Inženýrská matematika Robert Mařík © 2007-2009 

1.1 Euklidovský metrický prostor

Definice 1.1 (metrický prostor, metrika). Množina \DS{\mathbb{E}^{n}} prvků z \DS{\mathbb{R}^{n}} s metrikou \DS{\rho } definovanou pro \DS{X = (x_{1},x_{2},\mathop{\mathop{…}}x_{n})\in \mathbb{R}^{n}} a \DS{Y = (y_{1},y_{2},\mathop{\mathop{…}},y_{n})\in \mathbb{R}^{n}} vztahem

\rho (X,Y ) = \sqrt{(x_{1 } - y_{1 } )^{2 } + (x_{2 } - y_{2 } )^{2 } +\cdots +(x_{n } - y_{n } )^{2}}
(1.1)

se nazývá Euklidovský metrický prostor. Prvky prostoru \DS{E^{n}} budeme nazývat body. Funkce \DS{\rho } se nazývá Euklidovská metrika. Číslo \DS{\rho (X,Y )} se nazývá Euklidovská vzdálenost bodů \DS{X}, \DS{Y }.


Poznámka 1.1. V prostorech \DS{\mathbb{E}^{2}} a \DS{\mathbb{E}^{3}} se jedná o ”běžnou” definici vzdálenosti, používanou v každodenním životě. I následující tři vlastnosti metriky jsou v těchto prostorech velice názorné.

Věta 1.1 (vlastnosti euklidovské metriky). Pro libovolná \DS{X,Y,Z\in \mathbb{E}^{n}} platí

\eqalignno{ & \rho (X,Y ) =\rho (Y,X) & & \text{symetrie} & & & & \cr & \rho (X,Y ) = 0\kern 2.77695pt \Longleftrightarrow \kern 2.77695pt X = Y & & \text{totožnost} & & & & \cr & \rho (X,Y ) +\rho (Y,Z)\geq \rho (X,Z)\quad & & \text{trojúhelníková nerovnost} & & & & }

Následující definice zavádí název pro množinu bodů, které jsou ”blízko” daného bodu \DS{X} (tj. nejsou od něj vzdáleny více, než jistá maximální přípustná hodnota \DS{\varepsilon }).

Definice 1.2 (okolí, ryzí okolí). Buď \DS{X\in \mathbb{E}^{n}} bod z \DS{\mathbb{E}^{n}} a \DS{\varepsilon > 0} kladné reálné číslo. Epsilonovým okolím bodu \DS{X} rozumíme množinu označenou \DS{O_{\varepsilon }(X)} skládající se z bodů, jejichž vzdálenost od bodu \DS{X} je menší než \DS{\varepsilon }, tj.

O_{\varepsilon }(X) = \{Y \in \mathbb{E}^{n} :\rho (X,Y ) <\varepsilon \}.

Ryzím epsilonovým okolím bodu \DS{X} rozumíme množinu \DS{O_{\varepsilon }(X)} definovanou

O_{\varepsilon }(X) = O_{\varepsilon }(X)\setminus \{X\},

tj. \DS{\varepsilon }-okolí bodu \DS{X}, s vyloučením bodu \DS{X}.


Poznámka 1.2. V prostorech \DS{\mathbb{E}^{2}} a \DS{\mathbb{E}^{3}} je tedy \DS{\varepsilon }-okolím bodu \DS{X} vnitřek kruhu, resp. vnitřek koule se středem v bodě \DS{X} a poloměrem \DS{\varepsilon }. Proto obecně okolí nazýváme též otevřenou \DS{n}-rozměrnou koulí. Ryzí okolí je potom otevřená \DS{n}-rozměrná koule bez svého středu. Nebude-li velikost \DS{\varepsilon } podstatná, budeme ji vynechávat. V případě jednorozměrného prostoru definice splývá s definicí okolí bodů na reálné ose, jak ji známe z prvního ročníku.

Poznámka 1.3 (neeuklidovské metriky). V teorii metrických prostorů se metrikou nazývá jakákoliv nezáporná funkce \DS{\rho (X,Y )} dvou proměnných, která splňuje vlastnosti uvedené ve Větě 1.1. Toto je někdy výhodnější. Definujeme-li například \DS{\rho _{\mathop{max}}(X,Y ) =\mathop{ max}\{|x_{i} - y_{i}|,i = 1,2,\mathop{\mathop{…}},n\}} bude množinou všech bodů \DS{Y } splňující pro daný bod \DS{X} nerovnici \DS{\rho _{\mathop{max}}(X,Y ) <\varepsilon } čtverec. V této metrice jsou okolí bodu v rovině čtvercového tvaru 1 , což je jistě jednodušší objekt než kruh vzniklý při použití euklidovské metriky. Níže vyložená teorie nezávisí na tom, zda použijeme Euklidovskou metriku, metriku \DS{\rho _{\mathop{max}}}, či nějakou jinou metriku. Proto se budeme držet metriky Euklidovské – ve dvou a trojrozměrných prostorech lépe odpovídá ”zažité představě” o vzdálenosti. Protože tedy nebudeme používat jinou metriku, než metriku Euklidovskou a jiný metrický prostor než Euklidovský, budeme přívlastek ”Euklidovský” vynechávat.

Poznámka 1.4 (obecné metrické prostory). Teorie metrických prostorů je jedna z nejabstraktnějších partií matematiky, se kterými se studenti setkávají. V této teorii obecněji metrickým prostorem nazýváme jakoukoliv množinu, na níž lze definovat metriku s vlastnostmi uvedenými ve Větě 1.1. Tato množina může být například

   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009