Inženýrská matematika Robert Mařík © 2007-2009 

1.4 Derivace složené funkce

Jak již bylo řečeno, v praxi při výpočtu parciální derivace zadané funkce používáme ”obvyklá” pravidla pro derivování funkce jedné proměnné, přičemž proměnné, přes které nederivujeme, považujeme za konstanty. Parciální derivace vystupují v řadě praktických aplikací, například rovnice vedení tepla na dvourozměrné desce, kde teplota \DS{T(t,x,y)} je funkcí času \DS{t} a polohy \DS{(x,y)} má tvar

{ 1 \over k} \cdot { \partial\, T \over \partial\, t} ={ \partial\, ^{2}T \over (\partial\, x)^{2}} +{ \partial\, ^{2}T \over (\partial\, y)^{2}} ,

kde \DS{k} je materiálová konstanta. Někdy je pro řešení úlohy vhodné zvolit jiné než kartézské souřadnice, které lépe charakterizují fyzikální podstatu problému.8 Zde je nutno tedy umět derivovat i v případě, že funkci \DS{T} neznáme. Představíme si tedy jistou analogii pravidla pro derivaci složené funkce. Pro jednoduchost předpokládejme, že všechny funkce se kterými pracujeme v následující větě mají spojité parciální derivace v oblasti, ve které pracujeme.

Věta 1.7. Uvažujme funkci \DS{z(x,y)} a nechť \DS{x = f(u,v)}, \DS{y = g(u,v)}. Potom derivace složené funkce \DS{z(f(u,v),g(u,v))} podle \DS{u} je dána vztahem

{ \partial\, z \over \partial\, u} ={ \partial\, z \over \partial\, x} \cdot { \partial\, x \over \partial\, u} +{ \partial\, z \over \partial\, y} \cdot { \partial\, y \over \partial\, u}

Příklad 1.1. Uvažujme funkci dvou proměnných \DS{z(x,y)}. Položme \DS{x = r\cos \varphi } a \DS{y = r\sin \varphi }. Potom \DS{r = x^{2} + y^{2}} a \DS{\varphi =\mathop{\text{arctg}} { y \over x} }. Platí

\eqalignno{ { \partial\, z \over \partial\, r} & ={ \partial\, z \over \partial\, x} \cdot { \partial\, x \over \partial\, r} +{ \partial\, z \over \partial\, y} \cdot { \partial\, y \over \partial\, r} ={ \partial\, z \over \partial\, x} \cdot \cos \varphi +{ \partial\, z \over \partial\, y} \cdot \sin \varphi .\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em }

   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009