▶ ▶ ▶ Slidy

Obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu

Obyčejná diferenciální rovnice je rovnice, kde vystupuje neznámá funkce a její derivace. Setkáváme se s ní například všude tam, kde rychlost růstu nebo poklesu veličiny souvisí s její velikostí. Například rychlost s jakou se mění teplota horkého tělesa je funkcí teploty samotné. Rychlost tepelné výměny mezi dvěma tělesy je totiž úměrná rozdílu jejich teplot (Newtonův zákon). Takto se přirozeně diferenciální rovnice objevují v modelech nejrůznějších dějů jevů. Podstatu děje, který modelujeme, musí dodat fyzika, biologie nebo jiná aplikovaná věda. To v matematice obsaženo není. Matematika poté poslouží k analýze, jaké jsou pozorovatelné důsledky a tím se ověří, jestli příslušná aplikovaná věda správně vystihuje podstatu modelovaného děje.

Definice (diferenciální rovnice).

Obyčejnou diferenciální rovnicí prvního řádu rozřešenou vzhledem k derivaci (stručněji též diferenciální rovnicí, DR) s neznámou \(y\) rozumíme rovnici tvaru \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi(x,y) \tag{1}\] kde \(\varphi\) je funkce dvou proměnných.

(anglicky ordinary differential equation, ODE)

Další formy zápisu rovnice (1) jsou \[y'=\varphi(x,y),\] \[{\mathrm{d}y}=\varphi(x,y)\mathrm{d}x,\] \[{\mathrm{d}y}-\varphi(x,y)\mathrm{d}x=0.\]

Příklad. Najděte všechny funkce splňující \(y'=2xy\). (Naučíme se řešit později.)

Diferenciální rovnice udává scénář vývoje systému. K jednoznačnému předpovězení budoucího stavu je ovšem nutno znát nejenom, jaký mechanismus ovlivňuje vývoj systému, ale také stav současný.

Definice (počáteční podmínka, Cauchyova úloha).

Nechť \(x_0\), \(y_0\) jsou reálná čísla. Úloha najít řešení rovnice
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi(x,y), \tag{1}\] které splňuje zadanou počáteční podmínku \[ y(x_0)=y_0 \tag{2}\] se nazývá počáteční (též Cauchyova) úloha.

Řešení Cauchyovy úlohy nazýváme též partikulárním řešením rovnice. Graf libovolného partikulárního řešení se nazývá integrální křivka.

(anglicky initial condition, IC, initial value problem, IVP)

Příklad. Najděte všechny funkce splňující \(y'=2xy\) a \(y(0)=3\). (Naučíme se řešit později.)

Věta (existence a jednoznačnost řešení Cauchyovy úlohy).

Má-li funkce \(\varphi (x,y)\) ohraničenou parciální derivaci \(\frac{\partial \varphi}{\partial y}\) v okolí počáteční podmínky, potom má počáteční úloha (1)-(2) právě jedno řešení definované v nějakém okolí počáteční podmínky.

Příklad. Rovnice \[y'=y\tag{3}\] má řešení \(y=e^x\), což nahlédneme snadno, protože exponenciální funkce se nemění derivováním. Dosazením je možné ukázat, že má dokonce řešení \[y=Ce^x,\tag{4}\] kde \(C\) je libovolné číslo.

Příklad. Řešení počáteční úlohy \[y'=y, \quad y(x_0)=y_0\] najdeme tak, že využijeme řešení (4) a zařídíme, aby byla splněna počáteční podmínka. Tj. řešením počáteční úlohy je \[y= (y_0 e^{-x_0}) e^x.\] Vidíme, že toto řešení existuje pro každou počáteční podmínku a proto vzorec (4) popisuje dokonce všechna řešení rovnice (3).

Obecné a partikulární řešení

Řešení diferenciální rovnice je nekonečně mnoho. Zpravidla je dokážeme zapsat pomocí jediného vzorce, který obsahuje nějakou (alespoň do jisté míry libovolnou) konstantu \(C\). Takový vzorec se nazývá obecné řešení rovnice. Pokud není zadána počáteční podmínka a mluvíme o partikulárním řešení, máme tím na mysli jednu libovolnou funkci splňující diferenciální rovnici.

