Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře Robert Mařík © 2007-2009 

3.6 Soustavy lineárních rovnic

Jedna z nejvýznamnějších aplikací maticového počtu je řešení soustav lineárních rovnic. Historicky byl vznik maticové algebry motivován především pracemi týkajícími se řešení soustav lineárních rovnic.

Poznámka 3.32 (Různé formulace problému se soustavou dvou linárních rovnic o dvou neznámých.). Uvažujme následující tři problémy:

Úloha 1
Najděte všechna reálná čísla \DS{x_{1}}, \DS{x_{2}}, splňující dvojici rovnic
\eqalignno{ 4x_{1} & + 5x_{2} = 7\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr x_{1} & - 2x_{2} = 4\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em }
Úloha 2
Najděte všechna reálná čísla \DS{x_{1}}, \DS{x_{2}}, splňující vektorovou rovnici
\eqalignno{ \left (\array{ 4\cr 1} \right )x_{1} + \left (\array{ 5\cr -2} \right )x_{2} = \left (\array{ 7\cr 4} \right ) & \kern 0em & }
Úloha 3
Najděte všechna reálná čísla \DS{x_{1}}, \DS{x_{2}}, splňující maticovou rovnici
\eqalignno{ \left (\array{ 4& 5\cr 1& -2} \right )\left (\array{ x_{1} \cr x_{2} } \right ) = \left (\array{ 7\cr 4} \right ) & \kern 0em & }

Všechny problémy jsou ekvivalentní a jedná se o jiný zápis téhož. Jednou však používáme soustavu rovnic, vektory a jejich lineární kombinaci a jednou matice a maticový součin!

Definice 3.13 (soustava lineárních rovnic). Soustavou \DS{m} lineárních rovnic o \DS{n} neznámých nazýváme soustavu rovnic

\begin{array}{cl} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} +\cdots +a_{1n}x_{n} = b_{1} & \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + a_{23}x_{3} +\cdots +a_{2n}x_{n} = b_{2} & \\ a_{31}x_{1} + a_{32}x_{2} + a_{33}x_{3} +\cdots +a_{3n}x_{n} = b_{3} & \text{(3.7)} \\ \mathop{\mathop{⋮}} & \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + a_{m3}x_{3} +\cdots +a_{mn}x_{n} = b_{m}& \end{array}

Proměnné \DS{x_{1}}, \DS{x_{2}}, …, \DS{x_{n}} nazýváme neznámé. Reálná čísla \DS{a_{ij}} nazýváme koeficienty levých stran, reálná čísla \DS{b_{j}} koeficienty pravých stran soustavy rovnic. Řešením soustavy rovnic rozumíme uspořádanou \DS{n}-tici reálných čísel \DS{[t_{1},t_{2},\mathop{\mathop{…}},t_{n}]} po jejichž dosazení za neznámé (v tomto pořadí) do soustavy dostaneme ve všech rovnicích identity.


Protože pro řešení soustavy rovnic jsou podstatné pouze jednotlivé koeficienty1 , zavádíme následující definici.

Definice 3.14 (matice soustavy). Matici

A = \left (\array{ a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \cr a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \cr \mathop{\mathop{⋮}} & \mathop{\mathop{⋮}} & & \mathrel{⋱}& \mathop{\mathop{⋮}}\cr a_{ m1}& a_{m2}& a_{m3}& \cdots & a_{mn}\cr } \right )
(3.8)

nazýváme maticí soustavy (3.13). Matici

A_{r} = \left (\array{ a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}& b_{1} \cr a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n}& b_{2} \cr \mathop{\mathop{⋮}} & \mathop{\mathop{⋮}} & & \mathrel{⋱}& \mathop{\mathop{⋮}} & \mathop{\mathop{⋮}}\cr a_{ m1}& a_{m2}& a_{m3}& \cdots & a_{mn}& b_{m}\cr } \right )
(3.9)

nazýváme rozšířenou maticí soustavy (3.13).


Poznámka 3.33 (vektorový zápis soustavy lineárních rovnic). !!!Soustavu (3.13) lze ekvivalentně přepsat do vektorového tvaru

\left (\array{ a_{11} \cr a_{21} \cr \mathop{\mathop{⋮}}\cr a_{ m1}} \right )x_{1}+\left (\array{ a_{12} \cr a_{22} \cr \mathop{\mathop{⋮}}\cr a_{ m2}} \right )x_{2}+\left (\array{ a_{13} \cr a_{23} \cr \mathop{\mathop{⋮}}\cr a_{ m3}} \right )x_{3}+\cdots +\left (\array{ a_{1n} \cr a_{2n} \cr \mathop{\mathop{⋮}}\cr a_{ mn}} \right )x_{n} = \left (\array{ b_{1} \cr b_{2} \cr \mathop{\mathop{⋮}}\cr b_{ m}} \right ).
(3.10)

Vidíme tedy, že se vlastně jedná o problém, vyjádřit vektor složený z čísel na pravé straně soustavy rovnic jako lineární kombinaci vektorů, které tvoří sloupce matice soustavy. (Fakt, zda pracujeme s řádkovými nebo se sloupcovými vektory evidentně není podstatný.)

Poznámka 3.34 (maticový zápis soustavy lineárních rovnic). Soustavu (3.13) lze ekvivalentně přepsat do maticového tvaru pomocí maticového součinu

\left (\array{ a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \cr a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \cr \mathop{\mathop{⋮}} & \mathop{\mathop{⋮}} & \mathrel{⋱}& \mathop{\mathop{⋮}}\cr a_{ m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\cr } \right )\left (\array{ x_{1} \cr x_{2} \cr \mathop{\mathop{⋮}}\cr x_{ n}} \right ) = \left (\array{ b_{1} \cr b_{2} \cr \mathop{\mathop{⋮}}\cr b_{ m}} \right ).

