Operátorem rozumíme zobrazení, které má na vstupu i na výstupu funkci. Například pro funkce jedné proměnné mohou být operátory derivace, druhá derivace, vynásobení funkce funkcí \(\ln x\) anebo vnoření zadané funkce do funkce \(\ln x\). Tj. pro \(y=y(x)\) můžeme uvažovat operátory \[F_1[y]=\frac{dy}{dx}, \quad F_2[y]=\frac{d^2y}{dx^2}, \quad F_3[y](x)=y(x)\ln(x), \quad F_4[y](x)=\ln(y(x)). \]
Lineární zobrazení zachovávají některé vlastnosti. V geometrii například rovnoběžnost, v matematické analýze zachovávají lineární zobrazení lineární kombinaci. Rovnice s lineárním operátorem jsou díky tomu velmi předvídatelné. Proto je (lineární operátory i rovnice) v matematice máme tak rádi. Zdroj: pixabay.com
Lineárním operátorem rozumíme zobrazení, které zachovává součet funkcí a násobek konstantou, tj. platí \[L[y_1+y_2]=L[y_1]+L[y_2]\] a \[L[C y_1]=C L[y_1]\] pro libovolné reálné číslo \(C\) a libovolné funkce \(y_1\) a \(y_2\) z definičního oboru operátoru \(L\).
Věta (princip superpozice).
Každý lineární operátor zachovává lineární kombinaci funkcí, tj. platí \[L[C_1 y_1+C_2 y_2]=C_1 L[y_1]+C_2 L[y_2]\] vždy, když \(C_{1,2}\in\mathbb{R}\) a \(y_{1,2}\) jsou funkce z definičního oboru operátoru \(L\).
Plyne přímo rozepsáním \[ \begin{aligned}L[C_1 y_1+C_2 y_2]&= L[C_1 y_1]+L[C_2 y_2]\\ &= C_1 L[y_1]+C_2 L[y_2] \end{aligned} \]
Operátorovou rovnicí budeme rozumět rovnici \[L[y]=b(x),\] kde \(b(x)\) je funkce a \(L\) operátor. Například pro \(b(x)=0\) a \(L[y]=y'-y\) má rovnice tvar \[y'-y=0,\] tj. \[y'=y.\]
Věta (princip superpozice při řešení rovnic).
Jsou-li funkce \(y_1(x)\) a \(y_2(x)\) po řadě řešeními rovnic \[L[y]=b_1(x),\quad L[y]=b_2(x),\] Je funkce \[y(x)=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)\] řešením rovnice \[L[y]=C_1 b_1(x)+C_2 b_2(x).\]
Například pro \(L[y]=y''-y\) a \(b_1(x)=b_2(x)=0\) všechny tři výše uvedené rovnice splynou v \[y''-y=0.\] Protože \(y_1(x)=e^x\) je řešením této rovnice a \(y_2(x)=e^{-x}\) je také řešením této rovnice, je řešením této rovnice i každá funkce tvaru \[y(x)=C_1 e^x+C_2 e^{-x},\] kde \(C_{1,2}\in\mathbb{R}.\)
Definice (Lineární diferenciální rovnice prvního řádu).
Nechť funkce \(a\), \(b\) jsou spojité na intervalu \(I\). Rovnice \[ y'+a(x)y=b(x) \tag{LDE}\] se nazývá obyčejná lineární diferenciální rovnice prvního řádu (zkráceně píšeme LDE). Je-li navíc \(b(x)\equiv 0\) na \(I\), nazývá se rovnice homogenní, v opačném případě nehomogenní.
Věta (o řešitelnosti LDE prvního řádu).
Jsou-li funkce \(a\), \(b\) spojité na intervalu \(I\), \(x_0\in I\) a \(y_0\in\mathbb{R}\) libovolné, má každá počáteční úloha právě jedno řešení definované na celém intervalu \(I\).
Definice (asoociovaná homogenní rovnice).
Buď dána lineární diferenciální rovnice. Homogenní rovnice, která vznikne z rovnice nahrazením pravé strany nulovou funkcí, tj. rovnice \[ y'+a(x)y=0\] se nazývá homogenní rovnice, asociovaná s nehomogenní rovnicí (LDE)
Homogenní LDE má vždy (bez ohledu na konkrétní tvar funkce \(a(x)\)) konstantní řešení \(y=0\), jak lze ověřit přímým dosazením. Toto řešení se nazývá triviální řešení.
