Inženýrská matematika Robert Mařík © 2007-2009 

2.4 Lineární diferenciální rovnice

Definice 2.4 (lineární DR). Nechť funkce \DS{a}, \DS{b} jsou spojité na intervalu \DS{I}. Rovnice

y^{\, \prime } + a(x)y = b(x)
(L)

se nazývá obyčejná lineární diferenciální rovnice prvního řádu (zkráceně píšeme LDR). Je-li navíc \DS{b(x)\equiv 0} na \DS{I}, nazývá se rovnice (L) homogenní, v opačném případě nehomogenní.


Poznámka 2.9 (řešitelnost a jednoznačnost). Jsou-li funkce \DS{a}, \DS{b} spojité na intervalu \DS{I}, \DS{x_{0}\in I} a \DS{y_{0}\in \mathbb{R}} libovolné, má každá počáteční úloha (L)–(PP) právě jedno řešení definované na celém intervalu \DS{I}.

Definice 2.5 (homogenní rovnice). Buď dána rovnice (L). Homogenní rovnice, která vznikne z rovnice (L) nahrazením pravé strany nulovou funkcí, tj. rovnice

y^{\, \prime } + a(x)y = 0
(LH)

se nazývá homogenní rovnice, asociovaná s nehomogenní rovnicí (L).


Poznámka 2.10 (triviální řešení). Homogenní lineární diferenciální rovnice má vždy (bez ohledu na konkrétní tvar funkce \DS{a(x)}) konstantní řešení \DS{y = 0}, jak lze ověřit přímým dosazením. Toto řešení se nazývá triviální řešení a v praktických úlohách zpravidla nemívá žádný význam.

Poznámka 2.11 (operátorová symbolika). !!!Definujeme-li na množině všech funkcí diferencovatelných na intervalu \DS{I} operátor \DS{L} vztahem

L[y](x) = y^{\, \prime }(x) + a(x)y(x)

pro každé \DS{x\in I}, je možno diferenciální rovnici (L) a s ní asociovanou homogenní rovnici zapsat v krátkém tvaru \DS{L[y] = b(x)} a \DS{L[y] = 0.}

Poznámka 2.12 (linearita operátoru \DS{L}). !!! Operátor \DS{L} splňuje pro všechna reálná čísla \DS{C_{1}}, \DS{C_{2}} a všechny diferencovatelné funkce \DS{y_{1}(x)}, \DS{y_{2}(x)} vztah

L[C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2}] = C_{1}L[y_{1}] + C_{2}L[y_{2}].

Vskutku:

\eqalignno{ L[C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2}](x) & ={\Bigl ( C_{1}y_{1}(x) + C_{2}y_{2}(x)\Bigr )}^{\, \prime } + a(x){\Bigl (C_{1}y_{1}(x) + C_{2}y_{2}(x)\Bigr )}\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr & = C_{1}y_{1}^{\, \prime }(x) + C_{ 2}y_{2}^{\, \prime }(x) + a(x)C_{ 1}y_{1}(x) + a(x)C_{2}y_{2}(x)\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr & = C_{1}{\Bigl (y_{1}^{\, \prime }(x) + a(x)y_{ 1}(x)\Bigr )} + C_{2}{\Bigl (y_{2}^{\, \prime }(x) + a(x)y_{ 2}(x)\Bigr )}\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr & = C_{1}L[y_{1}](x) + C_{2}L[y_{2}](x).\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em }

Věta 2.2 (princip superpozice). !!!Pro libovolné diferencovatelné funkce \DS{y}, \DS{y_{1}} a \DS{y_{2}} a libovolné reálné číslo \DS{C} platí

\eqalignno{ & L[y_{1}] = 0 & & \Rightarrow & & L[C\cdot y_{1}] = C\cdot 0 = 0, & & & & & & \cr & L[y_{1}] = 0\text{ a }L[y_{2}] = f(x) & \qquad & \Rightarrow & \qquad & L[C\cdot y_{1} + y_{2}] = C\cdot 0 + f(x) = f(x), & & & & & & \cr & L[y_{1}] = L[y_{2}] = f(x) & & \Rightarrow & & L[y_{1} - y_{2}] = f(x) - f(x) = 0, & & & & & & \cr & & & & & & }

Zformulujme si nejdůležitější z těchto poznatků do následující věty.

Věta 2.3 (obecné řešení nehomogenní LDR).   Uvažujme lineární diferenciální rovnici (L) a s ní asociovanou homogenní rovnici (LH).

