Inženýrská matematika | Robert Mařík © 2007-2009 |
Definice 2.7 (lineární diferenciální rovnice druhého řádu). Buďte \DS{p}, \DS{q} a \DS{f} funkce definované a spojité na intervalu \DS{I}. Diferenciální rovnice
se nazývá lineární diferenciální rovnice druhého řádu (zkráceně LDR druhého řádu). Řešením rovnice (nebo též integrálem rovnice) na intervalu \DS{I} rozumíme funkci, která má spojité derivace do řádu \DS{2} na intervalu \DS{I} a po dosazení identicky splňuje rovnost (2.19) na \DS{I}. Úloha nalézt řešení rovnice, které splňuje v bodě \DS{x_{0}\in I} počáteční podmínky
kde \DS{y_{0}} a \DS{y_{0}^{\, \prime }} jsou reálná čísla, se nazývá počáteční úloha (Cauchyova úloha). Řešení počáteční úlohy se nazývá partikulární řešení rovnice (2.19). |
Poznámka 2.17 (existence a jednoznačnost). Každá počáteční úloha pro rovnici (2.19) má řešení, které je určeno jednoznačně a toto řešení je definované na celém intervalu \DS{I}.
Poznámka 2.18 (operátorová symbolika). Podobně jako lineární diferenciální rovnice prvního řádu, i zde často pravou stranu rovnice často zkracujeme do tvaru \DS{L[y](x)}. Definujeme-li tedy
L[y](x) = y^{\, \prime \prime }(x) + p(x)y^{\, \prime }(x) + q(x)y(x),
| (2.21) |
je tímto předpisem definován operátor, který každé dvakrát diferencovatelné funkci přiřazuje levou stranu rovnice (2.19). Rovnici (2.19) je potom možno zapsat ve tvaru \DS{L[y] = f(x)}.
Definice 2.9 (speciální typy LDR druhého řádu). Platí-li v rovnici (2.19) \DS{f(x) = 0} pro všechna \DS{x\in I}, nazývá se rovnice (2.19) homogenní, v opačném případě nehomogenní. Jsou-li koeficienty \DS{p(x)} a \DS{q(x)} na intervalu \DS{I} konstantní funkce, nazývá se (2.19) rovnice s konstantními koeficienty. |
Poznámka 2.19 (triviální řešení). Funkce \DS{y(x)\equiv 0} je řešením homogenní LDR 2. řádu vždy, bez ohledu na tvar koeficientů \DS{p}, \DS{q}. (Ověřte sami dosazením.) Toto řešení nazýváme triviální řešení rovnice (2.19).
Věta 2.7 (linearita a princip superpozice).
Jako speciální případ vztahu (2.23) dostáváme implikace \eqalignno{
& L[y_{2}] = 0\text{ a }L[y_{1}] = f(x) & \qquad & \Rightarrow & \qquad & L[y_{1} + y_{2}] = 0 + f(x) = f(x), & & & & & &
\cr
& L[y_{1}] = L[y_{2}] = f(x) & & \Rightarrow & & L[y_{1} - y_{2}] = f(x) - f(x) = 0, & & & & & &
\cr
& L[y_{1}] = L[y_{2}] = 0 & & \Rightarrow & & L[C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2}] = C_{1}\cdot 0 + C_{2}\cdot 0 = 0, & & & & & &
\cr
& & & & & &
}
|
Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně | © 2007-2009 |