Uvažujme homogenní LDE \[y'+a(x)y=0. \tag{HLDE}\]
Závěr: Obecné řešení rovnice (HLDE) je \[y(x)=C e^{-\int a(x)\mathrm{d}x}.\]
Je-li \(y_p\) řešením nehomogenní LDE \[y'+a(x)y=b(x),\] je obecným řešením této rovnice \[y(x)=Cy_{p0}(x)+y_p(x),\] kde \(Cy_{p0}(x)\) je obecným řešením asociované homogenní LDE.
Závěr: Stačí mít jedno řešení nehomogenní rovnice a jedno nenulové řešení asociované homogenní rovnice. Protože množina všech řešení má pevnou strukturu, dokážeme z těchto informací napsat libovolné řešení.
Slovně:
Všechna řešení homogenní lineární rovnice jsou násobky jednoho libovolného nenulového řešení této rovnice.
Součet jednoho libovolného řešení zadané nehomogenní a obecného řešení asociované homogenní lineární rovnice je obecným řešením dané nehomogenní rovnice.
Stačí tedy najít dvě (do jisté míry speciální) řešení a z nich snadno sestavíme obecné řešení zadané rovnice.
Příklad: Rovnice \[y'+y=3 \tag{*}\] má partikulární řešení \(y=3\) (vidíme hned po dosazení). Asociovaná homogenní rovnice \[y'+y=0\] má obecné řešení \(y=Ce^{-x}\). Obecné řešení rovnice (*) tedy je \[y=3+Ce^{-x}.\]
Zůstává otázka, jak najít partikulární řešení nehomogenní rovnice.
Protože platí \[\left(y e^{\int a(x)\mathrm{d}x}\right)'=y'e^{\int a(x)\mathrm{d}x}+y a(x) e^{\int a(x)\mathrm{d}x},\] je možno rovinci \[y'+a(x)y=b(x)\] přepsat do tvaru \[y'e^{\int a(x)\mathrm{d}x}+a(x)ye^{\int a(x)\mathrm{d}x}=b(x)e^{\int a(x)\mathrm{d}x}\] a odsud \[\left (y e^{\int a(x)\mathrm{d}x}\right)'=b(x)e^{\int a(x)\mathrm{d}x}.\] Integrací dostáváme \[y e^{\int a(x)\mathrm{d}x}=\int b(x)e^{\int a(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C\] a explicitní tvar řešení je \[y =Ce^{-\int a(x)\mathrm{d}x}+e^{-\int a(x)\mathrm{d}x}\int b(x)e^{\int a(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x\]
Pozn: Partikulární řešení nehomogenní rovnice je \[y_p(x)=e^{-\int a(x)\mathrm{d}x}\int b(x)e^{\int a(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x.\]
Definice (Lineární diferenciální rovnice druhého řádu).
Buďte \(p\), \(q\) a \(f\) funkce definované a spojité na intervalu \(I\). Diferenciální rovnice \[ y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) \tag{LDE}\label{LDE}\] se nazývá lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Řešením rovnice (nebo též integrálem rovnice) na intervalu \(I\) rozumíme funkci, která má spojité derivace do řádu \(2\) na intervalu \(I\) a po dosazení identicky splňuje rovnost (LDE) na \(I\). Úloha nalézt řešení rovnice, které splňuje v bodě \(x_0\in I\) počáteční podmínky \[\tag{IC} \begin{cases} y(x_0)=y_0,\\y'(x_0)=y'_0, \end{cases}\] kde \(y_0\) a \(y'_0\) jsou reálná čísla, se nazývá počáteční úloha (Cauchyova úloha). Řešení počáteční úlohy se nazývá partikulární řešení rovnice.
