Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře | Robert Mařík © 2007-2009 |
Věta 4.7 (nutná podmínka pro celočíselné kořeny |
Poznámka 4.7 (praktický význam předchozí věty). Předchozí
věta se týká pouze polynomů s celočíselnými koeficienty a říká,
že celočíselným kořenem takového polynomu může být
pouze dělitel absolutního člene. Je tedy možné si všechny dělitele
vypsat (je-li \DS{a_{n}\neq 0},
je jich konečně mnoho!) a po řadě je otestovat, např. Hornerovým
schematem. Navíc, najdeme-li takový kořen, zjistíme opakovaným dělením
současně i jeho násobnost. Je-li dále algebraická rovnice
normovaná,
tj. \DS{a_{0} = 1},
jsou její reálné kořeny pouze celočíselné nebo iracionální.
Kořeny, které nejsou celočíselné, neumíme obecně u polynomu nalézt. Proto si ukážeme některé přibližné metody pro jejich nalezení. Naším úkolem je zjistit (odhadnout) počet reálných kořenů, najít interval ve kterém tyto kořeny leží a kořeny odseparovat, tj. nalézt systém intervalů s takovou vlastností, že každý interval obsahuje právě jeden kořen polynomu.
Příklad 4.3 (odhad velikosti kořenů). Pro kořeny \DS{x_{i}} polynomu \DS{P(x) = 2x^{6} - x^{3} + 4x^{2} + x - 6} platí \DS{|x_{i}| < 1 +{ 6 \over 2} = 4}.
Pro odhad počtu reálných kladných kořenů slouží následující věta.
Věta 4.9 (Descartova věta). Počet kladných kořenů |
Poznámka 4.8 (jeden z důsledků předchozí věty). Okamžitým důsledkem této věty je následující tvrzení: Polynom, jehož všechny koeficienty jsou nezáporná čísla nemůže mít kladné kořeny.
Příklad 4.4 (počet kladných kořenů). Polynom \DS{P(x) = x^{8} - x^{5} + x^{3} + x^{2} - x + 1} má buď \DS{4} nebo \DS{2} nebo žádný reálný kladný kořen.
Příklad 4.5 (počet kladných kořenů). Polynom \DS{P(x) = 2x^{6} - x^{3} + 4x^{2} + x - 6} má \DS{3} nebo \DS{1} kladný reálný kořen. Tyto kořeny leží v intervalu \DS{(0,4)} — viz Příklad 4.3.
Pro odhad počtu záporných kořenů využijeme toho, že \DS{c} je záporným kořenem polynomu \DS{P(x)} právě tehdy, když \DS{ - c} je kladným kořenem polynomu \DS{P(-x)}.
Věta 4.10 (varianta Descartovy věty pro záporné kořeny |
Příklad 4.6 (počet záporných kořenů). Pro polynom \DS{P(x) = 2x^{6} - x^{3} + 4x^{2} + x - 6} platí \DS{\tilde{P}(x) = P(-x) = 2x^{6} + x^{3} + 4x^{2} - x - 6} a polynom \DS{P(x)} má tedy jediný záporný reálný kořen, tj. má jeden kořen na intervalu \DS{(-4,0)} — viz Příklad 4.3.
Poznámka 4.9 (technická). Pomocný polynom \DS{\tilde{P}(x)} rychle obdržíme z polynomu \DS{P(x)} uvědomíme-li si, že stačí změnit znaménka u koeficientů polynomu \DS{P(x)}, které přísluší mocninám lichého stupně.
Příklad 4.7 (hledání celočíselných kořenů a rozklad na součin). Nalezněme v oboru celých čísel všechna řešení rovnice
x^{5} + x^{4} - 5x^{3} - 9x^{2} - 24x - 36 = 0.
|
Celočíselnými kořeny mohou být pouze čísla, která dělí
číslo \DS{36},
tj. \DS{\pm 1},
\DS{\pm 2},
\DS{\pm 3},
\DS{\pm 4},
\DS{\pm 6},
\DS{\pm 9},
\DS{\pm 12},
\DS{\pm 18} a
\DS{\pm 36}. Tato
čísla postupně vyzkoušíme (i jejich násobností, pokud se bude
jednat o kořeny) Hornerovým schematem.
Poznámky:
\DS{^{1)}} \DS{x = -2} je kořenem násobnosti alespoň jedna. Musíme ověřit násobnost tohoto kořene. Navíc má dále smysl testovat pouze dělitele čísla \DS{18}.
\DS{^{2)}} \DS{x = -2} je kořenem násobnost alespoň dva. Zkusíme ověřit, zda se nejedná o kořen násobnosti tři nebo více.
\DS{^{3)}} \DS{x = -2} tedy je kořen násobnosti pouze dva. Pilnější čtenáři si jistě všimli, že tento řádek nebylo nutné psát. Dvojka totiž není dělitelem čísla \DS{ - 9}, které je absolutním členem polynomu, který odpovídá poslednímu podtrženému řádku.
\DS{^{4)}} \DS{x = 3} je kořenem násobnosti alespoň jedna. navíc má smysl testovat dále jenom dělitele čísla \DS{3} a jenom záporná čísla, protože dále uvažujeme polynom, který má pouze kladné koeficienty. Z tohoto důvodu nemůže být číslo \DS{x = 3} násobným kořenem a zbývá pouze číslo \DS{ - 3}.
Výsledky: Našli jsme tři celočíselné kořeny \DS{x_{1,2} = -2} a \DS{x_{3} = 3}. Rozklad levé strany rovnice na součin je
(x + 2)^{2}(x - 3)(x^{2} + 3) = 0.
|
Odsud lze vidět, že zbylé dva kořeny nejsou reálná čísla, tj. \DS{x_{4,5}\not \in \mathbb{R}} (rovnice \DS{x^{2} + 3 = 0} nemá v oboru reálných čísel řešení).
Poznámka 4.10 (separace kořenů). Další úlohou spojenou
s hledáním kořenů algebraické rovnice (polynomu
) je separace kořenů – tj.
nalezení systému intervalů, které obsahují právě jeden kořen.
Separaci kořenů provádíme zpravidla takto:
V jednoduchých případech (například u rovnic třetího řádu) dokážeme nalézt lokální extrémy polynomu, vyšetřit průběh pomocí první derivace a odtud usuzovat na přesnější odhady počtu a lokalizace kořenů.
V některých případech, obzvláště tehdy, když polynom neobsahuje mnoho členů, lze kořeny odseparovat graficky. Převedeme vhodné členy z levé strany algebraické rovnice na pravou, tak abychom dostali rovnici tvaru \DS{p(x) = q(x)}, kde \DS{p(x)} a \DS{q(x)} jsou polynomy, jejichž grafy umíme zakreslit. Po nakreslení obrázku vidíme ihned, kolik mají grafy těchto křivek průsečíků a v kterých intervalech leží. Tyto průsečíky jsou kořeny původního polynomu (řešeními původní algebraické rovnice).
Podaří-li se kořeny polynomu odseparovat, následující metody umožní nalezení tohoto kořene s libovolnou (předem zvolenou) přesností.
Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně | © 2007-2009 |