▶ ▶ ▶ Slidy

Lineární operátor

Operátorem rozumíme zobrazení, které má na vstupu i na výstupu funkci. Například pro funkce jedné proměnné mohou být operátory derivace, druhá derivace, vynásobení funkce funkcí \(\ln x\) anebo vnoření zadané funkce do funkce \(\ln x\). Tj. pro \(y=y(x)\) můžeme uvažovat operátory \(F_1[y]=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\), \(F_2[y]=\frac{d^2y}{dx^2}\), \(F_3[y](x)=y(x)\ln(x)\), \(F_4[y](x)=\ln(y(x)).\)

Lineární zobrazení zachovávají některé vlastnosti. V geometrii například rovnoběžnost, v matematické analýze zachovávají lineární zobrazení lineární kombinaci. Rovnice s lineárním operátorem jsou díky tomu velmi předvídatelné. Proto je (lineární operátory i rovnice) v matematice máme tak rádi. Zdroj: pixabay.com
Lineární zobrazení zachovávají některé vlastnosti. V geometrii například rovnoběžnost, v matematické analýze zachovávají lineární zobrazení lineární kombinaci. Rovnice s lineárním operátorem jsou díky tomu velmi předvídatelné. Proto je (lineární operátory i rovnice) v matematice máme tak rádi. Zdroj: pixabay.com

Lineárním operátorem rozumíme zobrazení, které zachovává součet funkcí a násobek konstantou, tj. platí \[L[y_1+y_2]=L[y_1]+L[y_2]\] a \[L[C y_1]=C L[y_1]\] pro libovolné reálné číslo \(C\) a libovolné funkce \(y_1\) a \(y_2\) z definičního oboru operátoru \(L\).

Příklady lineárních operátorů

Linearitu se naučíme využívat k tomu, abychom úlohu najít řešení rovnice rozkouskovali na řešení jednodušších úloh. Například je možné zkombinovat úlohu na stacionární proudění podzemní vody a úlohu na radiální proudění ke studni. Každou z těchto úloh umíme redukovat na separovatelnou diferenciální rovnici a vyřešit. Zkombinováním těchto úloh je možné modelovat chování studny v rovinném toku. Používá se například k zachycení kontaminace spodní vody.

Rovinný tok podzemní vody se studnou. Podle šipek je možno určit oblast zachytáváni. Řeší se samostatně rovinný tok (kartézské souřadnice) a tok ke studni (polární souřadnice) a obě úlohy se zkombinují pomocí linearity.
Rovinný tok podzemní vody se studnou. Podle šipek je možno určit oblast zachytáváni. Řeší se samostatně rovinný tok (kartézské souřadnice) a tok ke studni (polární souřadnice) a obě úlohy se zkombinují pomocí linearity.

Princip superpozice

Věta (princip superpozice).

Každý lineární operátor zachovává lineární kombinaci funkcí, tj. platí \[L[C_1 y_1+C_2 y_2]=C_1 L[y_1]+C_2 L[y_2]\] vždy, když \(C_{1,2}\in\mathbb{R}\) a \(y_{1,2}\) jsou funkce z definičního oboru operátoru \(L\).

Plyne přímo rozepsáním \[ \begin{aligned}L[C_1 y_1+C_2 y_2]&= L[C_1 y_1]+L[C_2 y_2]\\ &= C_1 L[y_1]+C_2 L[y_2] \end{aligned} \]

Operátorové rovnice s lineárním operátorem

Operátorovou rovnicí budeme rozumět rovnici \[L[y]=b(x),\] kde \(b(x)\) je funkce a \(L\) operátor. Například pro \(b(x)=0\) a \(L[y]=y'-y\) má rovnice tvar \[y'-y=0,\] tj. \[y'=y.\]

Operátorovými rovnicemi (na množině konstantních vektorových funkcí) jsou i soustavy lineárních rovnic \[AX=B.\] Pokud pracujeme s nekonstantními vektorovými funkcemi tak, že při derivaci derivujeme každou komponentu samostatně, je rovnice \[\frac{\mathrm dX}{\mathrm dt}-AX= B\] operátorová rovnice s lineárním operátorem. Tyto rovnice se v případě, kdy matice \(A\) a \(B\) nezávisí na čase, nazývají autonomní systémy a budeme se jim věnovat v příští přednášce.

Následující věta vlastně vyjadřuje totéž co princip superpozice z minulého slidu, pouze v jiných pojmech: v pojmech řešení rovnice s lineárním operátorem.

Věta (princip superpozice při řešení rovnic).

Jsou-li funkce \(y_1(x)\) a \(y_2(x)\) po řadě řešeními rovnic \[L[y]=b_1(x),\quad L[y]=b_2(x),\] Je funkce \[y(x)=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)\] řešením rovnice \[L[y]=C_1 b_1(x)+C_2 b_2(x).\]

Pro \(b_1(x)=b_2(x)=0\) všechny tři výše uvedené rovnice splynou a lineární kombinace dvou řešení homogenní lineární rovnice je také řešením. Toto je možné pochopitelně rozšířit na libovolný konečný počet funkcí.

