Křivkový integrál
Robert Mařík
2020
Pokud se matematické výrazy nezobrazují korektně, nechejte znovunačíst stránku (Reload, Crtl+R, F5) nebo použijte html verzi prezentace.
Ovládání: Prezentaci je možno posouvat šipkami nebo mezerníkem. Klávesa "S" zmenšuje písmo, "B" zvětšuje (smaller/bigger). Klávesa "C" zobrazí obsah (content). Klávesou "A" se přepíná režim prezentace/html stránka.
Kliknutím na obrázek se obrázek zvětší na vertikální rozměr okna. Pro zavření zvětšeniny klikněte do zašedlého zbytku stránky nebo použijte klávesu "ESC".
Slidy jsou doprovodným materiálem k předáškám. Některá tvrzení platí
pouze za předpokladů dostatečné spojitosti funkcí nebo jejich
derivací. V jednoduchých technických aplikacích bývají tyto
předpoklady splněny a proto je nezmiňujeme. Přesná formulace vět je
v učebním textu a v odborné literatuře.
Křivkový integrál
Jedná se o rozšíření Riemannova integrálu, kdy množinou přes kterou integrujeme není úsečka, ale křivka. Pro jednoduchost budeme uvažovat dvourozměrnou křivku v rovině \(x\), \(y\).
Rozeznáváme dva druhy křivkových integrálů. První z nich používáme, pokud pracujeme se skalárními veličinami, jako například kvadratický moment. Druhý z nich používáme pokud pracujeme ve vektorovém poli, například při výpočtu práce vykonané po křivce.
Parametrické rovnice křivky
Nejprve představíme matematický aparát pro popis křivek. Rovinné křivky nejčastěji popisujeme vektorovou funkcí jedné proměnné, resp. dvojicí skalárních funkcí.
- \(\vec r: \mathbb{R}\to \mathbb{R}^2\)
- \(\vec r(t)=[\varphi(t),\psi(t)]=\varphi(t) \vec i + \psi(t)\vec j\), \(t\in [\alpha,\beta]\)
- Skalární popis křivky: \[C=\begin{cases}
x=\varphi(t)\\y=\psi(t), \quad t\in[\alpha,\beta]
\end{cases}\]
- Graf křivky dostaneme tak, že pro každé \(t\) z intervalu \([\alpha, \beta]\) kreslíme ve 2D bod \([\varphi(t), \psi(t)]\).
- Funkce \(\varphi(t)\), \(\psi(t)\) nazýváme parametrizace křivky \(C\)
- Pro danou křivku \(C\) v rovině \(xy\), nejsou její parametrické rovnice dány jednoznačně. Nakreslit online.
- Parametrizace kružnice, úsečky a grafu funkce jedné proměnné: viz seznam vzorců
Křivkový integrál prvního druhu
Pokud uvažujeme drát o lineární hustotě \(f\) a délce \(s\), je hmotnost drátu rovna součinu \(m=fs\). Uvažujme drát, který není homogenní, leží podél rovinné křivky \(C\) a jeho specifická hmotnost se mění a bodě \((x,y)\) je dána funkcí \(f(x,y)\). Celkovou hmotnost můžeme odhadnout takto:
- Myšlenkově rozdělíme drát na malé kousíčky a každém z nich odhadneme lineární hustotu konstantou. Můžeme například použít minimální hodnotu hustoty v tomto kousíčku.
- Vynásobením délkou každého kousíčku obdržíme jeho hmotnost a sečtením přes všechny kousky dostaneme dolní odhad pro hmotnost drátu. Tento odhad bude tím přesnější, čím jemnější dělení použijeme.
- Zjemňováním dělení se tyto odhady zpřesňují.