  • Je-li \DS{y_{p}(x)} libovolné partikulární řešení nehomogenní LDR a \DS{y_{0}(x,C)} obecné řešení asociované homogenní LDR, je funkce
    y(x,C) = y_{p}(x) + y_{0}(x,C)
    (2.8)

    obecným řešením nehomogenní LDR.

  • Je-li \DS{y_{p}(x)} libovolné partikulární řešení nehomogenní LDR a \DS{y_{p0}(x)} nenulové partikulární řešení asociované homogenní LDR, je funkce
    y(x,C) = y_{p}(x) + Cy_{p0}(x)
    (2.9)

    obecným řešením nehomogenní LDR.


Slovně: !!!

Stačí tedy najít dvě (do jisté míry speciální) řešení a z nich snadno sestavíme obecné řešení zadané rovnice. Tímto se bude zabývat v následujících odstavcích.

2.4.1 Homogenní LDR

Podle definice je homogenní LDR rovnice tvaru

y^{\, \prime } + a(x)y = 0.
(LH)

Řešení homogenní LDR separací proměnných.

Rovnice (LH) je rovnice se separovanými proměnnými. Vskutku, z (LH) obdržíme

{ \, \mathrm{d}y \over \, \mathrm{d}x} = -a(x)y

a pro \DS{y\neq 0} platí

\eqalignno{ { \, \mathrm{d}y \over y} & = -a(x)\, \mathrm{d}x,\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr \ln |y| & = -\int a(x)\, \mathrm{d}x + c,\qquad c\in \mathbb{R}.\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em }

Odsud

y = C\ e^{-\int a(x)\, \mathrm{d}x},\quad C\in \mathbb{R}\setminus \{0\},

kde \DS{C} je nenulová konstanta. Protože volbou \DS{C = 0} dostáváme triviální řešení \DS{y\equiv 0}, povolíme \DS{C\in \mathbb{R}} libovolné. Obecné řešení rovnice (LH) je tvaru

y(x,C) = Ce^{-\int a(x)\, \mathrm{d}x},\qquad C\in \mathbb{R},
(2.10)

a každé partikulární řešení rovnice (LH) obdržíme vhodnou volbou konstanty \DS{C}. Označíme-li \DS{y_{p0}} libovolné netriviální partikulární řešení, je možno obecné řešení rovnice (LH) psát ve tvaru

y(x,C) = Cy_{p0}(x),\qquad C\in \mathbb{R}.
(2.11)

Řešení homogenní LDR ”selskou úvahou”.

Slovně lze problém řešení lineární homogenní rovnice \DS{y^{\, \prime } = -a(x)y} formulovat následovně: nalezněte funkci \DS{y} takovou, že její defrivace je rovna funkci samotné, vynásobené navíc faktorem \DS{(-a(x))}. Uvědomíme-li si, že funkce, které je rovna svojí derivaci je (mimo jiné) exponenciální funkce \DS{e^{x}}, můžeme řešení problému hledat ve tvaru exponenicální funkce, kde se po derivaci faktor \DS{(-a(x))} objeví jako derivace vnitřní složky. V exponentu tedy musí figurovat výraz, jehož derivace je \DS{(-a(x))}. Řešením homogenní rovnice je tedy funkce \DS{y = e^{-\int a(x)\, \mathrm{d}x}} a (jak plyne z linearity) i její libovolný násobek. Vidíme, že dostáváme opět vzorec (2.10). Homogenní rovnici lze tedy se znalostí obecné teorie vyřešit překvapivě snadno.

2.4.2 Nehomogenní LDR – metoda variace konstanty

Poznámka 2.13 (aplikace operátoru \DS{L} na součin funkcí). Než začneme hledat řešení nehmogenní rovnice, prozkoumejme, jak se lineární operátor \DS{L} chová vzhledem k součinu funkcí. Postupným rozepsáním definice operátoru, derivací součinu, částečným vytknutím a opětovným použitím definice operátoru \DS{L} dostáváme pro libovolné dvě diferencovatelné funkce \DS{u}, \DS{v}

\eqalignno{ L[u\cdot v](x) & ={\Bigl ( u(x)v(x)\Bigr )}^{\, \prime } + a(x)u(x)v(x)\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr & = u^{\, \prime }(x)v(x) + u(x)v^{\, \prime }(x) + a(x)u(x)v(x)\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr & = v(x){\Bigl (u^{\, \prime }(x) + a(x)u(x)\Bigr )} + u(x)v^{\, \prime }(x)\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr & = v(x)L[u](x) + u(x)v^{\, \prime }(x).\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em }

