Inženýrská matematika | Robert Mařík © 2007-2009 |
Definice 3.1 (autonomní systém). Nechť \DS{f} a \DS{g} jsou spojité funkce dvou proměnných. Soustava dvou diferenciálních rovnic
kde \DS{^{\, \prime } ={ \, \mathrm{d} \over \, \mathrm{d}t} } se nazývá dvourozměrný autonomní systém. Jeho řešením rozumíme každou dvojici funkcí \DS{x(t)}, \DS{y(t)}, které mají derivace na uvažovaném intervalu a po jejich dosazení do (3.1) přejdou obě rovnice v identity. Proměnná \DS{t} se nazývá čas. |
Definice 3.2 (počáteční úloha). Nechť \DS{t_{0}}, \DS{x_{0}} a \DS{y_{0}} jsou libovolná reálná čísla. Úloha najít řešení soustavy (3.1), které v bodě \DS{t_{0}} splňuje počáteční podmínky
se nazývá počáteční úloha. |
Poznámka 3.1 (posun v čase). Je-li dvojice funkcí \DS{x(t)},
\DS{y(t)}
řešením soustavy (3.1) a je-li \DS{c}
libovolné reálné číslo, platí totéž i pro dvojici funkcí
\DS{x(t + c)},
\DS{y(t + c)}.
Čas \DS{t_{0}},
ve kterém formulujeme počáteční podmínky, lze tedy volit libovolně,
Zpravidla klademe bez újmy na obecnosti \DS{t_{0} = 0}.
Definice 3.3 (stacionární řešení). Nechť \DS{x^{*}} a \DS{y^{*}} jsou reálná čísla, která splňují \eqalignno{
f(x^{*},y^{*}) = 0, & \kern 0em & & \kern 0em
\kern 0em \cr
g(x^{*},y^{*}) = 0. & \kern 0em &
}
Pak dvojice konstantních funkcí \DS{x(t) = x^{*}}, \DS{y(t) = y^{*}} je řešením systému (3.1). Toto řešení se nazývá stacionární řešení. |
Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně | © 2007-2009 |