Inženýrská matematika | Robert Mařík © 2007-2009 |
Definice 2.6 (exaktní DR). Nechť \DS{P(x,y)} a \DS{Q(x,y)} jsou funkce dvou proměnných, které mají spojité parciální derivace. Řekneme, že diferenciální rovnice
je exaktní, jestliže výraz
je totálním diferenciálem nějaké funkce dvou proměnných. |
Poznámka 2.15 (ekvivalentní tvar exaktní DR). Exaktní diferenciální rovnici častěji uvádíme v ekvivalentním tvaru pomocí diferenciálu kmenové funkce
P(x,y)\, \mathrm{d}x + Q(x,y)\, \mathrm{d}y = 0.
| (E) |
Poznámka 2.16. Rovnice (E) je tedy exaktní právě tehdy, když existuje funkce \DS{F(x,y)} proměnných \DS{x} a \DS{y} s vlastnostmi
{
\partial\, F(x,y)
\over \partial\, x} = P(x,y)\quad \text{a}\quad { \partial\, F(x,y)
\over \partial\, y} = Q(x,y).
| (2.15) |
Věta 2.6 (charakterizace totálního diferenciálu). Nechť funkce \DS{P(x,y)} a \DS{Q(x,y)} mají spojité parciální derivace na otevřené souvislé množině \DS{M\subseteq \mathbb{R}^{2}}. Výraz (T) je na množině \DS{M} totálním diferenciálem nějaké funkce právě tehdy, když na \DS{M} platí
|
Předpokládejme, že jsme pomocí Věty 2.6 ověřili, že výraz (T) je totálním diferenciálem. Je-li funkce \DS{F(x,y)} kmenovou funkcí tohoto diferenciálu, musí platit vztahy (2.15). Integrujeme-li první z těchto vztahů podle proměnné \DS{x}, obdržíme
F(x,y) =\int P(x,y)\, \mathrm{d}x + C(y),
| (2.18) |
kde při integrování podle \DS{x} považujeme \DS{y} za konstantu (podobně jako při výpočtu parciální derivace) a \DS{C(y)} je integrační konstanta — tato konstanta nezávisí na \DS{x}, obecně se však může jednat o veličinu, která závisí na \DS{y}. Obdrženou rovnost zderivujeme podle \DS{y}
{
\partial\, F(x,y)
\over \partial\, y} ={ \partial\,
\over \partial\, y} \int P(x,y)\, \mathrm{d}x + C^{\, \prime }(y),
|
kde \DS{C^{\, \prime }(y)} je obyčejná derivace funkce jedné proměnné. Vzhledem k (2.15) je levá strana rovna \DS{Q(x,y)}. Dosadíme tedy na levou stranu \DS{Q(x,y)} a zjednodušíme výraz na pravé straně. Obdržíme rovnici pro \DS{C^{\, \prime }(y)}, kterou vyřešíme a integrací nalezneme hledanou funkci \DS{C(y)}. (Při úpravách nutně pro \DS{C^{\, \prime }(y)} vychází rovnice, která neobsahuje proměnnou \DS{x}. Pokud tomu tak není, dopustili jsme se při počítání chyby, nebo výraz (T) není totálním diferenciálem.) Získanou funkci \DS{C(y)} dosadíme do (2.18) a máme nalezenu kmenovou funkci \DS{F(x,y)}.
Robert Mařík, Ústav matematiky, Lesnická a dřevařská fakulta MZLU v Brně | © 2007-2009 |