Inženýrská matematika Robert Mařík © 2007-2009 

2.9 Nehomogenní LDR 2. řádu

Nyní se budeme věnovat řešení nehomogenní diferencální rovnice.

Věta 2.11 (důsledek principu superpozice). !!!Součet libovolného partikulárního řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice a obecného řešení asociované homogenní rovnice je obecným řešením původní nehomogenní rovnice


Podle předchozí věty tedy k vyřešení lineární nehomogenní rovnice stačí nalézt jedno (partikulární) řešení této rovnice a obecné řešení asociované homogenní rovnice.

Příklad 2.2. Jedním z řešení rovnice

y^{\, \prime \prime } + y = 6

je zcela jistě funkce \DS{y(x) = 6}. (Vidíme přímo po dosazení.) Obecné řešení je tedy

y(x) = C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + 6

Vyřešení asociované homogenní rovnice je bohužel prakticky možné pouze v některých speciálních případech, jako je například rovnice s konstantními koeficienty

y^{\, \prime \prime } + py^{\, \prime } + qy = f(x)
(L2)

(u rovnic s konstantními koeficienty řešíme asociovanou homogenní rovnici pomocí charakteristické rovnice a Věty 2.10 )

Jak najít partikulární řešení?

Podívejme se na metody výpočtu partikulárního řešení poněkud blíže.

Věta 2.12 (metoda variace konstant). Nechť \DS{y_{1}} a \DS{y_{2}} jsou funkce tvořící fundamentální systém řešení homogenní rovnice (LH2) a \DS{y_{1}^{\, \prime }}, \DS{y_{2}^{\, \prime }} jsou jejich derivace. Nechť funkce \DS{A(x)} a \DS{B(x)} jsou funkce mající derivace \DS{A^{\, \prime }(x)} a \DS{B^{\, \prime }(x)}, které splňují soustavu rovnic

\eqalignno{ \left \{\array{ A^{\, \prime }(x)y_{ 1}(x) + B^{\, \prime }(x)y_{2}(x) = 0, \quad \cr A^{\, \prime }(x)y_{1}^{\, \prime }(x) + B^{\, \prime }(x)y_{2}^{\, \prime }(x) = f(x).\quad \cr \quad } \right . & \kern 0em & \text{(2.28)} }

Potom funkce \DS{y_{p}} definovaná vzorcem

y_{p}(x) = A(x)y_{1}(x) + B(x)y_{2}(x)
(2.29)

je partikulárním řešením nehomogenní rovnice (L2). Obecné řešení rovnice (L2) je tedy tvaru

y(x) = C_{1}y_{1}(x) + C_{2}y_{2}(x) + y_{p}(x).

Díky nenulovosti Wronskiánu je zajištěno, že soustava (2.28) je vždy řešitelná a má právě jedno řešení. Toto řešení je možno najít ”klasickými metodami”, jako je dosazovací nebo vylučovací metoda, v praxi se však využívá následující věta, známá z lineární algebry.

Věta 2.13 (Cramerovo pravidlo). Uvažujme soustavu lineárních rovnic

\eqalignno{ ax + by & = c\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr Ax + By & = C\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em }

s koeficienty \DS{a}, \DS{b}, \DS{A}, \DS{B}, s pravými stranami \DS{c}, \DS{C} a s neznámými \DS{x}, \DS{y}. Je-li determinant \DS{D} matice soustavy nenulový, tj. je-li

D = \left \vert \array{ a& b\cr A & B} \right \vert \neq 0

má soustava právě jedno řešení. Označíme-li

D_{1} = \left \vert \array{ c& b\cr C & B} \right \vert \quad \text{a}\quad D_{2} = \left \vert \array{ a& c\cr A & C} \right \vert ,

lze neznámé \DS{x} a \DS{y} najít jako podíly \DS{x ={ D_{1} \over D} } a \DS{y ={ D_{2} \over D} }.


