Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře Robert Mařík © 2007-2009 

3.4 Inverzní matice

Poznámka 3.19 (motivační). U reálných čísel máme doplňkové operace ke sčítání a násobení — jsou to odečítání a dělení. Odečítání matic můžeme implementovat jako sčítání matice s maticí vynásobenou minus jedničkou: \DS{A - B = A + (-B)}. Oproti tomu operace dělení matic vůbec není implementována. U reálných čísel lze dělení nahradit násobením převrácenou hodnotou: \DS{{ a \over b} = ab^{-1}}. Tuto proceduru částečně rozšíříme pro matice.

Definice 3.10 (inverzní matice). Buď \DS{A\in \mathbb{R}^{n\times n}} čtvercová matice řádu \DS{n}. Jestliže existuje čtvercová matice \DS{A^{-1}} řádu \DS{n}, splňující vztahy

A^{-1}A = I = AA^{-1},
(3.5)

nazýváme matici \DS{A^{-1}} inverzní maticí k matici \DS{A}.


Poznámka 3.20 (k existenci inverzní matice). Předchozí definice nezaručuje existenci inverzní matice. K některým čtvercovým maticím inverzní matice existuje, k některým ne. Později (ve Větě 3.8) uvidíme, že existuje jednoduchá charakterizace matic, ke kterým inverzní matice existuje, pomocí determinantu.

Poznámka 3.21. Buďte \DS{A} a \DS{B} čtvercové matice řádu \DS{n}. I když násobení matic není obecně komutativní, lze ukázat, že pro ověření toho, zda matice \DS{B} je inverzní matice k matici \DS{A} stačí ověřit pouze jeden z maticových součinů \DS{AB} nebo \DS{BA}, protože je-li jeden roven jednotkové matici, platí totéž i pro součin druhý.

Poznámka 3.22 (metoda výpočtu inverzní matice). !!!Metoda výpočtu inverzní matice spočívá v následujícím: každou čtvercovou matici \DS{A} řádu \DS{n}, ke které existuje inverzní matice, lze konečným počtem následujících řádkových úprav převést na jednotkovou matici, jsou to:

(i)
libovolná záměna pořadí řádků matice
(ii)
vynásobení nebo vydělení libovolného řádku matice libovolným nenulovým číslem
(iii)
ponechání jednoho řádku beze změny a opakované přičtení libovolných násobků tohoto řádku k nenulovým násobkům ostatních řádků matice

Provedeme-li stejné úpravy ve stejném pořadí na jednotkové matici řádu \DS{n}, obdržíme matici inverzní k matici \DS{A}, tj. matici \DS{A^{-1}}.

Povšimněte si, že neprovádíme vůbec žádné sloupcové operace! Také nemá smysl uvažovat nulové nebo lineárně závislé řádky, protože tyto se ve výpočtu neobjeví (proč, to se dozvíme z následujícího článku o determinantech a z Věty 3.8).

   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009