Obsah

1. Formulace modelu

Pokusíme se sestrojit jednoduchý model procesů vzniku, šíření a odeznívání epidemií. Budeme se přitom zabývat tzv. modely bez vitální dynamiky, tj. budeme uvažovat, že celkový počet jedinců v  populace se nemění v čase. K tomu budeme uvažovat, že choroba má krátké inkubační období a doba mezi nákazou jedince a jeho onemocněním je zanedbatelná. V tomto případě je možno populaci rozdělit do tří skupin.

Skupina S:

(angl. susceptible) obsahuje tu část populace, které je náchylná k onemocnění. Tito jedinci netrpí chorobou, mohou však být infikováni při styku s nemocnými.

Skupina I:

(angl. infected) obsahuje část populace tvořenou infikovanými jedinci. Tito jedinci vykazují známky onemocnění a rozšiřují nemoc mezi členy skupiny S.

Skupina R:

(angl. removed) obsahuje tu část populace, která je tvořena jedinci, kteří byli dříve infikováni, ale nyní již nemohou šířit chorobu. Jsou zde obsaženi jedinci, kteří se uzdravili a zůstali trvale imunní, jedince, kteří byli trvale izolováni a dokonce, v případě smrtelné nemoci, jedinci, kteří uhynuli.

Veličiny S,I,R jsou obecně funkcemi času. V libovolném časovém okamžiku t platí

• Rychlost, s jakou nově infikovaní jedinci přecházejí ze skupiny S do skupiny I je úměrná počtu setkání infikovaných jedinců s jedinci, náchylnými k onemocnění. Tato rychlost je tedy úměrná součinu SI.
• Rychlost, s jakou jedinci ze skupiny I přecházejí do skupiny R je úměrná počtu infikovaných jedinců I.
• Jedinci, kteří se ocitli ve skupině R v této skupině trvale zůstávají.

Uvedené požadavky je možno matematicky vyjádřit soustavou diferenciálních rovnic (Kermack-McKendrik(1927))

(1)

(2)

(3)

(4)

s počátečními podmínkami S(0) = S₀ > 0, I(0) = I₀ > 0, R(0) = 0, S₀ + I₀ = N.

2. Model

3. Kvalitativní analýza

Protože veličina R se nevyskytuje v prvních dvou rovnicích systému, je možno uvažovat tyto první dvě rovnice samostatně. Budeme tedy studovat systém

(5)

(6)

Realistická jsou přitom pouze ta řešení, která splňují S + I < N.

Singulárními body soustavy jsou všechny body přímky I = 0. Soustava má jednu I-nulklinu

Funkce S(t) je klesající pro všechna t > 0. Funkce I(t) je klesající, pokud S(t) - < 0 a rostoucí, pokud platí opačná nerovnost. I tedy klesá s časem v bodech nalevo od nulkliny n_I a roste napravo od této nulkliny.

Pokud platí S₀ - < 0, je funkce I stále klesající a epidemie se tedy nerozšíří, počet infikovaných bude stále klesat. Tento jev, spočívající v tom, že při dostatečně nízkých hodnotách S₀ se epidemie nerozšíří, se nazývá prahový efekt.

Pokud platí S₀ - > 0, bude funkce I zpočátku rostoucí a epidemie se bude v populaci šířit. Toto šíření epidemie bude probíhat až dokud příslušná trajektorie neprotne nulklinu n_I, tj až do času t^*, ve kterém platí

(7)

V tomto okamžiku funkce I dosahuje maxima a od tohoto okamžiku bude funkce I klesající.

Funkce S(t) je klesající a nezáporná. Existuje tedy nezáporná konečná limita

(8)

Diferenciální rovnice trajektorií systému je

(9)

což je rovnice se separovanými proměnnými. Separací proměnných obdržíme

(10)

a po integraci

(11)

Protože S₀ + I₀ = N, plyne z této rovnice

(12)

Vzhledem k S + I = N - R dále platí

(13)

a

(14)

Maximum funkce I nastává v bodě, kde trajektorie protíná I nulklinu, tj. v bodě, kde platí S = . Dosazením obdržíme

(15)

Vzhledem k tomu, že singulární body jsou body přímky I = 0, epidemie skončí tak, že vymizí infikovaní jedinci, tj.

(16)

Počet jedinců, kteří se nakazili infekcí, je

(17)

Veličina R je tedy mírou rozsahu epidemie. Dosazením S = N -I -R a limitním přechodem t obdržíme

-