▶ ▶ ▶ Slidy

Křivkový integrál

Křivkový integrál prvního druhu
Křivkový integrál prvního druhu
Křivkový integrál druhého druhu
Křivkový integrál druhého druhu

Jedná se o rozšíření Riemannova integrálu, kdy množinou přes kterou integrujeme není úsečka, ale křivka. Pro jednoduchost budeme uvažovat dvourozměrnou křivku v rovině \(x\), \(y\).

Rozeznáváme dva druhy křivkových integrálů. První z nich používáme, pokud pracujeme se skalárními veličinami, jako například kvadratický moment. Druhý z nich používáme pokud pracujeme ve vektorovém poli, například při výpočtu práce vykonané po křivce.

Parametrické rovnice křivky

Dvě různé parametrizace jednotkové kružnice
Dvě různé parametrizace jednotkové kružnice

Nejprve představíme matematický aparát pro popis křivek. Rovinné křivky nejčastěji popisujeme vektorovou funkcí jedné proměnné, resp. dvojicí skalárních funkcí.

Křivkový integrál prvního druhu

Křivkový integrál prvního druhu. Výška plochy je určena zadanou skalární funkcí. Animace
Křivkový integrál prvního druhu. Výška plochy je určena zadanou skalární funkcí. Animace

Pokud uvažujeme drát o lineární hustotě \(f\) a délce \(s\), je hmotnost drátu rovna součinu \(m=fs\). Uvažujme drát, který není homogenní, leží podél rovinné křivky \(C\) a jeho specifická hmotnost se mění a bodě \((x,y)\) je dána funkcí \(f(x,y)\). Celkovou hmotnost můžeme odhadnout takto:

V limitním procesu, kdy se délka všech kousíčků blíží k nule, dostáváme objekt, který se nazývá křivkový integrál prvního druhu, označuje \[ \int_C f\;\mathrm{d} s \] a fyzikálně vyjadřuje hmotnost drátu z výše uvažované úlohy. Pokud počáteční a koncový bod křivky \(C\) splývají, píšeme též \[ \oint_C f\;\mathrm{d} s \] a integrál nazýváme integrálem po uzavřené křivce.

Převod na Riemannův integrál (rovinná křivka)

Aproximace délky oblouku křivky pomocí funkcí z parametrického vyjádření křivky
Aproximace délky oblouku křivky pomocí funkcí z parametrického vyjádření křivky

Mějme parametrické rovnice křivky \(C\) ve vektorovém tvaru \[\vec r(t)=\varphi(t) \vec i + \psi(t)\vec j,\] kde \(t\in[\alpha,\beta]\). Derivováním křivky dostaneme \[\frac{\mathrm{d} \vec r(t)}{\mathrm{d}t}=\varphi'(t) \vec i + \psi'(t)\vec j.\] Výpočtem délky vektoru (a formálním vynásobením výrazem \(\mathrm{d}t\)) dále \[\mathrm{d}s=|\mathrm{d}\vec r(t)|=\sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2}\mathrm{d}t.\] Tím se křivkový integrál prvního druhu funkce \(f(x,y)\) po křivce \(C\) transformuje na Riemannův integrál \[ \int_C f\;\mathrm{d} s=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t),\psi(t))\sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)}\;\mathrm{d} t. \]

Převod na Riemannův integrál (prostorová křivka)

Podobně jako v rovině převádíme na Riemannův integrál i křivkový integrál prvního druhu po prostorové křivce \[ C:\quad \varphi(t)\vec i + \psi(t)\vec j + \xi(t) \vec k, \quad t\in[\alpha,\beta]. \] Délkový element je \[ \mathrm{d}s=\sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)+\xi^{\prime 2}(t)}\mathrm{dt} \] a integrál má tvar \[ \int_C f\;\mathrm{d} s=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t),\psi(t),\xi(t))\sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)+\xi^{\prime 2}(t)}\;\mathrm{d} t. \]

Aplikace křivkového integrálu prvního druhu

Funkce \(f(x,y)\) Integrál \(\int_C f\;\mathrm{d}s\)
\(1\) délka křivky \(C\)
lineární hustota \(\tau(x,y)\) hmotnost \(m_C\) křivky \(C\)
\(\frac {1}{m_C}[x\tau(x,y),y\tau(xy)]\) souřadnice těžiště křivky \(C\)
\(x^2\tau(x,y)\) moment setrvačnosti křivky \(C\) vzhledem k ose \(y\)
\(y^2\tau(x,y)\) moment setrvačnosti křivky \(C\) vzhledem k ose \(x\)
\(\rho^2(x,y)\tau(x,y)\) moment setrvačnosti křivky \(C\) vzhledem k obecné ose, kde \(\rho(x,y)\) je vzdálenost bodu \([x,y]\) od osy otáčení.

