Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře Robert Mařík © 2007-2009 

2.2 Riemannův integrál

Definice 2.2 (dělení intervalu). Buď \DS{[a,b]} uzavřený interval \DS{-\infty < a < b <\infty }. Dělením intervalu \DS{[a,b]} rozumíme konečnou posloupnost \DS{D = \{x_{0},x_{1},\mathop{\mathop{…}},x_{n}\}} bodů z intervalu \DS{[a,b]} s vlastností

a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < x_{3} <\cdots < x_{n-1} < x_{n} = b.

Čísla \DS{x_{i}} nazýváme dělící body. Normou dělení \DS{D} rozumíme maximální číslo, které udává vzdálenost sousedních dělících bodů. Normu dělení \DS{D} označujeme \DS{\mathbf{\nu (D)}}. Je tedy \DS{\nu (D) =\mathop{ max}\{x_{i} - x_{i-1},1\leq i\leq n\}}.


Definice 2.3 (integrální součet). Buď \DS{[a,b]} uzavřený interval a \DS{f} funkce definovaná a ohraničená na \DS{[a,b]}. Buď \DS{D} dělení intervalu \DS{[a,b]}. Buď \DS{R = \{\xi _{1},\mathop{\mathop{…}},\xi _{n}\}} posloupnost čísel z intervalu \DS{[a,b]} splňující \DS{x_{i-1}\leq \xi _{i}\leq x_{i}} pro \DS{i = 1..n}. Potom součet

\mathbf{\sigma (f,D,R) =\sum _{ i=1}^{n}f(\xi _{ i})(x_{i} - x_{i-1})}

se nazývá integrální součet funkce f příslušný dělení \DS{D} a výběru reprezentantů \DS{R}.


Poznámka 2.10 (geometrický význam integrálního součtu). Předpokládejme pro jednoduchost, že funkce \DS{f} je na intervalu \DS{(a,b)} nezáporná. Geometricky je integrální součet roven součtu obsahů obdélníků, jejichž základny (vodorovné hrany) mají délku rovnu délce jednotlivých podintervalů v dělení a výška je rovna funkční hodnotě v bodě, který je reprezentantem příslušného podintervalu.


    ξ     ξ           ξ         ξ         ξ         ξ
     1     2           3         4         5        6
x0       x1        x2       x3       x4     x5           x6

Obrázek 2.1: Grafické znázornění integrálního součtu

Definice 2.4 (Riemannův integrál). Buď \DS{[a,b]} uzavřený interval a \DS{f} funkce definovaná a ohraničená na \DS{[a,b]}. Buď \DS{D_{n}} posloupnost dělení intervalu \DS{[a,b]} a \DS{R_{n}} posloupnost reprezentantů. Řekneme, že funkce \DS{f} je Riemannovsky integrovatelná na intervalu \DS{[a,b]}, jestliže existuje číslo \DS{I\in \mathbb{R}} s vlastností

\lim _{n\to \infty }\sigma (f,D_{n},R_{n}) = I

pro libovolnou posloupnost dělení \DS{D_{n}}, splňující \DS{\lim _{n\to \infty }\nu (D_{n}) = 0} při libovolné volbě reprezentantů \DS{R_{n}}, kde \DS{\sigma (f,D_{n},R_{n})} je odpovídající integrální součet funkce \DS{f}. Číslo \DS{I} nazýváme Riemannův integrál funkce \DS{f} na intervalu \DS{[a,b]} a označujeme

\mathbf{\int _{a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x}.

Poznámka 2.11 (slovní formulace předchozí definice). !!!Předpokládejme pro jednoduchost že funkce \DS{f} je spojitá na \DS{[a,b]}. V definici Riemannova integrálu je obsaženo následující:

(i)
Rozdělíme interval \DS{(a,b)} na podintervaly pomocí dělení, zvolíme libovolně reprezentanta v každém podintervalu a sestrojíme integrální součet.
(ii)
Dělení zjemníme (tj. uvažujeme nové dělení, jehož norma je menší) a postup opakujeme — integrální součet se obecně může měnit.
(iii)
Postupně uvažujeme jemnější a jemnější dělení intervalu \DS{(a,b)} a pokud se integrální součty postupně ”ustálí” na nějaké hodnotě, je tato hodnota Riemannovým integrálem funkce \DS{f} na intervalu \DS{(a,b)}.

