Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře | Robert Mařík © 2007-2009 |
Poznámka 1.1. Funkce je tedy pravidlo, které jednomu reálnému číslu přiřadí jediné, přesně definované jiné reálné číslo. Je-li toto pravidlo tvaru ”\DS{y = \text{vzorec s proměnnou $x$}}”, nazýváme tento předpis explicitním tvarem funkce, např. \DS{y = x^{2} +\ln x}.
Je-li toto pravidlo ve tvaru ”\DS{\text{vzorec s proměnnými $x,y$} = 0}”, nazýváme tento předpis implicitním tvarem funkce., např. \DS{x - y -\ln y = 0}. Zjednodušeně řečeno se tedy jedná o pravidlo, které je buď ”efektivní” (explicitní tvar) nebo ”málo efektivní” (implicitní tvar) pro výpočet funkčních hodnot.
V následující definici se budeme zajímat o to, jestli existuje nějaký vztah mezi funkční hodnotou v bodě \DS{x} z definičního oboru a v bodě opačném.
Poznámka 1.2 (graf funkce mající paritu). Graf sudé funkce je osově souměrný podle osy \DS{y}. Graf liché funkce je středově souměrný podle bodu \DS{[0,0]}.
Poznámka 1.3 (k paritě). Parita funkce nás informuje o tom, že funkční hodnoty \DS{f(x)} a \DS{f(-x)} u funkce nejsou nezávislé, ale jsou definované obě současně a jsou buď stejné, nebo se liší znaménkem. V obecném případě zkoumáme sudost či lichost funkce přímo z definice. Sudost či lichost polynomu a racionální funkce poznáme přímo ze zápisu této funkce použitím následující věty.
Poznámka 1.4. Poznamenejme, že číslo nula je také sudé. Sudý polynom tedy může obsahovat i absolutní člen. To že polynom je sudý (lichý) právě tehdy, když obsahuje pouze mocniny se sudým (lichým) exponentem slouží jako ”vysvětlení” toho, proč se používá pojem sudá a lichá funkce.
Příklad 1.1 (parita). Následující funkce jsou sudé: \DS{f(x) = x^{4} - 6}, \DS{g(x) ={ x^{3} + x \over 2x^{5} - 3x} }, \DS{h(x) ={ x^{4} - 6 \over x^{2} + 1} }.
Následující funkce jsou liché: \DS{f(x) = x^{3} - 6x^{7}}, \DS{g(x) ={ x^{3} - x \over 2x^{4} - 3} }, \DS{h(x) ={ x^{6} - 3 \over x^{3} - x} }.
Následující funkce nejsou ani sudé ani liché: \DS{f(x) = x^{4} + x^{2} - x}, \DS{g(x) ={ x^{3} - x \over 2x^{4} - 3x} }, \DS{y = e^{x}}.
Poznámka 1.5 (grafický důsledek). Funkce je shora ohraničená, jestliže existuje vodorovná přímka, která leží celá nad grafem funkce. Podobně poznáváme na grafu ohraničenost zdola.
Motivace. Pro libovolnou dobře definovanou funkci \DS{f} platí implikace
x_{1} = x_{2}\Rightarrow f(x_{1}) = f(x_{2}).
|
nyní se budeme zajímat o to, za jakých podmínek lze tuto implikaci obrátit. Obrácení implikace by totiž mohlo být užitečné při řešení některých nelineárních rovnic.
Poznámka 1.6 (grafický důsledek). Funkce je prostá, jestliže každá vodorovná přímka protíná graf nejvýše jednou.
Poznámka 1.7 (k prostým funkcím). Ekvivalentně lze říci, že funkce \DS{f} je prostá na množině \DS{M}, jestliže stejné obrazy mají nutně i stejný vzor, neboli různým vzorům jsou přiřazeny různé obrazy. Matematicky formulováno: platí implikace
f(x_{1}) = f(x_{2})\Rightarrow x_{1} = x_{2},
| (1.1) |
tj. je-li funkce \DS{f} prostá, můžeme tuto funkci ”odstranit” z obou stran rovnice a místo \DS{f(x_{1}) = f(x_{2})} psát ekvivalentně \DS{x_{1} = x_{2}}.
Poznámka 1.8. Symbol \DS{f^{-1}(x)} lze tedy chápat buď jako hodnotu inverzní funkce k funkci \DS{f} v bodě \DS{x}, nebo jako převrácenou hodnotu k číslu \DS{f(x)}, tj jako \DS{[f(x)]^{-1} ={ 1 \over f(x)} }. Nebude-li z kontextu zřejmé, o kterou variantu se jedná, musíme toto upřesnit.
Poznámka 1.9 (geometrický význam inverzní funkce). Ihned z definice plyne, že graf funkce \DS{f} a graf funkce k ní inverzní \DS{f^{-1}} jsou souměrné podle přímky \DS{y = x}, tj. podle osy prvního a třetího kvadrantu.
