Inženýrská matematika | Robert Mařík © 2007-2009 |
Definice 3.4 (trajektorie autonomního systému). Nechť dvojice funkcí \DS{x(t)}, \DS{y(t)} je řešením systému (3.1). Množina \DS{T} bodů v rovině \DS{(x,y)} definovaná relací
se nazývá trajektorie systému (3.1). Rovinu, do které zakreslujeme trajektorie, nazýváme fázovou rovinou. Trajektorie stacionárního řešení je tvořena jediným bodem \DS{(x^{*},y^{*})} a nazývá se stacionární bod. |
Poznámka 3.2 (geometrické vlastnosti trajektorií). Zakreslíme-li
trajektorii nějakého řešení autonomního systému,
ztrácíme informaci o čase. Máme pouze informace, kterých hodnot
\DS{(x,y)}
řešení nabývají v tomtéž okamžiku, ovšem
nemáme informaci o tom, za jak dlouho řešení do tohoto stavu
dospěje. Abychom alespoň měli zachycenu informaci o tom, který stav
předchází a který následuje, zpravidla trajektorie orientujeme podle
směru toku času.
Prochází-li trajektorie bodem \DS{(x^{*},y^{*})}, jedná se o trajektorii odpovídající řešení počáteční úlohy
\left \{\array{
x(0) = x^{*}\quad
\cr
y(0) = y^{*}.\quad } \right .
|
Tato trajektorie má v bodě \DS{(x^{*},y^{*})} tečnu danou směrovým vektorem \DS{(f(x^{*},y^{*}),g(x^{*},y^{*}))}. Podobně jako u směrového pole diferenciální rovnice, zakreslení směrových vektorů tečných k trajektoriím lze uskutečnit jen ze znalosti funkcí \DS{f} a \DS{g} a odsud je zpravidla možné si udělat základní představu o tvaru trajektorií. Systém těchto vektorů spolu se zakreslenými vybranými trajektoriemi se nazývá fázový portrét autonomního systému. Jedná se a jakousi obdobu směrového pole diferenciální rovnice.
Vzhledem k jednoznačné řešitelnosti se dvě různé trajektorie nikde neprotínají. Mají-li proto dvě trajektorie společný alespoň jeden bod, jsou zcela totožné!
Ve fázové rovině mohou existovat oblasti, které mají tu vlastnost, že každá trajektorie která vstoupí do této oblast ji již v žádném pozdějším čase nemůže opustit. Tyto oblasti se nazývají pozitivně invariantní oblasti. Naopak, oblasti které mají tu vlastnost, že pokud se v nich trajektorie vyskytuje v jistém čase, vyskytuje se v nich i ve všech dřívějších časech, se nazývají negativně invariantní.
Poznámka 3.3 (trajektorie jako integrální křivky). Na část trajektorie \DS{T}, kde každému \DS{x} odpovídá jediné \DS{y}, lze pohlížet jako na graf funkce \DS{y = y(x)}. Vzhledem k tomu, že podle pravidla pro derivaci složené a inverzní funkce platí v diferenciální symbolice
{
\, \mathrm{d}y
\over \, \mathrm{d}x} ={ \, \mathrm{d}y
\over \, \mathrm{d}t} \cdot { \, \mathrm{d}t
\over \, \mathrm{d}x} ={ \, \mathrm{d}y
\over \, \mathrm{d}t} \cdot { 1
\over { \, \mathrm{d}x
\over \, \mathrm{d}t} } ={ { \, \mathrm{d}y
\over \, \mathrm{d}t}
\over { \, \mathrm{d}x
\over \, \mathrm{d}t} } ,
|
vyhovuje uvažovaná část trajektorie diferenciální rovnici
{
\, \mathrm{d}y
\over \, \mathrm{d}x} ={ g(x,y)
\over f(x,y)} .
|
Tato rovnice definuje jednoznačně trajektorie (až na směr toku času) podobně, jako systém (3.1). Poznamenejme, že v bodech \DS{x}-nulklin (viz dále) je pravá strana rovnice nespojitá a v singulárních bodech může být porušena jednoznačnost řešení.
Poznámka 3.4 (klasifikace trajektorií). Předpokládejme, že každá
trajektorie systému (3.1) je prodloužena maximálně oběma směry, tj. pro
\DS{t\to \pm \infty }.
Rozeznáváme pouze tři následující typy trajektorií
V praxi se s posledním typem trajektorií většinou nesetkáváme a každá trajektorie, která je ohraničená a není stacionárním bodem ani cyklem začíná a končí buď ve stacionárním bodě, se odmotává z nějakého cyklu (resp. namotává na nějaký cyklus).
Poznámka 3.5 (nulkliny). Křivka složená z bodů \DS{(x,y)}
v rovině, které splňují \DS{f(x,y) = 0}
se nazývá \DS{x}-nulklina.
V bodech této nulkliny platí \DS{x^{\, \prime } = 0}
a veličina \DS{x}
se tedy v okolí této nulkliny nemění (resp. mění velice pomalu).
Z geometrického hlediska má tato křivka vlastnost, že každá trajektorie
ji protíná ve svislém směru (zdola nahoru nebo shora dolů).
Podobně, křivka složená z bodů \DS{(x,y)} v rovině, které splňují \DS{g(x,y) = 0} se nazývá \DS{y}-nulklina. Tato křivka má tu vlastnost, že každá trajektorie ji protíná ve vodorovném směru, protože v bodech \DS{y}-nulkliny platí \DS{y^{\, \prime } = 0}.
Poznámka 3.6 (spojitá závislost na počátečních podmínkách). Malá změna počátečních podmínek vyvolává relativně malou změnu výsledného řešení autonomního systému. Z tohoto důvodu dvě trajektorie, které prochází dvěma dostatečně blízkými body, mají v okolí tohoto bodu přibližně stejný směr, s výjimkou okolí stacionárních bodů.
Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně | © 2007-2009 |