Inženýrská matematika | Robert Mařík © 2007-2009 |
Definice 2.1 (obyčejná diferenciální rovnice). Obyčejnou diferenciální rovnicí prvního řádu rozřešenou vzhledem k derivaci (stručně - diferenciální rovnicí, DR) s neznámou \DS{y} rozumíme rovnici tvaru
kde \DS{\varphi } je funkce dvou proměnných. Řešením (též integrálem) rovnice na intervalu \DS{I} rozumíme každou funkci \DS{y = y(x)}, která je diferencovatelná na \DS{I} a splňuje zde identicky rovnici (R). Nechť \DS{x_{0}}, \DS{y_{0}} jsou reálná čísla. Úloha najít řešení rovnice (R), které splňuje zadanou počáteční podmínku
se nazývá počáteční (též Cauchyova) úloha. Jejím řešením rozumíme funkci, která splňuje podmínku (PP) a je na nějakém intervalu obsahujícím bod \DS{x_{0}} řešením rovnice (R). Řešení Cauchyovy úlohy nazýváme též partikulárním řešením rovnice (R). Graf libovolného partikulárního řešení se nazývá integrální křivka. |
Poznámka 2.1. Funkce \DS{y(x)} je podle uvedené definice řešením rovnice (R) na intervalu \DS{I}, jestliže
Poznámka 2.2. Rovnici (R) někdy uvádíme v ekvivalentním tvaru
\, \mathrm{d}y =\varphi (x,y)\, \mathrm{d}x,
|
který získáme nahrazením derivace \DS{y^{\, \prime }} podílem diferenciálů \DS{\, \mathrm{d}y∕\, \mathrm{d}x} a formálním vynásobením rovnice diferenciálem \DS{\, \mathrm{d}x}.
Poznámka 2.3 (obecnější tvar diferenciální rovnice). V některých aplikacích je nutno pracovat s obecnějšími diferenciálními rovnicemi tvaru
\Phi (x,y,y^{\, \prime }) = 0,
|
kde \DS{\Phi } je funkce tří proměnných taková, že z rovnice není možné explicitně vypočítat derivaci \DS{y^{\, \prime }}. Takové rovnice nazýváme nerozřešené vzhledem k derivaci a v tomto textu se jimi zabývat nebudeme.
Poznámka 2.4 (formulace hlavních problémů). V souvislosti s diferenciálními rovnicemi nás zajímají především následující otázky
Většina inženýrských aplikací vyžaduje, aby odpověď na první dvě otázky byla kladná. Toto je možné zaručit tehdy, není-li chování funkce \DS{\varphi (x,y)} vzhledem k proměnné \DS{y} ”příliš divoké”. Přesněji, platí následující.
Poznámka 2.5 (geometrický význam diferenciální rovnice). Zajímejme
se o to, jak budou vypadat integrální křivky rovnice (R). Protože derivace
funkce v bodě udává směrnici tečny ke grafu funkce v tomto bodě,
lze rovnici (R) chápat jako předpis, který každému bodu v rovině
přiřadí směrnici tečny k integrální křivce, která
tímto bodem prochází. Sestrojíme-li v dostatečném počtu
(například i náhodně zvolených) bodů \DS{[x,y]}
v rovině kratičké úsečky o směrnici \DS{\varphi (x,y)},
obdržíme směrové pole diferenciální rovnice — systém lineárních
elementů, které jsou tečné k integrálním křivkám. Často
lze ze směrového pole odhadnout tvar integrálních křivek. Protože
se však jedná pouze o odhad tvaru integrálních čar, používáme
tuto metodu jen v případě, kdy nám stačí pouze hrubá
informace o jednotlivých řešeních, nebo v případech kdy selhávají
ostatní dostupné metody.
Počáteční podmínka (PP) geometricky vyjadřuje skutečnost, že graf příslušného řešení prochází v rovině bodem \DS{[x_{0},y_{0}]}. Má-li tato počáteční úloha jediné řešení, neprochází bodem \DS{[x_{0},y_{0}]} žádná další křivka. Má-li každá počáteční úloha jediné řešení (což bude pro nás velice častý případ), znamená to, že integrální křivky se nikde neprotínají.
Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně | © 2007-2009 |