Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře Robert Mařík © 2007-2009 

1.3 Derivace funkce

Nyní můžeme ve směrnici sečny na grafu funkce (viz strana 21) použít limitní přechod \DS{h\to 0}, čímž dostaneme směrnici tečny. Tuto veličinu představujeme v následující definici.

Definice 1.23 (derivace funkce v bodě ). Nechť \DS{x\in D(f)}. Řekneme, že funkce \DS{f}v bodě \DS{x} derivaci rovnu číslu označenému \DS{\mathbf{f^{\, \prime }(x)}}, jestliže existuje konečná limita

f^{\, \prime }(x) =\lim _{h\to 0}{ f(x + h) - f(x) \over h} .
(1.8)

Poznámka 1.37 (jednostranné derivace). Podobně definujeme i derivaci zprava a derivaci zleva. Požíváme při tom limitu zprava a zleva místo oboustranné limity (1.8).

Definice 1.24 (derivace funkce). Nechť má funkce \DS{f} derivaci v každém bodě otevřeného intervalu \DS{I}. Předpisem, který každému bodu \DS{x} z intervalu \DS{I} přiřadí derivaci funkce \DS{f} v bodě \DS{x} je definována funkce, kterou nazýváme derivací funkce \DS{f} na intervalu \DS{I} a označujeme \DS{\mathbf{f^{\, \prime }}}.


Definice 1.25 (vyšší derivace). Buď \DS{f(x)} funkce a \DS{f^{\, \prime }(x)} její derivace. Existuje-li derivace \DS{(f^{\, \prime }(x))^{\, \prime }} funkce \DS{f^{\, \prime }(x)}, nazýváme ji druhou derivací funkce \DS{f(x)} a označujeme \DS{f^{\, \prime \prime }(x)}. \DS{n}-násobným opakováním tohoto postupu dospíváme k \DS{n}-té derivaci funkce \DS{f(x)}, kterou označujeme \DS{\mathbf{f^{(n)}(x)}}.


Poznámka 1.38 (geometrický význam derivace). !!!Z definice derivace plyne, že se jedná přesně o tu veličinu, udávající rychlost růstu funkce, kterou jsme začali hledat v motivaci na straně 21. Geometrický význam derivace je následující: nakreslíme-li sečnu ke grafu funkce \DS{f} procházející body \DS{[x,f(x)]} a \DS{[x + h,f(x + h)]} (viz obrázek 1.1, strana 23), je směrnice této sečny \DS{{ f(x + h) - f(x) \over h} }. Fixujeme-li bod \DS{[x,f(x)]} a s bodem \DS{(x + h)} se k bodu \DS{x} blížíme (tj. provádíme-li limitní přechod ”\DS{\lim _{h\to 0}}”), přejde sečna v tečnu v bodě \DS{[x,f(x)]}. Limitní hodnota, tj. směrnice tečny, je potom rovna derivaci \DS{f^{\, \prime }(x)}.

Graf funkce má tedy v pevném bodě \DS{a} tečnu právě tehdy, když funkce \DS{f} má v bodě \DS{a} derivaci. Body, kde funkce nemá derivaci, mohou být body, kde je limita (1.8) nevlastní (funkce má svislou tečnu), body kde existují jednostranné derivace (tečny zleva i zprava existují) ale tyto jsou různé (např. funkce \DS{y = |x|}) a konečně body, kde neexistuje některá z jednostranných derivací.

Poznámka 1.39 (rovnice tečny). !!! Má-li funkce \DS{f} v bodě \DS{a} derivaci, je rovnice tečny ke grafu funkce v tomto bodě

y = f^{\, \prime }(a)(x - a) + f(a).

Rovnici tečny můžeme použít k lineární aproximaci funkce. V okolí bodu \DS{a} platí přibližný vzorec

f(x)\approx f(a) + f^{\, \prime }(a)(x - a),

který umožňuje v okolí bodu \DS{a} nahradit (obecně nelineární) funkci \DS{f(x)} funkcí lineární.