Vlastnosti křivkového integrálu prvního druhu

Věta (nezávislost na zvolené parametrizaci).

Křivkový integrál prvního druhu nezávisí na konkrétní parametrizaci křivky \(C\). Pro různé parametrizace stejné křivky má integrál stejnou hodnotu.

Věta (linearita).

Pro funkce \(f\) a \(g\) a konstantu \(k\) platí následující. \[ \begin{aligned} \int_C f+g\;\mathrm{d}s & = \int_C f\;\mathrm{d}s + \int_C g\;\mathrm{d}s \\ \int_C kf\;\mathrm{d}s & = k\int_C f\;\mathrm{d}s\\ \end{aligned} \]

Věta (aditivita vzhledem k integračnímu oboru).

Je-li křivka \(C\) rozdělena na dvě disjunktní (až na koncové body) křivky \(C_1\) a \(C_2\), platí \[ \int_{C} f\;\mathrm{d}s = \int_{C_1} f\;\mathrm{d}s + \int_{C_2} f\;\mathrm{d}s . \]

Proč trubky praskají podélně?

Schema válcové nádoby pod tlakem a řezy, v nichž počítáme namáhání.
Schema válcové nádoby pod tlakem a řezy, v nichž počítáme namáhání.
Znalost napětí, které tlak způsobí na obalu nádoby, je důležitá pro práci s tlakovými a podtlakovými nádobami. Ty jsou nejčastěji cylindrické nebo kulové. Na obrázku unikátní zařízení pro tlakovou impregnaci ve VCJR v Útěchově se soustavou trubek a tlakových nádob. Zdroj: J. Dömény.
Znalost napětí, které tlak způsobí na obalu nádoby, je důležitá pro práci s tlakovými a podtlakovými nádobami. Ty jsou nejčastěji cylindrické nebo kulové. Na obrázku unikátní zařízení pro tlakovou impregnaci ve VCJR v Útěchově se soustavou trubek a tlakových nádob. Zdroj: J. Dömény.
Natlakovaná válcová nádoba modeluje i trubku pod tlakem. Takové trubky praskají podélně, protože v tom směru je dvojnásobné tahové napětí. Na obrázku jsou vodovodní trubky roztrhané mrazem. Zdroj: http://datagenetics.com/blog/december22013, Ian Mercer.
Natlakovaná válcová nádoba modeluje i trubku pod tlakem. Takové trubky praskají podélně, protože v tom směru je dvojnásobné tahové napětí. Na obrázku jsou vodovodní trubky roztrhané mrazem. Zdroj: http://datagenetics.com/blog/december22013, Ian Mercer.

Uvažujme natlakovanou válcovou nádobu s tlakem \(p\), výškou \(L\), poloměrem podstavy \(r\) a stěnou o tloušťce \(t\).

Vypočteme namáhání silou v ose, tj. namáhání řezu A. Obsah řezu (vyšrafováno červeně) je \(2\pi r t\). Na dno a víko působí síla \(F=p\pi r^2\) a v řezu A kolmém na osu válce je tahové napětí \[\sigma_{p} = \frac FS=\frac {p\pi r^2}{2\pi rt}=\frac {pr}{2t}.\]

Směrem radiálně od osy se tlaková síla rozkládá na celou plochu pláště válce a v tomto směru je tahové napětí minimální.

Vypočteme poslední složku přispívající k namáhání pláště válce, obvodové napětí. K tomu musíme vypočítat sílu, která působí po obvodě válce, tj. která se snaží válec roztrhnout v řezu B. Tento řez má obsah (červeně vyznačeno) \(2Lt\). Nejtěžší bude najít celkovou sílu, která od sebe oddaluje dvě poloviny pláště. To je místo, kde zapojíme integrál.

