Výška vln
Výška vln na otevřeném moři závisí na rychlosti větru (\(v\), měřeno v uzlech, 1 uzel = 1,852 kilometrů za hodinu) a na tom, jak dlouho vítr o této rychlosti vane (\(t\), měřeno v hodinách). Hodnoty funkce \(h=f(v,t)\) jsou shrnuty v tabulce.
- Jaká je interpretace funkce \(f(v,15)\) a jaká je interpretace funkce \(f(40,t)\)?
- Výška vln v závislosti na rychlosti větru za předpokladu konstantního větru po dobu 15 hodin. Výška vln v závislosti na délce trvání větru při konstantní rychlosti větru 40 uzlů.
- Jaká je interpretace parciálních derivací \(\frac{\partial h}{\partial v}\) a \(\frac{\partial h}{\partial t}\)?
- Rychlost s jakou se mění výška vln při změnách rychlosti větru. Změna výšky vln, pokud za jinak stejných podmínek (tj. po stejně dlouhou dobu) vane vítr o jeden uzel silnější.
- Rychlost s jakou se mění výška vln v čase při neměnném větru. Změna výšky vln, pokud za jinak stejných podmínek (tj. stejně silný vítr) vane vítr o hodinu déle.
- Odhadněte hodnoty parciálních derivací \(\frac{\partial h}{\partial v}\) a \(\frac{\partial h}{\partial t}\) v bodě \((v,t)=(40,15)\) a navrhněte praktickou interpretaci těchto hodnot. K odhadu použijte dopřednou diferenci.
- \(\frac{\partial h}{\partial v}(40,15)=\frac{36-25}{50-40}=1.1\) Pokud po dobu 15 hodin vane místo větru 40 uzlů vítr o uzel silnější, budou vlny vyšší o 1.1 metru.
- \(\frac{\partial h}{\partial t}(40,15)=\frac{28-25}{20-15}=0.6\) Pokud vítr o rychlosti 40 uzlů vane místo 15 hodin o hodinu déle, , budou vlny vyšší o 0.6 metru.
- Odhadněte hodnotu limity \(\lim_{t\to\infty}\frac{\partial h}{\partial t}\). Pokuste se o slovní interpretaci tohoto faktu.
- \(\lim_{t\to\infty}\frac{\partial h}{\partial t}=0\). Pokud vítr vane hodně dlouho, je výška vln již prakticky konstantní a nemění se (nulová derivace znamená nulovou rychlost změny).
- Najděte lineární aproximaci funkce \(f\) v okolí bodu \((40,15)\) a poté použijte tuto aproximaci k odhadu výšky vln při větru vanoucím rychlostí \(43\) uzlů po dobu \(17\) hodin.
- \(f(v,t)\approx 25 + 1.1 (v-40) + 0.6 (t-15)\), \(f(43,17)\approx 25 + 1.1 (43-40) + 0.6 (17-15)=29.5\),
Pšenice
Produkce pšenice \(W\) v daném roce závisí na průměrné teplotě \(T\) a objemu ročních srážek \(R\). Vědci odhadují, že průměrná teplota roste rychlostí \(0.15°\mathrm{C}/\mathrm{rok}\) a objem ročních srážek klesá rychlostí \(0.1\,\mathrm{cm/rok}\). Odhadují, že při stávající produkci platí \(\frac{\partial W}{\partial T}=-2\), \(\frac{\partial W}{\partial R}=8\).
- Vysvětlete význam znaménka u jednotlivých parciálních derivací.
- S rostoucí průměrnou teplotou klesá produkce pšenice. S rostoucím objemem ročních srážek roste produkce pšesnice.
- Odhadněte rychlost, s jakou se mění produkce pšenice, \(\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}\).
- Meziroční změna teploty a srážek je \(0.15°\mathrm{C}\) a \(0.1\,\mathrm{cm}\). Tomu odpovídá změna produkce \[\Delta W=W(T,R)-W(T_0,R_0)=\frac{\partial W}{\partial T}(T_0,R_0)(T-T_0)+\frac{\partial W}{\partial R}(T_0,R_0)(R-R_0)=
-2\cdot 0.15 + 8\cdot (-0.1)=-1.1
\] Produkce klesá rychlostí přibližně 1.1 za rok (v jednotkách, ve kterých se udává rychlost pšenice).
