4.2 Dvojný integrál na obdélníku
Definujme funkci na obdélníku \DS{R = [a,b]\times [c,d]}
ohraničenou funkci \DS{f(x,y)}.
Obdélník rozdělme na podobdélníky
\DS{p_{1}},
\DS{p_{2}}, …,
\DS{p_{n}} o obsazích
\DS{\Delta p_{1}},
\DS{\Delta p_{2}}, …,
\DS{\Delta p_{n}}. Toto dělení
označme \DS{D}.
V obdélníčku \DS{p_{i}}
najdeme supremum \DS{M_{i}}
a infimum \DS{m_{i}}
funkce \DS{f(x,y)}.
Sestrojme horní a dolní integrální součet příslušný
dělení \DS{D}
podle vzorců
\eqalignno{
S(D) =\sum _{ i=1}^{k}M_{
i}\Delta p_{i} & \text{ …horní součet}\kern 0em & & \kern 0em
\kern 0em \cr
s(D) =\sum _{ i=1}^{k}m_{
i}\Delta p_{i} & \text{ …dolní součet}\kern 0em & & \kern 0em
\kern 0em }
- Supremum množiny všech dolních součtů nazýváme dolní
dvojný integrál a značíme \DS{\underline{\int\int _{R}}f(x,y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y}.
- Infimum množiny všech horních součtů nazýváme horní
dvojný integrál a značíme \DS{\overline{\int\int _{R}}f(x,y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y}.
Definice 4.5 (dvojný integrál). Jestliže jsou si horní a dolní integrál
rovny, pak jejich společnou hodnotu značíme
\int\int _{R}f(x,y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y
| (4.1) |
a nazýváme dvojný integrál funkce
\DS{f} v
\DS{R}. O funkci
\DS{f} říkáme, že
je na množině \DS{R}
integrovatelná.
|
Výpočet dvojného integrálu provádíme s využitím
následující věty o převodu dvojného integrálu na
dvojnásobný (dva ”obyčejné” integrály).
Věta 4.1 (Fubini). Nechť \DS{R = [a,b]\times [c,d]} je
uzavřený obdélník v \DS{\mathbb{R}^{2}}
a \DS{f} funkce definovaná
a spojitá na \DS{R}.
Pak platí
\int\int _{R}f(x,y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y =\int _{ a}^{b}{\Bigl [\int _{
c}^{d}f(x,y)\, \mathrm{d}y\Bigr ]}\, \mathrm{d}x =\int _{
c}^{d}{\Bigl [\int _{
a}^{b}f(x,y)\, \mathrm{d}x\Bigr ]}\, \mathrm{d}y.
|
|
Příklad 4.4. Vypočtěte
\DS{\int\int _{\Omega }(x + y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y}
přes obdélník vyznačený na obrázku.
\eqalignno{
\int\int _{\Omega }(x + y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y & = \int _{1}^{2}{\Bigl [\int _{
0}^{3}(x + y)\, \mathrm{d}x\Bigr ]}\, \mathrm{d}y =\int _{
1}^{2}{\Bigl [{ x^{2}
\over 2} + xy\Bigr ]}_{0}^{3}\, \mathrm{d}y\kern 0em & & \kern 0em
\kern 0em \cr
& =\int _{ 1}^{2}{\Bigl [{ 9
\over 2} + 3y -{\bigl ({ 0
\over 2} + 0y\bigr )}\Bigr ]}\, \mathrm{d}y =\int _{ 1}^{2}{\Bigl ({ 9
\over 2} + 3y\Bigr )}\, \mathrm{d}y\kern 0em & & \kern 0em
\kern 0em \cr
& ={\Bigl [{ 9
\over 2} y + 3{ y^{2}
\over 2} \Bigr ]}_{1}^{2} ={ 9
\over 2} \cdot 2 + 3\cdot { 4
\over 2} -{\Bigl ({ 9
\over 2} + 3\cdot { 1
\over 2} \Bigr )}\kern 0em & & \kern 0em
\kern 0em \cr
& = 9 + 6 - 6 = 9\kern 0em & & \kern 0em
\kern 0em }