Křivka vzniklá průmětem poloviny pláště má rovnici \(\vec r(t)=r\cos(t)\vec i+r\sin (t)\vec j\), kde \(r\) je poloměr a \(t\in\left[-\frac \pi 2,\frac \pi 2\right]\) je úhel mezi spojnicí elementu v bodě \((x,y)\) a mezi kladnou částí osy \(x\). Kousek pláště válce odpovídající úseku \(\Delta s\) má obsah \(L\Delta s\) a tlaková síla na tento kousek je součin tlaku a obsahu, tj. \[\Delta F=pS=p L\Delta s.\] Směr je kolmý k plášti válce a s vodorovnou osou svírá úhel \(t\). Průmět této síly do vodorovného směru je \[\Delta F_x=pL\Delta s \cos t\] a tyto příspěvky musíme posčítat křivkovým integrálem přes celou křivku. Platí \(\mathrm ds=r\mathrm dt\). Celková síla, která se snaží nádobu roztrhnout podélně je \[F_x=\int_C pL \cos t \,\mathrm d s \int_{-\frac \pi 2}^{\frac \pi 2} pLr \cos t \,\mathrm d t =prL [\sin t]_{-\frac \pi 2}^{\frac \pi 2}=prL \left[\sin\frac \pi 2 -\sin\left(-\frac \pi2 \right)\right]=2p rL.\] Povrch na který tato síla působí odpovídá dvěma podélným hranám (červeně na řezu B), tj. má obsah \(2Lt\) a napětí je tedy \[\sigma_{h}=\frac{2pLr}{2Lt}=\frac{pr}t=2\sigma_p.\] Vidíme, že toto napětí je dvojnásobkem napětí v podélné ose.

Ještě je vhodné ověřit, že svislý průmět, tj . \[\Delta F_y=pL\Delta s \sin t\] k namáhání nepřispívá, protože \[F_y=\int_{C} pL \sin t \,\mathrm d s =0.\] To však je možné očekávat i ze symetrie.

Pokud se chcete dozvědět více, zkuste Google a heslo “hoop stress”.

Křivkový integrál druhého druhu

Křivkový integrál druhého druhu. Výška plochy je v každém bodě křivky určena skalárním součinem tečného vektoru jednotkové délky a vektorem zadaného vektorového pole.
Křivkový integrál druhého druhu. Výška plochy je v každém bodě křivky určena skalárním součinem tečného vektoru jednotkové délky a vektorem zadaného vektorového pole.

Pokud působíme na těleso silou \(F\) a přemísťujeme toto těleso ve směru působící síly po dráze délky \(s\), konáme práci \(W=Fs\). Pokud přemísťování neprobíhá ve směru působící síly a má-li síla směr \(\vec F\) a posunutí \(\vec s\), je práce rovna skalárnímu součinu \(\vec F\cdot\vec s\).

Předpokládejme, že na těleso působí (obecně nekonstantní) síla \(\vec F\) a těleso se pohybuje podél křivky \(C\) určené polohovým vektorem \(\vec r(t)\). Pro výpočet práce můžeme použít stejný trik jako u křivkového integrálu prvního druhu. Rozdělíme dráhu na malé kousíčky a v rámci těchto kousíčků považujeme \(\vec F\) i \(\Delta \vec r\) za konstantu. Tato aproximace bude tím přesnější, čím jemnější dělení použijeme.

V limitě dostáváme veličinu, která se nazývá křivkový integrál druhého druhu funkce \(\vec F\) po křivce \(C\) a zapisujeme \[ \int_C\vec F\;\mathrm{d}\vec r .\] Je-li \[ \vec F(x,y)=P(x,y)\vec i+Q(x,y)\vec j, \] zapisujeme někdy křivkový integrál ve složkách \[ \int_C P(x,y)\mathrm{d} x+Q(x,y)\mathrm{d} y. \]

Protože při pohybu tělesa po křivce jedním směrem se práce koná a při pohybu opačným směrem spotřebovává, je nutné, aby křivka figurující v křivkovém integrálu druhého druhu byla orientovaná - tj. abychom prohlásili, který bod je počáteční a který koncový. Vždy budeme předpokládat, že křivka je orientovaná v souladu se svým parametrickým vyjádřením, tj. že počáteční bod křivky odpovídá hodnotě parametru \(t=\alpha\) a koncový bod odpovídá hodnotě parametru \(t=\beta\).

