Inženýrská matematika | Robert Mařík © 2007-2009 |
V této podkapitole budeme studovat homogenní LDR druhého řádu, tj. rovnici (2.22)
y^{\, \prime \prime } + p(x)y^{\, \prime } + q(x)y = 0,
|
kterou můžeme zkráceně zapsat jako \DS{L[y] = 0}, kde operátor \DS{L} je lineární diferenciální operátor druhého řádu definovaný vztahem (2.21).
Motivace. Budeme předpokládat že funkce \DS{y_{1}(x)} a \DS{y_{2}(x)} jsou obě řešeními a budeme hledat podmínky, za kterých je funkce
y(x) = C_{1}y_{1}(x) + C_{2}y_{2}(x)
|
obecným řešením. Derivováním tohoto vztahu získáváme
y^{\, \prime }(x) = C_{1}y_{1}^{\, \prime }(x) + C_{
2}y_{2}^{\, \prime }(x)
|
a dosazení počátečních podmínek \DS{y(\alpha ) =\beta }, \DS{y^{\, \prime }(\alpha ) = γ} vede k následující soustavě lineárních rovnic s neznámými \DS{C_{1}}, \DS{C_{2}}
\begin{array}{rlrlrl}\beta & = C_{1}y_{1}(\alpha ) + C_{2}y_{2}(\alpha ),& &
\cr γ& = C_{1}y_{1}^{\, \prime }(\alpha ) + C_{
2}y_{2}^{\, \prime }(\alpha ).&
\cr \end{array}
| (2.24) |
Jak je známo z lineární algebry, tato soustava má právě jedno řešení pro libovolnou volbu čísel \DS{\beta }, \DS{γ} právě tehdy, když matice soustavy, tj. matice \DS{\left (\array{ y_{1}(\alpha )& y_{2}(\alpha ) \cr y_{1}^{\, \prime }(\alpha )& y_{2}^{\, \prime }(\alpha )} \right ),} je regulární. Tato matice je regulární právě tehdy, když její determinant je nenulový a to nastane právě tehdy když jeden sloupec není násobkem druhého. Tímto motivujeme následující definice.
Definice 2.12 (Wronskián). Buďte \DS{y_{1}(x)} a \DS{y_{2}(x)} dvě libovolná řešení homogenní rovnice (2.22). Wronskiánem funkcí \DS{y_{1}(x)}, \DS{y_{2}(x)} rozumíme determinant
|
Věta 2.9 (obecné řešení homogenní LDR).
obecným řešením rovnice (2.22) na intervalu \DS{I}. |
Definice 2.13 (fundamentální systém řešení). Dvojici funkcí \DS{y_{1}} a \DS{y_{2}} z předchozí věty nazýváme fundamentální systém řešení rovnice (2.22). |
Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně | © 2007-2009 |