Poznámka 1.40 (praktický význam derivace). !!!Nechť veličina \DS{x} označuje čas, měřený ve vhodných jednotkách, a nechť veličina \DS{y} se mění v průběhu času, tj. \DS{y = y(x)}. Derivace \DS{y^{\, \prime }(x)} poté značí okamžitou rychlost, s níž dochází ke změně velikosti veličiny \DS{y} v čase \DS{x}. Značí-li např. \DS{y(x)} polohu pohybujícího se tělesa v čase \DS{x}, je derivace \DS{y^{\, \prime }(x)} rovna okamžité rychlosti tohoto tělesa (pojem rychlost užíváme ve fyzikálním smyslu tohoto slova). Značí-li veličina \DS{y} velikost populace určitého živočišného druhu v čase \DS{x}, značí derivace \DS{y^{\, \prime }(x)} rychlost nárůstu této populace, tj. počet živočichů, který se v daném okamžiku narodil (za časovou jednotku), zmenšený o počet živočichů, který v daném okamžiku uhynul.

Věta 1.15 (souvislost derivace a spojitosti ). !!!Má-li funkce v bodě (na intervalu \DS{I}) derivaci, je v tomto bodě (na tomto intervalu) spojitá.


Poznámka 1.41. Opačná věta neplatí, ze spojitosti funkce obecně neplyne existence derivace. Příkladem budiž funkce \DS{y = |x|} v bodě \DS{x = 0}.

Označení. Množinu všech funkcí které mají na intervalu \DS{I} spojitou derivaci označujeme \DS{C^{1}(I).} Tyto funkce zpravidla nazýváme hladké funkce. Množinu všech funkcí které mají na intervalu \DS{I} spojité všechny derivace až do řádu \DS{k} včetně označujeme \DS{C^{k}(I)}.

Poznámka 1.42 (filozofická). Dlouho přetrvával názor, že spojitá funkce je funkce, jejíž graf lze nakreslit ”jedním tahem”. Kreslíme-li graf takovéto funkce, znamená to, že když při kreslení posunujeme ”pisátko” nějakým směrem. Takto kreslíme graf funkce, která má tečnu (a tedy i derivaci), případně čáru ”zalomíme”. Těchto zalomení může být konečně mnoho, proto se věřilo, že spojité funkce mají derivaci všude, s případnou výjimkou konečného počtu bodů. To, že taková představa je nesprávná, ukázal B. Bolzano, který zkonstruoval funkci spojitou na \DS{\mathbb{R}}, která nemá v žádném bodě derivaci. Graf takovéto funkce podle výše uvedeného nelze nakreslit. Tento příklad ukazuje, že představa spojité funkce pouze jako funkce, jejíž graf lze nakreslit jedním tahem je nesprávná.

Poznámka 1.43 (k označení). Je-li funkce \DS{f} ve tvaru \DS{y = f(x)}, píšeme místo \DS{f^{\, \prime }(x)} také \DS{y^{\, \prime }(x)}, nebo stručněji \DS{y^{\, \prime }}. V přírodních a technických vědách se často setkáváme ještě s následujícím ekvivalentním značením derivace \DS{y^{\, \prime } ={ \, \mathrm{d}y \over \, \mathrm{d}x} }. Přitom výrazy \DS{\, \mathrm{d}x} a \DS{\, \mathrm{d}y} (které jsou v derivaci formálně ”v podílu”) se nazývají diferenciály. Je-li nezávislou proměnnou čas, označujeme jej zpravidla \DS{t} namísto \DS{x} a derivaci v tomto případě značíme tečkou takto: \DS{\dot{y}}

Poznámka 1.44 (vzorce pro derivování základních elementárních funkcí). Základní elementární funkce derivujeme pomocí následujících vzorců.

