Inženýrská matematika | Robert Mařík © 2007-2009 |
Nyní se budeme věnovat řešení nehomogenní diferencální rovnice.
Věta 2.11 (důsledek principu superpozice).
|
Podle předchozí věty tedy k vyřešení lineární nehomogenní
rovnice stačí nalézt jedno (partikulární) řešení
této rovnice a obecné řešení asociované homogenní rovnice.
Příklad 2.2. Jedním z řešení rovnice
y^{\, \prime \prime } + y = 6
|
je zcela jistě funkce \DS{y(x) = 6}. (Vidíme přímo po dosazení.) Obecné řešení je tedy
y(x) = C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + 6
|
Vyřešení asociované homogenní rovnice je bohužel prakticky možné pouze v některých speciálních případech, jako je například rovnice s konstantními koeficienty
y^{\, \prime \prime } + py^{\, \prime } + qy = f(x)
| (L2) |
(u rovnic s konstantními koeficienty řešíme asociovanou homogenní rovnici pomocí charakteristické rovnice a Věty 2.10 )
Jak najít partikulární řešení?
Podívejme se na metody výpočtu partikulárního řešení poněkud blíže.
Věta 2.12 (metoda variace konstant). Nechť \DS{y_{1}} a \DS{y_{2}} jsou funkce tvořící fundamentální systém řešení homogenní rovnice (LH2) a \DS{y_{1}^{\, \prime }}, \DS{y_{2}^{\, \prime }} jsou jejich derivace. Nechť funkce \DS{A(x)} a \DS{B(x)} jsou funkce mající derivace \DS{A^{\, \prime }(x)} a \DS{B^{\, \prime }(x)}, které splňují soustavu rovnic \eqalignno{
\left \{\array{
A^{\, \prime }(x)y_{
1}(x) + B^{\, \prime }(x)y_{2}(x) = 0, \quad
\cr
A^{\, \prime }(x)y_{1}^{\, \prime }(x) + B^{\, \prime }(x)y_{2}^{\, \prime }(x) = f(x).\quad \cr
\quad } \right . & \kern 0em & \text{(2.28)}
}
Potom funkce \DS{y_{p}} definovaná vzorcem
je partikulárním řešením nehomogenní rovnice (L2). Obecné řešení rovnice (L2) je tedy tvaru
|
Díky nenulovosti Wronskiánu je zajištěno, že soustava (2.28) je vždy řešitelná a má právě jedno řešení. Toto řešení je možno najít ”klasickými metodami”, jako je dosazovací nebo vylučovací metoda, v praxi se však využívá následující věta, známá z lineární algebry.
Aplikací Cramerova pravidla na soustavu (2.28) dostáváme následující: vypočteme-li Wronskián
W = \left \vert \array{
y_{1}(x)& y_{2}(x)
\cr
y_{1}^{\, \prime }(x)& y_{2}^{\, \prime }(x)} \right \vert = y_{1}(x)y_{2}^{\, \prime }(x)-y_{
1}^{\, \prime }(x)y_{
2}(x)\neq 0.
|
a pomocné determinanty
W_{1} = \left \vert \array{
0 & y_{2}(x)
\cr
f(x)& y_{2}^{\, \prime }(x)} \right \vert \quad \text{a}\quad W_{2} = \left \vert \array{
y_{1}(x)& 0
\cr
y_{1}^{\, \prime }(x)& f(x)} \right \vert ,
|
lze neznámé funkce \DS{A^{\, \prime }(x)}, \DS{B^{\, \prime }(x)} obdržet jako podíly
A^{\, \prime }(x) ={ W_{1}
\over W} ,\qquad B^{\, \prime }(x) ={ W_{2}
\over W} .
| (2.30) |
Hledané funkce \DS{A(x)},
\DS{B(x)} poté
obdržíme integrací a pomocí nich a pomocí fundamentálního
systému řešení sestavíme partikulární řešení
rovnice metodou popsanou již dříve.
Věta 2.14 (odhad partikulárního řešení). Nechť pravá strana rovnice (L2) má tvar \DS{f(x) = e^{\alpha x}{\Bigl (P_{n}(x)\cos (\beta x) + Q_{m}(x)\sin (\beta x)\Bigr )},} kde \DS{P_{n}(x)} je polynom stupně \DS{n} a \DS{Q_{m}(x)} je polynom stupně \DS{m}.
Partikulární řešení je možno nalézt ve tvaru
kde \DS{\widehat{P}_{k}(x)} a \DS{\widehat{Q}_{k}(x)} jsou polynomy stupně nejvýše \DS{k}. Tyto polynomy je možno najít metodou neurčitých koeficientů bez použití integrování. |
y^{\, \prime \prime } + 2y^{\, \prime } + 3y = (x^{2} + 4)\cos (x) + (x - 2)\sin (x)
|
hledáme partikulární řešení ve tvaru \DS{y_{p} = (ax^{2} + bx + c)\cos (x) + (dx^{2} + ex + f)\sin (x)}. Všimněme si, že v partikulárním řešení u funkce \DS{\sin (x)} figuruje kvadratický polynom, i když na pravé straně rovnice je pouze polynom lineární. To proto, že oba polynomy v obecném tvaru partikulárního řešení mají stejný stupeň, který je roven většímu ze stupňů polynomu na pravé straně rovnice.
y^{\, \prime \prime } - y = (x + 1)e^{x}
|
hledáme partikulární řešení ve tvaru \DS{y = x(ax + b)e^{x}}
y^{\, \prime \prime } - y = x\sin (x)
|
hledáme ve tvaru \DS{y_{p} = (ax + b)\cos (x) + (cx + d)\sin (x)} (uvažujeme i část s funkcí sinus i přesto, že se funkce sinus na pravé straně rovnice vůbec nevyskytuje). Z tvrzení věty totiž nijak nevyplývá, že je-li \DS{Q(x) = 0}, platí totéž i pro \DS{\widehat{Q}(x)}.
Poznámka 2.21. Větu o odhadu partikulárního řešení je možno použít například pro rovnice
(v druhé rovnici je \DS{\alpha = -1}), ale není možno ji použít například na následující rovnice
(u první rovnice vadí odlišný argument u obou goniometrických funkcí, u druhé rovnice vadí funkce \DS{\ln (x)}). Kromě výše uvedené věty je možno v literatuře najít i větu umožňující najít metodou neurčitých koeficientů najít řešení rovnice, kde pravá strana není přímo ve tvaru požadovaném ve Větě 2.14, ale je součtem několika různých výrazů v tomto tvaru. Tento postup umožní najít metodou neurčitých koeficientů i partikulární řešení rovnice (2.32).
Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně | © 2007-2009 |