Pocitová teplota

Uvažujme funkci \(W=f(T,v)\), kde \(W\) je pocitová teplota (ve stupních Celsia), \(T\) je teplota (ve stupních Celsia) a \(v\) je rychlost větru (v km/h). Funkce je dána následující tabulkou

• Najděte \(f(-20,40)\) a vysvětlete, co tato hodnota znamená.
  • Pocitová teplota při teplotě \(-20°\text{C}\) a rychlosti vzduchu \(40\,\text{km/hod}\).
• Intepretujte slovně otázku "Pro jakou hodnotu \(v\) platí \(f(-20,v)=-30?\)" a na tuto otázku odpovězte.
  • Jaká musí být rychlost větru, aby při teplotě \(-20°\text{C}\) byla pocitová teplota byla \(-30°\text{C}\)? Odpověď je \(20\,\text{km/hod}\).
• Intepretujte slovně otázku "Pro jakou hodnotu \(T\) platí \(f(T,20)=-49?\)" a na tuto otázku odpovězte.
  • Jaká musí být teplota, aby při větru o rychlosti \(20\,\text{km/hod}\) byla pocitová teplota byla \(-49°\text{C}\)? Odpověď se z tabulky nedá vyčíst, bude to méně než \(-25°\text{C}\).
• Interpretujte funkci \(W=f(-15,v)\) a určete její vlastnosti.
  • Závislost pocitové teploty na rychlosti větru při teplotě \(-15°\text{C}\). Jedná se o nerostoucí funkci.
• Interpretujte funkci \(W=f(T,40)\) a určete její vlastnosti.
  • Závislost pocitové teploty na teplotě při větru o rychlosti \(40\,\text{km/hod}\). Jedná se o rostoucí funkci.
• Vysvětlete interpretaci parciálních derivací \(\frac{\partial W}{\partial T}\) a \(\frac{\partial W}{\partial v}\). Jaká je jednotka těchto derivací a jaké odhadujete jejich znaménko? Odhadněte hodnoty parciálních derivací v bodě \((-15,30)\) a dejte těmto hodnotám fyzikální interpretaci.
  • Parciální derivace \(\frac{\partial W}{\partial T}\) udává, jak rychle se mění pocitová teplota se skutečnou teplotou. Tato derivace bude kladná, protože obě současně klesají nebo rostou. Přibližně je možné odhadnout \[\frac{\partial W}{\partial T}(-15,30)=\frac{-33-(-26)}{-20-(-15)}=1{,}4.\] Při teplotě \(-15°\text{C}\) a rychlosti větru \(30\,\text{km/hod}\) každé další snížení teploty o jeden stupeň sníží pocitovou teplotu přibližně o \(1{,}4°\text{C}\)
  • Parciální derivace \(\frac{\partial W}{\partial v}\) udává, jak rychle se mění pocitová teplota s rychlostí větru. Tato derivace bude záporná, protože s rostoucí rychlostí větru pocitová teplota klesá. Přibližně je možné odhadnout \[\frac{\partial W}{\partial v}(-15,30)=\frac{-27-(-26)}{40-30}=-0{,}1.\] Při teplotě \(-15°\text{C}\) a rychlosti větru \(30\,\text{km/hod}\) každé další zvýšení rychlosti větru o \(1\,\text{km/hod}\) sníží pocitovou teplotu přibližně o \(0{,}1°\text{C}\)
• Odhadněte hodnotu limity \(\lim_{v\to\infty}\frac{\partial W}{\partial v}\) a vysvětlete fyzikální podstatu této skutečnosti.
  • \(\lim_{v\to\infty}\frac{\partial W}{\partial v}=0\) a pro obrovské rychlosti větru další změna rychlosti větru již pocitovou teplotu nezmění.
• Najděte lineární aproximaci funkce \(W=f(T,v)\) v bodě \((-15,30)\) a odhadněte pocitovou teplotu v při teplotě \(-17°\text{C}\) a rychlosti větru \(33\,\text{km/hod}\)
  • \(W\approx -26+1{,}4 (T+15)-0{,}1(v-30)\)
  • \(W(-17,33)\approx -26-2{,}8-0{,}3\approx -29\)
• Empirický vzorec pro pocitovou teplotu je \[W = 13.12+0.6215 T-11.37 v^{0.16}+0.3965 T v^{0.16},\] kde \(T\) je teplota (ve stupních Celsia) a \(v\) je rychlost větru (v km/h). Teplota byla změřena \(-11°\text{C}\) s chybou \(\pm 1°\text{C}\) a rychlost \(26 \,\text{km/hod}\) s chybou \(2\,\text{km/hod}\). S využítím zákona šíření chyb určete, jaký vliv mají nepřesnosti v měření na nepřesnost vypočítané veličiny.
  • Sage
  • Pocitová teplota je \(-20°\text{C}\pm 2°\text{C}\)