Inženýrská matematika Robert Mařík © 2007-2009 

3.1 Úvod

Definice 3.1 (autonomní systém). Nechť \DS{f} a \DS{g} jsou spojité funkce dvou proměnných. Soustava dvou diferenciálních rovnic

\begin{array}{rlrlrl}x^{\, \prime } = f(x,y),& \cr y^{\, \prime } = g(x,y),& \cr \end{array}
(3.1)

kde \DS{^{\, \prime } ={ \, \mathrm{d} \over \, \mathrm{d}t} } se nazývá dvourozměrný autonomní systém. Jeho řešením rozumíme každou dvojici funkcí \DS{x(t)}, \DS{y(t)}, které mají derivace na uvažovaném intervalu a po jejich dosazení do (3.1) přejdou obě rovnice v identity. Proměnná \DS{t} se nazývá čas.


Definice 3.2 (počáteční úloha). Nechť \DS{t_{0}}, \DS{x_{0}} a \DS{y_{0}} jsou libovolná reálná čísla. Úloha najít řešení soustavy (3.1), které v bodě \DS{t_{0}} splňuje počáteční podmínky

\left \{\array{ x(t_{0}) = x_{0}\quad \cr y(t_{0}) = y_{0}\quad } \right .
(3.2)

se nazývá počáteční úloha.


Poznámka 3.1 (posun v čase). !!!Je-li dvojice funkcí \DS{x(t)}, \DS{y(t)} řešením soustavy (3.1) a je-li \DS{c} libovolné reálné číslo, platí totéž i pro dvojici funkcí \DS{x(t + c)}, \DS{y(t + c)}. Čas \DS{t_{0}}, ve kterém formulujeme počáteční podmínky, lze tedy volit libovolně, Zpravidla klademe bez újmy na obecnosti \DS{t_{0} = 0}.

Definice 3.3 (stacionární řešení). Nechť \DS{x^{*}} a \DS{y^{*}} jsou reálná čísla, která splňují

\eqalignno{ f(x^{*},y^{*}) = 0, & \kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr g(x^{*},y^{*}) = 0. & \kern 0em & }

Pak dvojice konstantních funkcí \DS{x(t) = x^{*}}, \DS{y(t) = y^{*}} je řešením systému (3.1). Toto řešení se nazývá stacionární řešení.


   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009