Matematika (nejen) pro krajináře a nábytkáře | Robert Mařík © 2007-2009 |
Poznámka 3.23 (k označení). Determinant matice \DS{A} označujeme též \DS{|A|}. Je-li \DS{A = (a_{ij})} píšeme zkráceně \DS{|a_{ij}|} místo \DS{|(a_{ij})|}. K záměně s absolutní hodnotou může dojít jedině v případě, že matice \DS{A} je řádu jedna. V praxi se však obvykle s maticemi řádu jedna nepracuje.
Poznámka 3.24 (k definici determinantu). Vztah (3.6) se nazývá rozvoj podle
podle \DS{i}-tého
řádku a umožňuje zapsat determinant řádu \DS{n}
jako součet determinantů řádu \DS{(n - 1)}.
Determinant je výše uvedenou definicí dobře definován, lze ukázat,
že nezáleží na výběru indexu \DS{i}.
V literatuře se často determinant definuje poněkud odlišným (avšak
ekvivalentním) způsobem a vztah (3.6) má poté postavení matematické
věty — nazývá se Laplaceova věta
, nebo Laplaceův rozvoj determinantu podle
\DS{i}-tého
řádku.
Poznámka 3.25. Aplikací definice determinantu
dostáváme pro determinanty
druhého a třetího řádu následující (volíme vždy
\DS{i = 1}):
\left \vert \array{
a& b\cr
c& d} \right \vert = a|d|-b|c| = ad-bc
|
a
\left \vert \array{
a& b& c\cr
i& j& k
\cr
x& y& z} \right \vert = a\left \vert \array{
j& k\cr
y& z} \right \vert -b\left \vert \array{
i& k\cr
x& z} \right \vert +c\left \vert \array{
i& j\cr
x& y} \right \vert = ajz+bkx+ciy-(cjx+biz+aky)
|
Tyto vztahy je vhodné si zapamatovat. První z těchto vztahů se nazývá křížové pravidlo, druhý Sarusovo pravidlo. Pro determinanty vyšších řádů se počítání přímo z definice nehodí, protože je zdlouhavé a vyžaduje značné množství operací násobení. Proto si níže odvodíme jinou metodu pro výpočet determinantu.
Poznámka 3.26. Místo o řádcích matice, ze
které počítáme determinant, mluvíme někdy zkráceně
o řádcích determinantu. Podobně mluvíme o sloupcích
determinantu.
Poznámka 3.27. Odsud plyne, že determinant matice
\DS{A}
je nulový právě tehdy, když matice
\DS{A}
má lineárně závislé
řádky (sloupce). Zejména tedy
determinant, jehož jeden řádek nebo sloupec je buď nulový, nebo
násobkem jiného řádku (sloupce), je zcela jistě nulový.
Poznámka 3.28. Následující věty o úpravách
determinantu bereme ve smyslu poznámky za Větou 3.5. Tyto operace se liší
od operací zachovávajících hodnost
matice. Čtěte je proto
pozorně a uvědomte si rozdíly mezi následujícími větami a
Větou 3.5
Poznámka 3.29 (vytýkání před determinant). Podle bodu (ii)
předchozí věty, vydělíme-li jeden řádek determinantu
nenulovým číslem, musíme tímto číslem determinant
opět vynásobit, aby se hodnota determinantu nezměnila. Této operaci
někdy říkáme vytýkání před determinant. Např.
\left \vert \array{
2 & 4& 8\cr
-1& 2& 4
\cr
0 & 1& 12} \right \vert = 2\left \vert \array{
1 & 2& 4\cr
-1 & 2 & 4
\cr
0 & 1& 12} \right \vert = 2.4.\left \vert \array{
1 & 2& 1\cr
-1 & 2 & 1
\cr
0 & 1& 3} \right \vert .
|
Poznámka 3.30 (Laplaceova věta pro sloupce). Protože transponováním
matice se hodnota
determinantu
nemění, je možné vyslovit Laplaceovu větu i pro sloupce matice, tj. je-li
\DS{j\in \{1,2,\mathop{\mathop{…}},n\}} index libovolného
sloupce matice \DS{A},
platí
\det A = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} +\cdots +a_{nj}A_{nj},
|
kde \DS{A_{ij}} označuje algebraický
doplněk prvku \DS{a_{ij}}
v matici \DS{A}.
Slovně lze rozvoj podle řádku nebo sloupce vyjádřit konstatováním,
že hodnota determinantu je rovna součtu prvků v libovolném řádku nebo
sloupci determinantu, vynásobených jejich algebraickými doplňky.
Poznámka 3.31 (technická). Řádek nebo sloupec, podle kterého provádíme rozvoj, je vhodné volit tak, aby obsahoval co nejvíce nulových prvků. V případě, že takový řádek ani sloupec v determinantu není, můžeme jej vytvořit pomocí úprav z Věty 3.11.
Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně | © 2007-2009 |