Inženýrská matematika | Robert Mařík © 2007-2009 |
Jak již bylo řečeno, v praxi při výpočtu parciální derivace zadané funkce používáme ”obvyklá” pravidla pro derivování funkce jedné proměnné, přičemž proměnné, přes které nederivujeme, považujeme za konstanty. Parciální derivace vystupují v řadě praktických aplikací, například rovnice vedení tepla na dvourozměrné desce, kde teplota \DS{T(t,x,y)} je funkcí času \DS{t} a polohy \DS{(x,y)} má tvar
{
1
\over k} \cdot { \partial\, T
\over \partial\, t} ={ \partial\, ^{2}T
\over (\partial\, x)^{2}} +{ \partial\, ^{2}T
\over (\partial\, y)^{2}} ,
|
kde \DS{k} je materiálová konstanta. Někdy je pro řešení úlohy vhodné zvolit jiné než kartézské souřadnice, které lépe charakterizují fyzikální podstatu problému.8 Zde je nutno tedy umět derivovat i v případě, že funkci \DS{T} neznáme. Představíme si tedy jistou analogii pravidla pro derivaci složené funkce. Pro jednoduchost předpokládejme, že všechny funkce se kterými pracujeme v následující větě mají spojité parciální derivace v oblasti, ve které pracujeme.
Příklad 1.1. Uvažujme funkci dvou proměnných \DS{z(x,y)}. Položme \DS{x = r\cos \varphi } a \DS{y = r\sin \varphi }. Potom \DS{r = x^{2} + y^{2}} a \DS{\varphi =\mathop{\text{arctg}} { y \over x} }. Platí
Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně | © 2007-2009 |