Poznámka 1.10 (výpočet inverzní funkce). Inverzní funkci k funkci \DS{y = f(x)} určíme takto: zaměníme formálně v zadání funkce proměnné \DS{x} a \DS{y}, máme tedy \DS{x = f(y)}. Tato rovnice definuje implicitně inverzní funkci \DS{y = f^{-1}(x)}. Z této rovnice vyjádříme proměnnou \DS{y} (pokud toto nelze provést, ponecháme inverzní funkci v implicitním tvaru). Toto vyjádření je jednoznačné (jinak by to znamenalo, že funkce \DS{f} není prostá a inverzní funkce neexistuje) a definuje explicitně inverzní funkci \DS{f^{-1}}. U základních elementárních funkcí (viz dále) je zpravidla inverzní funkce jednoduše jiná základní elementární funkce, například inverzní funkce k logaritmické funkci je exponenciální funkce a podobně (viz Tabulka 1.1). Protože vlastnost ”být inverzní funkcí” je vlastnost vzájemná, je také logaritmická funkce inverzní k funkci exponenciální.
|
Příklad 1.2 (výpočet inverzní funkce). Nalezneme inverzní funkci k funkci \DS{y ={ 2x - 1 \over x} }. Záměnnou proměnných získáváme implicitní tvar inverzní funkce
Příklad 1.3 (výpočet inverzní funkce). Nalezneme inverzní funkci
k funkci \DS{y = x + e^{x}}.
Tato funkce je zřejmě prostá, protože je rostoucí. Záměnnou
proměnných obdržíme implicitní tvar inverzní funkce
x = y + e^{y}.
|
Odsud již proměnnou \DS{y} neumíme vyjádřit. Ponecháme proto inverzní funkci v implicitním tvaru.
Poznámka 1.11 (zápis čísla jako výsledku předem zadané operace). Je zřejmé, že \DS{f(f^{-1}(x)) = x} a \DS{f^{-1}(f(x)) = x} pro všechna, pro která má tento zápis smysl. Toto nám umožňuje zapsat dané číslo jako výsledek nějaké operace. Např. číslo \DS{1} lze zapsat libovolnou z následujících možností
1 =\ln e^{1} =\log _{
5}5^{1} = 6^{\log _{6}1} =\sin (\arcsin 1) =\mathop{\mathrm{arctg}} (\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits 1) = (\sqrt{1})^{2}
|
Poznámka 1.12 (nelineární rovnice). Má-li funkce
\DS{f} inverzní
funkci \DS{f^{-1}}
a je-li tato inverzní funkce definována v bodě
\DS{x},
potom má nelineární rovnice s neznámou
\DS{y}
f(y) = x
|
právě jedno řešení dané vzorcem
y = f^{-1}(x).
|
Příklad 1.4 (nelineární rovnice). Řešme rovnici
e^{{ 2
\over x-1} } = 2.
|
Protože k exponenciální funkci je inverzní logaritmická funkce, plyne odsud
{
2
\over x - 1} =\ln 2,
|
odkud již snadno vyjádříme
x ={ 2
\over \ln 2} + 1.
|
Jinou možností je přepsat rovnici do tvaru, který obsahuje exponenciální funkci na obou stranách rovnice
e^{{ 2
\over x-1} } = e^{\ln 2}
|
a odstranit tuto exponenciální funkci z obou stran rovnice (exponenciální funkce je totiž prostá a lze použít (1.1) a připojenou poznámku). Obdržíme samozřejmě stejný výsledek.
Motivace. V následující definici jsou nejdůležitější pojmy
rostoucí a klesající
funkce. Názorně řečeno, jsou to funkce
které zachovávají (rostoucí) nebo obracejí (klesající) směr
nerovnosti při aplikaci funkce na obě strany nerovnice.
Poznámka 1.13 (k monotonnosti). U vlastností monotonie nás zajímá
nejčastěji případ, kdy množinou \DS{M}
je interval. Potom má monotonie a ryzí monotonie názornou geometrickou interpretaci
na grafu funkce (obrázek!). Pozor: funkce \DS{y = 1∕x}
není klesající na celém svém definičním oboru, ale pouze
na každém z intervalů \DS{(-\infty ,0)}
a \DS{(0,\infty )}.
Poznámka 1.14 (nelineární nerovnice). To, že je funkce rostoucí názorně
znamená, že jsou-li vzory funkce (hodnoty \DS{x})
uspořádány podle velikosti, platí pro jejich obrazy (hodnoty \DS{f(x)})
stejné uspořádání. Je-li \DS{f(x)}
tedy rostoucí funkce, jsou nerovnosti \DS{a < b}
a \DS{f(a) < f(b)}
ekvivalentní. Totéž platí i pro neostré nerovnice.
Můžeme tedy libovolnou (ostrou nebo neostrou) nerovnici např. ”logaritmovat”, nebo ”odlogaritmovat” logaritmem o základu větším než \DS{1}. Pozor! Je-li funkce \DS{f(x)} klesající, obrací se při aplikaci funkce (nebo při vynechání funkce) na obě strany nerovnice znaménko nerovnosti.
Příklad 1.5 (nelineární nerovnice). Nerovnici
\ln (x^{2} - 4x - 4) > 0
|
lze řešit například tak, že ji přepíšeme do tvaru s logaritmy na obou stranách nerovnice
\ln (x^{2} - 4x - 4) >\ln 1
|
a odlogaritmujeme:
x^{2} - 4x - 4 > 1
|
Odsud poté dostáváme postupně:
přičemž kvadratickou nerovnici vyřešíme například graficky.
Okamžitě z definice vyplývá následující věta.
Následující věta ukazuje, že při přechodu k inverzní funkci se zachovává ryzí monotonie a lichost.
Poznámka 1.16 (shrnující poznámka). Shrňme si, jak nám znalost
vlastností funkcí umožňuje pracovat s rovnicemi a nerovnostmi.
Je-li funkce \DS{f} prostá, pak pro každé \DS{y\in H(f)} má rovnice
f(x) = y
|
s neznámou \DS{x} právě jedno řešení a toto řešení je možno vyjádřit vztahem \DS{x = f^{-1}(y)}.
Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně | © 2007-2009 |