3.3 Stacionární body
Poznámka 3.7 (klasifikace stacionárních bodů).
Podle chování
trajektorií v okolí stacionárních bodů rozdělujeme tyto
stacionární body do několika navzájem disjunktních skupin. Nechť
\DS{(x^{*},y^{*})} je
singulárním bodem systému (3.1).
-
Uzel
- Stacionární bod \DS{(x^{*},y^{*})}
se nazývá uzel, jestliže všechny trajektorie \DS{(x(t),y(t))}
z nějakého okolí tohoto bodu konvergují pro \DS{t\to \infty }
nebo \DS{t\to -\infty }
k \DS{(x^{*},y^{*})}
tak, že nedochází k oscilacím kolem limitní hodnoty.
-
Ohnisko
- Stacionární bod \DS{(x^{*},y^{*})}
se nazývá ohnisko, jestliže všechny trajektorie z nějakého
okolí tohoto stacionární bodu do tohoto bodu konvergují buď
pro \DS{t\to \infty }
nebo pro \DS{t\to -\infty }
a to tak, že kolem tohoto bodu oscilují se zmenšující se amplitudou.
-
Sedlo
- Stacionární bod \DS{(x^{*},y^{*})}
se nazývá sedlo, jestliže v každém jeho okolí existuje pouze
konečný počet trajektorií, které pro \DS{t\to \pm \infty }
konvergují k tomuto bodu.
-
Střed a bod rotace
- Stacionární bod \DS{(x^{*},y^{*})}
se nazývá bod rotace, jestliže každé jeho okolí obsahuje nekonečně
mnoho trajektorií, které jsou cykly. Pokud v nějakém okolí existují
pouze cykly, nazývá se tento bod navíc střed.
- Uzel nebo ohnisko nazýváme stabilní, jestliže všechny trajektorie
do něj konvergují pro \DS{t\to \infty },
tj. všechny trajektorie z nějakého okolí směřují do tohoto
bodu. V opačném případě tento bod nazýváme nestabilní.
- Pro stabilní uzel a ohnisko existují oblasti ve fázové rovině které
mají tu vlastnost, že všechny trajektorie procházející některou
z těchto oblastí konvergují pro \DS{t\to \infty }
do tohoto stacionárního bodu. Takové oblasti se nazývají oblasti
atraktivity stacionárního bodu.
Definice 3.5 (Jacobiho matice). Matice
J(x,y) = \left (\array{
{ \partial\, f
\over \partial\, x} (x,y)& { \partial\, f
\over \partial\, y} (x,y)
\cr
{ \partial\, g
\over \partial\, x} (x,y)& { \partial\, g
\over \partial\, y} (x,y)
\cr
} \right )
|
se nazývá Jacobiho matice soustavy (3.1).
|
Definice 3.6. Charakteristickou rovnicí matice
\DS{A} rozumíme kvadratickou
rovnici \DS{\det (A -\lambda I) = 0} s neznámou
\DS{\lambda }, tj. charakteristickou
rovnicí matice \DS{A =
\left (\array{
a& b\cr
c& d} \right )}
je rovnice
\lambda ^{2} - (a + d)\lambda + ad - bc = 0.
|
Kořeny této rovnice (reálné nebo komplexní) nazýváme vlastní čísla
matice \DS{A}.
|
Věta 3.1 (klasifikace stacionárních bodů pomocí vlastních čísel Jacobiho matice).
Uvažujme vlastní čísla Jacobiho matice vypočtené ve
stacionárním bodě.
- Jsou-li obě vlastní čísla reálná kladná, je
stacionární bod nestabilní uzel.
- Jsou-li obě vlastní čísla reálná záporná, je
stacionární bod stabilní uzel.
- Jsou-li vlastní čísla reálná a mají-li opačná
znaménka, je stacionární bod sedlo.
- Jsou-li vlastní čísla komplexně sdružená s kladnou
reálnou částí, je stacionární bod nestabilní ohnisko.
- Jsou-li vlastní čísla komplexně sdružená se zápornou
reálnou částí, je stacionární bod stabilní ohnisko.