Aplikací Cramerova pravidla na soustavu (2.28) dostáváme následující: vypočteme-li Wronskián

W = \left \vert \array{ y_{1}(x)& y_{2}(x) \cr y_{1}^{\, \prime }(x)& y_{2}^{\, \prime }(x)} \right \vert = y_{1}(x)y_{2}^{\, \prime }(x)-y_{ 1}^{\, \prime }(x)y_{ 2}(x)\neq 0.

a pomocné determinanty

W_{1} = \left \vert \array{ 0 & y_{2}(x) \cr f(x)& y_{2}^{\, \prime }(x)} \right \vert \quad \text{a}\quad W_{2} = \left \vert \array{ y_{1}(x)& 0 \cr y_{1}^{\, \prime }(x)& f(x)} \right \vert ,

lze neznámé funkce \DS{A^{\, \prime }(x)}, \DS{B^{\, \prime }(x)} obdržet jako podíly

A^{\, \prime }(x) ={ W_{1} \over W} ,\qquad B^{\, \prime }(x) ={ W_{2} \over W} .
(2.30)

Hledané funkce \DS{A(x)}, \DS{B(x)} poté obdržíme integrací a pomocí nich a pomocí fundamentálního systému řešení sestavíme partikulární řešení rovnice metodou popsanou již dříve.

Věta 2.14 (odhad partikulárního řešení). Nechť pravá strana rovnice (L2) má tvar \DS{f(x) = e^{\alpha x}{\Bigl (P_{n}(x)\cos (\beta x) + Q_{m}(x)\sin (\beta x)\Bigr )},} kde \DS{P_{n}(x)} je polynom stupně \DS{n} a \DS{Q_{m}(x)} je polynom stupně \DS{m}.

  • Označme \DS{k =\mathop{ max}\{n,m\}} větší ze stupňů obou polynomů. Pokud některý z polynomů na pravé straně nefiguruje, dosazujeme za jeho stupeň nulu.
  • Uvažujme charakteristickou rovnici pro asociovanou homogenní rovnici, tj. rovnici (2.27). Pokud (obecně komplexní) číslo \DS{\alpha + i\beta } není kořenem této rovnice, položme \DS{r = 0}. Pokud je číslo \DS{\alpha + i\beta } jednoduchým kořenem této rovnic, položme \DS{r = 1} a pokud dvojnásobným, položme \DS{r = 2.}

Partikulární řešení je možno nalézt ve tvaru

y_{p}(x) = e^{\alpha x}x^{r}{\Bigl (\widehat{P}_{ k}(x)\cos (\beta x) +\widehat{ Q}_{k}(x)\sin (\beta x)\Bigr )},
(2.31)

kde \DS{\widehat{P}_{k}(x)} a \DS{\widehat{Q}_{k}(x)} jsou polynomy stupně nejvýše \DS{k}. Tyto polynomy je možno najít metodou neurčitých koeficientů bez použití integrování.


Poznámka 2.20.

Poznámka 2.21. Větu o odhadu partikulárního řešení je možno použít například pro rovnice

\begin{array}{cl} y^{\, \prime \prime } + y^{\, \prime } =\sin (x),\quad y^{\, \prime \prime } + 3y^{\, \prime } + y ={ x\sin (x) \over e^{x}} ,\quad y^{\, \prime \prime } + 3y^{\, \prime } = -4,\quad y^{\, \prime \prime } + 2y^{\, \prime } + y = (x^{2} + 3)\cos (x)& \end{array}

(v druhé rovnici je \DS{\alpha = -1}), ale není možno ji použít například na následující rovnice

\begin{array}{cl} y^{\, \prime \prime } + 4y^{\, \prime } + 3y =\sin (x) + x^{2}\cos (2x),& \text{(2.32)} \\ y^{\, \prime \prime } + y^{\, \prime } - 3y =\ln x & \end{array}

(u první rovnice vadí odlišný argument u obou goniometrických funkcí, u druhé rovnice vadí funkce \DS{\ln (x)}). Kromě výše uvedené věty je možno v literatuře najít i větu umožňující najít metodou neurčitých koeficientů najít řešení rovnice, kde pravá strana není přímo ve tvaru požadovaném ve Větě 2.14, ale je součtem několika různých výrazů v tomto tvaru. Tento postup umožní najít metodou neurčitých koeficientů i partikulární řešení rovnice (2.32).

   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009