Příklad: Obecným řešením diferenciální rovnice \[y'=2xy\] je \[y=Ce^{x^2}, \quad C\in\mathbb{R}.\] Žádná jiná řešení neexistují, všechna řešení se dají zapsat v tomto tvaru pro nějakou vhodnou konstantu \(C\). Partikulárním řešením je například \(y=5e^{x^2}\). Řešením počáteční úlohy \[y'=2xy, \quad y(0)=3\] je \[y=3e^{x^2}.\]

Online řešiče ODE (symbolicky):

Příklad - tepelná výměna

Tepelná výměna probíhá intenzivněji při velkém rozdílu teplot, https://pixabay.com
Tepelná výměna probíhá intenzivněji při velkém rozdílu teplot, https://pixabay.com

Příklad - datování pomocí uhlíku

Rovnice konstantního růstu nebo úbytku je základem datování pomocí uhlíku, https://www.flickr.com/photos/capturetheuncapturable, licence CC BY 2.0
Rovnice konstantního růstu nebo úbytku je základem datování pomocí uhlíku, https://www.flickr.com/photos/capturetheuncapturable, licence CC BY 2.0

Příklad - rovnice samočištění jezer

Jezero, ve kterém se přirozeně obměňuje znečištěná voda za čistou, se dokáže samo zotavit ze znečištění. Rychlost vyplavování nečistot je úměrná míře znečištění. https://pixabay.com
Jezero, ve kterém se přirozeně obměňuje znečištěná voda za čistou, se dokáže samo zotavit ze znečištění. Rychlost vyplavování nečistot je úměrná míře znečištění. https://pixabay.com

Příklad - akutní normovolemická hemodiluce

Při operaci ztrácí pacient krvinky rychlostí úměrnou koncentraci krvinek. Pokud je tato koncentrace malá, pacient ztratí krvinek málo. Zdroj: https://pixabay.com
Při operaci ztrácí pacient krvinky rychlostí úměrnou koncentraci krvinek. Pokud je tato koncentrace malá, pacient ztratí krvinek málo. Zdroj: https://pixabay.com

Příklad - RC obvod

RC obvod. Pro vysoké frekvence platí V_c\approx \frac{1}{RC}\int_0^t V_{in}\,\mathrm dt. Zdroj: Wikipedia
RC obvod. Pro vysoké frekvence platí \(V_c\approx \frac{1}{RC}\int_0^t V_{in}\,\mathrm dt.\) Zdroj: Wikipedia
Senzor pro sledování vlhkosti dřeva vyvinutý na ÚNOD LDF MENDELU a zabudovaný do dřevostavby. Zdroj: R. Slávik et. al., A Nondestructive Indirect Approach to Long-Term Wood Moisture Monitoring Based on Electrical Methods (2019)
Senzor pro sledování vlhkosti dřeva vyvinutý na ÚNOD LDF MENDELU a zabudovaný do dřevostavby. Zdroj: R. Slávik et. al., A Nondestructive Indirect Approach to Long-Term Wood Moisture Monitoring Based on Electrical Methods (2019)

Při nabíjení kondenzátoru o kapacitě \(C\) přes odpor o velikosti \(R\) roste napětí na kondenzátoru, tím se mění nabíjecí proud a proto se mění i rychlost nabíení. Pomocí zákonů elektrotechniky je možno ukázat, že nabíjecí proud \(i\) kondenzátoru se řídí diferenciální rovnicí \[R\frac{\mathrm di}{\mathrm dt}+\frac 1Ci=0.\] Napětí na kondenzátoru je možno odvodit buď z proudu, napětí na rezistoru a napětí zdroje, nebo z celkového proudu, který prošel kondenzátorem.

Rovnice je tedy stejná jako rovnice radioaktivního rozpadu a rovnice samočištění jezer. Vhodnou manipulací s parametry součástek je možno měnit koeficient u této rovnice a vhodným spojováním těchto obvodů dokážeme podobně simulovat i složitější rovnice. To je bylo základem analogových počítačů, které nepracovaly s čísly, ale s napětími. Tyto počítače sehrály svou roli v době, kdy číslicové počítače byly nedostupné, pomalé a nespolehlivé. Tím byla historická úloha analogových počítačů splněna a již se nepoužívají.

