Inženýrská matematika Robert Mařík © 2007-2009 

3.3 Stacionární body

Poznámka 3.7 (klasifikace stacionárních bodů). !!!Podle chování trajektorií v okolí stacionárních bodů rozdělujeme tyto stacionární body do několika navzájem disjunktních skupin. Nechť \DS{(x^{*},y^{*})} je singulárním bodem systému (3.1).

Uzel
Stacionární bod \DS{(x^{*},y^{*})} se nazývá uzel, jestliže všechny trajektorie \DS{(x(t),y(t))} z nějakého okolí tohoto bodu konvergují pro \DS{t\to \infty } nebo \DS{t\to -\infty } k \DS{(x^{*},y^{*})} tak, že nedochází k oscilacím kolem limitní hodnoty.
Ohnisko
Stacionární bod \DS{(x^{*},y^{*})} se nazývá ohnisko, jestliže všechny trajektorie z nějakého okolí tohoto stacionární bodu do tohoto bodu konvergují buď pro \DS{t\to \infty } nebo pro \DS{t\to -\infty } a to tak, že kolem tohoto bodu oscilují se zmenšující se amplitudou.
Sedlo
Stacionární bod \DS{(x^{*},y^{*})} se nazývá sedlo, jestliže v každém jeho okolí existuje pouze konečný počet trajektorií, které pro \DS{t\to \pm \infty } konvergují k tomuto bodu.
Střed a bod rotace
Stacionární bod \DS{(x^{*},y^{*})} se nazývá bod rotace, jestliže každé jeho okolí obsahuje nekonečně mnoho trajektorií, které jsou cykly. Pokud v nějakém okolí existují pouze cykly, nazývá se tento bod navíc střed.

Definice 3.5 (Jacobiho matice). Matice

J(x,y) = \left (\array{ { \partial\, f \over \partial\, x} (x,y)& { \partial\, f \over \partial\, y} (x,y) \cr { \partial\, g \over \partial\, x} (x,y)& { \partial\, g \over \partial\, y} (x,y) \cr } \right )

se nazývá Jacobiho matice soustavy (3.1).


Definice 3.6. Charakteristickou rovnicí matice \DS{A} rozumíme kvadratickou rovnici \DS{\det (A -\lambda I) = 0} s neznámou \DS{\lambda }, tj. charakteristickou rovnicí matice \DS{A = \left (\array{ a& b\cr c& d} \right )} je rovnice

\lambda ^{2} - (a + d)\lambda + ad - bc = 0.

Kořeny této rovnice (reálné nebo komplexní) nazýváme vlastní čísla matice \DS{A}.


Věta 3.1 (klasifikace stacionárních bodů pomocí vlastních čísel Jacobiho matice). !!!Uvažujme vlastní čísla Jacobiho matice vypočtené ve stacionárním bodě.

  • Jsou-li obě vlastní čísla reálná kladná, je stacionární bod nestabilní uzel.
  • Jsou-li obě vlastní čísla reálná záporná, je stacionární bod stabilní uzel.
  • Jsou-li vlastní čísla reálná a mají-li opačná znaménka, je stacionární bod sedlo.
  • Jsou-li vlastní čísla komplexně sdružená s kladnou reálnou částí, je stacionární bod nestabilní ohnisko.
  • Jsou-li vlastní čísla komplexně sdružená se zápornou reálnou částí, je stacionární bod stabilní ohnisko.
  • Jsou-li vlastní čísla komplexně sdružená s nulovou reálnou částí, je stacionární bod ohnisko nebo bod rotace.





Vlastní hodnoty, \DS{\lambda _{1,2}\in \mathbb{R}}

typ stac. bodu průběh trajektorií






\DS{\lambda _{1}\geq \lambda _{2} > 0}

nestabilní uzel



\DS{\lambda _{1} > 0 >\lambda _{2}}

sedlo



\DS{0 >\lambda _{1}\geq \lambda _{2}}

stabilní uzel




Tabulka 3.1: Klasifikace stacionárních bodů podle vlastních hodnot, reálné vlastní hodnoty





Vlastní hodnoty, \DS{\lambda _{1,2}\not \in \mathbb{R}}

typ stac. bodu průběh trajektorií






\DS{ℜ(\lambda _{1,2}) > 0}

nestabilní ohnisko



\DS{ℜ(\lambda _{1,2}) < 0}

stabilní ohnisko



\DS{ℜ(\lambda _{1,2}) = 0}

ohnisko nebo bod rotace nebo kterákoliv z předchozích možností




Tabulka 3.2: Klasifikace stacionárních bodů podle vlastních hodnot, komplexně sdružené vlastní hodnoty

Poznámka 3.8. Zjednodušeně řečeno, kdykoliv se mezi vlastními hodnotami Jacobiho matice v bodě \DS{S} objeví vlastní hodnota se zápornou reálnou částí, existuje trajektorie konvergující do bodu \DS{S}. Pokud má některé vlastní hodnota kladnou reálnou část, existuje trajektorie vycházející z bodu \DS{S}. Pokud mají vlastní hodnoty nenulovou imaginární část, dochází v okolí bodu \DS{S} k oscilacím.

Jiná možnost, jak určit typ stacionárních bodů, je obsažena v následující větě. V této větě \DS{D} značí determinant Jacobiho matice v bodě \DS{(x^{*},y^{*})}, tj. a \DS{\Delta } stopu1 Jacobiho matice v tomto bodě, tj.

\eqalignno{ D & =\det J(x^{*},y^{*}) ={ \partial\, f \over \partial\, x} (x^{*},y^{*}){ \partial\, g \over \partial\, y} (x^{*},y^{*}) -{ \partial\, f \over \partial\, y} (x^{*},y^{*}){ \partial\, g \over \partial\, x} (x^{*},y^{*}),\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em \cr \Delta & =\mathop{\text{Tr}} J(x^{*},y^{*}) ={ \partial\, f \over \partial\, x} (x^{*},y^{*}) +{ \partial\, g \over \partial\, y} (x^{*},y^{*}).\kern 0em & & \kern 0em \kern 0em }

Věta 3.2. Nechť \DS{(x^{*},y^{*})} je stacionární bod soustavy (3.1) a \DS{J(x^{*},y^{*})} hodnota Jacobiho matice v tomto bodě. Pomocí čísel \DS{D} a \DS{\Delta } lze rozhodnout o kvalitě stacionárního bodu \DS{(x^{*},y^{*})} podle následující tabulky.





\DS{D^{} < 0}
sedlo








\DS{D > 0}\DS{\Delta > 0}\DS{\Delta ^{2}\geq 4D} nestabilní uzel


\DS{\Delta ^{2} < 4D}nestabilní ohnisko



\DS{\Delta < 0}\DS{\Delta ^{2}\geq 4D} stabilní uzel


\DS{\Delta ^{2} < 4D} stabilní ohnisko



\DS{\Delta ^{} = 0}
bod rotace nebo ohnisko





   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009