Inženýrská matematika | Robert Mařík © 2007-2009 |
Definice 2.4 (lineární DR). Nechť funkce \DS{a}, \DS{b} jsou spojité na intervalu \DS{I}. Rovnice
se nazývá obyčejná lineární diferenciální rovnice prvního řádu (zkráceně píšeme LDR). Je-li navíc \DS{b(x)\equiv 0} na \DS{I}, nazývá se rovnice (L) homogenní, v opačném případě nehomogenní. |
Poznámka 2.9 (řešitelnost a jednoznačnost). Jsou-li funkce \DS{a}, \DS{b} spojité na intervalu \DS{I}, \DS{x_{0}\in I} a \DS{y_{0}\in \mathbb{R}} libovolné, má každá počáteční úloha (L)–(PP) právě jedno řešení definované na celém intervalu \DS{I}.
Poznámka 2.10 (triviální řešení). Homogenní lineární diferenciální rovnice má vždy (bez ohledu na konkrétní tvar funkce \DS{a(x)}) konstantní řešení \DS{y = 0}, jak lze ověřit přímým dosazením. Toto řešení se nazývá triviální řešení a v praktických úlohách zpravidla nemívá žádný význam.
Poznámka 2.11 (operátorová symbolika). Definujeme-li na
množině všech funkcí diferencovatelných na intervalu
\DS{I} operátor
\DS{L}
vztahem
L[y](x) = y^{\, \prime }(x) + a(x)y(x)
|
pro každé \DS{x\in I}, je možno diferenciální rovnici (L) a s ní asociovanou homogenní rovnici zapsat v krátkém tvaru \DS{L[y] = b(x)} a \DS{L[y] = 0.}
Poznámka 2.12 (linearita operátoru \DS{L}).
Operátor \DS{L}
splňuje pro všechna reálná čísla
\DS{C_{1}},
\DS{C_{2}} a všechny
diferencovatelné funkce \DS{y_{1}(x)},
\DS{y_{2}(x)} vztah
L[C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2}] = C_{1}L[y_{1}] + C_{2}L[y_{2}].
|
Vskutku:
Zformulujme si nejdůležitější z těchto poznatků do následující věty.
Věta 2.3 (obecné řešení nehomogenní LDR).
|
Slovně:
Stačí tedy najít dvě (do jisté míry speciální) řešení a z nich snadno sestavíme obecné řešení zadané rovnice. Tímto se bude zabývat v následujících odstavcích.
Podle definice je homogenní LDR rovnice tvaru
y^{\, \prime } + a(x)y = 0.
| (LH) |
Rovnice (LH) je rovnice se separovanými proměnnými. Vskutku, z (LH) obdržíme
{
\, \mathrm{d}y
\over \, \mathrm{d}x} = -a(x)y
|
a pro \DS{y\neq 0} platí
Odsud
y = C\ e^{-\int a(x)\, \mathrm{d}x},\quad C\in \mathbb{R}\setminus \{0\},
|
kde \DS{C} je nenulová konstanta. Protože volbou \DS{C = 0} dostáváme triviální řešení \DS{y\equiv 0}, povolíme \DS{C\in \mathbb{R}} libovolné. Obecné řešení rovnice (LH) je tvaru
y(x,C) = Ce^{-\int a(x)\, \mathrm{d}x},\qquad C\in \mathbb{R},
| (2.10) |
a každé partikulární řešení rovnice (LH) obdržíme vhodnou volbou konstanty \DS{C}. Označíme-li \DS{y_{p0}} libovolné netriviální partikulární řešení, je možno obecné řešení rovnice (LH) psát ve tvaru
y(x,C) = Cy_{p0}(x),\qquad C\in \mathbb{R}.
| (2.11) |
Slovně lze problém řešení lineární homogenní rovnice \DS{y^{\, \prime } = -a(x)y} formulovat následovně: nalezněte funkci \DS{y} takovou, že její defrivace je rovna funkci samotné, vynásobené navíc faktorem \DS{(-a(x))}. Uvědomíme-li si, že funkce, které je rovna svojí derivaci je (mimo jiné) exponenciální funkce \DS{e^{x}}, můžeme řešení problému hledat ve tvaru exponenicální funkce, kde se po derivaci faktor \DS{(-a(x))} objeví jako derivace vnitřní složky. V exponentu tedy musí figurovat výraz, jehož derivace je \DS{(-a(x))}. Řešením homogenní rovnice je tedy funkce \DS{y = e^{-\int a(x)\, \mathrm{d}x}} a (jak plyne z linearity) i její libovolný násobek. Vidíme, že dostáváme opět vzorec (2.10). Homogenní rovnici lze tedy se znalostí obecné teorie vyřešit překvapivě snadno.