Tento tvar se používá často v inženýrských výpočtech pro úspornost. Symbolicky zpravidla píšeme soustavu lineárních rovnic ve tvaru

A\vec{x} =\vec{ b},

kde \DS{A} je matice soustavy a \DS{\vec{b}} je vektor pravých stran.

O řešitelnosti soustavy rovnic nám dává informaci následující věta.

Věta 3.13 (Frobeniova věta, Kronecker–Capelliho věta). !!!Soustava (3.13) je řešitelná právě tehdy, když její matice soustavy (3.8) a rozšířená matice soustavy (3.9) mají stejnou hodnost, tj. \DS{h(A) = h(A_{r})}.


Jedna z nejjednodušších metod pro nalezení řešení soustavy lineárních rovnic je Gaussova metoda neúplné eliminace. Tato metoda spočívá v tom, že soustavu rovnic nahrazujeme postupně jinými soustavami, které mají stejnou množinu řešení. Toto provádíme tak dlouho, dokud nedojdeme k soustavě, kterou umíme vyřešit. V praxi veškeré operace provádíme přímo na rozšířené matici soustavy a to tak, že tuto matici převedeme na schodovitý tvar pomocí libovolných řádkových operací, které jsme používali při zjišťování hodnosti matice ve Větě 3.5. Je třeba dbát na to, abychom používali důsledně pouze řádkové operace a je třeba se vyvarovat manipulace se sloupci matice! Je-li rozšířená matice soustavy ve schodovitém tvaru, vidíme okamžitě, zda je soustava řešitelná (viz. Frobeniova věta) a pokud ano, jsme schopni odspodu dopočítat jednotlivé neznámé. Přitom nastane jeden z následujících případů: !!!

(i)
Soustava nemá řešení, pokud \DS{h(A)\neq h(A_{r})}. (V tomto případě je \DS{h(A_{r}) = h(A) + 1}.)
(ii)
Soustava má právě jedno řešení, pokud \DS{h(A) = h(A_{r}) = n}.
(iii)
Soustava má nekonečně mnoho řešení, pokud \DS{h(A) = h(A_{r}) < n}. Tato řešení lze vyjádřit pomocí \DS{(n - h(A))} nezávislých parametrů.

Definice 3.15 (homogenní soustava lineárních rovnic). Platí-li v soustavě (3.13)

b_{1} = b_{2} =\cdots = b_{m} = 0,

nazývá se soustava (3.13) homogenní.


Poznámka 3.35 (triviální řešení). Homogenní soustava lineárních rovnic je vždy řešitelná. Vskutku — matice soustavy a rozšířená matice soustavy se liší pouze sloupcem složeným ze samých nul a mají tedy stejné hodnosti. Navíc po dosazení okamžitě vidíme, že \DS{n}-tice \DS{x_{1} = 0}, \DS{x_{2} = 0}, …, \DS{x_{n} = 0} je řešením. Toto řešení nazýváme triviální. U homogenních soustav lineárních rovnic tedy buď existuje pouze triviální řešení, nebo existuje nekonečně mnoho řešení.

Poznámka 3.36 (vektorový zápis homogenní soustavy lineárních rovnic). Zapíšeme-li homogenní soustavu lineárních vektorově, vidíme, že se vlastně jedná o problém nalézt lineární kombinaci sloupců matice soustavy, která je rovna nulovému vektoru. Taková lineární kombinace vždy existuje – například triviální lineární kombinace. Pokud má problém ještě jiné řešení, znamená to, že sloupce matice soustavy jsou lineárně závislé — viz. str. 145.

Všechny pojmy, které jsme si v souvislosti s lineární algebrou uváděli spolu úzce souvisí. Nejlépe je tato souvislost vidět u čtvercových matic, zformulujme si tedy následující větu, která rozšiřuje Větu 3.8.

Věta 3.14. !!!Buď \DS{A} čtvercová matice řádu \DS{n} Následující výroky jsou ekvivalentní:

(i)
Řádky matice jsou tvořeny lineárně nezávislými vektory z \DS{\mathbb{R}^{n}}.
(ii)
Sloupce matice jsou tvořeny lineárně nezávislými vektory z \DS{\mathbb{R}^{n}}.
(iii)
Hodnost matice \DS{A} je rovna \DS{n}, tj. \DS{h(A) = n}
(iv)
Matice \DS{A} je invertibilní, tj. existuje matice \DS{A^{-1}} k ní inverzní.
(v)
Matice \DS{A} je regulární, tj. \DS{\det A\neq 0}.
(vi)
Soustava lineárních rovnic, jejíž matice soustavy je matice \DS{A}, má pro libovolnou volbu koeficientů na pravých stranách rovnic jediné řešení.
(vii)
Homogenní soustava lineárních rovnic, jejíž matice soustavy je matice \DS{A}, má pouze triviální řešení.
(viii)
Každý algebraický vektor z \DS{\mathbb{R}^{n}} lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů tvořených řádky (sloupci) matice \DS{A}, a to jednoznačně, až na pořadí.

Následující věta ukazuje jednu z aplikací inverzní matice.

Věta 3.15. !!!Uvažujme soustavu lineárních rovnic, jejíž matice soustavy je čtvercová matice \DS{A} a vektor pravých stran je sloupcový vektor \DS{B}. Předpokládejme, že k matici \DS{A} existuje inverzní matice \DS{A^{-1}}. Potom má soustava jediné řešení, jehož jednotlivé složky jsou prvky sloupcového vektoru \DS{A^{-1}\cdot B}, kde tento uvedený součin chápeme v maticovém smyslu.


   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009