Inženýrská matematika Robert Mařík © 2007-2009 

1.5 Extremální úlohy

Motivace (tři typy extremálních úloh pro funkce více proměnných). Předpokládejme, že funkce \DS{f} je spojitá a je definována v bodě \DS{(x_{0},y_{0})}, který je buď vnitřním nebo hraničním bodem definičního oboru. Bude nás zajímat, kdy jsou funkční hodnoty v bodě \DS{(x_{0},y_{0})} ”co největší”, tj. kdy bude platit

f(x_{0},y_{0}) > f(x,y)\quad \text{pro $(x,y)\neq (x_{0},y_{0})$},
(1.4)

případně, kdy bude platit

f(x_{0},y_{0})\geq f(x,y).
(1.5)

Pokud platí první z nerovností, říkáme, že funkce \DS{f} má v bodě \DS{(x_{0},y_{0})} ostré maximum a u druhé z nerovností říkáme, že funkce má v bodě \DS{(x_{0},y_{0})} neostré maximum. Přitom musíme důkladně specifikovat, co přesně těmito nerovnostmi rozumíme, tj. pro která \DS{(x,y)} musí nerovnost platit. Tím se budou jednotlivé druhy maxim lišit. V praxi má smysl rozeznávat tři druhy extremálních úloh, které jsou postupně uvedeny v následujících definicích.

Definice 1.18 (lokální maximum). Je-li bod \DS{(x_{0},y_{0})} vnitřním bodem definičního oboru a nerovnost (1.4) (případně (1.5)) platí pro všechna \DS{(x,y)} z nějakého okolí bodu \DS{(x_{0},y_{0})}, říkáme, že funkce má v bodě \DS{(x_{0},y_{0})} ostré lokální maximum (případně lokální maximum).


Definice 1.19 (absolutní maximum). Je-li funkce definovaná na předem zadané množině \DS{M} a platí-li nerovnost (1.4) (případně (1.5)) pro všechna \DS{(x,y)\in M}, říkáme, že funkce má v bodě \DS{(x_{0},y_{0})} ostré absolutní maximum (případně absolutní maximum) na množině \DS{M}.


Definice 1.20 (vázané maximum). Uvažujme další předem zadanou spojitou funkci dvou proměnných \DS{g :\mathbb{R} ^{2}\to \mathbb{R}}, která splňuje \DS{g(x_{0},y_{0}) = 0}, tj. bod \DS{(x_{0},y_{0})} leží na vrstevnici \DS{g(x,y) = 0} grafu funkce \DS{g}. Rovnici této vrstevnice

g(x,y) = 0
(1.6)

budeme nazývat vazební podmínkou. Platí-li nerovnost (1.4) (případně (1.5)) pro všechna \DS{(x,y)} z nějakého okolí bodu \DS{(x_{0},y_{0})}, která splňují vazební podmínku (1.6), říkáme, že funkce má v bodě \DS{(x_{0},y_{0})} ostré vázané lokální maximum (případně vázané lokální maximum) vzhledem k vazební podmínce (1.6).


Definice 1.21 (lokální, absolutní a vázané minimum). Změníme-li směr nerovností (1.4) a (1.5), obdržíme podobně (ostré) lokální minimum, (ostré) absolutní minimum na množině \DS{M} a (ostré) vázané lokální minimum při vazební podmínce (1.6).


Věta 1.8 (absolutní extrémy na kompaktní množině, Weierstrassova věta). !!!Spojitá funkce má na kompaktní množině absolutní maximum a absolutní minimum.



lok´aln´i maximum   z

v´azan´e maximum         vazebn´i podm´inka g(x,y) = 0

  vrstevnice






                                      y

    x

Obrázek 1.1: Jednotlivé typy extrémů funkce dvou proměnných.

Poznámka 1.18 (geometrická interpretace). !!!Geometricky graf funkce dvou proměnných zpravidla chápeme jako plochu v trojrozměrném prostoru. Geometrická interpretace jednotlivých typů extrémů je potom následující.

Poznámka 1.19 (derivace jako nutná podmínka existence lokálních extrémů). V diferenciálním počtu funkcí jedné proměnné platí poučka, že funkce nemá lokální extrém v bodě, v jehož okolí je rostoucí nebo klesající. Podezřelými body pro existenci lokálních extrémů jsou tedy pouze body, kde je derivace nulová, nebo kde derivace neexistuje. Analogické pravidlo platí i pro funkce více proměnných, jak uvádí následující věta.

Věta 1.9 (Fermatova). !!!Jestliže funkce \DS{f(x,y)} má v bodě \DS{(x_{0},y_{0})} lokální extrém (ostrý nebo neostrý), pak každá parciální derivace, která v tomto bodě existuje, je nulová.


Definice 1.22 (stacionární bod). Bod \DS{(x_{0},y_{0})} z definičního oboru funkce \DS{f}, ve kterém platí

f_{x}^{\, \prime }(x_{ 0},y_{0}) = 0 = f_{y}^{\, \prime }(x_{ 0},y_{0}).
(1.7)

se nazývá stacionární bod funkce \DS{f}.


Poznámka 1.20 (důsledek Fermatovy věty). Lokální extrém tedy může nastat buď ve stacionárním bodě, nebo v bodě, kde alespoň jedna z parciálních derivací neexistuje. Z těchto ”kandidátů” navíc můžeme vyloučit ty, pro které některé parciální derivace neexistují a z těch co existují je alespoň jedna nenulová.