RC obvod jako takový má však důležité místo i dnes. Dokáže například filtrovat signály podle frekvence. Výpočet jeho charakteristiky (tj. vyřešení rovnice) a sledování napětí na kondenzátoru umožní měření elektrického odporu tam, kde není vhodné odpor určovat z proudu a napětí pomocí Ohmova zákona. Typickým příkladem je odpor dřeva a jeho vodivost, tj. převrácená hodnota odporu. Tato veličina se používá k rychlému stanovení vlhkosti dřeva, nebo je možno ji dlouhodobě sledovat pomocí senzorů zabudovaných do dřevostavby.

Ve skutečnosti žádná elektronická součástka nemá ideální vlastnosti a proto se v obvodu projevují i nežádoucí parazitní charakteristiky. Pokud by toto bylo limitující, je možné obvod nahradit podobně se chovajícím zapojením s operačním zesilovačem (odkazovaná stránka pracuje s rovnicí v integrálním tvaru).

Příklad - vývoj populace a její ekologický lov

Při intenzivním lovu může dojít ke zničení populace https://pixabay.com
Při intenzivním lovu může dojít ke zničení populace https://pixabay.com

Příklad - lovci meteoritů z ČSSR a ČR

Tři dosud nalezené meteority Benešov. foto: Pavel Spurný, převzato z https://dvojka.rozhlas.cz/
Tři dosud nalezené meteority Benešov. foto: Pavel Spurný, převzato z https://dvojka.rozhlas.cz/

Česká republika je na světové špičce ve oblasti propočítávání dráhy meteoritů ze světelné stopy zachycené sítí bolidových kamer. Vědcům z Astronomického ústavu se podařilo

Meteority s vystopovaným původem jsou extrémně vzácné (do roku 2000 jenom 5 meteoritů, do roku 2016 pouze 31 meteoritů) a tým založený Zdeňkem Ceplechou a nyní vedený Pavlem Spurným se podílel na výpočtu drah většiny z nich. Použité metody jsou popsány například v článku Ceplecha, Revelle: Fragmentation model of meteoroid motion, mass loss, and radiation in the atmosphere, Meteoritics & Planetary Science 40, Nr 1, 35–54 (2005). Například ztráta rychlosti třením v atmosféře je modelována rovnicí \[\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=-K\rho m^{-1/3}v^{2}\] a ztráta hmotnosti vypařováním \[\frac{\mathrm dm}{\mathrm dt}=-K\sigma \rho m^{2/3}v^3.\] Jedná se o diferenciální rovnice, kde zrychlení (derivace rychlosti) a časová změna hmotnosti (derivace hmotnosti podle času, rychlost, s jakou ubývá hmotnost) je úměrná vhodným mocninám těchto veličin.

Geometrická interpretace ODE

Směrové pole diferenciálni rovnice, integrální křivky, isokliny
Směrové pole diferenciálni rovnice, integrální křivky, isokliny

Protože derivace funkce v bodě udává směrnici tečny ke grafu funkce v tomto bodě, lze rovnici \[y'=\varphi(x,y)\tag{1}\] chápat jako předpis, který každému bodu v rovině přiřadí směrnici tečny k integrální křivce, která tímto bodem prochází. Sestrojíme-li v dostatečném počtu (například i náhodně zvolených) bodů \([x,y]\) v rovině vektory \((1,\varphi(x,y))\), obdržíme směrové pole diferenciální rovnice — systém lineárních elementů, které jsou tečné k integrálním křivkám.

Počáteční podmínka \(y(x_0)=y_0\) geometricky vyjadřuje skutečnost, že graf příslušného řešení prochází v rovině bodem \([x_0,y_0]\). Má-li tato počáteční úloha jediné řešení, neprochází bodem \([x_0,y_0]\) žádná další křivka. Má-li každá počáteční úloha jediné řešení (což bude pro nás velice častý případ), znamená to, že integrální křivky se nikde neprotínají.