Zkratky: LDE - lineární diferenciální rovnice, IC - počáteční podmínka, IVP - počáteční úloha
Těleso na pružině je nejjednodušší model pro rovnice druhého řádu. Přesto není vhodné tento model podceňovat, dokáže být velmi užitečný i u jiných úloh, které se týkají oscilací. Chemické oscilace, považované za základ tzv. buněčných hodin i jiných vnitřních cyklů biologických organismů, jsou ale založeny na jiném popisu. (Viz Brusselator.) Zdroj: pixabay.com
Kmity tělesa o hmotnosti \(m\) pružně připevněného k nehybné podložce spojem tuhosti \(k\) jsou popsány diferenciální rovnicí \({\ddot x+\frac km x=0}.\) Zde navíc používáme fyzikální úzus označovat derivace podle času pomocí tečky a ne čárky. Symbol \(\ddot x\) tedy značí druhou derivaci funkce \(x\), kde \(x\) bereme jako funkci času.
Jednoduchým mechanickým modelem je těleso na pružině. Zde je deformace úměrná působící síle. Analogické situace vedoucí na stejnou rovnici však dostáváme i obecněji. Pokud pro jednoduchost předpokládáme, že těleso s jedním stupněm volnosti se nachází ve stabilním stavu s minimem potenciální energie a energie závisí na poloze \(x\), můžeme v okolí minima \(x_0\) potenciální energii aproximovat Taylorovým rozvojem druhého řádu \[E(x)\approx E(x_0)+E'(x_0)x+\frac 12E''(x_0)x^2.\] Vzhledem k tomu, že v \(x_0\) je minimum, platí \(E'(x_0)=0\). Síla je poté dána vztahem \[F(x)=-\frac{\partial}{\partial x}E(x)=-E''(0)x.\] Síla \(F\) je tedy úměrná výchylce \(x\) a vrací těleso do rovnovážné polohy. Situace tedy perfektně koresponduje s kmitáním na pružině i když potenciální energie uvažovaná v tomto odstavci může být jiného charakteru.
\[y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) \tag{LDE}\]
Věta (o existenci a jednoznačnosti řešení LDE druhého řádu).
Každá počáteční úloha pro LDE druhého řádu má řešení, které je určeno jednoznačně a toto řešení je definované na celém intervalu \(I\).
Definice (speciální typy LDE druhého řádu).
Platí-li v rovnici (LDE) \(f(x)=0\) pro všechna \(x\in I\), nazývá se rovnice (LDE) homogenní, v opačném případě nehomogenní.
Jsou-li koeficienty \(p(x)\) a \(q(x)\) na intervalu \(I\) konstantní funkce, nazývá se (LDE) rovnice s konstantními koeficienty.
Definice (triviální řešení).
Funkce \(y(x)\equiv 0\) je řešením homogenní LDE druhého řádu vždy, bez ohledu na tvar koeficientů \(p\), \(q\). Toto řešení nazýváme triviální řešení rovnice LDE.
Definice (asociovaná homogenní rovnice).
Nahradíme-li v nehomogenní LDE pravou stranu (tj. funkci \(f\)) nulovou funkcí obdržíme rovnici \[ y''+p(x)y'+q(x)y=0.\] Tato rovnice se nazývá asociovaná homogenní rovnice k rovnici (LDE).
Definice (obecné řešení).
Všechna řešení LDE druhého řádu lze vyjádřit ve tvaru obsahujícím dvě nezávislé konstanty \(C_1\), \(C_2\in\mathbb{R}\). Takovýto předpis se nazývá obecné řešení rovnice (LDE).
Nechť \(L\) je lineární diferenciální operátor druhého řádu. Jako speciální případ vztahu \[L[C_1y_1+C_2y_2]=C_1L[y_1]+C_2L[y_2]\] dostáváme následující.
Vztah \[L[C_1y_1+C_2y_2]=C_1L[y_1]+C_2L[y_2]\] poslouží (podobně jako u lineárních rovnic prvního řádu), abychom popsali strukturu množiny všech řešení rovnice a dokázali tuto množinu vytvořit jenom na základě znalosti několika prvků.
Rovnice \[y''+y=x\tag{A}\] má partikulární řešení \(y=x\).
Asociovaná homogenní rovnice je \[y''+y=0.\tag{B}\] Tato rovnice má řešení například \(y=\sin x\), \(y=\cos x\). Z linearity plyne
Funkce \(y=C_1 \sin x+C_2 \cos x\) je řešením rovnice (B) pro libovolná reálná \(C_1\), \(C_2\). Protože platí \(y(0)=C_2\) a \(y'(0)=C_1\), je možné splnit libovolnou podmínku \(y(0)=\alpha\), \(y'(0)=\beta\) volbou \(C_2=\alpha\) a \(C_1=\beta\). Jedná se tedy o obecné řešení.