Poznámka 2.13 (aplikace operátoru \DS{L} na součin funkcí). Než začneme hledat řešení nehmogenní rovnice, prozkoumejme, jak se lineární operátor \DS{L} chová vzhledem k součinu funkcí. Postupným rozepsáním definice operátoru, derivací součinu, částečným vytknutím a opětovným použitím definice operátoru \DS{L} dostáváme pro libovolné dvě diferencovatelné funkce \DS{u}, \DS{v}
Tento výpočet ukazuje, že pokud platí \DS{L[u] = 0}, tj. pokud je funkce \DS{u} řešením asociované homogenní diferenciální rovnice, je možno řešení nehomogenní rovnice \DS{L[y] = b(x)} hledat ve tvaru součinu \DS{y(x) = u(x)v(x)}, kde funkce \DS{v(x)} splňuje vztah
b(x) = L[u\cdot v](x) = v(x)L[u](x) + u(x)v^{\, \prime }(x) = 0 + u(x)v^{\, \prime }(x) = u(x)v^{\, \prime }(x),
|
tj. \DS{v^{\, \prime }(x) = b(x)\bigm /u(x)}. Odsud
však funkci \DS{v}
můžeme nalézt již pouhou integrací a součin
\DS{u(x)v(x)}
poté bude řešením nehomogenní rovnice. Abychom tyto úvahy více
ozřejmili, zapamatujeme si hlavní myšlenku – budeme hledat řešení
nehomogenní rovnice ve tvaru součinu nějaké funkce a řešení
asociované homogenní rovnice – a projdeme si všechny úvahy ještě jednou
v ”běžném” neoperátorovém označení.
Poznámka 2.14 (metoda variace konstanty). Partikulární řešení \DS{y_{p}} nehomogenní LDR hledáme ve tvaru
y_{p}(x) = K(x)y_{p0}(x),
| (2.12) |
kde \DS{y_{p0}(x)} je nějaké pevné netriviální řešení asociované homogenní LDR a \DS{K(x)} zatím neznámá spojitě diferencovatelná funkce. Jedná se vlastně o postup, při kterém konstantu \DS{C} ve vzorci (2.11) nahradíme funkcí \DS{K(x)} — proto se tato metoda nazývá metoda variace konstanty. Výpočtem derivace \DS{y_{p}^{\, \prime }} obdržíme
y_{p}^{\, \prime }(x) = K^{\, \prime }(x)y_{
p0}(x) + K(x)y_{p0}^{\, \prime }(x),
|
dosazením do (L) dostáváme
K^{\, \prime }(x)y_{p0}(x) + K(x)y_{p0}^{\, \prime }(x) + a(x)K(x)y_{
p0}(x) = b(x)
|
a odsud
K^{\, \prime }(x)y_{p0}(x) + K(x){\bigl [y_{p0}^{\, \prime }(x) + a(x)y_{
p0}(x)\bigr ]} = b(x).
|
Protože \DS{y_{p0}(x)} je řešením homogenní LDR, je výraz v hranatých závorkách roven nule a dostáváme
K^{\, \prime }(x)y_{p0}(x) = b(x).
| (2.13) |
Odsud již snadno vyjádříme derivaci neznámé funkce
\DS{K^{\, \prime }(x)} a integrováním
nalezneme funkci \DS{K(x)}.
Dosazením do (2.12) nalezneme partikulární řešení
nehomogenní LDR a z Věty 2.3 obdržíme obecné
řešení nehomogenní LDR. Započteme-li navíc do funkce
\DS{K(x)} i integrační
konstantu \DS{C},
obdržíme ze vzorce (2.12) nikoliv pouze partikulární, ale již přímo
obecné řešení nehomogenní LDR.
V praxi je výhodné zapamatovat si tento postup a pokaždé
jej aplikovat na příslušnou rovnici. Všimněme si, že
po dosazení (2.12) do (L) se členy obsahující funkci
\DS{K(x)} vyruší a rovnice
bude obsahovat funkci \DS{K(x)}
pouze prostřednictvím derivace této funkce
\DS{K^{\, \prime }(x)}, jak
plyne z (2.13). Pokud se toto nestane, je ve výpočtu obsažena chyba.
Provedení variace konstanty v případě zcela obecných funkcí \DS{a(x)}, \DS{b(x)} vede k následujícímu vzorci.
Věta 2.4 (vzorec pro obecné řešení nehomogenní LDR). Obecné řešení rovnice (L) je Přitom každý neurčitý integrál vyjadřuje jednu libovolnou z primitivních funkcí (integrační konstanty již neuvažujeme). |
Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně | © 2007-2009 |