V limitním procesu, kdy se délka všech kousíčků blíží k nule, dostáváme objekt, který se nazývá křivkový integrál prvního druhu, označuje \[ \int_C f\;\mathrm{d} s \] a fyzikálně vyjadřuje hmotnost drátu z výše uvažované úlohy. Pokud počáteční a koncový bod křivky \(C\) splývají, píšeme též \[ \oint_C f\;\mathrm{d} s \] a integrál nazýváme integrálem po uzavřené křivce.
Převod na Riemannův integrál (rovinná křivka)
Mějme parametrické rovnice křivky \(C\) ve vektorovém tvaru \[\vec r(t)=\varphi(t) \vec i + \psi(t)\vec j,\] kde \(t\in[\alpha,\beta]\). Derivováním křivky dostaneme \[\frac{\mathrm{d} \vec r(t)}{\mathrm{d}t}=\varphi'(t) \vec i + \psi'(t)\vec j.\] Výpočtem délky vektoru (a formálním vynásobením výrazem \(\mathrm{d}t\)) dále \[\mathrm{d}s=|\mathrm{d}\vec r(t)|=\sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2}\mathrm{d}t.\] Tím se křivkový integrál prvního druhu funkce \(f(x,y)\) po křivce \(C\) transformuje na Riemannův integrál \[
\int_C f\;\mathrm{d} s=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t),\psi(t))\sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)}\;\mathrm{d} t.
\]
Převod na Riemannův integrál (prostorová křivka)
Podobně jako v rovině převádíme na Riemannův integrál i křivkový integrál prvního druhu po prostorové křivce \[
C:\quad \varphi(t)\vec i + \psi(t)\vec j + \xi(t) \vec k, \quad t\in[\alpha,\beta].
\] Délkový element je \[
\mathrm{d}s=\sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)+\xi^{\prime 2}(t)}\mathrm{dt}
\] a integrál má tvar \[ \int_C f\;\mathrm{d} s=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t),\psi(t),\xi(t))\sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)+\xi^{\prime 2}(t)}\;\mathrm{d} t. \]
Aplikace křivkového integrálu prvního druhu
| \(1\) |
délka křivky \(C\) |
| lineární hustota \(\tau(x,y)\) |
hmotnost \(m_C\) křivky \(C\) |
| \(\frac {1}{m_C}[x\tau(x,y),y\tau(xy)]\) |
souřadnice těžiště křivky \(C\) |
| \(x^2\tau(x,y)\) |
moment setrvačnosti křivky \(C\) vzhledem k ose \(y\) |
| \(y^2\tau(x,y)\) |
moment setrvačnosti křivky \(C\) vzhledem k ose \(x\) |
| \(\rho^2(x,y)\tau(x,y)\) |
moment setrvačnosti křivky \(C\) vzhledem k obecné ose, kde \(\rho(x,y)\) je vzdálenost bodu \([x,y]\) od osy otáčení. |
Vlastnosti křivkového integrálu prvního druhu
Věta (nezávislost na zvolené parametrizaci).
Křivkový integrál prvního druhu nezávisí na konkrétní parametrizaci křivky \(C\). Pro různé parametrizace stejné křivky má integrál stejnou hodnotu.
Věta (linearita).
Pro funkce \(f\) a \(g\) a konstantu \(k\) platí následující. \[
\begin{aligned}
\int_C f+g\;\mathrm{d}s & = \int_C f\;\mathrm{d}s + \int_C g\;\mathrm{d}s \\
\int_C kf\;\mathrm{d}s & = k\int_C f\;\mathrm{d}s\\
\end{aligned}
\]
Věta (aditivita vzhledem k integračnímu oboru).
Je-li křivka \(C\) rozdělena na dvě disjunktní (až na koncové body) křivky \(C_1\) a \(C_2\), platí \[
\int_{C} f\;\mathrm{d}s = \int_{C_1} f\;\mathrm{d}s + \int_{C_2} f\;\mathrm{d}s .
\]
Proč trubky praskají podélně?
Uvažujme natlakovanou válcovou nádobu s tlakem \(p\), výškou \(L\), poloměrem podstavy \(r\) a stěnou o tloušťce \(t\).
