Inženýrská matematika Robert Mařík © 2007-2009 

4.3 Dvojný integrál v obecné oblasti

Definice 4.6 (dvojný integrál v obecné oblasti). Buď \DS{\Omega } uzavřená ohraničená oblast. Buď \DS{R} dostatečně velký obdélník, takový, že \DS{\Omega \subseteq R}. Definujme na \DS{R} funkci \DS{g} předpisem

g(x,y) = \left \{\array{ f(x,y)\quad & (x,y)\in \Omega \cr 0 \quad & \text{jinak}} \right .

Potom definujeme integrál funkce \DS{f} na množině \DS{\Omega } předpisem

\int\int _{\Omega }f(x,y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y =\int\int _{R}g(x,y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y.

V dalším budeme pro jednoduchost předpokládat, že oblasti přes které integrujeme mají hranici tvořenu po částech hladkou uzavřenou křivkou.

y

                 ψ(x)


        oblast Ω

       φ(x)
   a                     b  x

Věta 4.2 (Fubini). !!!Nechť \DS{f} je funkce spojitáuzavřené oblasti

\Omega = \{(x,y)\in \mathbb{R}^{2} : a\leq x\leq b\text{ a }\varphi (x)\leq y\leq \psi (x)\}.

Potom

\int\int _{\Omega }f(x,y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y = \int _{a}^{b}{\Bigl [\int _{ \varphi (x)}^{\psi (x)}f(x,y)\, \mathrm{d}y\Bigr ]}\, \mathrm{d}x

 y
b

                 ψ (y)



         oblast Ω

       φ (y)
                            x
a

Věta 4.3 (Fubini). !!!Nechť \DS{f} je funkce spojitáuzavřené oblasti

\Omega = \{(x,y)\in \mathbb{R}^{2} : a\leq y\leq b\text{ a }\varphi (y)\leq x\leq \psi (y)\}.

Potom

\int\int _{\Omega }f(x,y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y = \int _{a}^{b}{\Bigl [\int _{ \varphi (y)}^{\psi (y)}f(x,y)\, \mathrm{d}x\Bigr ]}\, \mathrm{d}y

Příklad 4.5.

Vypočtěte \DS{\int\int _{\Omega }2y\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y} přes množinu vyznačenou na obrázku.

 y


               √------
           y =  1 - x2



            y = 1- x


                         x
0                   1

\DS{x_{\mathop{min}} = 0},

\DS{x_{\mathop{max}} = 1},

\DS{y_{\mathop{min}} = 1 - x},

\DS{y_{\mathop{max}} = \sqrt{1 - x^{2}}}

\eqalignno{ \int\int _{\Omega }2y\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y & =\int _{ 0}^{1}{\Bigl (\int _{ 1-x}^{\sqrt{1-x^{2}} }2y\, \mathrm{d}y\Bigr )}\, \mathrm{d}x\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr & =\int _{ 0}^{1}{\Bigl ({\Bigl [y^{2}\Bigr ]}_{ 1-x}^{\sqrt{1-x^{2}} }\Bigr )}\, \mathrm{d}x\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr & =\int _{ 0}^{1}{\Bigl ({\Bigl [1 - x^{2} - (1 - x)^{2}\Bigr ]}\Bigr )}\, \mathrm{d}x\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr & =\int _{ 0}^{1}{\Bigl (1 - x^{2} - (1 - 2x + x^{2})\Bigr )}\, \mathrm{d}x\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr & =\int _{ 0}^{1}{\Bigl (2x - 2x^{2}\Bigr )}\, \mathrm{d}x\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr & ={\Bigl [ x^{2} -{ 2 \over 3} x^{3}\Bigr ]}_{ 0}^{1}\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr & = 1 -{ 2 \over 3} ={ 1 \over 3} \kern 0em & & \kern 0em \kern 0em }

Věta 4.4 (linearita integrálu). !!!Buď \DS{f_{1}}, \DS{f_{2}} funkce integrovatelné v \DS{\Omega } a \DS{c_{1}}, \DS{c_{2}} libovolná reálná čísla. Platí

\int\int _{\Omega }{\bigl [c_{1}f_{1}(x,y) + c_{2}f_{2}(x,y)\bigr ]}\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y = c_{1}\int\int _{\Omega }f_{1}(x,y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y + c_{2}\int\int _{\Omega }f_{2}(x,y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y

Věta 4.5 (aditivita vzhledem k oboru integrace). Nechť je oblast \DS{\Omega } rozdělena na dvě oblasti \DS{\Omega _{1}} a \DS{\Omega _{2}}, které mají společné nejvýše hraniční body. Platí

\int\int _{\Omega }f(x,y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y =\int\int _{\Omega _{1}}f(x,y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y +\int\int _{\Omega _{2}}f(x,y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y

   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009