algebraických vektorů.

Příklad 3.1 (operace s vektory). Vektory \DS{\vec{a} = (1,2,3,4)} a \DS{\vec{b} = (-2,3,1,0)} jsou prvky vektorového prostoru \DS{\mathbb{R}^{4}}. Vektor \DS{\vec{c} = (0,1,3,4,-1)} je prvkem vektorového prostoru \DS{\mathbb{R}^{5}}. Platí \DS{5\vec{c} = (0,5,15,20,-5)} a \DS{\vec{a} +\vec{ b} = (-1,5,4,4)}. Součet \DS{\vec{a} +\vec{ c}} není definován.

Poznámka 3.3 (nulový vektor). Vektor \DS{(0,0,\mathop{\mathop{…}},0)} nazýváme nulový vektor a označujeme \DS{\vec{o}}. Ihned z definice operací sčítání a násobení plyne, že \DS{t\vec{o} =\vec{ o}}, \DS{\vec{o} +\vec{ u} =\vec{ u}} a \DS{0\vec{u} =\vec{ o}} pro libovolný vektor \DS{\vec{u}} a libovolné číslo \DS{t}. Nulový vektor tedy při počítání s vektory hraje stejnou roli, jako číslo \DS{0} při počítání s reálnými čísly.

Poznámka 3.4 (sloupcový vektor). Stejně jako lze jednotlivé složky vektoru uspořádat do řádků, lze je uspořádat i do sloupců. Potom mluvíme o sloupcových vektorech, např. vektor

\vec{v} = \left (\array{ 1\cr 2 \cr -4} \right )

je \DS{3}-dimenzionální sloupcový vektor.

Definice 3.2 (lineární kombinace). Nechť \DS{\vec{u}_{1}}, \DS{\vec{u}_{2}}, …\DS{\vec{u}_{k}} je konečná posloupnost vektorů z vektorového prostoru \DS{\mathbb{R}^{n}}. Vektor \DS{\vec{u}}, pro který platí

\vec{u} = t_{1}\vec{u}_{1} + t_{2}\vec{u}_{2} +\cdots +t_{k}\vec{u}_{k},
(3.3)

kde \DS{t_{1}}, \DS{t_{2}}, …, \DS{t_{k}} jsou nějaká reálná čísla, se nazývá lineární kombinace vektorů \DS{\vec{u}_{1}}, \DS{\vec{u}_{2}}, …, \DS{\vec{u}_{k}}. Čísla \DS{t_{1}}, \DS{t_{2}}, …, \DS{t_{k}} nazýváme koeficienty lineární kombinace.


Poznámka 3.5. Všude, kde v následujícím textu mluvíme o konečné posloupnosti vektorů, máme na mysli vektory, které jsou prvky téhož vektorového prostoru (tj. jsou stejné dimenze). V tomto případě je definována pravá strana rovnosti (3.3) a má smysl mluvit o lineární kombinaci těchto vektorů.

Příklad 3.2 (lineární kombinace). Mějme vektory z vektorového prostoru \DS{\mathbb{R}^{3}}: \DS{\vec{a} = (1,4,2)}, \DS{\vec{b} = (-2,0,1)} a \DS{\vec{c} = (1,-2,1)}. Vektor

\vec{d} = 2\vec{a} +\vec{ b} - 3\vec{c} = (-3,14,2)

je lineární kombinací vektorů \DS{\vec{a}}, \DS{\vec{b}} a \DS{\vec{c}}. Existují však i jiné lineární kombinace těchto vektorů. Je jich zřejmě nekonečně mnoho.

Poznámka 3.6 (triviální lineární kombinace). Jsou-li všechny koeficienty lineární kombinace rovny nule, obdržíme v (3.3) nulový vektor. Tato lineární kombinace se nazývá triviální lineární kombinace. Nulový vektor je takto možné zapsat jako lineární kombinaci libovolných vektorů. Nabízí se otázka, zda je tato možnost jediná, nebo je to pouze jedna z více možností, jak tvořením lineárních kombinací obdržet ze zadané skupiny vektorů vektor nulový. Odpověď na tuto otázku je u některých skupin vektorů pozitivní a u jiných negativní a ukazuje se, že je důležité oba případy rozlišovat. K tomu slouží následující pojem.