Převod na Riemannův integrál

Aproximace posunutí pomocí funkcí z parametrického vyjádření křivky
Aproximace posunutí pomocí funkcí z parametrického vyjádření křivky

Známe-li parametrické rovnice \[\vec r = \varphi(t)\vec i + \psi(t) \vec j,\quad t\in[\alpha,\beta],\] křivky \(C\), je možno křivkový integrál druhého druhu funkce \[\vec F(x,y)=P(x,y)\vec i + Q(x,y)\vec j\] po křivce \(C\) zapsat následovně \[ \begin{aligned} \int_C\vec F\;\mathrm{d}\vec r&= \int_\alpha^\beta\Bigl[ P(\varphi(t),\psi(t))\varphi'(t)\\ &\qquad +Q(\varphi(t),\psi(t))\psi'(t)\Bigr]\;\mathrm{d}t \end{aligned} \]

Vlastnosti křivkového integrálu druhého druhu

Věta (souvislost křivkového integrálu a orientace křivky).

Změnou orientace křivky křivkový integrál druhého druhu mění znaménko.

Věta (nezávislost na zvolené parametrizaci).

Křivkový integrál druhého druhu nezávisí na konkrétní parametrizaci křivky \(C\). Pro různé parametrizace stejné křivky má integrál stejnou hodnotu.

Následující vlastnosti jsou stejné jako u křivkového integrálu prvního druhu.

Věta (lineatira a aditivita vzhledem k integračnímu oboru).

Křivkový integrál druhého druhu je lineární vzhledem k funkci a aditivní vzhledem k oboru integrace. Přesněji, pro funkce \(\vec F\) a \(\vec G\) a konstantu \(k\) platí následující. \[ \begin{aligned} \int_C \vec F+\vec G\;\mathrm{d}\vec {r} & = \int_C \vec F\;\mathrm{d}\vec {r} + \int_C \vec {G}\;\mathrm{d}\vec{r} \\ \int_C k\vec {F}\;\mathrm{d}\vec{r} & = k\int_C \vec{F}\;\mathrm{d}\vec{r}\\ \end{aligned} \] Je-li křivka \(C\) rozdělena na dvě disjunktní (až na koncové body) křivky \(C_1\) a \(C_2\), platí \[ \int_{C} \vec F\;\mathrm{d}\vec{r} = \int_{C_1} \vec F\;\mathrm{d}\vec{r} + \int_{C_2} \vec F\;\mathrm{d}\vec{r} . \]

Aplikace křivkového integrálu druhého druhu

Shrnutí: vlastnosti křivkových integrálů

Steinerova věta

Nechť je dána křivka \(C\) s lineární hustotou \(\tau(x,y)\). Nechť křivka \(C\) splňuje \(\int_C x \tau(x,y)\;\mathrm{d}s=0\), tj. nechť osa \(y\) prochází těžištěm křivky \(C\). Určete moment setrvačnosti křivky vhledem k ose \(o\) rovnoběžné s \(y\) ve vzdálenosti \(d\) od osy \(y\).

Řešení Podle toho zda osa \(o\) je nalevo nebo napravo od osy \(y\) dostáváme jednu z následujících variant. \[\begin{aligned} J_o&=\int_C(x\pm d)^2\tau \;\mathrm{d}s\\ &=\int_C(x^2\pm 2xd+d^2)\tau \;\mathrm{d}s\\ &=\int_C x^2\tau \;\mathrm{d}s \pm 2d\int_C x\tau \;\mathrm{d}s + d^2 \int_C \tau \;\mathrm{d}s. \end{aligned} \] Na pravé straně vidíme, že prvním členem je moment otáčení vzhledem k ose \(y\) \[J_{yT}=\int_C x^2\tau \;\mathrm{d}s\] a ve třetím členu je obsažena hmotnost křivky \[m=\int_C \tau \;\mathrm{d}s.\] Dále ze zadání vidíme, že prostřední člen je roven nule. V označení výše náš vztah dostává tvar \[J_o=J_{yT}+m d^2.\] Tento vztah se nazývá Steinerova věta. Ukazuje, že moment setrvačnosti je nejmenší vzhledem k ose otáční procházející těžišťěm (člen \(m d^2\) je vždy nezáporný) a umožňuje přepočet momentu setrvačnosti pro rovnoběžné osy.

Závěrečné informace

Parametrizace úsečky

Online výpočet křivkového integrálu