Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře Robert Mařík © 2007-2009 

4.4 Metoda nejmenších čtverců

Motivace. Podobně jako v případě Lagrangeova polynomu mějme \DS{n} prvkový soubor bodů \DS{[x_{i},y_{i}]} (\DS{i = 1..n}) v rovině zadaný tabulkou. Jde nám o to nalézt polynom (co nejjednodušší, zpravidla lineární polynom) \DS{y = f(x)} předem zadaného stupně, který co nejlépe vystihuje chování těchto bodů. Kriterium optimálnosti přitom volíme tak, aby byl součet kvadrátů odchylek \DS{y}-ových souřadnic bodů \DS{x_{i}} (tj. čísel \DS{y_{i}}) od funkční hodnoty \DS{f(x_{i})} byl co nejmenší, tj. \DS{\sum _{i=1}^{n}[y_{i} - f(x_{i})]^{2}\to \text{min}}.


             PSfrag replacements
             -----------------
                             s1
                             s2
                             s3
                             s4
                             s5
                            x1
                            x2
                            x3
                            x4
  2   2   2   2   2         x5
(s1 + s2 + s3 + s4 + s5) → minimum

Obrázek 4.2: Přímka proložená metodou nejmenších čtverců

Věta 4.12 (prokládání souboru bodů přímkou). Přímka \DS{y = ax + b} je přímka, proložená metodou nejmenších čtverců souborem bodů \DS{[x_{1},y_{1}]}, \DS{[x_{2},y_{2}]}, …, \DS{[x_{n},y_{n}]}, jestliže pro koeficienty \DS{a}, \DS{b} platí

\begin{array}{rlrlrl}a\sum x_{i}^{2} + b\sum x_{ i}& =\sum x_{i}y_{i}& & \cr a\sum x_{i} + bn& =\sum y_{i}& \cr \end{array}
(4.10)

Poznámka 4.14 (technická). Předchozí věta udává přímo i metodu, jak proložit přímku (tj. lineární funkci) souborem bodů. Tato metoda spočívá v tom, že sestavíme soustavu rovnic z předchozí věty a nalezneme její (jediné) řešení. Podobně, avšak s použitím většího počtu rovnic, lze proložit souborem bodů libovolnou polynomickou závislost.

Příklad 4.10. Proložte přímku následujícím souborem bodů.







\DS{x_{i}}\DS{0}\DS{1}\DS{3}\DS{5}\DS{6}






\DS{y_{i}} \DS{5}\DS{3}\DS{3}\DS{2}\DS{1}






Řešení: Body v souboru jsou \DS{[0,5]}, \DS{[1,3]}, \DS{[3,3]}, \DS{[5,2]} a \DS{[6,1]}. Celkem tedy máme pět bodů, tj. \DS{n = 5}.

Výpočty potřebné pro nalezení koeficientů v soustavě (4.10) provedeme v následující tabulce.

|----|-----|-----|--2-|-------|
|-i--|-xi--|-yi--|-xi-|-xiyi--|
| 1  |  0  | 5   | 0  |   0   |
| 2  |  1  | 3   | 1  |   3   |
| 3  |  3  | 3   | 9  |   9   |
| 4  |  5  | 2   | 25 |  10   |
|-5--|--6--|-1---|-36-|---6---|
-------15----14----71----28---|

Podle (4.10) sestavíme soustavu lineárních rovnic

\eqalignno{ 71a + 15b & = 28,\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr 15a + 5b & = 14.\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em }

Řešením této soustavy je \DS{a = -{ 7 \over 13} \mathop{\mathop{≐}}\nolimits -0.538} a \DS{b ={ 287 \over 65} \mathop{\mathop{≐}}\nolimits 4.415}. Nejlepší lineární aproximace souboru bodů je tedy přímka

y = -0.538x + 4.415.

Graf souboru bodů a výsledná přímka jsou zachyceny na obrázku 4.3.


y
5      y = ax + b
4
3
2
1
                                x
     1    2    3   4    5   6
Obrázek 4.3: Metoda nejmenších čtverců

   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009