\DS{(c)^{\, \prime } = 0}

\DS{(x^{n})^{\, \prime } = nx^{n-1}}

\DS{(a^{x})^{\, \prime } = a^{x}\ln a}

\DS{(e^{x})^{\, \prime } = e^{x}}

\DS{(\sin x)^{\, \prime } =\cos x}

\DS{(\cos x)^{\, \prime } = -\sin x}

\DS{(\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x)^{\, \prime } ={ 1 \over \cos ^{2}x} }

\DS{(\mathop{\mathrm{cotg}}\nolimits x)^{\, \prime } = -{ 1 \over \sin ^{2}x} }

\DS{(\log _{a}x)^{\, \prime } ={ 1 \over x\ln a} }

\DS{(\ln x)^{\, \prime } ={ 1 \over x} }

\DS{(\arcsin x)^{\, \prime } ={ 1 \over \sqrt{1 - x^{2}}} }

\DS{(\arccos x)^{\, \prime } = -{ 1 \over \sqrt{1 - x^{2}}} }

\DS{(\mathop{\mathrm{arctg}} x)^{\, \prime } ={ 1 \over 1 + x^{2}} }

\DS{(\mathop{\mathrm{arccotg}} x)^{\, \prime } = -{ 1 \over 1 + x^{2}} }

Věta 1.16 (pravidla pro počítání s derivacemi). !!!Nechť \DS{f}, \DS{g} jsou funkce a \DS{c\in \mathbb{R}} konstanta. Platí

\eqalignno{ [cf(x)]^{\, \prime } & = cf^{\, \prime }(x)\kern 0em & \text{(1.9)} \cr [f(x)\pm g(x)]^{\, \prime } & = f^{\, \prime }(x)\pm g^{\, \prime }(x)\kern 0em & \text{(1.10)} \cr [f(x)g(x)]^{\, \prime } & = f(x)g^{\, \prime }(x) + f^{\, \prime }(x)g(x)\kern 0em & \text{(1.11)} \cr {\Bigl [{ f(x) \over g(x)} \Bigr ]}^{\, \prime } & ={ f^{\, \prime }(x)g(x) - g^{\, \prime }(x)f(x) \over g^{2}(x)} ,\kern 0em & \text{(1.12)} }

přičemž derivace vlevo existují, existují-li derivace vpravo, a je-li výraz vpravo definován (tj. není nula ve jmenovateli zlomku).


Příklad 1.15 (aplikace předchozí věty).

\eqalignno{ \left [{ xe^{x} \over x + 1} \right ]^{\, \prime } & ={ (xe^{x})^{\, \prime }(x + 1) - (x + 1)^{\, \prime }xe^{x} \over (x + 1)^{2}} \kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr & ={ (e^{x} + xe^{x})(x + 1) - 1xe^{x} \over (x + 1)^{2}} ={ e^{x}(x^{2} + x + 1) \over (x + 1)^{2}} \kern 0em & & \kern 0em \kern 0em }

Poznámka 1.45 (technická). Protože derivace součtu je jednodušší než derivace součinu a podílu, snažíme se součin nebo podíl rozdělit (pokud to lze) na součet jednodušších výrazů.

(i)
\DS{[(x + 1)(x - 2)]^{\, \prime } = (x^{2} - x - 2)^{\, \prime } = 2x - 1}
(ii)
\DS{\left ({ x^{3} - x + 1 \over 4x} \right )^{\, \prime } ={ 1 \over 4} (x^{2} - 1 + x^{-1})^{\, \prime } ={ 1 \over 4} (2x - x^{-2})}

Věta 1.17 (derivace složené funkce, řetězové pravidlo). !!!Platí

[f(g(x))]^{\, \prime } = f^{\, \prime }(g(x))g^{\, \prime }(x),
(1.13)

kde existence derivace vlevo plyne z existence derivací vpravo.


Poznámka 1.46. Výraz \DS{f^{\, \prime }(g(x))} v předchozí větě znamená derivaci funkce \DS{f} vypočtenou v bodě \DS{g(x)}.