Vypočteme namáhání silou v ose, tj. namáhání řezu A. Obsah řezu (vyšrafováno červeně) je \(2\pi r t\). Na dno a víko působí síla \(F=p\pi r^2\) a v řezu A kolmém na osu válce je tahové napětí \[\sigma_{p} = \frac FS=\frac {p\pi r^2}{2\pi rt}=\frac {pr}{2t}.\]
Směrem radiálně od osy se tlaková síla rozkládá na celou plochu pláště válce a v tomto směru je tahové napětí minimální.
Vypočteme poslední složku přispívající k namáhání pláště válce, obvodové napětí. K tomu musíme vypočítat sílu, která působí po obvodě válce, tj. která se snaží válec roztrhnout v řezu B. Tento řez má obsah (červeně vyznačeno) \(2Lt\). Nejtěžší bude najít celkovou sílu, která od sebe oddaluje dvě poloviny pláště. To je místo, kde zapojíme integrál.
Křivka vzniklá průmětem poloviny pláště má rovnici \(\vec r(t)=r\cos(t)\vec i+r\sin (t)\vec j\), kde \(r\) je poloměr a \(t\in\left[-\frac \pi 2,\frac \pi 2\right]\) je úhel mezi spojnicí elementu v bodě \((x,y)\) a mezi kladnou částí osy \(x\). Kousek pláště válce odpovídající úseku \(\Delta s\) má obsah \(L\Delta s\) a tlaková síla na tento kousek je součin tlaku a obsahu, tj. \[\Delta F=pS=p L\Delta s.\] Směr je kolmý k plášti válce a s vodorovnou osou svírá úhel \(t\). Průmět této síly do vodorovného směru je \[\Delta F_x=pL\Delta s \cos t\] a tyto příspěvky musíme posčítat křivkovým integrálem přes celou křivku. Platí \(\mathrm ds=r\mathrm dt\). Celková síla, která se snaží nádobu roztrhnout podélně je \[F_x=\int_C pL \cos t \,\mathrm d s
\int_{-\frac \pi 2}^{\frac \pi 2} pLr \cos t \,\mathrm d t
=prL [\sin t]_{-\frac \pi 2}^{\frac \pi 2}=prL \left[\sin\frac \pi 2 -\sin\left(-\frac \pi2 \right)\right]=2p rL.\] Povrch na který tato síla působí odpovídá dvěma podélným hranám (červeně na řezu B), tj. má obsah \(2Lt\) a napětí je tedy \[\sigma_{h}=\frac{2pLr}{2Lt}=\frac{pr}t=2\sigma_p.\] Vidíme, že toto napětí je dvojnásobkem napětí v podélné ose.
Ještě je vhodné ověřit, že svislý průmět, tj . \[\Delta F_y=pL\Delta s \sin t\] k namáhání nepřispívá, protože \[F_y=\int_{C} pL \sin t \,\mathrm d s
=0.\] To však je možné očekávat i ze symetrie.
Pokud se chcete dozvědět více, zkuste Google a heslo “hoop stress”.
Křivkový integrál druhého druhu
Pokud působíme na těleso silou \(F\) a přemísťujeme toto těleso ve směru působící síly po dráze délky \(s\), konáme práci \(W=Fs\). Pokud přemísťování neprobíhá ve směru působící síly a má-li síla směr \(\vec F\) a posunutí \(\vec s\), je práce rovna skalárnímu součinu \(\vec F\cdot\vec s\).
Předpokládejme, že na těleso působí (obecně nekonstantní) síla \(\vec F\) a těleso se pohybuje podél křivky \(C\) určené polohovým vektorem \(\vec r(t)\). Pro výpočet práce můžeme použít stejný trik jako u křivkového integrálu prvního druhu. Rozdělíme dráhu na malé kousíčky a v rámci těchto kousíčků považujeme \(\vec F\) i \(\Delta \vec r\) za konstantu. Tato aproximace bude tím přesnější, čím jemnější dělení použijeme.
