Inženýrská matematika Robert Mařík © 2007-2009 

2.7 Homogenní LDR 2. řádu

V této podkapitole budeme studovat homogenní LDR druhého řádu, tj. rovnici (2.22)

y^{\, \prime \prime } + p(x)y^{\, \prime } + q(x)y = 0,

kterou můžeme zkráceně zapsat jako \DS{L[y] = 0}, kde operátor \DS{L} je lineární diferenciální operátor druhého řádu definovaný vztahem (2.21).

Motivace. Budeme předpokládat že funkce \DS{y_{1}(x)} a \DS{y_{2}(x)} jsou obě řešeními a budeme hledat podmínky, za kterých je funkce

y(x) = C_{1}y_{1}(x) + C_{2}y_{2}(x)

obecným řešením. Derivováním tohoto vztahu získáváme

y^{\, \prime }(x) = C_{1}y_{1}^{\, \prime }(x) + C_{ 2}y_{2}^{\, \prime }(x)

a dosazení počátečních podmínek \DS{y(\alpha ) =\beta }, \DS{y^{\, \prime }(\alpha ) = γ} vede k následující soustavě lineárních rovnic s neznámými \DS{C_{1}}, \DS{C_{2}}

\begin{array}{rlrlrl}\beta & = C_{1}y_{1}(\alpha ) + C_{2}y_{2}(\alpha ),& & \cr γ& = C_{1}y_{1}^{\, \prime }(\alpha ) + C_{ 2}y_{2}^{\, \prime }(\alpha ).& \cr \end{array}
(2.24)

Jak je známo z lineární algebry, tato soustava má právě jedno řešení pro libovolnou volbu čísel \DS{\beta }, \DS{γ} právě tehdy, když matice soustavy, tj. matice \DS{\left (\array{ y_{1}(\alpha )& y_{2}(\alpha ) \cr y_{1}^{\, \prime }(\alpha )& y_{2}^{\, \prime }(\alpha )} \right ),} je regulární. Tato matice je regulární právě tehdy, když její determinant je nenulový a to nastane právě tehdy když jeden sloupec není násobkem druhého. Tímto motivujeme následující definice.

Definice 2.11 (lineární (ne-)závislost funkcí). Buďte \DS{y_{1}} a \DS{y_{2}} funkce definované na intervalu \DS{I}. Řekneme, že funkce \DS{y_{1}} a \DS{y_{2}} jsou na intervalu \DS{I} lineárně závislé, jestliže jedna z nich je na intervalu \DS{I} násobkem druhé, tj. jestliže existuje reálné číslo \DS{k\in \mathbb{R}} s vlastností

y_{1}(x) = ky_{2}(x)\qquad \text{pro všechna $x\in I$},

nebo

y_{2}(x) = ky_{1}(x)\qquad \text{pro všechna $x\in I$}.

V opačném případě říkáme, že funkce \DS{y_{1}}, \DS{y_{2}} jsou na intervalu \DS{I} lineárně nezávislé.


Definice 2.12 (Wronskián). Buďte \DS{y_{1}(x)} a \DS{y_{2}(x)} dvě libovolná řešení homogenní rovnice (2.22). Wronskiánem funkcí \DS{y_{1}(x)}, \DS{y_{2}(x)} rozumíme determinant

W[y_{1},y_{2}](x) = \left \vert \array{ y_{1}(x)& y_{2}(x) \cr y_{1}^{\, \prime }(x)& y_{2}^{\, \prime }(x)} \right \vert = y_{1}(x)y_{2}^{\, \prime }(x)-y_{ 1}^{\, \prime }(x)y_{ 2}(x).
(2.25)

Věta 2.8 (lineární (ne)závislost). Buďte \DS{y_{1}(x)} a \DS{y_{2}(x)} dvě řešení rovnice (2.22) na intervalu \DS{I}. Tato řešení jsou lineárně nezávislá právě tehdy když je jejich Wronskián různý od nuly na intervalu \DS{I}.


Věta 2.9 (obecné řešení homogenní LDR). !!!Jsou-li \DS{y_{1}} a \DS{y_{2}} dvě netriviální lineárně nezávislá řešení rovnice (2.22) na intervalu \DS{I}, je funkce \DS{y} definovaná vztahem

y(x,C_{1},C_{2}) = C_{1}y_{1}(x) + C_{2}y_{2}(x),\qquad C_{1}\in \mathbb{R},\ C_{2}\in \mathbb{R},
(2.26)

obecným řešením rovnice (2.22) na intervalu \DS{I}.


Definice 2.13 (fundamentální systém řešení). Dvojici funkcí \DS{y_{1}} a \DS{y_{2}} z předchozí věty nazýváme fundamentální systém řešení rovnice (2.22).


   Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně © 2007-2009