Příklad 1.16 (derivace složené funkce).

(i)
\DS{(\ln (\sin x))^{\, \prime } ={ 1 \over \sin x} \cos x}
(ii)
\DS{(\ln (x\sin x))^{\, \prime } ={ 1 \over x\sin x} (\sin x + x\cos x)}
(iii)
\DS{{\Bigl (\ln {\bigl (x\sin ^{2}(2x)\bigr )}\Bigr )}^{\, \prime } ={ 1 \over x\sin ^{2}(2x)} [1.\sin ^{2}(2x) + x.2\sin (2x)\cos (2x)2]}

Následující věta nám umožní ve většině případů výpočet limit typu ”\DS{{ 0 \over 0} }” a ”\DS{{ \infty \over \infty } }”.

Věta 1.18 (l’Hospitalovo pravidlo). Nechť \DS{a\in \mathbb{R}^{*}}a nechť funkce \DS{f}a \DS{g} jsou definovány v nějakém ryzím okolí bodu \DS{a} a mají zde derivaci. Nechť dále platí buď \DS{\lim _{x\to a}f(x) =\lim _{x\to a}g(x) = 0}, nebo \DS{|\lim _{x\to a}g(x)| =\infty }. Platí

\lim _{x\to a}{ f(x) \over g(x)} =\lim _{x\to a}{ f^{\, \prime }(x) \over g^{\, \prime }(x)} ,
(1.14)

pokud limita na pravé straně rovnosti (1.14) existuje. Totéž platí i pro obě jednostranné limity.


Poznámka 1.47 (k použití l’Hospitalova pravidla). Pokud limita vpravo ve vzorci (1.14) neexistuje, nemůžeme ještě nic říci o limitě \DS{\lim _{x\to a}f(x)∕g(x)}. Tato limita může nebo nemusí existovat. Pokud limita vpravo neexistuje, případně pokud pokus o použití l’Hospitalova pravidla nevede ke zjednodušení, musíme hledat pro výpočet limity jinou cestu. Poznamenejme ještě, že l’Hospitalovo pravidlo lze použít libovolně-krát za sebou. Potom z existence poslední limity vyplývá existence všech limit předchozích.

Příklad 1.17. Vypočtěte limity \DS{\lim _{x\to \infty }{ \ln x \over \sqrt{x}} }, \DS{\lim _{x\to 0}{ x-\mathop{\mathrm{arctg}} x \over x^{3}} } a \DS{\lim _{x\to 0}{ xe^{x}+x-2e^{x}+2 \over x^{3}} }.

Řešení.

\lim _{x\to \infty }{ \ln x \over \sqrt{x}} ={ \infty \over \infty } =\lim _{x\to \infty }{ { 1 \over x} \over { 1 \over 2\sqrt{x}} } = 2\lim _{x\to \infty }{ 1 \over \sqrt{x}} = 0,
\lim _{x\to 0}{ x -\mathop{\mathrm{arctg}} x \over x^{3}} ={ 0 \over 0} =\lim _{x\to 0}{ 1 -{ 1 \over 1 + x^{2}} \over 3x^{2}} =\lim _{x\to 0}{ 1 \over 3(1 + x^{2})} = -{ 1 \over 3} ,

\eqalignno{ \lim _{x\to 0}{ xe^{x} + x - 2e^{x} + 2 \over x^{3}} & ={ 0 \over 0} =\lim _{x\to 0}{ e^{x} + xe^{x} + 1 - 2e^{x} \over 3x^{2}} \kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr & ={ 0 \over 0} =\lim _{x\to 0}{ e^{x} + e^{x} + xe^{x} - 2e^{x} \over 6x} \kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr & ={ 0 \over 0} =\lim _{x\to 0}{ xe^{x} \over 6x} =\lim _{x\to 0}{ e^{x} \over 6} ={ 1 \over 6} \kern 0em & & \kern 0em \kern 0em }

   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009