Funkce \(y=C_1 \sin x+C_2\cos x +x\) je obecným řešením rovnice (A).
Budeme studovat homogenní LDE druhého řádu, tj. rovnici \[y''+p(x)y'+q(x)y=0,\] kterou můžeme zkráceně zapsat jako \(L[y]=0\), kde operátor \(L\) je lineární diferenciální operátor druhého řádu.
Motivace. Budeme předpokládat že funkce \(y_1(x)\) a \(y_2(x)\) jsou obě řešeními a budeme hledat podmínky, za kterých je funkce
\[y(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)\]
obecným řešením. Derivováním tohoto vztahu získáváme
\[y'(x)=C_1y'_1(x)+C_2y'_2(x)\]
a dosazení počátečních podmínek \(y(\alpha)=\beta\), \(y'(\alpha)=\gamma\) vede k následující soustavě lineárních rovnic s neznámými \(C_1\), \(C_2\)
\[ \begin{aligned} \beta&{}=C_1y_1(\alpha)+C_2y_2(\alpha),\\ \gamma&{}=C_1y'_1(\alpha)+C_2y'_2(\alpha). \end{aligned}\]
Jak je známo z lineární algebry, tato soustava má právě jedno řešení pro libovolnou volbu čísel \(\beta\), \(\gamma\) právě tehdy, když matice soustavy, tj. matice \(\begin{pmatrix} y_1(\alpha)&y_2(\alpha)\\ y_1'(\alpha)&y_2'(\alpha) \end{pmatrix},\) je regulární. Tato matice je regulární právě tehdy, když její determinant je nenulový a to nastane právě tehdy když jeden sloupec není násobkem druhého.
\[y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) \tag{LDE0}\]
Definice (lineární (ne-)závislost funkcí).
Buďte \(y_1\) a \(y_2\) funkce definované na intervalu \(I\). Řekneme, že funkce \(y_1\) a \(y_2\) jsou na intervalu \(I\) lineárně závislé, jestliže jedna z nich je na intervalu \(I\) násobkem druhé, tj. jestliže existuje reálné číslo \(k\in\mathbb{R}\) s vlastností \[y_1(x)=ky_2(x) \qquad\text{pro všechna $x\in I$},\] nebo \[y_2(x)=ky_1(x) \qquad\text{pro všechna $x\in I$}.\] V opačném případě říkáme, že funkce \(y_1\), \(y_2\) jsou na intervalu \(I\) lineárně nezávislé.
Definice (Wronskián).
Buďte \(y_1(x)\) a \(y_2(x)\) dvě libovolná řešení homogenní rovnice (LDE0). Wronskiánem funkcí \(y_1(x)\), \(y_2(x)\) rozumíme determinant \[ W[y_1, y_2](x)= \begin{vmatrix} y_1(x)&y_2(x)\\y_1'(x)&y_2'(x) \end{vmatrix}. \]
Věta (o lineární (ne)závislostí řešení).
Buďte \(y_1(x)\) a \(y_2(x)\) dvě řešení rovnice (LDE0) na intervalu \(I\). Tato řešení jsou lineárně nezávislá právě tehdy když je jejich Wronskián různý od nuly na intervalu \(I\).
\[y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) \tag{LDE0}\]
Věta (obecné řešení homogenní LDE).
Jsou-li \(y_1\) a \(y_2\) dvě netriviální lineárně nezávislá řešení rovnice (LDE0) na intervalu \(I\), pak funkce \(y\) definovaná vztahem \[ y(x, C_1, C_2)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x),\] kde \(C_{1,2}\in\mathbb{R}\), je obecným řešením rovnice (LDE0) na intervalu \(I\).
Definice (fundamentální systém řešení).
Dvojici funkcí \(y_1\) a \(y_2\) z předchozí věty nazýváme fundamentální systém řešení rovnice (LDE0).