Poznámka 1.21 (stanovení typu lokálního extrému). V ryze praktických případech někdy poznáme z povahy úlohy, že ve stacionárním bodě je extrém a jaký. Například pokud z formulace úlohy je zřejmé, že funkce má nějaké lokální minimum a pokud vyjde jediný stacionární bod, je zřejmé, že lokální minimum je v tomto bodě13 . U funkce jedné proměnné jsme věděli, že ve stacionárním bodě je buď lokální maximum, minimum nebo inflexní bod a dokázali jsme mezi jednotlivými alternativami rozlišit pomocí monotonie14 nebo pomocí druhé derivace15 . U funkcí dvou proměnných umíme rozhodnout o tom, zda a jaký lokální extrém ve stacionárním bodě nastává, pomocí druhých derivací, což je uvedeno v následující větě.

Věta 1.10 (test pomocí druhé derivace). !!!Nechť bod \DS{(x_{0},y_{0})} je stacionárním bodem funkce \DS{f} a nechť funkce \DS{f}spojité všechny parciální derivace druhého řádu v okolí tohoto bodu. Označme symbolem \DS{H} následující determinant

H(x_{0},y_{0}) = \left \vert \array{ f_{xx}^{\, \prime \prime }(x_{0},y_{0})& f_{xy}^{\, \prime \prime }(x_{0},y_{0}) \cr f_{xy}^{\, \prime \prime }(x_{0},y_{0})& f_{yy}^{\, \prime \prime }(x_{0},y_{0})\cr } \right \vert .

Nastane právě jeden z následujících případů

  • \DS{H > 0} a \DS{f_{xx}^{\, \prime \prime } > 0}. Potom má funkce \DS{f} v bodě \DS{(x_{0},y_{0})} ostré lokální minimum.
  • \DS{H > 0} a \DS{f_{xx}^{\, \prime \prime } < 0}. Potom má funkce \DS{f} v bodě \DS{(x_{0},y_{0})} ostré lokální maximum.
  • \DS{H < 0}. Potom funkce \DS{f} nemá v bodě \DS{(x_{0},y_{0})} lokální extrém.
  • \DS{H = 0}. Nelze rozhodnout o existenci a kvalitě lokálního extrému pomocí druhých derivací. Může nastat kterýkoliv z výše uvedených případů.

Definice 1.23 (Hessián). Matice uvedená v předchozí větě se nazývá Hessova matice a její determinant se nazývá Hessián.


Poznámka 1.22 (lokální extrémy funkce více než dvou proměnných). Všechny výše uvedené poznatky lze snadno zobecnit i na funkce \DS{3} a obecně \DS{n} proměnných. Výjimkou je v tomto směru pouze předchozí věta, která je v případě funkcí více než \DS{2} proměnných znatelně složitější.

Poznámka 1.23. Všimněte si, že Věta 1.10 je nepoužitelná v případě, že některá z parciálníchderivací neexistuje. Rozhodnout v takovém případě o existenci lokálního extrému je obecně velice obtížný úkol. Při řešení takového úkolu opět nepříjemně pocítíme skutečnost, že zde nemáme jednu pěknou vlastnost, která nám v podobných případech pomáhala u funkce jedné proměnné – totiž monotonii.

Poznámka 1.24 (stanovení lokálních extrémů funkce dvou proměnných). !!!  

Poznámka 1.25 (vázané lokální extrémy funkce dvou proměnných). !!!Předpokládejme, že z vazební podmínky (1.6) lze explicitně vypočítat buď \DS{y =\varphi (x)}, nebo \DS{x =\psi (y)}. Uvažujme nejprve první případ.

Pokud nelze z vazební podmínky vypočítat \DS{y}, ale lze vypočítat \DS{x =\psi (y)}, postupujeme analogicky.

Jsou i vazební podmínky, které nesplňují výše uvedené předpoklady. V těchto případech nejčastěji používáme postup využívající Lagrangeových multiplikátorů (možno nalézt v odborné literatuře).

Poznámka 1.26 (vázané lokální extrémy funkce tří proměnných). Předpokládejme, že hledáme extrém funkce tří proměnných \DS{f(x,y,z)} při vazební podmínce \DS{g(x,y,z) = 0}. Předpokládejme, že z vazební podmínky lze vyjádřit jednu z proměnných pomocí ostatních, nechť je to například \DS{z}. Lze tedy \DS{g(x,y,z) = 0} přepsat do tvaru \DS{z =\varphi (x,y)}. Dosadíme-li tento vztah do funkce \DS{f}, obdržíme funkci \DS{f(x,y,\varphi (x,y))}, která je funkcí dvou proměnných \DS{x}a \DS{y}. Nalezneme lokální extrémy této funkce. Je-li \DS{(x_{0},y_{0})} takovým lokálním extrémem, je bod \DS{(x_{0},y_{0},\varphi (x_{0},y_{0}))} vázaným lokálním extrémem stejného typu funkce \DS{f(x,y,z)} při vazební podmínce \DS{g(x,y,z) = 0}.

Poznámka 1.27 (absolutní extrémy funkce dvou proměnných). !!!Mějme zadánu hladkou funkci \DS{f} definovanou na kompaktní množině \DS{M}.

Věta 1.11 (Bolzanova). Nechť \DS{f} je funkce dvou proměnných spojitá na otevřené souvislé množině \DS{M\subseteq \mathbb{R}^{2}} a nechť pro některé \DS{A}, \DS{B\in M} platí \DS{f(A)f(B) < 0}, tj. nechť se \DS{f(A)} a \DS{f(B)} liší znaménkem. Pak existuje bod \DS{C\in M} s vlastností \DS{f(C) = 0}.


   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009