Křivky s konstantní hodnotou \(\varphi(x,y)\) mají tu vlastnost, že je všechna řešení protínají pod stejným úhlem, měřeným od kladné části osy \(x\). Například v bodech kde platí \(\varphi(x,y)=0\) míří všechny integrální křivky vodorovně. Proto se křivky, kde je \(\varphi(x,y)\) konstantní, nazývají izokliny.

Numerické řešení IVP

Eulerova metoda s velmi dlouhým krokem (modrou barvou) zaostává za přesným řešením (šedou barvou). Pro lepší výsledek můžeme zmenšit krok nebo vylepšit metodu.
Eulerova metoda s velmi dlouhým krokem (modrou barvou) zaostává za přesným řešením (šedou barvou). Pro lepší výsledek můžeme zmenšit krok nebo vylepšit metodu.
Metoda Runge Kutta s velmi dlouhým krokem (modrou barvou, jde jasně vidět aproximace lomenou čarou). Přesné řešení je nakresleno šedou barvou.
Metoda Runge Kutta s velmi dlouhým krokem (modrou barvou, jde jasně vidět aproximace lomenou čarou). Přesné řešení je nakresleno šedou barvou.

Řešení počáteční úlohy lze numericky aproximovat poměrně snadno: začneme v bodě zadaném počáteční podmínkou a v okolí tohoto bodu nahradíme integrální křivku její tečnou. Tím se dostaneme do dalšího bodu, odkud opět integrální křivku aproximujeme tečnou. Směrnici tečny zjistíme z diferenciální rovnice, buď přímo z derivace (Eulerova metoda).

Vyjdeme-li z počáteční úlohy \[y'=\varphi(x,y), \quad y(x_0)=y_0,\] má lineární aproximace řešení v bodě \([x_0,y_0]\) tvar \[y=y_0+\varphi(x_0,y_0)(x-x_0).\] Funkční hodnotu v bodě \(x=x_1\) označíme \(y_1\) a tento bod bude dalším body lomené čáry, tj. \[y_1=y_0+\varphi(x_0,y_0)(x_1-x_0).\] Hodnota \(x_1-x_0\) je krok Eulerovy metody označovaný \(h\). Tento postup opkaujeme s počáteční podmínkou \(y(x_1)=y_1\). Iterační formule Eulerovy metody má potom následující tvar. \[\begin{aligned}x_{n+1}&=x_n+h, \\ y_{n+1}&=y_n+\varphi(x_n,y_n)h.\end{aligned}\]

Stačí tedy mít zvolen krok numerické metody (délku intervalu, na kterém aproximaci tečnou použijeme) a výstupem metody bude aproximace integrální křivky pomocí lomené čáry.

Vylepšení

Online řešiče ODE (numericky):

Transformace diferenciální rovnice

Letecký snímek údolí Vajont krátce po katastrofě. Video ukazuje, že při modelování procesu ve zmenšeném měřítku je nutné transformovat ostatní veličiny, například čas. Pro nás klíčová slova v čase 39:21 dokumentu jsou “v přepočtu pro simulaci se jedná o zhruba čtyři sekundy”. Čas ve zmenšeném modelu ubíhá jinou rychlostí než čas v reálném ději. Foto: Wikipedia.
Letecký snímek údolí Vajont krátce po katastrofě. Video ukazuje, že při modelování procesu ve zmenšeném měřítku je nutné transformovat ostatní veličiny, například čas. Pro nás klíčová slova v čase 39:21 dokumentu jsou “v přepočtu pro simulaci se jedná o zhruba čtyři sekundy”. Čas ve zmenšeném modelu ubíhá jinou rychlostí než čas v reálném ději. Foto: Wikipedia.

Naučíme se vyjadřovat diferenciální rovnici v jiných proměnných tak, aby bylo možné snížit počet parametrů v této rovnici. Pro jednoduchost budeme uvažovat jenom případ, kdy nová proměnný je lineární funkcí původní proměnné.

Uvažujme funkci \(y\) proměnné \(x\). Připomeneme si vzorce pro derivaci součtu, derivaci konstantního násobku a derivaci složené funkce, ale uvedeme si je v kontextu vhodném pro studium diferenciálních rovnic.

Výše uvedené výpočty je možno shrnout do pravidla v následující poznámce.