Budeme studovat rovnici tvaru \[y''+py'+qy=0,\] kde \(p,q\in \mathbb{R}\). Všimněme si nejprve následujícího faktu: Dosadíme-li do levé strany rovnice \(y=e^{zx}\), kde \(z\) je reálné číslo, po výpočtu derivací a po vytknutí faktoru \(e^{zx}\) získáváme \[y''+py'+qy=e^{zx}(z^2+pz+q).\] Protože exponenciální faktor na pravé straně je vždy nenulový, bude výraz na pravé straně roven nule pokud bude splněna podmínka \[z^2+pz+q=0.\] Pouze v tomto případě bude uvažovaná funkce řešením rovnice (1).
Definice (charakteristická rovnice).
Kvadratická rovnice \[z^2+pz+q=0\] s neznámou \(z\) se nazývá charakteristická rovnice pro rovnici \[y''+py'+qy=0.\]
Věta (o obecném řešení LDE s konstantními koeficienty).
Uvažujme LDE \[y''+py'+qy=0,\tag{1}\] a její charakteristickou rovnici \[z^2+pz+q=0.\]
Jsou-li \(z_1,z_2\in\mathbb{R}\) dva různé reálné kořeny charakteristické rovnice, definujme \[{y_1=e^{z_1 x}}, \qquad{y_2=e^{z_2 x}}.\]
Je-li \(z_1\in\mathbb{R}\) dvojnásobným kořenem charakteristické rovnice, definujme \[{y_1=e^{z_1 x}}, \qquad{y_2=xe^{z_1 x}}.\]
Jsou-li \(z_{1,2}=\alpha\pm i\beta\not\in\mathbb{R}\) dva komplexně sdružené kořeny charakteristické rovnice, definujme \[{y_1(x)=e^{\alpha x}\cos(\beta x)}, \qquad {y_2(x)=e^{\alpha x}\sin(\beta x)}.\]
Potom obecné řešení rovnice (1) je \[y(x,C_1,C_2)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x),\qquad C_1\in\mathbb{R},\ C_2\in\mathbb{R}.\]
Věta (o obecném řešní nehomogenní LDE).
Součet libovolného partikulárního řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice a obecného řešení asociované homogenní rovnice je obecným řešením původní nehomogenní rovnice
Následující věta udává jednu z metod nalezení partikulárního řešení, pokud je diferenciální rovnice do jisté míry speciální: má konstantní koeficienty a polynomiální pravou stranu.
Věta (metoda neurčitých koeficientů).
Uvažujme lineární diferenciální rovnici druhého řádu \[y''+py'+qy=P_n(x),\] kde \(p\in\mathbb{R}\) je konstanta, \(q\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\) je nenulová konstanta a \(P_n(x)\) je polynom stupně \(n\). Existuje polynom stupně \(n\), který je partikulárním řešením této diferenciální rovnice.
V praxi polynom který má být řešením napíšeme s neurčitými koeficienty a dosazením do rovnice určíme potřebné hodnoty těchto koeficientů.
Někdy je nutné řešit diferenciální rovnice druhého řádu s jinými než počátečními podmínkami. Ukážeme si na jednoduchém příkladě odlišnost od počáteční úlohy. Následující úloha má velké uplatnění při studiu kmitavých pohybů.
Pro parametr \(\lambda\in\mathbb{R}\) najděte řešení rovnice \[y''+\lambda y=0 \tag{*}\] splňující podmínky \[y(0)=0=y(1). \tag{**}\]
Definice (okrajová úloha).
Úloha najít řešení diferenciální rovnice (*), které splňuje podmínky (**) se nazývá (Dirichletova) okrajová úloha.
Odlišnost Dirichletovy úlohy od (Cauchyovy) počáteční úlohy je v tom, že nezadáváme funkční hodnotu a derivaci v jednom bodě, ale funkční hodnotu ve dvou různých bodech.
Jedno z řešení Dirichletovy úlohy je triviální řešení \(y(x)=0\). Ukazuje se, že netriviální řešení existuje jen pro některé hodnoty parametru \(\lambda\).
Definice (vlastní funkce, vlastní hodnota okrajové úlohy).
Hodnota \(\lambda\), pro kterou existuje netriviální řešení Dirichletovy okrajové úlohy se nazývá vlastní hodnota okrajové úlohy a příslušné řešení se nazývá vlastní funkce okrajové úlohy.