Definice 3.3 (lineární závislost vektorů). Řekneme, že vektory \DS{\vec{u}_{1}}, \DS{\vec{u}_{2}}, …, \DS{\vec{u}_{k}} jsou lineárně závislé, jestliže existuje alespoň jedna netriviální lineární kombinace těchto vektorů, jejímž výsledkem je nulový vektor, tj. existují-li reálná čísla \DS{t_{1}}, \DS{t_{2}}, …, \DS{t_{k}}, z nichž alespoň jedno je různé od nuly, taková, že platí

\vec{o} = t_{1}\vec{u}_{1} + t_{2}\vec{u}_{2} +\cdots +t_{k}\vec{u}_{k}.
(3.4)

V opačném případě říkáme, že vektory jsou lineárně nezávislé.


Poznámka 3.7 (slovní vyjádření předchozí definice). Vektory jsou tedy lineárně závislé, jestliže pomocí jejich lineární kombinace lze nulový vektor zapsat alespoň dvěma způsoby: jednou jako triviální lineární kombinaci alespoň jednou ještě nějak jinak. Podobná situace platí i pro ostatní vektory, jak je obsaženo v následující větě.

Věta 3.1. Mějme konečnou posloupnost vektorů \DS{\vec{u}_{1}}, \DS{\vec{u}_{2}}, …, \DS{\vec{u}_{k}}. Následující výroky jsou ekvivalentní:

(i)
Vektory jsou lineárně závislé.
(ii)
Alespoň jeden z vektorů \DS{\vec{u}_{1}}, …, \DS{\vec{u}_{k}} lze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních vektorů.
(iii)
Je-li vektor \DS{\vec{u}}, lineární kombinací vektorů \DS{\vec{u}_{1}}, …, \DS{\vec{u}_{k}}, existují alespoň dvě různá vyjádření vektoru \DS{\vec{u}} ve tvaru (3.3).

Poznámka 3.8 (k testování lineární závislosti). !!!V některých případech je úkol rozhodnout o lineární (ne-)závislosti vektorů snadný. Platí totiž následující:

V ostatních případech nelze na otázku o případné lineární závislosti nebo nezávislosti vektorů dát okamžitou odpověď, ale je potřeba odpovídajícím způsobem rozhodnout, např. pomocí pojmu hodnost matice, který uvedeme později.

Příklad 3.3 (aplikace předchozí poznámky). Vektory \DS{\vec{a} = (1,2,5)}, \DS{\vec{b} = (0,1,0)} a \DS{\vec{c} = (-2,-4,-10)} jsou lineárně závislé.

Vektory \DS{\vec{d} = (1,3)} a \DS{\vec{e} = (-1,3)} jsou lineárně nezávislé.

O lineární (ne-)závislosti vektorů \DS{\vec{i} = (1,2,3,1)}, \DS{\vec{j} = (2,1,0,1)} a \DS{\vec{k} = (1,1,-3,2)} nelze podle předchozí poznámky rozhodnout, metodu na ověření lineární (ne-)závislosti si uvedeme později.

Poznámka 3.9. Pokud k posloupnosti lineárně závislých vektorů přidáme libovolný počet vektorů, vektory jistě zůstanou lineárně závislé. Naopak, pokud z posloupnosti lineárně nezávislých vektorů vynecháme libovolný počet vektorů, obdržíme opět lineárně nezávislé vektory. Pokud k posloupnosti lineárně nezávislých vektorů přidáním jednoho vektoru lineární nezávislost porušíme, znamená to, že jsme přidali vektor, který lze vyjádřit jako lineární kombinaci původních vektorů.

   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009