Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře Robert Mařík © 2007-2009 

3.3 Hodnost matice

Matice řádu \DS{m\times n} obsahuje celkem \DS{m.n} čísel. Jedná se tedy o relativně komplikovaný objekt. V matematice se často snažíme složitější objekty nějakým způsobem charakterizovat pomocí objektů jednodušších — např. pomocí čísel. Ukazuje se, že matici lze jistým způsobem přiřadit číslo nesoucí část informace o matici. Jedním z těchto čísel je hodnost matice, kterou si nadefinujeme nyní. Další používanou číselnou charakteristikou matice je determinant, se kterým se seznámíme později.

Definice 3.8 (hodnost matice). Buď \DS{A} matice. Hodností matice rozumíme maximální počet lineárně nezávislých řádků matice. Hodnost matice \DS{A} označujeme \DS{\mathbf{h(A)}}.


Poznámka 3.15. Předchozí definice je korektní v tomto smyslu: jsou-li řádky matice lineárně nezávislé, je hodnost matice rovna počtu jejich řádků. Jsou-li lineárně nezávislé, existuje číslo \DS{h} takové, že matice obsahuje \DS{h} lineárně nezávislých řádků a libovolná skupina řádků, jejichž počet je větší než \DS{h}, je lineárně závislá. Číslo \DS{h} je potom hodnost matice.

Poznámka 3.16 (lineární závislost a nezávislost algebraických vektorů). !!!Buď \DS{A} matice o \DS{m} řádcích a \DS{n} sloupcích. Ihned z definice plyne, že řádky matice jsou tvořeny \DS{m} lineárně nezávislými vektory z prostoru \DS{\mathbb{R}^{n}} právě tehdy, když \DS{h(A) = m}. Podobně sloupce matice jsou tvořeny \DS{n} lineárně nezávislými vektory z prostoru \DS{\mathbb{R}^{m}} právě tehdy, když \DS{h(A) = n}. Naučíme-li se tedy efektivně zjišťovat hodnost matice, máme i nástroj pro zjišťování lineární závislosti a nezávislosti vektorů.

Definice 3.9 (schodovitý tvar). Řekneme, že matice \DS{A} je ve schodovitém tvaru, jestliže případné nulové řádky jsou uspořádány na konci matice a nenulové jsou uspořádány tak, že každý následující řádek začíná větším počtem nul než řádek předchozí.


Věta 3.4 (hodnost matice ve schodovitém tvaru). Hodnost matice, která je ve schodovitém tvaru je rovna počtu jejích nenulových řádků.


Příklad 3.7. Matice \DS{A = \left (\array{ 2& 2& 2& 3 & -1& 5\cr 0& 0 & 1 & 0 & 0 & 3 \cr 0& 0& 0& -1& 2 & 1\cr 0& 0 & 0 & 0 & 0 & 0} \right )} je ve schodovitém tvaru a \DS{h(A) = 3}. Matice \DS{B = \left (\array{ 2& 2& 2& 3 & -1& 5\cr 0& 0 & 1 & 0 & 0 & 3 \cr 0& 0& 3& -1& 2 & 1} \right )} není ve schodovitém tvaru a její hodnost na první pohled nepoznáme.

Věta 3.5 (operace zachovávající hodnost matice). Následující operace nemění hodnost matice:

(i)
vynechání řádku složeného ze samých nul, nebo vynechání řádku, který je tožný s jiným řádkem, nebo vynechání řádku, který je násobkem jiného řádku
(ii)
vynechání řádku, který je lineární kombinací ostatních řádků
(iii)
vynásobení nebo vydělení libovolného řádku nenulovým číslem
(iv)
záměna pořadí libovolného počtu řádků
(v)
přičtení lineární kombinace ostatních řádků k nenulovému násobku jednoho řádku
(vi)
ponechání jednoho řádku beze změny a opakované přičtení libovolných násobků tohoto řádku k nenulovým násobkům ostatních řádků matice

Poznámka 3.17 (strategie výpočtu hodnosti matice). Předchozí Věta 3.5 je míněna takto: matici \DS{A}, jejíž hodnost počítáme, nahradíme jinou maticí, \DS{B}, která vznikne z matice \DS{A} provedením některé z výše uvedených operací. Skutečnost, že matice \DS{A} a \DS{B} mají stejnou hodnost je potom zajištěna předchozí větou. Tuto skutečnost budeme znázorňovat symbolem \DS{\sim }, tj. píšeme \DS{A\sim B}. Dále má smysl při zjišťování hodnosti matice \DS{A} pracovat s novou maticí \DS{B}. Tuto matici lze opět nahradit jinou maticí, \DS{C}, která vznikne z předchozí provedením operace zachovávající hodnost. Tento postup stále opakujeme. Toto má smysl provádět, pokud na konci dospějeme k matici ve schodovitém tvaru, jejíž hodnost umíme určit.

Věta 3.6. Libovolnou matici lze konečným počtem úprav z Věty 3.5 převést do schodovitého tvaru.


Věta 3.7. Transponování nemění hodnost matice.


Poznámka 3.18. Z faktu, že transponování matice nemění hodnost plyne, že vše, co bylo řečeno pro řádky platí i pro sloupce.

   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009