V limitě dostáváme veličinu, která se nazývá křivkový integrál druhého druhu funkce \(\vec F\) po křivce \(C\) a zapisujeme \[
\int_C\vec F\;\mathrm{d}\vec r .\] Je-li \[ \vec F(x,y)=P(x,y)\vec
i+Q(x,y)\vec j, \] zapisujeme někdy křivkový integrál ve složkách \[ \int_C P(x,y)\mathrm{d}
x+Q(x,y)\mathrm{d} y. \]
Protože při pohybu tělesa po křivce jedním směrem se práce koná a při pohybu opačným směrem spotřebovává, je nutné, aby křivka figurující v křivkovém integrálu druhého druhu byla orientovaná - tj. abychom prohlásili, který bod je počáteční a který koncový. Vždy budeme předpokládat, že křivka je orientovaná v souladu se svým parametrickým vyjádřením, tj. že počáteční bod křivky odpovídá hodnotě parametru \(t=\alpha\) a koncový bod odpovídá hodnotě parametru \(t=\beta\).
Převod na Riemannův integrál
Známe-li parametrické rovnice \[\vec r = \varphi(t)\vec i + \psi(t) \vec j,\quad t\in[\alpha,\beta],\] křivky \(C\), je možno křivkový integrál druhého druhu funkce \[\vec F(x,y)=P(x,y)\vec i + Q(x,y)\vec j\] po křivce \(C\) zapsat následovně \[
\begin{aligned}
\int_C\vec F\;\mathrm{d}\vec r&=
\int_\alpha^\beta\Bigl[ P(\varphi(t),\psi(t))\varphi'(t)\\ &\qquad +Q(\varphi(t),\psi(t))\psi'(t)\Bigr]\;\mathrm{d}t
\end{aligned}
\]
Vlastnosti křivkového integrálu druhého druhu
Věta (souvislost křivkového integrálu a orientace křivky).
Změnou orientace křivky křivkový integrál druhého druhu mění znaménko.
Věta (nezávislost na zvolené parametrizaci).
Křivkový integrál druhého druhu nezávisí na konkrétní parametrizaci křivky \(C\). Pro různé parametrizace stejné křivky má integrál stejnou hodnotu.
Následující vlastnosti jsou stejné jako u křivkového integrálu prvního druhu.
Věta (lineatira a aditivita vzhledem k integračnímu oboru).
Křivkový integrál druhého druhu je lineární vzhledem k funkci a aditivní vzhledem k oboru integrace. Přesněji, pro funkce \(\vec F\) a \(\vec G\) a konstantu \(k\) platí následující. \[
\begin{aligned}
\int_C \vec F+\vec G\;\mathrm{d}\vec {r} & = \int_C \vec F\;\mathrm{d}\vec {r} + \int_C \vec {G}\;\mathrm{d}\vec{r} \\
\int_C k\vec {F}\;\mathrm{d}\vec{r} & = k\int_C \vec{F}\;\mathrm{d}\vec{r}\\
\end{aligned}
\] Je-li křivka \(C\) rozdělena na dvě disjunktní (až na koncové body) křivky \(C_1\) a \(C_2\), platí \[
\int_{C} \vec F\;\mathrm{d}\vec{r} = \int_{C_1} \vec F\;\mathrm{d}\vec{r} + \int_{C_2} \vec F\;\mathrm{d}\vec{r} .
\]
Aplikace křivkového integrálu druhého druhu
- Integrál \[
\int_C\vec F\;\mathrm{d}\vec r
\] vyjadřuje práci kterou vykoná síla \(\vec F\) při přemístění tělesa podél orientované křivky \(C\).
- Je-li křivka \(C\) uzavřená, píšeme \[
\oint_C\vec F\;\mathrm{d}\vec r.