(Nezávislost na výběru reprezentantů a na posloupnosti dělení je v tomto případě zaručena spojitostí funkce. V případě nespojitých funkcí je potřeba tuto nezávislost dokázat, což značně převyšuje náplň tohoto předmětu.)

Definice 2.5 (horní a dolní mez). Číslo \DS{a} v definici Riemannova integrálu se nazývá dolní mez a číslo \DS{b} horní mez Riemannova integrálu.


Věta 2.9 (postačující podmínky pro integrovatelnost funkce).

(i)
Funkce spojitá na intervalu \DS{[a,b]} je na tomto intervalu Riemannovsky integrovatelná.
(ii)
Funkce ohraničená na \DS{[a,b]}, která má na tomto intervalu konečný počet bodů nespojitosti je Riemannovsky integrovatelná.
(iii)
Funkce monotonní na \DS{[a,b]} je na tomto intervalu Riemannovsky integrovatelná.

Věta 2.10 (linearita určitého integrálu vzhledem k funkci). Nechť \DS{f}, \DS{g} jsou funkce integrovatelné na \DS{[a,b]}, \DS{c} nechť je reálné číslo. Pak platí

\eqalignno{ \int _{a}^{b}[f(x) + g(x)]\, \mathrm{d}x & =\int _{ a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x +\int _{ a}^{b}g(x)\, \mathrm{d}x,\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr \int _{a}^{b}cf(x)\, \mathrm{d}x & = c\int _{ a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x.\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em }

Věta 2.11 (aditivita určitého integrálu vzhledem k mezím). Nechť \DS{f} je funkce integrovatelná na \DS{[a,b]}. Buď \DS{c\in (a,b)} libovolné. Pak je \DS{f} integrovatelná na intervalech \DS{[a,c]} a \DS{[c,b]} a platí

\int _{a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x =\int _{ a}^{c}f(x)\, \mathrm{d}x +\int _{ c}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x.

Věta 2.12 (monotonie vzhledem k funkci). Buďte \DS{f} a \DS{g} funkce integrovatelné na \DS{[a,b]} takové, že \DS{f(x)\leq g(x)} pro \DS{x\in (a,b)}. Pak platí \DS{\int _{a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x\leq \int _{a}^{b}g(x)\, \mathrm{d}x.}


Poznámka 2.12 (integrál z nezáporné funkce). Pro \DS{f\equiv 0} dostáváme z předchozí věty tvrzení, že integrál z funkce nezáporné na celém integračním oboru je nezáporný.

Věta 2.13 (věta o střední hodnotě). Nechť \DS{f} je funkce spojitá na uzavřeném intervalu \DS{[a,b]}. Existuje číslo \DS{\mu \in [a,b]} s vlastností \DS{f(\mu )(b - a) =\int _{ a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x}.


Definice 2.6 (střední hodnota). Číslo \DS{f(\mu )} z předchozí věty se nazývá střední hodnota funkce \DS{f} na intervalu \DS{[a,b]}.



         Funkce                           Stˇredn´i hodnota



                                stˇr. hodnota



a                 b                       a                 b

Obrázek 2.2: Určitý integrál a integrální střední hodnota funkce

V praxi se určitý integrál počítá užitím následující věty.

Věta 2.14 (Newtonova–Leibnizova věta). !!!Nechť funkce \DS{f(x)} je Riemannovsky integrovatelná na \DS{[a,b]}. Nechť \DS{F(x)} je funkce spojitá na \DS{[a,b]}, která je intervalu \DS{(a,b)} primitivní k funkci \DS{f(x)}. Pak platí

\int _{a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x = [F(x)]_{ a}^{b} = F(b) - F(a).

