1.8 Shrnutí
Funkce jsou matematickým vyjádřením vztahů mezi veličinami. Při studiu funkcí se opíráme
- o elementární matematiku, která nám umožní výpočet funkčních hodnot, nalézt definiční obor funkce, ověřit její sudost nebo lichost a v některých případech řešit nelineární rovnice a nerovnice (logaritmické, exponenciální, goniometrické a pod.) a dále
- o diferenciální počet, který nám dává pomocí
derivace informaci o chování funkce na definičním oboru (růst,
klesání, spojitost, lok. extrémy
, konvexnost, konkávnost atd.) a
pomocí asymptot informaci o chování funkce v krajních bodech
definičního oboru. Základním
pojmem, který umožňuje tento aparát vybudovat, je pojem limita
funkce. Prakticky výpočet limity provádíme u spojitých
funkcí dosazením, u nespojitých je možné použít
Věty 1.16 pro počítání s limitami a v některých
případech l’Hospitalovo pravidlo. Limity u polynomů a racionálních
funkcí v bodech nespojitosti a v nevlastních bodech lze počítat
pomocí Vět 1.11 a 1.14. V případech jednoduchých funkcí
poznáme limitu (ve vlastním i nevlastním bodě) z obrázku.
Abychom mohli výše uvedené informace z funkce najít a použít, ukázali jsme si, které jednotlivé pojmy spolu souvisí a jak, např. z existence derivace plyne spojitost, nikoliv však naopak.
Podstatné v aplikacích jsou zejména spojité funkce. Při studiu spojitých
funkcí mají velký význam Bolzanovy
a Weierstsrassovy věty
, které jsou
geometricky velice názorné a ukazují, že i když je spojitost funkcí
definována podstatně méně názorně, než jako funkce
nakreslitelná jedním tahem, zachovávají se pro tyto funkce vlastnosti
”běžné” pro hladké rovinné křivky.
Z teoretického hlediska jsou nejdůležitější pojmy této kapitoly limita, spojitost a derivace. Spojitost je vlastnost těch funkcí, u nichž malá změna nezávislé proměnné vyvolá relativně malou změnu proměnné závislé. Derivace je (poněkud jemněji) veličina, která se vyjadřuje poměr těchto změn – udává kolikrát rychleji se mění hodnoty \DS{y} ve srovnání s hodnotami \DS{x}. Nejdůležitější aplikací je vyšetřování průběhu funkce, zejména pak nalezení lokálních extrémů funkce.
Někdy mají studenti potíže rozpoznat, kterou metodu je třeba použít pro výpočet limit. Následující rozhodovací strom umožňuje vybrat tu správnou metodu či tu spávnou větou, kterou je nejvhodnější použít. Tento diagram pokrývá pouze typy limit, které jsme probírali na přednášce. Setkáte-li se s limitou, kterou nelze do tohoto schematu zařadit, můžete se pokusit odhadnout hodnotu limity numerickým experimentem, výpočtem funkčních hodnot v okolí zkoumaného bodu.