Tento výpočet ukazuje, že pokud platí \DS{L[u] = 0}, tj. pokud je funkce \DS{u} řešením asociované homogenní diferenciální rovnice, je možno řešení nehomogenní rovnice \DS{L[y] = b(x)} hledat ve tvaru součinu \DS{y(x) = u(x)v(x)}, kde funkce \DS{v(x)} splňuje vztah

b(x) = L[u\cdot v](x) = v(x)L[u](x) + u(x)v^{\, \prime }(x) = 0 + u(x)v^{\, \prime }(x) = u(x)v^{\, \prime }(x),

tj. \DS{v^{\, \prime }(x) = b(x)\bigm /u(x)}. Odsud však funkci \DS{v} můžeme nalézt již pouhou integrací a součin \DS{u(x)v(x)} poté bude řešením nehomogenní rovnice. Abychom tyto úvahy více ozřejmili, zapamatujeme si hlavní !!!myšlenku – budeme hledat řešení nehomogenní rovnice ve tvaru součinu nějaké funkce a řešení asociované homogenní rovnice – a projdeme si všechny úvahy ještě jednou v ”běžném” neoperátorovém označení.

Poznámka 2.14 (metoda variace konstanty). Partikulární řešení \DS{y_{p}} nehomogenní LDR hledáme ve tvaru

y_{p}(x) = K(x)y_{p0}(x),
(2.12)

kde \DS{y_{p0}(x)} je nějaké pevné netriviální řešení asociované homogenní LDR a \DS{K(x)} zatím neznámá spojitě diferencovatelná funkce. Jedná se vlastně o postup, při kterém konstantu \DS{C} ve vzorci (2.11) nahradíme funkcí \DS{K(x)} — proto se tato metoda nazývá metoda variace konstanty. Výpočtem derivace \DS{y_{p}^{\, \prime }} obdržíme

y_{p}^{\, \prime }(x) = K^{\, \prime }(x)y_{ p0}(x) + K(x)y_{p0}^{\, \prime }(x),

dosazením do (L) dostáváme

K^{\, \prime }(x)y_{p0}(x) + K(x)y_{p0}^{\, \prime }(x) + a(x)K(x)y_{ p0}(x) = b(x)

a odsud

K^{\, \prime }(x)y_{p0}(x) + K(x){\bigl [y_{p0}^{\, \prime }(x) + a(x)y_{ p0}(x)\bigr ]} = b(x).

Protože \DS{y_{p0}(x)} je řešením homogenní LDR, je výraz v hranatých závorkách roven nule a dostáváme

K^{\, \prime }(x)y_{p0}(x) = b(x).
(2.13)

Odsud již snadno vyjádříme derivaci neznámé funkce \DS{K^{\, \prime }(x)} a integrováním nalezneme funkci \DS{K(x)}. Dosazením do (2.12) nalezneme partikulární řešení nehomogenní LDR a z Věty 2.3 obdržíme obecné řešení nehomogenní LDR. Započteme-li navíc do funkce \DS{K(x)} i integrační konstantu \DS{C}, obdržíme ze vzorce (2.12) nikoliv pouze partikulární, ale již přímo obecné řešení nehomogenní LDR.

V praxi je výhodné zapamatovat si tento postup a pokaždé jej aplikovat na příslušnou rovnici. Všimněme si, že po dosazení (2.12) do (L) se členy obsahující funkci \DS{K(x)} vyruší a rovnice bude obsahovat funkci \DS{K(x)} pouze prostřednictvím derivace této funkce \DS{K^{\, \prime }(x)}, jak plyne z (2.13). Pokud se toto nestane, je ve výpočtu obsažena chyba.

Provedení variace konstanty v případě zcela obecných funkcí \DS{a(x)}, \DS{b(x)} vede k následujícímu vzorci.

Věta 2.4 (vzorec pro obecné řešení nehomogenní LDR). Obecné řešení rovnice (L) je

y(x,C) = e^{-\int a(x)\, \mathrm{d}x}{\Bigl [\int b(x)e^{\int a(x)\, \mathrm{d}x}\, \mathrm{d}x + C\Bigr ]} ={ \int b(x)e^{\int a(x)\, \mathrm{d}x}\, \mathrm{d}x + C \over e^{\int a(x)\, \mathrm{d}x}} ,\quad C\in \mathbb{R}.
(2.14)

Přitom každý neurčitý integrál vyjadřuje jednu libovolnou z primitivních funkcí (integrační konstanty již neuvažujeme).


   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009