Kmitání jednorozměrných objektů je popsáno lineární diferenciální rovnicí druhého řádu. Zdroj: pixabay.com
Při kmitání struny délky \(l\) upevněné na koncích se ukazuje, že proces je možno modelovat okrajovou úlohou \[y''+\lambda^2 y=0,\quad y(0)=0=y(l),\] kde \(y\) je amplituda kmitů v místě \(x\) a \(\lambda\) souvisí s frekvencí. Rovnice má obecné řešení \[y(x)=C_1\sin( \lambda x)+C_2\cos( \lambda x)\] Z podmínky \(y(0)=0\) dostáváme \(C_2=0\) a z podmínky \(y(l)=0\) dostáváme \[y(x)=C_1\sin(\lambda x)\] pokud \[\lambda l=k\pi \tag{***}\] a \(y=0\) jinak. Při podrobnějším popisu se ukazuje, že \(\lambda\) souvisí s hmotností struny, napětím ve struně a frekvencí, kterou slyšíme. Podmínka (***) určuje spektrum slyšitelných frekvencí, na kterých může struna kmitat, výsledný pohyb (a zvuk) je díky linearitě složením jednotlivých variant. Toho se dá s výhodou vyžívat a stejnou strunu je možné rozeznívat více způsoby a dosahovat různý výsledný zvuk.
Nosníky, ať už samostatné vzpěry, nebo součásti příhradových konstrukcí, je nutné posuzovat i z hlediska axiálního namáhání. Ignorování tohoto způsobu namáhání vedlo v 19. století k pádu několika příhradových železničních mostů a následnému stržení řady chybně dimenzovaných mostů. Zdroj: pixabay.com
Předpokládejme, že máme nosník namáhaný na vzpěr. (U příhradových konstrukcí může být dokonce kombinované namáhání, částečně na vzpěr, tj. v ose a částečně kolmo na osu.) Osu \(x\) zvolíme podélně v ose vzpěry, osu \(y\) kolmo. Při namáhání takového nosníku, který je pevně uchycen na dolním a horním konci, je výchylka dána okrajovou úlohou (A. Požgaj a kol., Štruktúra a vlastnosti dreva, str. 359) \[\frac{\mathrm d^2 y}{\mathrm dx^2}+\alpha^2 y=0,\quad y(0)=y(l)=0,\] kde \(\alpha^2=\frac{F}{EI}\) je parametr závislý na působící síle, materálu a kvadratickém momentu průřezu nosníku. (Pro jiné způsoby uchycení se rovnice a okrajové podmínky mohou mírně lišit, rovnice může být například i nehomogenní, zásadní vlastnosti jsou však stejné.) Toto je stejná úloha jako u kmitání struny. Při síle, která se postupně zvětšuje, se nenulové řešení objeví v bodě, kde platí \[\alpha l=\pi,\] (odpovídá základní frekvenci struny) tj. \[\sqrt{\frac {F}{EI}}l=\pi\] a \[F=\frac{\pi^2 EI}{l^2}.\] Toto je pro daný nosník kritická síla a ta je pro daný materiál nepřímo úměrná druhé mocnině délky a přímo kvadratickému momentu \(I\).
Array mbira - hudební nástroj se smíšenou okrajovou úlohou
Při řešení Dirichletovy úlohy hledáme řešení diferenciální rovnice druhého řádu s předepsanými hodnotami ve dvou různých bodech \[y(a)=\alpha,\quad y(b)=\beta.\] Tento požadavek se uplatní při studiu kmitů struny nebo tyče s pevnými konci.
V praxi je možné si představit i jiné podmínky. Například v termodynamice se používají podmínky na hodnotu derivací ve dvou různých bodech \[y'(a)=\alpha, \quad y'(b)=\beta.\] Takové podmínky se nazývají Neumannovy podmínky a úloha najít řešení rovnice, které tyto podmínky splňuje se nazývá Neumannova okrajová úloha, též Neumannova úloha.
Existují i smíšené úlohy, například při kmitání tělesa s jedním upevněným a jedním volným koncem je přirozené formulovat smíšenou okrajovou podmínku \[y(a)=0,\quad y'(b)=0,\] kde \(a\) je upevněný konec a \(b\) volný konec.