Pro potřeby následujících úvahu modelujme planetu Zemi pomocí koule o poloměru \(R=6371\,\mathrm{km}\) a hmotnosti \(M=5.972\times 10^{24}\,\mathrm{kg}\). Gravitační síla \(F\) působící na těleso o hmotnosti \(m\) ve vzdálenosti \(h\) od povrchu je dána Newtonotvým gravitačním zákonem \[F=\kappa \frac{Mm}{(R+h)^2}, \tag{1}\] kde \(\kappa = 6.67408\times 10^{-11} \,\mathrm{m}^3\mathrm{kg}^{-1}\mathrm{s}^{-2}\) je gravitační konstanta.
Uvažujme funkci \(F\) jako funkci dvou proměnných, \(m\) a \(h\), tj. \(F=F(m,h)\). Parciální derivace \(\frac{\partial F}{\partial m}\) je veličina, která v jednotkách newton na kilogram (\(\mathrm{N}\mathrm{kg}^{-1}\)) udává, jak rychle roste gravitační síla při nárůstu hmotnosti tělesa. Protože \(F\) je úměrná hmotnosti \(m\), je tato derivace konstantní a relativně málo zajímavá z matematického hlediska. Parciální derivace \(\frac{\partial F}{\partial h}\) je veličina, která v jednotkách newton na metr (\(\mathrm{N}\mathrm{m}^{-1}\)) udává, jak rychle roste gravitační síla při pohybu tělesa směrem od Země. Rychlý výpočet založený na derivaci mocninné funkce ukazuje, že platí \[\frac{\partial F}{\partial h}=-2\kappa \frac{Mm}{(R+h)^3}\] a s rostoucí výškou \(h\) gravitační síla klesá. Například pro těleso o jednotkové hmotnosti v nulové výšce nad Zemí platí \[ F(1,0)=\kappa \frac{M}{R^2}=9.82\,\mathrm{N}\] a \[\frac{\partial F}{\partial h}(1,0)=-2\kappa \frac{M}{R^3}\approx -3.08\times 10^{-6}\,\mathrm{N}\mathrm{m}^{-1}.\] První hodnota je blízká běžně používanému tíhovému zrychlení v našich zeměpisných šířkách, druhá hodnota říká, že změna gravitační síly s nadmořskou výškou je minimální. S každým kilometrem nadmořské výšky se gravitační síla cca \(10\,\mathrm{N}\), působící na kilogramové závaží, zmenší o cca \(0.003\,\mathrm{N}\).
Britský biolog R. McNeill Alexander odvodil pomocí biomechanických úvah a extrapolací pohybu současných zvířat na dinosaury rovnici rychlosti dinosaurů. Podle Alexandra je možno rychlost \(v\), se kterou se pohybuje dinosaurus s výškou kyčle \(h\) nad zemí a délkou kroku \(l\), vypočítat ze vztahu \[ v=0{.}25 g^{0{.}5} l^{1{.}67} h^{-1{.}17}, \] kde \(g\) je tíhové zrychlení.
Pokusíme se určit fyzikální interpretaci parciálních derivací \(\frac{\partial v}{\partial l}\) a \(\frac{\partial v}{\partial h}\). Pomocí vzorce pro derivaci mocninné funkce získáváme \[\frac{\partial v}{\partial l} = 0.4175 g^{0{.}5} l^{0{.}67} h^{-1{.}17}.\] Jednotkou je jednotka rychlosti dělená jednotkou délky, tj. zpravidla \(\text{s}^{-1}\). Tato veličina udává, jak se projeví prodloužení kroku na rychlosti. Například pro megalosaura je možné použít hodnoty \(l=1.3\,\text{m}\) a \(h=1.1\,\text{m}\), což dává rychlost \(v=1.08\,\text{m}\text{s}^{-1}\) a parciální derivaci \(\frac{\partial v}{\partial l}=1.39\,\text{s}^{-1}.\) Derivace je kladná a prodloužení kroku tedy vede k vyšší rychlosti. Každý centimetr přidaný na délce kroku má za následek zvýšení rychlosti o cca \(1.39\,\text{cm}\,\text{s}^{-1}.\) Podobnou interpretaci pro druhou parciální derivaci (podle \(h\)) necháváme četnáři.
Probíhá-li přenos tepla v hmotném prostředí, jehož objemové elementy zůstávají v klidu, je přenos tepla charakterizován vedením. Hustota tepelného toku \(\vec q\) vyvolaného teplotním polem \(T\) je v takovém případě dána vztahem \[\vec q=-\lambda \nabla T \tag{2},\] který se nazývá Fickův zákon. Veličina \(\lambda\) je koeficient tepelné vodivosti. V homogenním prostředí se jedná o skalární materiálovou charakteristiku, obecně však může mít tenzorový charakter (tj. může jít o matici typu \(3\times 3\)).
Ve dřevě výrazně dominují tři významné směry, které v určitém smyslu dominují směrům, ve kterých má dřevo odlišné vlasnosti. Jsou to podélný, tangenciální a radiální směr. Pokud volíme souřadnicové osy v souhlasu s geometrickými vlastnostmi dřeva, je matice \(\lambda\) diagonální, tj. má tvar například \[\lambda=\begin{pmatrix}\lambda_L & 0 & 0 \\ 0& \lambda_T & 0\\ 0&0&\lambda_R\end{pmatrix},\] kde \(\lambda_L\), \(\lambda_T\) a \(\lambda_R\) jsou koeficienty tepelné vodivosti v jednotlivých směrech.
Nejjednodušší tvar má jednorozměrná rovnice vedení tepla v homogenním prostředí, v tomto případě máme \[\frac{\partial T}{\partial t}=\mu \frac{\partial^2 T}{\partial x^2},\] kde \(\mu\) je materiálová konstanta
Máme-li jednoduchý nosník obdélníkového průřezu o výšce \(h\) a šířce \(b\), umístěný na dvou podpěrách ve vzdálenosti \(l_0\) na který působí síla \(F\) v jeho středu, vycházíme při výpočtu maximálního napětí v povrchových vrstvách z Navierova vzorce \[\sigma_{max}=\frac{3Fl_0}{2bh^2}.\tag{*}\] Tento vztah předpokládá lineární průběh napětí až po mez pevnosti, je tedy určitým zjednodušením. Kdyby se vycházelo ze skutečného průběhu napětí během ohybu ve dřevě, byl by výpočet značně kompikovaný a pro praktické účely nepoužitelný.