▶ ▶ ▶ Slidy

Vektorová pole

Příklady vektorových polí v rovině

Totální diferenciál

Definice (totální diferenciál).

Totálním diferenciálem funkce \(z=f(x,y)\) v bodě \((x_0, y_0)\) nazýváme výraz \[ \mathrm{d}f= \nabla f (x_0,y_0) \cdot (\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)=\frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial f (x_0,y_0)}{\partial y}\mathrm{d}y. \]

V souvislosti s totálním diferenciálem často vyvstává otázka, zda pro zadané vektorové pole \[\vec F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)),\] existuje skalární funkce \(f\), jejímž gradientem je zadané vektorové pole \(\vec F\). Toto je důležitá otázka ve fyzice, protože umožňuje rozhodnout, ke kterému silovém poli je možno zavést potenciální energii. Funkce \(f\) se v tomto kontextu nazývá skalární potenciál vektorového pole \(\vec F\) nebo také kmenová funkce. Následující věta platí za předpokladu dostatečně hladkých funkcí na otevřené množině.

Věta (nutná a postačující podmínka pro existenci kmenové funkce ve 2D).

Vektor \[\vec F(x,y) = \left( P(x,y) , Q(x,y)\right)\] je gradientem nějaké funkce \(f(x,y)\) právě tehdy když platí \[ \frac{\partial }{\partial y}P(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}Q(x,y).\]

Jeden směr implikace v předchozí větě je snadný a plyne hned ze Schwarzovy věty.

Skalární a vektorový součin

Diferenciální operátor divergence jsme poznali v minulé přednášce v souvislosti s difuzní rovnicí. Formálně jde o skalární součin \(\nabla=\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right)\) a vektorového pole.

Vektorovým součinem \(\vec a \times \vec b\) vektorů \(\vec a=(a_1,a_2,a_3)\) a \(\vec b=(b_1,b_2,b_3)\) rozumíme vektor \[\vec a\times\vec b=\begin{vmatrix} \vec \imath & \vec \jmath &\vec k \\ a_1&a_2&a_3 \\ b_1& b_2& b_3\end{vmatrix}=(a_2b_3-a_3b_2)\vec\imath+(a_3b_1-a_1b_3)\vec\jmath+(a_1b_2-a_2b_1)\vec k.\]

Rotace

Definice (rotace vektorového pole).

Pro vektorovou funkci tří proměnných \[\vec F=P\vec \imath+Q\vec \jmath+R\vec k\] definujeme operátor rotace symbolicky vztahem \[ \mathop{\mathrm{rot}} \vec F=\nabla \times \vec F= \begin{vmatrix} \vec \imath & \vec \jmath &\vec k\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ P &Q &R \end{vmatrix}. \]

Tok kapaliny mezi dvěma rovnoběžnými stěnami jako pole s nenulovou rotací. Rychlost proudu klesá kvadraticky směrem ke břehům a díky tomu se loďka, která odrazí od břehu kolmo, stáčí po proudu.
Tok kapaliny mezi dvěma rovnoběžnými stěnami jako pole s nenulovou rotací. Rychlost proudu klesá kvadraticky směrem ke břehům a díky tomu se loďka, která odrazí od břehu kolmo, stáčí po proudu.

Poznámka (linearita rotace).

Rotace zachovává součet a násobení konstantou, tj. pro libovolné vektorové funkce \(\vec F\) a \(\vec G\) a konstantu \(c\) platí \[\nabla \times (\vec F+\vec G)=\nabla \times \vec F +\nabla \times \vec G, \qquad \nabla \times (c\vec F)=c\nabla \cdot \vec F.\]

Rotace významných polí

Zákon šíření chyb (chyba nepřímo měřené veličiny)

Každé měření je zatíženo chybou a pokud tato data vstupují do výpočtu, musíme mít nástroj pro posouzení, jak se chyby měření projeví na chybě vypočítané veličiny. Zdroj: pixabay.com
Každé měření je zatíženo chybou a pokud tato data vstupují do výpočtu, musíme mít nástroj pro posouzení, jak se chyby měření projeví na chybě vypočítané veličiny. Zdroj: pixabay.com

Nepřímo měřená veličina je taková, kterou neměříme přímo ale vypočítáváme příslušným vzorcem z jiných naměřených veličin.

Zákon šíření chyb - příklad

Pocitová teplota v zimě závisí na skutečné teplotě a na síle větru. Zdroj: pixabay.com
Pocitová teplota v zimě závisí na skutečné teplotě a na síle větru. Zdroj: pixabay.com

Kanadský empirický vzorec pro pocitovou teplotu v zimě (wind-chill factor) je \[W(T,v) = 13.12+0.6215 T-11.37 v^{0.16}+0.3965 T v^{0.16},\] kde \(T\) je teplota (ve stupních Celsia) a \(v\) je rychlost větru (v km/hod). Teplota byla změřena \(-11.0\,{}^\circ\!\text{C}\) s chybou \(0.2\,{}^\circ\!\text{C}\) a rychlost \(26 \,\text{km/hod}\) s chybou \(5\,\text{km/hod}\). S využítím zákona šíření chyb určíme, jaký vliv mají nepřesnosti v měření na nepřesnost vypočítané veličiny.

Dosazením do vzorce dostáváme \(W(-11,26)=-20.212\,{}^\circ\!\text{C}\). Derivováním dostáváme \[\begin{aligned}\frac{\partial W}{\partial T}(T,v)&=0.6215+0.3965 v^{0.16},\\ \frac{\partial W}{\partial v}(T,v)&=-11.37\times 0.16 v^{-0.84}+0.3965 \times 0.16 Tv^{-0.84} \end{aligned} \] a po dosazení \[\begin{aligned}\frac{\partial W}{\partial T}(-11,26)&=1.289,\\ \frac{\partial W}{\partial v}(-11,26)&=-0.163 \,{}^\circ\!\text{C}\, \text{hod}/\mathrm{km}. \end{aligned} \] Za dané teploty a rychlosti větru způsobí nárůst teploty o jeden stupeň nárůst pocitové teploty přibližně o \(1.3\) stupně. Podobně, zesílení větru o jeden kilometr za hodinu způsobí snížení pocitové teploty přibližně o \(0.16\) stupně. Ze zákona šíření chyb dostáváme pro chybu pocitové teploty (dosazováno bez jednotek) \[\Delta W=\sqrt{\left(1.289\times 0.2\right)^2+\left(-0.163\times 5\right)^2}=0.85\,{}^\circ\!\text{C}.\] Pocitová teplota je tedy \(W=-20.2\,{}^\circ\!\text{C}\pm 0.9\,{}^\circ\!\text{C}\).

Online výpočet.