- Jsou-li vlastní čísla komplexně sdružená s nulovou
reálnou částí, je stacionární bod ohnisko nebo bod rotace.
|
|
|
| Vlastní
hodnoty,
\DS{\lambda _{1,2}\in \mathbb{R}} | typ stac. bodu | průběh trajektorií |
|
|
|
|
|
| \DS{\lambda _{1}\geq \lambda _{2} > 0} | nestabilní uzel | |
|
|
| \DS{\lambda _{1} > 0 >\lambda _{2}} | sedlo | |
|
|
| \DS{0 >\lambda _{1}\geq \lambda _{2}} | stabilní uzel | |
|
|
| |
Tabulka 3.1: | Klasifikace stacionárních bodů podle vlastních hodnot,
reálné vlastní hodnoty |
|
|
|
| Vlastní
hodnoty,
\DS{\lambda _{1,2}\not \in \mathbb{R}} | typ stac. bodu | průběh trajektorií |
|
|
|
|
|
| \DS{ℜ(\lambda _{1,2}) > 0} | nestabilní ohnisko | |
|
|
| \DS{ℜ(\lambda _{1,2}) < 0} | stabilní ohnisko | |
|
|
| \DS{ℜ(\lambda _{1,2}) = 0} | ohnisko nebo bod rotace | nebo kterákoliv z předchozích možností |
|
|
| |
Tabulka 3.2: | Klasifikace stacionárních bodů podle vlastních hodnot,
komplexně sdružené vlastní hodnoty |
|
Poznámka 3.8. Zjednodušeně řečeno, kdykoliv se mezi vlastními
hodnotami Jacobiho matice v bodě \DS{S}
objeví vlastní hodnota se zápornou reálnou částí, existuje
trajektorie konvergující do bodu \DS{S}.
Pokud má některé vlastní hodnota kladnou reálnou část,
existuje trajektorie vycházející z bodu \DS{S}.
Pokud mají vlastní hodnoty nenulovou imaginární část, dochází
v okolí bodu \DS{S}
k oscilacím.
Jiná možnost, jak určit typ stacionárních bodů, je
obsažena v následující větě. V této větě
\DS{D} značí determinant
Jacobiho matice v bodě \DS{(x^{*},y^{*})},
tj. a \DS{\Delta }
stopu
Jacobiho matice v tomto bodě, tj.
\eqalignno{
D & =\det J(x^{*},y^{*}) ={ \partial\, f
\over \partial\, x} (x^{*},y^{*}){ \partial\, g
\over \partial\, y} (x^{*},y^{*}) -{ \partial\, f
\over \partial\, y} (x^{*},y^{*}){ \partial\, g
\over \partial\, x} (x^{*},y^{*}),\kern 0em & & \kern 0em
\kern 0em \cr
\Delta & =\mathop{\text{Tr}} J(x^{*},y^{*}) ={ \partial\, f
\over \partial\, x} (x^{*},y^{*}) +{ \partial\, g
\over \partial\, y} (x^{*},y^{*}).\kern 0em & & \kern 0em
\kern 0em }
Věta 3.2. Nechť
\DS{(x^{*},y^{*})}
je stacionární bod soustavy (3.1) a
\DS{J(x^{*},y^{*})}
hodnota Jacobiho matice v tomto bodě. Pomocí čísel
\DS{D}
a
\DS{\Delta }
lze rozhodnout o kvalitě stacionárního bodu
\DS{(x^{*},y^{*})}
podle následující tabulky.
|
|
|
| \DS{D^{} < 0} | | sedlo |
|
|
|
|
|
|
|
| \DS{D > 0} | \DS{\Delta > 0} | \DS{\Delta ^{2}\geq 4D} | nestabilní uzel |
| |
|
| | | \DS{\Delta ^{2} < 4D} | nestabilní ohnisko |
|
|
|
| | \DS{\Delta < 0} | \DS{\Delta ^{2}\geq 4D} | stabilní uzel |
| |
|
| | | \DS{\Delta ^{2} < 4D} | stabilní ohnisko |
|
|
|
| | \DS{\Delta ^{} = 0} | bod rotace nebo ohnisko |
|
|
|
| |
|