Poznámka (transformace diferenciální rovnice do jiných jednotek).

Pro \(Y=k_1(y-y_0)\) a \(X=k_2 x\) platí \[ \frac{\mathrm d Y}{\mathrm d X} = \frac{\mathrm d \Bigl(k_1(y-y_0)\Bigr)}{\mathrm d (k_2 x)} = \frac{k_1}{k_2} \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\] a podobně (všimněte si druhé mocniny u \(k_2\) díky druhé derivaci) \[ \frac{\mathrm d^2 Y}{\mathrm d X^2} = \frac{k_1}{k_2^2} \frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}.\] Výraz nalevo neobsahuje konstanty, které jsou ve výrazu napravo. Tyto konstanty jsou v definici nových veličin \(X\) a \(Y\).

Navíc vzorec z poznámky silně připomíná klasické počítání se zlomky. Proto máme Leibnizův tvar zápisu derivací \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\) při studiu diferenciálních rovnic více v oblibě, než zápis Lagrangeův, \(y'\).

Příklad. Diferenciální rovnice tepelné výměny \[\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt}=-k(T-T_\infty), \quad T(0)=T_0\tag{*}\] obsahuje tři parametry: teplotu okolního protředí \(T_\infty\), počáteční teplotu \(T_0\) a konstantu \(k\) související s fyzikálními vlastnostmi prostředí. Postupně můžeme posunout teplotní stupnici tak, aby teplota okolí byla nula a počáteční teplota jedna, tj. hodnotu \(T\) snížíme o \(T_\infty\) a upravíme dílek stupnice \((T_0-T_\infty)\)-krát \[\frac{\mathrm d\left(\frac{T-T_\infty}{T_0-T_\infty}\right)}{\mathrm dt}=-k\frac{T-T_\infty}{T_0-T_\infty}\] vydělit konstantou \(k\) \[\frac{\mathrm d\left(\frac{T-T_\infty}{T_0-T_\infty}\right)}{k\mathrm dt}=-\frac{T-T_\infty}{T_0-T_\infty}\] a přeškálovat pomocí konstanty \(k\) čas \[\frac{\mathrm d\left(\frac{T-T_\infty}{T_0-T_\infty}\right)}{\mathrm d(kt)}=-\frac{T-T_\infty}{T_0-T_\infty}.\] Po substituci \(y=\frac{T-T_\infty}{T_0-T_\infty}\), \(x=kt\) má úloha tvar \[\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}=-y,\quad y(0)=1. \tag{**}\] Nová rovnice (**) neobsahuje žádné parametry a proto je pro studium jednodušší. Přesto je v ní obsažena veškerá informace obsažená v rovnici (*). Tuto informaci je však nutno interpretovat v kontextu definice nových proměnných. Například to, že všechna řešení rovnice (**) konvergují k nule znamená, že všechna řešení rovnice (*) konvergují k \(T_0\). To, že řešení rovnice (**) klesne na poloviční hodnotu za čas \(\ln 2\) znamená, že vzdálenost řešení rovnice (*) od rovnovážného stavu se na polovinu zmenší za čas \(\frac 1k \ln 2\).

Poznámka (nondimenzinalizace, rozměrová analýza).

Proces eliminace parametrů z modelu popsaného diferenciální rovnicí se nazývá nondimenzionalizace nebo rozměrová analýza modelu, protože eliminaci parametrů je vhodné provádět tak, aby výsledné nové veličiny vycházely bez fyzikálních jednotek. K tomu se provádí rozbor jednotek jednotlivých veličin. V jednoduchých případech však stačí primitivní postup popsaný v odstavcích výše a ukázaný na příkladu. V tomto příkladě veličina \(x\) nemá fyzikální jednotku, protože je součinem konstanty \(k\) (s jednotkou \(\mathrm s^{-1}\)) a času \(t\) (s jednotkou \(\mathrm s\)). Je možné ji považovat za bezrozměrný čas. Veličina \(y\) také nemá fyzikální jednotku, protože je podílem dvou teplot a je možné ji považovat za bezrozměrnou teplotu.