Teplota 1
Teplota \(T\) v konkrétním místě České republiky závisí na čase na na poloze. Modelujeme ji funkcí \(T=f(x,y,t)\), kde \(T\) je teplota ve \(°C\), \(x\) je zeměpisná délka, \(y\) je zeměpisná šířka a \(t\) čas měřený v hodinách od půlnoci z 31. prosince 2017 na 1. ledna 2018.
- Interpretujte praktický význam derivací \(\frac{\partial T}{\partial x}\), \(\frac{\partial T}{\partial y}\) a \(\frac{\partial T}{\partial t}\).
- Změna teploty v závislosti na zeměpisné délce, resp. šířce, resp. čase.
- O kolik se změní teplota, pokud se posuneme ve stejném čase o 1 stupeň východně.
- O kolik se změní teplota, pokud se posuneme ve stejném čase o 1 stupeň severně.
- O kolik se změní teplota na stejném místě za hodinu.
- Uvažujme místo u LDF v Brně (souřadnice jsou \(49.2106°\) severní šířky a \(16.618°\) východní délky) dne 1.1.2018 v čase \(9:00\). Jaké očekáváte znaménko u jednotlivých parciálních derivací a proč. Pokud u některé z parciálních derivací není možné odhadnout znaménko, vysvětlete, jakou další informaci byste potřebovali ke zodpovězení otázky.
- Parciální derivace podle času je pravděpodobně kladná, protože začne svítit sluníčko a bude tepleji. Derivace podle \(x\) a \(y\) se nedají posoudit, pokud nevíme, jaká je v danou dobu teplota v okolí.
Teplota 2
Kruhová deska je uprostřed zahřívána na vysokou teplotu a na okrajích ochlazována. Uprostřed i na koncích udržujeme konstantní teplotu. Díky tomu se teplota v jednotlivých bodech desky bude lišit. Nechť je teplota v bodě o souřadnicích \((x,y)\) dána vzorcem \(T(x,y)=\frac {60}{1+x^2+y^2}\), kde \(T\) je teplota ve \(°C\) a \(x\), \(y\) jsou souřadnice v metrech.
- Uvažujme derivace \(\frac{\partial T}{\partial x}(2,1)\) a \(\frac{\partial T}{\partial y}(2,1)\). Jaká je jejich fyzikální interpretace, jaké je jejich znaménko a která z nich bude numericky větší. Zdůvodněte fyzikálně.
- Obě derivace budou záporné, protože v daném místě teplota směrem vpravo klesá a směrem nahoru také klesá.
- Vektor sestavený z derivací je gradient a tento gradient je kolmý na vrstevnice. Vrstevnice jsou kružnice se středem v počátku, směr kolmý je směr, který prochází počátkem. Ten v bodě \((2,1)\) odpovídá směrnici \(\frac 12\), tj je menší než \(45°\). Vodorovná komponenta gradientu, tj. \(\frac{\partial T}{\partial x}(2,1)\), je větší než svislá, tj \(\frac{\partial T}{\partial y}(2,1)\).
- Potvrďte odhad z předchozího bodu výpočtem.
- \(\frac{\partial T}{\partial x}=60(-1)(1+x^2+y^2)^{_2}2x=-\frac {120x}{(1+x^2+y^2)^2}\)
- \(\frac{\partial T}{\partial y}=-\frac {120y}{(1+x^2+y^2)^2}\) (ze symetrie)
- V bodě \((2,1)\) jsou oba jmenovatele stejné a čitatel v parciální derivaci podle \(x\) je dvojnásobný, proto je parciální derivace podle \(x\) numericky větší (v tomto případě zápornější).
Poisellův zákon
Jeden z Poisellových zákonů tvrdí, že odpor při toku krve tepnou je \(R=C\frac{L}{r^4}\), kde \(L\) a \(r\) jsou délka a poloměr tepny a \(C\) je kladná konstanta určená viskozitou krve.
