Inženýrská matematika | Robert Mařík © 2007-2009 |
Definice 4.6 (dvojný integrál v obecné oblasti). Buď \DS{\Omega } uzavřená ohraničená oblast. Buď \DS{R} dostatečně velký obdélník, takový, že \DS{\Omega \subseteq R}. Definujme na \DS{R} funkci \DS{g} předpisem
Potom definujeme integrál funkce \DS{f} na množině \DS{\Omega } předpisem
|
V dalším budeme pro jednoduchost předpokládat, že oblasti přes které integrujeme mají hranici tvořenu po částech hladkou uzavřenou křivkou.
Věta 4.2 (Fubini).
Potom
|
Věta 4.3 (Fubini).
Potom
|
Vypočtěte \DS{\int\int _{\Omega }2y\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y} přes množinu vyznačenou na obrázku.
\DS{x_{\mathop{min}} = 0},
\DS{x_{\mathop{max}} = 1},
\DS{y_{\mathop{min}} = 1 - x},
\DS{y_{\mathop{max}} = \sqrt{1 - x^{2}}}
Věta 4.5 (aditivita vzhledem k oboru integrace). Nechť je oblast \DS{\Omega } rozdělena na dvě oblasti \DS{\Omega _{1}} a \DS{\Omega _{2}}, které mají společné nejvýše hraniční body. Platí
|
Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně | © 2007-2009 |