V této úloze bylo zavedení nových veličin přirozené. I u méně zřejmých úloh zkušenosti ukazují, že je vhodné volit transformaci tak, aby vznikly veličiny bezrozměrné, které nemají fyzikální jednotku. Například v Horáček, Fyzikální a mechanické vlastnosti dřeva I je zavedena bezrozměrná vlhkost, bezrozměrný čas a bezrozměrná vzdálenost na straně 61 pro rovnici popisující difuzi a charakteristická délka, Biotovo číslo (bezrozměrná tepelná vodivost) a bezrozměrná teplota, bezrozměrný čas a bezrozměrná vzdálenost pro rovnici popisující vedení tepla na stranách 88 a 89.

ODE tvaru \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f(x)g(y)\) (rovnice se separovanými proměnnými)

Definice (ODE se separovanými proměnnými).

Diferenciální rovnice tvaru \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x)g(y) \tag{S}\] kde \(f\) a \(g\) jsou funkce spojité na (nějakých) otevřených intervalech se nazývá obyčejná diferenciální rovnice se separovanými proměnnými.

Příklad: Rovnice \[y'+xy +xy^2=0\] je rovnicí se separovanými proměnnými, protože je možno ji zapsat ve tvaru \[y'=-xy(y+1).\] Rovnice \[y'=x^2-y^2\] není rovnice se separovatelnými proměnnými.

Řešení ODE se separovanými proměnnými

  1. Má-li algebraická rovnice \(g(y)=0\) řešení \(k_1\), \(k_2\), …, \(k_n\), jsou konstantní funkce \(y\equiv k_1\), \(y\equiv k_2\), …, \(y\equiv k_n\) řešeními rovnice.

  2. Pracujme na intervalech, kde \(g(y)\neq 0\) a odseparujeme proměnné. \[ \frac{\mathrm{d}y}{g(y)}=f(x)\mathrm{d}x\]

  3. Získanou rovnost integrujeme. Tím získáme obecné řešení v implicitním tvaru. \[ \int \frac{\mathrm{d}y}{g(y)}=\int f(x)\mathrm{d}x+C\]

  4. Pokud je zadána počáteční podmínka, je možné ji na tomto místě dosadit do obecného řešení a určit hodnotu konstanty \(C\). Tuto hodnotu poté dosadíme zpět do obecného řešení a obdržíme řešení partikulární.

  5. Pokud je to možné, převedeme řešení (obecné nebo partikulární) do explicitního tvaru (vyjádříme odsud \(y\)).

Poslední krok (převod do explicitního tvaru) je volitelný, zpravidla záleží na tom, co dalšího hodláme s řešením dělat. Pro většinu výpočtů je však explicitní tvar vhodnější než tvar implicitní a proto se o něj vždy snažíme.

Poznámka (zápis partikulárního řešení pomocí určitého integrálu).

V případě počáteční podmínky \(y(x_0) = y_0\) je možné spojit třetí a čtvrtý krok a použít určitý integrál \[ \int_{y_0}^y \frac{\mathrm{d}t}{g(t)}=\int_{x_0}^x f(t)\mathrm{d}t. \]

Počáteční úloha má jediné řešení, pokud má pravá strana ohraničenou parciální derivace podle \(y\), jak je zmíněno v úvodu přednášky. Nicméně pro diferenciální rovnici se separovanými proměnnými je možné vyslovit následující mnohem jednodušší postačující podmínku pro jednoznačnost řešení.

Věta (existence a jednoznačnost řešení Cauchyovy úlohy pro rovnici se separovanými proměnnými).

Je-li \(g(y_0)\neq 0\), má počáteční úloha \[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x)g(y),\qquad y(x_0)=y_0\] právě jedno řešení definované v nějakém okolí počáteční podmínky.

Redukce parciální diferenciální rovnice na obyčejnou, jednorozměrný případ

Ukážeme si , že parciální diferenciální rovnice popisující tok tepla nebo tok podzemní vody se ve speciálních případech redukují na diferenciální rovnice, jaké jsme se právě naučili řešit.

Uvažujme tok tepla stěnou o tloušťce \(d\) která odděluje dvě prostředí o teplotách \(T_1\) a \(T_2\).

