Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře | Robert Mařík © 2007-2009 |
Poznámka 2.1 (spojitost primitivní
funkce). Primitivní funkce \DS{F(x)}
je vždy spojitá na \DS{I},
plyne to z existence derivace
.
Věta 2.2 (jednoznačnost primitivní
|
Poznámka 2.2 (filozofická). Bohužel,
ne vždy neurčitý integrál dokážeme efektivně najít.
Zatímco problém nalezení derivace funkce složené z funkcí,
které umíme derivovat, spočívá
pouze ve správné aplikaci vzorců pro derivování, problém nalézt
neurčitý integrál i k funkci tak jednoduché, jako je například
\DS{e^{-x^{2}
}}
je neřešitelný ve třídě elementárních funkcí.
Věta 2.3 (linearita neurčitého integrálu \eqalignno{
\int f(x) + g(x)\, \mathrm{d}x & =\int f(x)\, \mathrm{d}x +\int g(x)\, \mathrm{d}x,\kern 0em & & \kern 0em
\kern 0em \cr
\int cf(x)\, \mathrm{d}x & = c\int f(x)\, \mathrm{d}x.\kern 0em & & \kern 0em
\kern 0em }
|
Poznámka 2.3 (technická). Vzhledem k součtu
a násobení konstantou se tedy integrál chová ”pěkně”, tak
jak jsme to viděli i u derivace. Bohužel však neexistují podobné
vzorečky pro integrál složené funkce, podílu nebo součinu.
Integrál ze složené funkce dokážeme vypočítat obecně
pouze v případě, že vnitřní složka je lineární
funkcí,
jak ukazuje následující věta. Podobně integrál z podílu lze
obecně vypočítat v případě že v čitateli zlomku je
derivace jmenovatele.
Poznámka 2.4 (základní vzorce pro integrování). Následující vzorce jsou opakem (a v některých případech mírným zobecněním) vzorců pro derivaci základních elementárních funkcí.
\DS{\int x^{n}\, \mathrm{d}x ={ x^{n+1} \over n + 1} + c}
\DS{\int { 1 \over x} \, \mathrm{d}x =\ln |x| + c}
\DS{\int a^{x}\, \mathrm{d}x ={ a^{x} \over \ln a} + c}
\DS{\int e^{x}\, \mathrm{d}x = e^{x} + c}
\DS{\int \sin x\, \mathrm{d}x = -\cos x + c}
\DS{\int \cos x\, \mathrm{d}x =\sin x + c}
\DS{\int { 1 \over \sin ^{2}x} \, \mathrm{d}x = -\mathop{\mathrm{cotg}}\nolimits x + c}
\DS{\int { 1 \over \sqrt{A^{2 } - x^{2}}} \, \mathrm{d}x =\arcsin { x \over A} + c}
\DS{\int { 1 \over \sqrt{x^{2 } \pm B}} \, \mathrm{d}x =\ln \left |x + \sqrt{x^{2 } \pm B}\right | + c}
\DS{\int { 1 \over A^{2} + x^{2}} \, \mathrm{d}x ={ 1 \over A} \mathop{\mathrm{arctg}} { x \over A} + c}
\DS{\int { 1 \over A^{2} - x^{2}} \, \mathrm{d}x ={ 1 \over 2A} \ln \left |{ A + x \over A - x} \right | + c}
Příklad 2.1 (aplikace předchozí věty).
Příklad 2.2 (aplikace předchozí věty).
\int { x + 2
\over x^{2} + 4x + 8} \, \mathrm{d}x ={ 1
\over 2} \int { 2x + 4
\over x^{2} + 4x + 8} \, \mathrm{d}x ={ 1
\over 2} \ln |x^{2} + 4x + 8| + c
|
Poznámka 2.5 (integrály typické pro výpočet metodou per-partés). Buď \DS{P(x)} polynom. Metodou per-partés integrujeme například integrály následujících typů
\int P(x)e^{\alpha x}\, \mathrm{d}x,\int P(x)\sin (\alpha x)\, \mathrm{d}x,\int P(x)\cos (\alpha x)\, \mathrm{d}x,
|
a
\int P(x)\mathop{\mathrm{arctg}} x\, \mathrm{d}x,\int P(x)\ln ^{m}x\, \mathrm{d}x.
|
U první skupiny integrálů postupujeme tak, že polynom derivujeme, čímž snížíme jeho stupeň, a v případě potřeby tento postup opakujeme. U druhé skupiny integrálů naopak derivujeme funkce \DS{\mathop{\mathrm{arctg}} x} a \DS{\ln x}.
Příklad 2.3 (integrace per-partés).
Věta 2.7 (první substituční metoda, speciální případ složené funkce).
dosadíme-li napravo \DS{t =\varphi (x)} |
Poznámka 2.6 (technická). Formálně substituci provádíme tak, že píšeme v integrálu vpravo \DS{t} místo \DS{\varphi (x)} a \DS{\, \mathrm{d}t} místo \DS{\varphi ^{\, \prime }(x)\, \mathrm{d}x}.
Příklad 2.4 (substituční metoda).
V jistém smyslu opačným postupem je druhá substituční metoda.
Věta 2.8 (druhá substituční metoda).
dosadíme-li napravo \DS{t =\varphi ^{-1}(x)}, kde \DS{\varphi ^{-1}(x)} je funkce inverzní k funkci \DS{\varphi (x)}. |
Poznámka 2.7. Existence inverzní funkce \DS{\varphi ^{-1}} plyne z nenulovosti derivace funkce \DS{\varphi }. Výraz napravo v (2.4) sice vypadá komplikovaněji, v praxi však substituci volíme vždy tak, aby po úpravě vpravo vyšel integrál jednodušší, který umíme vypočítat.
Poznámka 2.8 (technická). Formálně substituci provádíme tak, že píšeme v integrálu vpravo \DS{\varphi (t)} místo \DS{x} a \DS{\varphi ^{\, \prime }(t)\, \mathrm{d}t} místo \DS{\, \mathrm{d}x}.
Poznámka 2.9. Vidíme, že u druhé substituční metody se vlastně jedná o použití vzorce (2.3) zprava doleva.
Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně | © 2007-2009 |