Inženýrská matematika Robert Mařík © 2007-2009 

4.2 Dvojný integrál na obdélníku

Definujme funkci na obdélníku \DS{R = [a,b]\times [c,d]} ohraničenou funkci \DS{f(x,y)}. Obdélník rozdělme na podobdélníky \DS{p_{1}}, \DS{p_{2}}, …, \DS{p_{n}} o obsazích \DS{\Delta p_{1}}, \DS{\Delta p_{2}}, …, \DS{\Delta p_{n}}. Toto dělení označme \DS{D}.

V obdélníčku \DS{p_{i}} najdeme supremum \DS{M_{i}} a infimum \DS{m_{i}} funkce \DS{f(x,y)}. Sestrojme horní a dolní integrální součet příslušný dělení \DS{D} podle vzorců!!!

\eqalignno{ S(D) =\sum _{ i=1}^{k}M_{ i}\Delta p_{i} & \text{ …horní součet}\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr s(D) =\sum _{ i=1}^{k}m_{ i}\Delta p_{i} & \text{ …dolní součet}\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em }

Definice 4.5 (dvojný integrál). Jestliže jsou si horní a dolní integrál rovny, pak jejich společnou hodnotu značíme

\int\int _{R}f(x,y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y
(4.1)

a nazýváme dvojný integrál funkce \DS{f} v \DS{R}. O funkci \DS{f} říkáme, že je na množině \DS{R} integrovatelná.


Výpočet dvojného integrálu provádíme s využitím následující věty o převodu dvojného integrálu na dvojnásobný (dva ”obyčejné” integrály).

Věta 4.1 (Fubini). !!!Nechť \DS{R = [a,b]\times [c,d]} je uzavřený obdélník v \DS{\mathbb{R}^{2}} a \DS{f} funkce definovaná a spojitá na \DS{R}. Pak platí

\int\int _{R}f(x,y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y =\int _{ a}^{b}{\Bigl [\int _{ c}^{d}f(x,y)\, \mathrm{d}y\Bigr ]}\, \mathrm{d}x =\int _{ c}^{d}{\Bigl [\int _{ a}^{b}f(x,y)\, \mathrm{d}x\Bigr ]}\, \mathrm{d}y.

Příklad 4.4. Vypočtěte \DS{\int\int _{\Omega }(x + y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y} přes obdélník vyznačený na obrázku.   y
2
         Ω
1

                        x
                 3

\eqalignno{ \int\int _{\Omega }(x + y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y & = \int _{1}^{2}{\Bigl [\int _{ 0}^{3}(x + y)\, \mathrm{d}x\Bigr ]}\, \mathrm{d}y =\int _{ 1}^{2}{\Bigl [{ x^{2} \over 2} + xy\Bigr ]}_{0}^{3}\, \mathrm{d}y\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr & =\int _{ 1}^{2}{\Bigl [{ 9 \over 2} + 3y -{\bigl ({ 0 \over 2} + 0y\bigr )}\Bigr ]}\, \mathrm{d}y =\int _{ 1}^{2}{\Bigl ({ 9 \over 2} + 3y\Bigr )}\, \mathrm{d}y\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr & ={\Bigl [{ 9 \over 2} y + 3{ y^{2} \over 2} \Bigr ]}_{1}^{2} ={ 9 \over 2} \cdot 2 + 3\cdot { 4 \over 2} -{\Bigl ({ 9 \over 2} + 3\cdot { 1 \over 2} \Bigr )}\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr & = 9 + 6 - 6 = 9\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em }

   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009