Inženýrská matematika Robert Mařík © 2007-2009 

2.6 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu

Definice 2.7 (lineární diferenciální rovnice druhého řádu). Buďte \DS{p}, \DS{q} a \DS{f} funkce definované a spojité na intervalu \DS{I}. Diferenciální rovnice

y^{\, \prime \prime } + p(x)y^{\, \prime } + q(x)y = f(x)
(2.19)

se nazývá lineární diferenciální rovnice druhého řádu (zkráceně LDR druhého řádu). Řešením rovnice (nebo též integrálem rovnice) na intervalu \DS{I} rozumíme funkci, která má spojité derivace do řádu \DS{2} na intervalu \DS{I} a po dosazení identicky splňuje rovnost (2.19) na \DS{I}. Úloha nalézt řešení rovnice, které splňuje v bodě \DS{x_{0}\in I} počáteční podmínky

\left \{\array{ y(x_{0}) = y_{0},\quad \cr y^{\, \prime }(x_{0}) = y_{0}^{\, \prime },\quad } \right .
(2.20)

kde \DS{y_{0}} a \DS{y_{0}^{\, \prime }} jsou reálná čísla, se nazývá počáteční úloha (Cauchyova úloha). Řešení počáteční úlohy se nazývá partikulární řešení rovnice (2.19).


Poznámka 2.17 (existence a jednoznačnost). Každá počáteční úloha pro rovnici (2.19) má řešení, které je určeno jednoznačně a toto řešení je definované na celém intervalu \DS{I}.

Definice 2.8 (obecné řešení). Všechna řešení LDR druhého řádu (2.19) lze vyjádřit ve tvaru obsahujícím dvě nezávislé konstanty \DS{C_{1}}, \DS{C_{2}\in \mathbb{R}}. Takovýto předpis se nazývá obecné řešení rovnice (2.19).


Poznámka 2.18 (operátorová symbolika). Podobně jako lineární diferenciální rovnice prvního řádu, i zde často pravou stranu rovnice často zkracujeme do tvaru \DS{L[y](x)}. Definujeme-li tedy

L[y](x) = y^{\, \prime \prime }(x) + p(x)y^{\, \prime }(x) + q(x)y(x),
(2.21)

je tímto předpisem definován operátor, který každé dvakrát diferencovatelné funkci přiřazuje levou stranu rovnice (2.19). Rovnici (2.19) je potom možno zapsat ve tvaru \DS{L[y] = f(x)}.

Definice 2.9 (speciální typy LDR druhého řádu). Platí-li v rovnici (2.19) \DS{f(x) = 0} pro všechna \DS{x\in I}, nazývá se rovnice (2.19) homogenní, v opačném případě nehomogenní. Jsou-li koeficienty \DS{p(x)} a \DS{q(x)} na intervalu \DS{I} konstantní funkce, nazývá se (2.19) rovnice s konstantními koeficienty.


Poznámka 2.19 (triviální řešení). Funkce \DS{y(x)\equiv 0} je řešením homogenní LDR 2. řádu vždy, bez ohledu na tvar koeficientů \DS{p}, \DS{q}. (Ověřte sami dosazením.) Toto řešení nazýváme triviální řešení rovnice (2.19).

Definice 2.10 (asociovaná homogenní rovnice). Nahradíme-li v nehomogenní LDR (2.19) pravou stranu (tj. funkci \DS{f}) nulovou funkcí obdržíme rovnici

y^{\, \prime \prime } + p(x)y^{\, \prime } + q(x)y = 0.
(2.22)

Tato rovnice se nazývá asociovaná homogenní rovnice k rovnici (2.19).


Věta 2.7 (linearita a princip superpozice). !!!Operátor (2.21) zachovává lineární kombinaci funkcí, tj. pro libovolné dvě funkce \DS{y_{1}} a \DS{y_{2}} a libovolné reálné konstanty \DS{C_{1}} a \DS{C_{2}} platí

L[C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2}] = C_{1}L[y_{1}] + C_{2}L[y_{2}].
(2.23)

Jako speciální případ vztahu (2.23) dostáváme implikace

\eqalignno{ & L[y_{2}] = 0\text{ a }L[y_{1}] = f(x) & \qquad & \Rightarrow & \qquad & L[y_{1} + y_{2}] = 0 + f(x) = f(x), & & & & & & \cr & L[y_{1}] = L[y_{2}] = f(x) & & \Rightarrow & & L[y_{1} - y_{2}] = f(x) - f(x) = 0, & & & & & & \cr & L[y_{1}] = L[y_{2}] = 0 & & \Rightarrow & & L[C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2}] = C_{1}\cdot 0 + C_{2}\cdot 0 = 0, & & & & & & \cr & & & & & & }

   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009