Metoda per–partés a substituční metoda pro určitý integrál vypadají následovně.

Věta 2.15. Platí

(i)
\DS{\int _{a}^{b}u(x)v^{\, \prime }(x)\, \mathrm{d}x = u(b)v(b) - u(a)v(a) -\int _{a}^{b}u^{\, \prime }(x)v(x)\, \mathrm{d}x}
(ii)
\DS{\int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi ^{\, \prime }(x)\, \mathrm{d}x =\int _{ \varphi (a)}^{\varphi (b)}f(t)\, \mathrm{d}t}
(iii)
\DS{\int _{a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x =\int _{ \varphi ^{-1}(a)}^{\varphi ^{-1}(b) }f(\varphi (t))\varphi ^{\, \prime }(t)\, \mathrm{d}t}

na každém intervalu, na kterém jsou funkce a jejich derivace, které vystupují v integrálech, spojité a \DS{\varphi } je ryze monotonní.


Všimněte si, že při substituci v určitém integrálu se mohou měnit meze. Je proto nutné si uvést ještě následující definici.

Definice 2.7. Pro \DS{a > b} definujeme \DS{\int _{a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x = -\int _{b}^{a}f(x)\, \mathrm{d}x}. Dále definujeme \DS{\int _{a}^{a}f(x)\, \mathrm{d}x = 0}.


Poznámka 2.13 (geometrický význam určitého integrálu). !!!Jak je vidno z definice určitého integrálu, je-li funkce \DS{f} nezáporná na intervalu \DS{[a,b]}, udává integrál \DS{\int _{a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x} obsah obrazce \DS{\{[x,y]\in \mathbb{R}\times \mathbb{R} : a\leq x\leq b\text{ a }0\leq y\leq f(x)\}}, tj. obsah obrazce pod křivkou \DS{y = f(x)} na intervalu \DS{[a,b]}. Je-li funkce \DS{f} lineární, je obrazcem pod křivkou lichoběžník, v ostatních případech nazýváme množinu pod křivkou křivočarým lichoběžníkem. Další geometrické aplikace jsou následující.

V následující poznámce si uvedeme metodu, jak přibližně určit hodnotu určitého integrálu v případě, že není snadné použít Newtonovu–Leibnizovu větu, např. když nedokážeme nalézt primitivní funkci.

Poznámka 2.14 (Lichoběžníkové pravidlo, přibližný výpočet určitého integrálu). !!!Nechť je funkce \DS{f} spojitá na intervalu \DS{[a,b]}. Rozdělme interval \DS{[a,b]} na \DS{n} intervalů stejné délky \DS{h}, tj. platí \DS{h ={ b - a \over n} }. Krajní body těchto intervalů označme po řadě \DS{x_{0}}, \DS{x_{1}}, …, \DS{x_{n}} a jim odpovídající funkční hodnoty \DS{y_{0}}, \DS{y_{1}}, …, \DS{y_{n}}. Hlavní myšlenka aproximace integrálu funkce \DS{f} na intervalu \DS{[a,b]} spočívá v tom, že na tomto intervalu nahradíme funkci \DS{f(x)} lomenou čarou s vrcholy v bodech \DS{[a = x_{0},y_{0}]}, \DS{[x_{1},y_{1}]}, …\DS{[x_{n} = b,y_{n}]} a integrál z takto upravené funkce vypočteme jako součet obsahů jednotlivých lichoběžníků, z nichž je obrazec pod lomenou čárou sestaven. (Toto lze provést i když funkce \DS{f} nezachovává znaménko na intervalu \DS{[a,b]}.) Potom platí:

\int _{a}^{b}f(x)\, \mathrm{d}x\approx { h \over 2} {\Bigl (y_{0} + 2y_{1} + 2y_{2} +\cdots +2y_{n-1} + y_{n}\Bigr )}.

Přitom chyba v tomto vzorci je tím menší, čím je

   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009