\] Fyzikálně se jedná o práci kterou vykoná síla \(\vec F\) při přemístění tělesa po uzavřené orientované křivce. Tato práce se též nazývá cirkulace vektorového pole po orientované křivce \(C\). Pokud je možno v poli zavést potenciální energii a pokud tedy práce závisí jenom na počáteční a koncové poloze, musí tato práce být nulová. To je důsledkem věty kterou si uvedeme později.
- Při odvození křivkového integrálu druhého druhu jako vykonané práce hraje roli vlastně jenom ta složka silového pole, která při posunu ve směru křivky koná práci, tj. složka, která je tečná ke křivce. Pokud použijeme naopak normálovou komponentu, dostaneme veličinu vyjadřující tok vektorového pole orientovanou křivkou \(C\). Výsledný vzorec vyjadřující tok vektorového pole \(\vec F(x,y)=P(x,y)\vec i+Q(x,y)\vec j,\) je \[
\int_{C}-Q(x,y)\mathrm{d}x+P(x,y)\mathrm{d}y.
\]
- Je-li množina \(\Omega\) “dostatečně pěkná” (např. souvislá, bez děr, s počástech hladkou hranicí \(\partial \Omega\) která se nikde neprotíná, detaily uvedeme později u Greenovy věty), potom každý z integrálů \[\oint_{\partial\Omega}x\mathrm{d}y\qquad\text{a}\qquad\oint_{\partial\Omega}y\mathrm{d}x\] udává (až na případné znaménko) obsah množiny \(\Omega\). Na tomto principu fungují planimetry.
Shrnutí: vlastnosti křivkových integrálů
- Oba integrály jsou aditivní vzhledem k oboru integrace. Pokud je nutné při parametrizaci křivku rozdělit na konečný počet navzájem disjunktních částí, můžeme vypočítat integrál na každé části samostatně a výsledky sečíst.
- Křivkový integrál prvního ani druhého druhu nezávisí na konkrétní parametrizaci křivky.
- Křivkový integrál prvního druhu nezávisí na orientaci křivky.
- Křivkový integrál druhého druhu při změně orientace křivky mění znaménko.
Steinerova věta
Nechť je dána křivka \(C\) s lineární hustotou \(\tau(x,y)\). Nechť křivka \(C\) splňuje \(\int_C x \tau(x,y)\;\mathrm{d}s=0\), tj. nechť osa \(y\) prochází těžištěm křivky \(C\). Určete moment setrvačnosti křivky vhledem k ose \(o\) rovnoběžné s \(y\) ve vzdálenosti \(d\) od osy \(y\).
Řešení Podle toho zda osa \(o\) je nalevo nebo napravo od osy \(y\) dostáváme jednu z následujících variant. \[\begin{aligned}
J_o&=\int_C(x\pm d)^2\tau \;\mathrm{d}s\\
&=\int_C(x^2\pm 2xd+d^2)\tau \;\mathrm{d}s\\
&=\int_C x^2\tau \;\mathrm{d}s \pm 2d\int_C x\tau \;\mathrm{d}s + d^2 \int_C \tau \;\mathrm{d}s.
\end{aligned}
\] Na pravé straně vidíme, že prvním členem je moment otáčení vzhledem k ose \(y\) \[J_{yT}=\int_C x^2\tau \;\mathrm{d}s\] a ve třetím členu je obsažena hmotnost křivky \[m=\int_C \tau \;\mathrm{d}s.\] Dále ze zadání vidíme, že prostřední člen je roven nule. V označení výše náš vztah dostává tvar \[J_o=J_{yT}+m d^2.\] Tento vztah se nazývá Steinerova věta. Ukazuje, že moment setrvačnosti je nejmenší vzhledem k ose otáční procházející těžišťěm (člen \(m d^2\) je vždy nezáporný) a umožňuje přepočet momentu setrvačnosti pro rovnoběžné osy.