Pro \(b_1(x)=0\) a \(C_2=1\) jsou obě nehomogenní rovnice stejné a pokud k řešení rovnie přičteme řešení asociované homogenní rovnice (se stejným operátorem na levé straně, ale nulou na pravé straně), dostaneme řešení stejné rovnice.

Z těchto jednoduchých tvrzení plyne několik zásadních pozorování.

Příklady využití linearity

Pro konkrétnost specifikujeme myšlenky z předchozího slidu na příkladech.

Lineární diferenciální rovnice prvního řádu

Definice (Lineární diferenciální rovnice prvního řádu).

Nechť funkce \(a\), \(b\) jsou spojité na intervalu \(I\). Rovnice \[ y'+a(x)y=b(x) \tag{LDE}\] se nazývá obyčejná lineární diferenciální rovnice prvního řádu (zkráceně píšeme LDE). Je-li navíc \(b(x)\equiv 0\) na \(I\), nazývá se rovnice homogenní, v opačném případě nehomogenní.

Věta (o řešitelnosti LDE prvního řádu).

Jsou-li funkce \(a\), \(b\) spojité na intervalu \(I\), \(x_0\in I\) a \(y_0\in\mathbb{R}\) libovolné, má každá počáteční úloha právě jedno řešení definované na celém intervalu \(I\).

Definice (asociovaná homogenní rovnice).

Buď dána lineární diferenciální rovnice. Homogenní rovnice, která vznikne z rovnice nahrazením pravé strany nulovou funkcí, tj. rovnice \[ y'+a(x)y=0\] se nazývá homogenní rovnice, asociovaná s nehomogenní rovnicí (LDE)

Homogenní LDE má vždy (bez ohledu na konkrétní tvar funkce \(a(x)\)) konstantní řešení \(y=0\), jak lze ověřit přímým dosazením. Toto řešení se nazývá triviální řešení.

Obecné řešení homogenní LDE

Uvažujme homogenní LDE \[y'+a(x)y=0. \tag{HLDE}\]

Závěr: Obecné řešení rovnice (HLDE) je \[y(x)=C e^{-\int a(x)\mathrm{d}x}.\]

Obecné řešení nehomogenní LDE pomocí partikulárního řešení

Je-li \(y_p\) řešením nehomogenní LDE \[y'+a(x)y=b(x),\] je obecným řešením této rovnice \[y(x)=Cy_{p0}(x)+y_p(x),\] kde \(Cy_{p0}(x)\) je obecným řešením asociované homogenní LDE.

Závěr: Stačí mít jedno řešení nehomogenní rovnice a jedno nenulové řešení asociované homogenní rovnice. Protože množina všech řešení má pevnou strukturu, dokážeme z těchto informací napsat libovolné řešení.

Obecné řešení nehomogenní LDE ještě jednou a prakticky

Slovně:

Stačí tedy najít dvě (do jisté míry speciální) řešení a z nich snadno sestavíme obecné řešení zadané rovnice.

Příklad. Rovnice \[y'+y=3 \tag{*}\] má partikulární řešení \(y=3\) (vidíme hned po dosazení). Asociovaná homogenní rovnice \[y'+y=0\] má obecné řešení \(y=Ce^{-x}\). Obecné řešení rovnice (*) tedy je \[y=3+Ce^{-x}.\]

Nehomogenní LDE – metoda integračního faktoru

Zůstává otázka, jak najít partikulární řešení nehomogenní rovnice.

Protože platí \[\left(y e^{\int a(x)\mathrm{d}x}\right)'=y'e^{\int a(x)\mathrm{d}x}+y a(x) e^{\int a(x)\mathrm{d}x},\] je možno rovinci \[y'+a(x)y=b(x)\] přepsat do tvaru \[y'e^{\int a(x)\mathrm{d}x}+a(x)ye^{\int a(x)\mathrm{d}x}=b(x)e^{\int a(x)\mathrm{d}x}\] a odsud \[\left (y e^{\int a(x)\mathrm{d}x}\right)'=b(x)e^{\int a(x)\mathrm{d}x}.\] Integrací dostáváme \[y e^{\int a(x)\mathrm{d}x}=\int b(x)e^{\int a(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C\] a explicitní tvar řešení je \[y =Ce^{-\int a(x)\mathrm{d}x}+e^{-\int a(x)\mathrm{d}x}\int b(x)e^{\int a(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x\]

Pozn: Partikulární řešení nehomogenní rovnice je \[y_p(x)=e^{-\int a(x)\mathrm{d}x}\int b(x)e^{\int a(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x.\]