Inženýrská matematika Robert Mařík © 2007-2009 

2.8 Homogenní LDR 2. řádu s konstantními koeficienty

Budeme studovat rovnici tvaru

y^{\, \prime \prime } + py^{\, \prime } + qy = 0,
(LH2)

kde \DS{p,q\in \mathbb{R}}. Všimněme si nejprve následujícího faktu: Dosadíme-li do levé strany rovnice \DS{y = e^{zx}}, kde \DS{z} je reálné číslo, po výpočtu derivací a po vytknutí faktoru \DS{e^{zx}} získáváme

y^{\, \prime \prime } + py^{\, \prime } + q = e^{zx}(z^{2} + pz + q).

Protože exponenciální faktor na pravé straně je vždy nenulový, bude výraz na pravé straně roven nule pokud bude splněna podmínka

z^{2} + pz + q = 0.
(2.27)

Pouze v tomto případě bude uvažovaná funkce řešením rovnice (LH2).

Definice 2.14 (charakteristická rovnice). Kvadratická rovnice (2.27) s neznámou \DS{z} se nazývá charakteristická rovnice pro rovnici (LH2).


Věta 2.10 (fundamentální systém řešení LDR s konstantními koeficienty). Uvažujme DR (LH2) a její charakteristickou rovnici (2.27).

  • Jsou-li \DS{z_{1},z_{2}\in \mathbb{R}} dva různé reálné kořeny charakteristické rovnice (2.27), definujme \DS{\class{boxed}{y_{1} = e^{z_{1}x} }} a \DS{\class{boxed}{y_{2} = e^{z_{2}x} }.}
  • Je-li \DS{z_{1}\in \mathbb{R}} dvojnásobným kořenem charakteristické rovnice (2.27), definujme \DS{\class{boxed}{y_{1} = e^{z_{1}x} }} a \DS{\class{boxed}{y_{2} = xe^{z_{1}x} }.}
  • Jsou-li \DS{z_{1,2} =\alpha \pm i\beta \not \in \mathbb{R}} dva komplexně sdružené kořeny charakteristické rovnice (2.27), definujme \DS{\class{boxed}{y_{1}(x) = e^{\alpha x}\cos (\beta x) }} a \DS{\class{boxed}{y_{2}(x) = e^{\alpha x}\sin (\beta x) }.}

Potom obecné řešení rovnice (LH2) je

y(x,C_{1},C_{2}) = C_{1}y_{1}(x) + C_{2}y_{2}(x),\qquad C_{1}\in \mathbb{R},\ C_{2}\in \mathbb{R}.

   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009