Stacionární tok tepla v jedné dimenzi je dán rovnicí \[\frac{\partial}{\partial x}\left(k\frac{\partial T}{\partial x}\right)=0.\] V ustáleném stavu je \(T\) funkcí jedné proměnné \(x\) a parciální derivace se redukují na obyčejné derivace. Rovnice má tvar \[\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\left(k\frac{\mathrm d T}{\mathrm d x}\right)=0.\] Po integraci dostáváme \[k\frac{\mathrm d T}{\mathrm d x}=C_1.\] Tuto rovnici budeme řešit ve dvou různých situacích, a to pro lineární a nelineární materiálové vztahy.

Lineární materiálové vztahy, tj. konstantní materiálová charakteristika

Nelineární materiálové vztahy, tj. nekonstantní materiálová charakteristika

Redukce parciální diferenciální rovnice na obyčejnou, radiálně symetrický případ

Jiný případ, kdy je možno redukovat složitost problému na jednu dimenzi je stacionární děj v rovině, kdy je situace radiálně symetrická. K tomu je nutno transformovat divergenci a gradient do polárních souřadnic. Příslušné vzorce nebudeme odvozovat, dodá je Wikipedie.

Radiální proudění směrem k čerpanému vrtu. Zdroj: http://ecoursesonline.iasri.res.in.
Radiální proudění směrem k čerpanému vrtu. Zdroj: http://ecoursesonline.iasri.res.in.

Diferenciální rovnice růstu vodní kapky

Londýnská mlha. Dnes už to není jako za časů Sherloka Holmese. Poslední velká mlha (Pea soup fog) byla v roce 1952. Zdroj: Wikipedia.
Londýnská mlha. Dnes už to není jako za časů Sherloka Holmese. Poslední velká mlha (Pea soup fog) byla v roce 1952. Zdroj: Wikipedia.

Modelujme růst kulové kapky. Ta roste tak, že na povrchu kondenzují vodní páry. Kapka proto roste tak, že její objem se zvětšuje rychlostí úměrnou povrchu. Povrch je zase úměrný druhé mocnině poloměru a poloměr je úměrný třetí odmocnině objemu. Platí tedy (po sloučení všech konstant úměrnosti do jedné) \[\frac{\mathrm dV}{\mathrm dt}=kV^{2/3}.\]
Tato rovnice má konstantní řešení \(V=0\). Nekonstantní řešení dostaneme po úpravě \[V^{-2/3}\mathrm dV=k\mathrm dt\] a po integraci \[\int V^{-2/3}\mathrm dV=k\int \mathrm dt,\] což dává \[3V^{1/3}=kt+C\] a \[V=\left(\frac 13 kt+ \frac 13 C\right)^3,\] tj. \[V=\left(k_0t+ c\right)^3,\] kde \(k_0=\frac 13 k\) a \(c=\frac 13 C\) jsou konstanta spojená rychlostí kondenzace a integrační konstanta.

Všimněte si, že počáteční úloha s počáteční podmínkou \(V(0)=0\) má konstantní nulové řešení \[V(t)=0\] a nenulové řešení \[V(t)=(k_0t)^3.\] Máme zde tedy nejednoznačnost v řešení počáteční úlohy. Tato nejednoznačnost není v rozporu s větou o existenci a jednoznačnosti řešení, protože pravá strana je nulová (podmínka pro separovatelnou rovnici není splněna) a nemá ohraničenou derivaci podle \(V\) (podmínka pro obecnou rovnici také není splněna). A nejednoznačnost má v tomto případě dokonce fyzikální význam. Plynné skupenství může existovat i pod bodem kondenzace. Takovému jevu se říká přechlazená pára. Aby došlo ke kondenzaci, musí být k dispozici kondenzační jádra, například nečistoty ve vzduchu. Proto ve znečištěném ovzduší dochází častěji ke kondenzaci a tvorbě mlhy. Své by o tom mohli vyprávět obyvatelé Londýna, kteří se proslulých mlh zbavili poté, co se omezilo topení uhlím. My dnes spíše známe přechlazenou tekutinu ve formě hřejících polštářků, kde se po lupnutí plíškem spustí přeměna skupenství na pevné spojená s intenzivním uvolněním tepla.