Inženýrská matematika | Robert Mařík © 2007-2009 |
Dosud jsme používali pouze kartézské souřadnice: dvojici čísel udávající vzdálenost bodu od osy \DS{y} a od osy \DS{x}, která jednoznačně určuje polohu bodu v rovině1 . V praxi je někdy výhodnější použít i jiný způsob jak pomocí dvojice čísel charakterizovat polohu bodu v rovině – takové souřadnice potom nazýváme křivočaré souřadnice.
Z křivočarých souřadnic jsou nejdůležitější polární souřadnice. Při jejich použití polohu bodu \DS{A} zadáváme tak, že určíme vzdálenost \DS{r} bodu od počátku soustavy souřadnic \DS{O} a úhel \DS{\varphi }, který svírá spojnice bodů \DS{O} a \DS{A} s kladnou částí osy \DS{x}.
Chceme-li převést dvojný integrál do polárních
souřadnic, provádíme v něm vlastně substituci
\DS{x = r\cos \varphi } a
\DS{y = r\sin \varphi }. Přitom se transformují
i diferenciály \DS{\, \mathrm{d}x}
a \DS{\, \mathrm{d}y} a
výsledný vzorec má tvar
\int\int _{\Omega }f(x,y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y =\int\int _{\Omega }f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\, \cdot r\, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}r.
|
V diferenciálním počtu polární souřadnice používáme především tam, kde má problém radiální symetrii. Například při studiu ochlazování nebo kmitů kruhových desek či válcovitých součástek. V integrálním počtu tyto souřadnice použijeme zejména v případě, kdy integrujeme přes kružnici nebo její část (např. mezikruží či kruhová výseč). V takovém případě mají totiž integrály které vzniknou po aplikaci Fubiniovy věty pevné meze a výpočet druhého integrálu je zpravidla jednodušší. V následujícím příkladě pro srovnání vypočteme tentýž integrál v polárních i v kartézských souřadnicích.
Příklad 4.6. Vypočtěte \DS{\int\int _{\Omega }x\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y}, kde \DS{\Omega } je čtvrtina jednotkového kruhu, ležící v prvním kvadrantu.
Výpočet v polárních souřadnicích:
Výpočet v kartézských souřadnicích:
Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně | © 2007-2009 |