Inženýrská matematika Robert Mařík © 2007-2009 

4.5 Obecné křivočaré souřadnice

I když polární souřadnice jsou zdaleka nejpoužívanějšími křivočarými souřadnicemi, v praxi je někdy vhodné či nutné volit i jiné souřadnice. Máme-li korektně definovány obecné křivočaré souřadnice \DS{u} a \DS{v}, jsou transformační vztahy mezi těmito křivočarými souřadnicemi a kartézskými souřadnicemi \DS{x}, \DS{y} ve tvaru

\eqalignno{ x & = g(u,v)\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr y & = h(u,v)\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em }

kde \DS{g}, \DS{h} jsou dostatečně hladké funkce dvou proměnných. Pro převod dvojného integrálu z kartézských souřadnic do souřadnic \DS{u}, \DS{v} je nutno vypočítat následující determinant

J(u,v) = \left \vert \array{ { \partial\, g(u,v) \over \partial\, u} & { \partial\, g(u,v) \over \partial\, v} \cr { \partial\, h(u,v) \over \partial\, u} & { \partial\, h(u,v) \over \partial\, v} } \right \vert \neq 0

zvaný Jakobián.

Věta 4.6 (převod dvojného integrálu do křivočarých souřadnic). Platí

\int\int _{\Omega }f(x,y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y =\int\int _{\Omega }f(g(u,v),h(u,v))\, |J(u,v)|\, \mathrm{d}u\, \mathrm{d}v

Poznámka 4.1. Výběr křivočarých souřadnic se řídí tvarem množiny \DS{\Omega }. Snažíme se o to, aby vyjádření této množiny bylo v nových souřadnicích co nejjednodušší.

   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009