Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře | Robert Mařík © 2007-2009 |
Definice 3.5 (matice transponovaná
kde \DS{a_{ij}} jsou prvky matice \DS{A}. |
Příklad 3.4 (transponovaná matice). Je-li
A = \left (\array{
1& -2& 3\cr
0& 1 & 3
\cr
2& 1 & 9\cr
0& 1 & -2} \right )\text{, platí }A^{T} = \left (\array{
1 & 0& 2& 0\cr
-2 & 1 & 1 & 1
\cr
3 & 3& 9& -2} \right ).
|
Poznámka 3.10 (souvislost matice s vektory). Řádky matice můžeme chápat
i jako vektory z prostoru \DS{\mathbb{R}^{n}}.
Potom má smysl mluvit o násobení nebo sčítání řádků,
o lineární kombinaci řádků a o lineární závislosti
a nezávislosti
řádků. Podobná situace platí i pro sloupce. Matici, která obsahuje
jediný řádek, lze chápat současně i jako vektor. Podobně matici,
která obsahuje jediný sloupec, lze chápat současně jako sloupcový
vektor.
Definice 3.6 (operace s maticemi). Buďte \DS{A = (a_{ij})}, \DS{B = (b_{ij})} matice řádu \DS{m\times n}. Součtem matic \DS{A} a \DS{B} rozumíme matici \DS{C = (c_{ij})} řádu \DS{m\times n}, kde \DS{c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}} pro všechna \DS{i}, \DS{j}. Zapisujeme \DS{\mathbf{C = A + B}}. Buď \DS{A = (a_{ij})} matice řádu \DS{m\times n} a \DS{t\in \mathbb{R}} reálné číslo. Součinem čísla \DS{t} a matice \DS{A} rozumíme matici \DS{D = (d_{ij})} řádu \DS{m\times n}, kde \DS{d_{ij} = t.a_{ij}} pro všechna \DS{i}, \DS{j}. Zapisujeme \DS{\mathbf{D = tA}}. Buďte \DS{A = (a_{ij})} matice
řádu \DS{m\times n} a
\DS{B = (b_{ij})} matice řádu
\DS{n\times p}. Součinem
matic
pro všechna \DS{i = 1..m}, \DS{j = 1..p}. Zapisujeme \DS{\mathbf{G = AB}} (v tomto pořadí). |
Poznámka 3.11 (k definici operací s maticemi). Sčítání
matic a násobení reálným číslem je tedy (podobně jako pro
vektory) definováno po složkách. Zachovává
si proto běžné vlastnosti pro počítání s reálnými
čísly – je komutativní a asociativní, také distributivní
vzhledem k násobení reálným číslem. U součinu tomu
tak není. Obratem ”v tomto pořadí” proto zdůrazňujeme, že
pořadí matic v součinu nelze vyměnit, protože součin matic (na
rozdíl od součtu) není komutativní operace.
Příklad 3.5. Pro matice \DS{A =
\left (\array{
2& -1& 2\cr
3& 1 & -2
\cr
2& 0 & 1} \right )},
\DS{B =
\left (\array{
1& -2& 1\cr
0& 1 & 3
\cr
2& 4 & 1} \right )}
a \DS{C =
\left (\array{
2 & 4\cr
-1 & 2
\cr
3 & 1} \right )}
platí: \DS{A + B =
\left (\array{
3& -3& 3\cr
3& 2 & 1
\cr
4& 4 & 2} \right )},
zatímco např. součet \DS{A + C}
není definován. Dále platí \DS{AC =
\left (\array{
11& 8\cr
-1 & 12
\cr
7 & 9} \right )}
zatímco maticový součin \DS{CA}
není definován.
Poznámka 3.12. Maticový součin úzce souvisí
s lineárními kombinacemi
vektorů. Vskutku, porovnejte následující
dva výpočty:
\left (\array{
1 & 2& 0\cr
-1 & 1 & 1
\cr
2 & 1& 3} \right )\cdot \left (\array{
1& 1\cr
0& -2
\cr
1& 2} \right ) = \left (\array{
1& -3\cr
0& -1
\cr
5& 6} \right )
|
1\cdot \left (\array{
1\cr
-1
\cr
2} \right )-2\cdot \left (\array{
2\cr
1
\cr
1} \right )+2\cdot \left (\array{
0\cr
1
\cr
3} \right ) = \left (\array{
-3\cr
-1
\cr
\ 6} \right )
|
Věta 3.2 (vlastnosti maticového součinu \eqalignno{
A(BC) & = (AB)C\kern 0em & \text{(asociativita)} & \kern 0em & & \kern 0em \kern 0em &
\cr
A(B + C) & = AB + AC\qquad \kern 0em & \text{(levý distributivní zákon)} & \kern 0em & & \kern 0em \kern 0em &
\cr
(B + C)A & = BA + CA\kern 0em & \text{(pravý distributivní zákon)} & \kern 0em & & \kern 0em \kern 0em &
}
vždy, když tyto operace mají smysl. |
Příklad 3.6. Jednotková matice řádu
\DS{3}
má tvar
I_{3} = \left (\array{
1& 0& 0\cr
0& 1 & 0
\cr
0& 0& 1} \right ).
|
Poznámka 3.13. Jak ukáže následující věta, jednotková
matice je při násobení matic neutrálním prvkem (hraje stejnou roli
jako jednička při násobení reálných čísel). Navíc
maticový součin
\DS{AI_{n}}
je definovaný jenom pro jediný index \DS{n}.
Index u jednotkové matice proto můžeme vynechávat a symbolem \DS{I}
budeme rozumět tu jedinou jednotkovou matici, pro kterou je tento součin definován.
Podobně i pro součin \DS{I_{m}A}.
Poznámka 3.14 (k vytýkání u matic). Z toho, že operace součin matic
není komutativní plyne např. že výraz \DS{AB - BA}
nelze dále zjednodušit, nebo že z výrazu \DS{AB + CA}
nelze vytknout (neodpovídá ani levému ani pravému distributivnímu zákonu).
Z výrazu \DS{AB + A}
lze vytknout použitím jednotkové
matice následovně: \DS{AB + A = AB + AI = A(B + I)}.
Podobně lze vytknout z výrazu \DS{AB + B = AB + IB = (A + I)B}
.
Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně | © 2007-2009 |